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專題5 一元二次方程及其運用
用配方法解方程時，配方后所得的方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關鍵．利用配方法二次項系數化1，移項，配方，進行作答即可得．
【詳解】解：，
，
，
故選：D．
若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題主要考查了根的判別式，解題的關鍵是牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”．根據方程的系數結合根的判別式，可得出關于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍，對照四個選項即可得出結論．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
，
解得：，故A符合題意．
故選：A．
全國和美鄉村籃球大賽——某縣“村BA”賽區預選賽規定每兩個球隊之間都要進行一場比賽，共要比賽15場．設參加比賽的球隊有x支，根據題意，下面列出的方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設參加比賽的球隊有支，根據題意，找到等量關系，列出方程即可，根據題意，找到等量關系是解題的關鍵．
【詳解】解：設參加比賽的球隊有支，
由題意可得，，
故選：．
（2024·廣東深圳·二模）春節期間電影《熱辣滾燙》上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票房持續增長，三天累計票房億元，若第二、三天單日票房增長率相同，設平均每天票房的增長率為 x，則根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，設平均每天票房的增長率為 x，則第二天的票房為億元，第三天的票房為億元，再根據3天的累計票房為億元列出方程即可．
【詳解】解：設平均每天票房的增長率為 x，則第二天的票房為億元，第三天的票房為億元，
由題意得，，
故選：D．
5.關于x的方程有兩個實數根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】
通過根與系數之間的關系得到，，由可求出m的值，通過方程有實數根可得到，從而得到m的取值范圍，確定m的值．
【詳解】
解：∵方程有兩個實數根，，
∴，
，
∵，
∴，
整理得，，
解得，，，
若使有實數根，則，
解得，，
所以，
故選：A．
6.已知方程的一個根是1，則m的值為 ．
【答案】2
【分析】根據一元二次方程根的定義，即可求解．
【詳解】解：將代入得：，解得．
故答案是：2．
7.若是方程的根，則 ．
【答案】1
【分析】本題根據一元二次方程的根的定義，把x=1代入方程得到a的值．
【詳解】把x=1代入方程，得1 2+a=0，
解得a=1，
故答案為：1．
8.解方程：．
【答案】，
【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．
【詳解】解：，
，
或，
，．
9.已知關于，的方程組與的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由見解析
【分析】（1）關于x，y的方程組與的解相同．實際就是方程組
的解，可求出方程組的解，進而確定a、b的值；
（2）將a、b的值代入關于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根據方程的兩個解與為邊長，判斷三角形的形狀．
【詳解】解：由題意列方程組：
解得
將，分別代入和
解得，
∴，
（2）
解得
這個三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵
∴該三角形是等腰直角三角形．
10.某超市銷售A、B兩種玩具，每個A型玩具的進價比每個B型玩具的進價高2元，若用600元進A型玩具的的數量與用500元進B型玩具的數量相同．
(1)求A，B兩種玩具每個進價是多少元？
(2)超市某天共購進A、B兩種玩具共50個，當天全部銷售完．銷售A型玩具的的價格y（單位：元/個）與銷售量x（單位：個）之間的函數關系是：；銷售B玩具日獲利m（單位：元）與銷售量n（單位：個）之間的關系為：．若該超市銷售這50個玩具日獲利共300元，問B型玩具的銷售單價是多少元？
【答案】(1)每個A型玩具的進價是12元，每個B型玩具的進價是10元
(2)B型玩具的銷售單價為13元
【分析】此題考查了分式方程的應用及一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，列出方程，再求解．
（1）設B種玩具每種b元，則A種玩具每種元，根據題意列出方程，求解即可；
（2）由題意得：購進A型玩具x個，則購進B型玩具個，則，解該方程即可求出x的值，進而可得出B種玩具的個數，從而求出銷售單價．
【詳解】（1）解：設每個型玩具的進價為元，則每個A型玩具的進價為元，可列方程：，
解得，
經檢驗是原方程的解，
答：每個A型玩具的進價是12元，每個B型玩具的進價是10元；
（2）解：由題意得：購進A型玩具x個，則購進B型玩具個，
依題意可得方程：，
解得（舍去）
則銷售B型玩具：（個），日獲利：（元），
則每個獲利（元），
（元），
故B型玩具的銷售單價為13元．
一、一元二次的有關概念
1． 一元二次方程：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c為常數，a≠0），其中、bx、c分別叫做二次項、一次項和常數項，a、b分別稱為二次項系數和一次項系數．
3．一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
問題：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因為當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．直接開平方法適用于解形如的一元二次方程．根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b＜0時，方程沒有實數根．
2．配方法
配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用．配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法歸納：（1）若一元二次方程缺少常數項，且方程的右邊為0，可考慮用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次項，可考慮用因式分解法或直接開平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次項系數為1，且一次項的系數是偶數時或常數項非常大時，可考慮用配方法求解；
（4）若用以上三種方法都不容易求解時，可考慮用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判別式
一元二次方程的根的判別式
對于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0 方程有兩個不相等的實數根；
（2）＝0 方程有兩個的實數根；
（3）＜0 方程沒有實數根．
一元二次方程的根與系數的關系
若一元二次方程（a≠0）的兩根分別為，，則有，．
注意：一元二次方程的根的判別式應用時必須滿足a≠0；一元二次方程有解分兩種情況：1、有兩個相等的實數根；2、有兩個不相等的實數根．
四、一元二次方程的應用
1． 列一元二次方程解應用題的步驟和列一元一次方程（組）解應用題的步驟相同，即審、設、列、解、驗答五步．
2． 列一元二次方程解應用題中，經濟類和面積類問題是常考類型，解決這些問題應掌握以下內容：
（1）增長率等量關系：
A．增長率＝ ×100%；
B．設a為原來量，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量，則；當x為平均下降率，n為下降次數，b為下降后的量時，則有．
（2）利潤等量關系：
A．利潤＝售價-成本；
B．利潤率＝×100%．
（3）面積問題
3．解應用題的書寫格式：
　　設→根據題意→解這個方程→答．
方法：解題時先理解題意找到等量關系列出方程再解方程最后檢驗即可．
問題：找對等量關系最后一定要檢驗．
1.用配方法解一元二次方程，配方正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
按照配方法的步驟進行求解即可得答案.
【詳解】
解：
移項得，
二次項系數化1的，
配方得
即
故選：A
2.如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
【答案】D
【分析】此題考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，即可求解，解題的關鍵是熟記把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．
【詳解】解：將代入原方程得：，
∴，
∴，
故選：D．
3.將方程化成（m、n為常數）的形式，則m、n的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題目中的方程利用配方法即可求出，本題考查解一元二次方程，配方法的應用，解題的關鍵是會用配方法解方程．
【詳解】
故選：A．
4.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個
【答案】D
【分析】根據直線不經過第二象限，得到，再分兩種情況判斷方程的解的情況.
【詳解】∵直線不經過第二象限，
∴，
∵方程，
當a=0時，方程為一元一次方程，故有一個解，
當a<0時，方程為一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：D.
（2023·廣東廣州·中考真題） 已知關于x的方程有兩個實數根，則的化簡結果是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據關于x的方程有兩個實數根，得判別式，由此可得，據此可對進行化簡．
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個實數根，
∴判別式，
整理得：，
∴，
∴，，
∴
．
故選：A．
（2024·廣東佛山·一模）香云紗作為廣東省佛山市特產，中國國家地理標志產品，是世界紡織品中唯一用純植物染料染色的絲綢面料，被紡織界譽為“軟黃金”，在某網網店，香云紗連衣裙平均每月可以銷售120件，每件盈利200元.為了盡快減少庫存，決定降價促銷，通過市場調研發現，每件每降價20元，則每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88萬元，則每件應降價 元．
【答案】80
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設每件應降價x元，則每件的銷售利潤為元，每月可售出件，利用總利潤=每件的銷售利潤×月銷售量，可列出關于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結合要盡快減少庫存，即可確定結論．
【詳解】解：設每件應降價x元，則每件的銷售利潤為元，每月可售出件，
根據題意得：，
整理得：
解得：
又∵要盡快減少庫存，
∴，
∴每件應降價80元．
故答案為：80．
7.已知一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為 ．
【答案】9
【分析】根據根的判別式的意義得到△，然后解關于的方程即可．
【詳解】解：根據題意得△，
解得．
故答案為：9．
8.對于字母m、n，定義新運算，若方程的解為a、b，則的值為 ．
【答案】6
【分析】本題考查一元二次方程的根與系數關系．判斷出，，再根據新定義計算即可．
【詳解】解：方程的解為、，
，，
∴．
故答案為：6．
9.若一元二次方程（b，c為常數）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】設與交點為，根據題意關于y軸對稱和二次函數的對稱性，可找到的值（只需滿足互為相反數且滿足即可）即可寫出一個符合條件的方程
【詳解】設與交點為，
根據題意
則
的對稱軸為
故設
則方程為：
故答案為：
10.解下列一元二次方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）根據公式法即可求解；
（2）根據因式分解法即可求解．
【詳解】
解：（1），
∴a=2，b=4，c=-1，
∴b2-4ac=16+8=24＞0，
故x= ，
∴，，
∴，．
（2），
，
，
，
∴3x-2=0或-x+4=0，
故， ．
11.已知．
(1)化簡T；
(2)已知，求T的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題考查了分式的化簡求值，解一元二次方程．
（1）先根據分式的減法法則進行計算，再根據分式的除法法則把除法變成乘法，再算乘法即可；
（2）先解一元二次方程，根據分式有意義的條件取，再代入求出答案即可．
【詳解】（1）解：
．
（2），
，
，，
，，，
12.某市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”．某商店統計了某品牌頭盔的銷售量，10月份售出150個，12月份售出216個．求該品牌頭盔11，12兩個月銷售量的月均增長率．
【答案】該品牌頭盔11，12兩個月銷售量的月均增長率為
【分析】本題主要查一元二次方程的應用，根據條件列出一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】設該品牌頭盔11，12兩個月銷售量的月均增長率為，
依題意得：．
解得：，（不合題意，舍去）．
13.列方程（組）解應用題：某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．求這個茶園的長和寬．
【答案】30m，20m
【分析】
設當茶園垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（69+1﹣2x）m，根據茶園的面積為600m2，列出方程并解答．
【詳解】
設茶園垂直于墻的一邊長為xm，則另一邊的長度為（69+1﹣2x）m，
根據題意，得x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
當x＝15時，70﹣2x＝40＞35，不符合題意舍去；
當x＝20時，70﹣2x＝30，符合題意．
答：這個茶園的長和寬分別為30m、20m．
14.某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優質水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
（1）當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？
（2）當月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元
（3）當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
【答案】（1）450千克；（2）當月銷售利潤為元時，每千克水果售價為元或元；（3）當該優質水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大
【分析】
（1）根據銷售量的規律：500減去減少的數量即可求出答案；
（2）設每千克水果售價為元，根據題意列方程解答即可；
（3）設月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，根據題意列函數關系式，再根據頂點式函數關系式的性質解答即可．
【詳解】
解：當售價為元/千克時，每月銷售量為千克.
設每千克水果售價為元，由題意，得
即
整理，得
配方，得
解得
當月銷售利潤為元時，每千克水果售價為元或元
設月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，
由題意，得
即
配方，得
，
當時，有最大值
當該優質水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大．
1.（2024·廣東東莞·三模）若方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，求一元一次不等式的解集，根據，有兩個不相等的實根即可列出bds不等式；再根據不等式求解集的方法即可求解，掌握一元二次方程根的判別式的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵方程有兩個不相等的實根，
∴，且，
∴且，
故選：A ．
2.（2024·廣東茂名·一模）已知a是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的解，依題意得，進而可求解，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解題的關鍵．
【詳解】解：依題意得：，
即：，
故選A．
3.（2024·廣東惠州·一模）若有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（ ）
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和一元二次方程的定義，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此根據一元二次方程的定義得到，再利用判別式求解即可．
【詳解】解：根據題意得且，
解得且．
故選：C．
4.（2024·廣東云浮·一模）關于x的一元二次方程（其中）的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有實數根
C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不等的實數根
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．先計算判別式的值得到，則利用非負數的性質可判斷，然后根據判別式的意義可判斷方程根的情況．
【詳解】
解：由題意，，
，
，
．
，
，
方程有兩個不相等的實數根．
故選：D．
5.在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．已知的中點值是3，其中一個根是2，則x的另一個根是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了新定義，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根據方程的中點值的定義得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可．
【詳解】根據題意得，
解得，
方程化為，
把代入得，
解得，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故選D．
6.關于x的方程的兩根都是正整數且，則方程的兩根是 ．
【答案】2，24
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，設方程的兩根為，根據根與系數的關系得出，根據，得出，整理得出，根據方程的解為正整數，求出結果即可．
【詳解】解：設方程的兩根為，則
．
∵，
∴，
∴，
得，或．
解得：，或．
∴方程的兩根為：2，24．
故答案為：2，24．
7.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則 ．
【答案】1
【分析】由有兩個相等的實數根，可得進而可解答．
【詳解】解：∵有兩個相等的實數根，
∴，
∴．
故答案為：1．
8定義新運算：例如：，．若，則的值為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據新定義運算法則列出方程求解即可．
【詳解】解：∵，
而，
∴①當時，則有，
解得，；
②當時，，
解得，
綜上所述，x的值是或，
故答案為：或．
9.已知一元二次方程一個根為1，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關于的方程，然后解方程即可．
【詳解】解：關于的一元二次方程的一個根為，
滿足一元二次方程，
，
解得，．
10.關于的方程有兩個不等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)化簡：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，分式的混合運算，掌握相應的基礎知識是解本題的關鍵；
（1）根據一元二次方程根的判別式建立不等式解題即可；
（2）根據（1）的結論化簡絕對值，再計算分式的乘除混合運算即可．
【詳解】（1）解：∵關于的方程有兩個不等的實數根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
1.已知是方程的一個根，則它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握、是一元二次方程的兩個根，則有是解題的關鍵．
【詳解】解：設另一根是，則有
，
解得：，
故選：C．
2.已知方程的兩根是，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，掌握根與系數的關系是解題的關鍵；由根與系數的關系得，再直接代入即可求解．
【詳解】解：∵的兩根是，
，
．
故選：D．
3.（2024·廣東深圳·三模）如圖，若設從年到年我國海上風電新增裝機容量的平均增長率為，根據這個統計圖可知，應滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了一元二次方程的應用，設平均增長率為，根據題意列出一元二次方程即可，根據題意列出方程是解題的關鍵．
【詳解】設平均增長率為，
依題意得：，
故選：．
4.方程x2=4x的解 ．
【答案】x=0或x=4
【分析】先移項，使方程右邊為0，再提公因式x，然后根據“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0．”進行求解．
【詳解】解：原方程變為
x2﹣4x=0
x（x﹣4）=0
解得x1=0，x2=4，
故答案為：x=0或x=4．
5.若a，b是一元二次方程的兩個根，則 ．
【答案】4
【分析】本題考查根與系數的關系及一元二次方程的解，關鍵掌握用根與系數的關系與代數式變形相結合進行解題．由題意可得，，再整體代入計算即可．
【詳解】解：∵a，b是一元二次方程的兩個根，
∴，，
∴，
∴
；
故答案為：
6.（2024·廣東東莞·一模）若m是方程的一個根．則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，求代數式的值．根據一元二次方程解的定義可得，再代入，即可求解．
【詳解】解：∵m是方程的一個根，
∴，即，
∴
．
故答案為：．
7.（2024·廣東惠州·二模）新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形．
(1)驗證：矩形 是矩形的“減半”矩形，其中矩形 的長為12、寬為2， 矩形長為4、寬為3．
(2)探索：一矩形的長為2、寬為1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】本題考查了矩形的性質，一元二次方程的應用；
（1）根據矩形的周長和面積公式進行計算即可求解；
（2）設該“減半”矩形長和寬分別為，，()，根據新定義得出聯立解關于的一元二次方程，進而根據方程無實數解，即可求解．
【詳解】（1）解： 矩形的周長為： ，
矩形的周長為： ，
矩形 的周長 矩形的周長．
矩形的面積為： ，
矩形的面積為： ，
矩形的面積 矩形 的面積．
矩形是矩形的“減半”矩形．
（2）該矩形不存在“減半”矩形，
若矩形存在“減半”矩形，設該“減半”矩形長和寬分別為，，
原矩形的長和寬分別為，，
由題可知：
由①得：
將 代入②得：
即
方程 無解．
該矩形不存在“減半”矩形．
8.（2024·廣東佛山·二模）某單位響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據統計，單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．
(1)求單位紙的用紙量月平均降低率；
(2)根據（1）的結果，估算5月份單位紙的用紙量．
【答案】(1)單位紙的用紙量月平均降低率為
(2)估算5月份單位紙的用紙量為512張．
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，有理數乘法的實際應用：
（1）設單位紙的用紙量月平均降低率為x，則3月份的用紙量為張，4月份的用紙量為張，據此列出方程求解即可；
（2）根據（1）所求列式計算即可．
【詳解】（1）解；設單位紙的用紙量月平均降低率為x，
由題意得，，
解得或（舍去），
答：單位紙的用紙量月平均降低率為；
（2）解：張，
答：估算5月份單位紙的用紙量為512張．
9.已知T=
(1)化簡T；
(2)若關于的方程有兩個相等的實數根，求T的值．
【答案】(1)；
(2)T=
【分析】(1)根據整式的四則運算法則化簡即可；
(2)由方程有兩個相等的實數根得到判別式△=4a -4(-ab+1)=0即可得到，整體代入即可求解．
【詳解】（1）解：T=
=；
（2）解：∵方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
則T=．
10某玩具生產廠生產的玩具1月份平均日產量為20000，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴大產能，3月份平均日產量達到24200個．
（1）求玩具日產量的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產量為多少？
【答案】（1）10%；（2）26620個
【分析】
（1）設玩具日產量的月平均增長率為x，根據1月及3月的日產量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日產量=3月份平均日產量×（1＋增長率）即可得出答案．
【詳解】
解：（1）設玩具日產量的月平均增長率為x，依據題意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝ 2.1（不合題意舍去），
∴x＝10%，
答：玩具日產量的月平均增長率為10%；
（2）依據題意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（個），
答：按照這個增長率，預計4月份平均日產量為26620個．
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專題5 一元二次方程及其運用
用配方法解方程時，配方后所得的方程（　　）
A． B． C． D．
若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數m的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
全國和美鄉村籃球大賽——某縣“村BA”賽區預選賽規定每兩個球隊之間都要進行一場比賽，共要比賽15場．設參加比賽的球隊有x支，根據題意，下面列出的方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024·廣東深圳·二模）春節期間電影《熱辣滾燙》上映的第一天票房約為3億元，第二、三天單日票房持續增長，三天累計票房億元，若第二、三天單日票房增長率相同，設平均每天票房的增長率為 x，則根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5.關于x的方程有兩個實數根，，且，那么m的值為（ ）
A． B． C．或1 D．或4
6.已知方程的一個根是1，則m的值為 ．
7.若是方程的根，則 ．
8.解方程：．
9.已知關于，的方程組與的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一個三角形的一條邊的長為，另外兩條邊的長是關于的方程的解．試判斷該三角形的形狀，并說明理由．
10.某超市銷售A、B兩種玩具，每個A型玩具的進價比每個B型玩具的進價高2元，若用600元進A型玩具的的數量與用500元進B型玩具的數量相同．
(1)求A，B兩種玩具每個進價是多少元？
(2)超市某天共購進A、B兩種玩具共50個，當天全部銷售完．銷售A型玩具的的價格y（單位：元/個）與銷售量x（單位：個）之間的函數關系是：；銷售B玩具日獲利m（單位：元）與銷售量n（單位：個）之間的關系為：．若該超市銷售這50個玩具日獲利共300元，問B型玩具的銷售單價是多少元？
一、一元二次的有關概念
1． 一元二次方程：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2． 一般形式： （其中a、b、c為常數，a≠0），其中、bx、c分別叫做二次項、一次項和常數項，a、b分別稱為二次項系數和一次項系數．
3．一元二次方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值就是這個一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
問題：在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0．因為當a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程．
二、一元二次方程的解法
1．直接開平方法
利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．直接開平方法適用于解形如的一元二次方程．根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b＜0時，方程沒有實數根．
2．配方法
配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用．配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有．
3．公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法．
一元二次方程的求根公式：
4．因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法．
方法歸納：（1）若一元二次方程缺少常數項，且方程的右邊為0，可考慮用因式分解法求解；
（2）若一元二次方程缺少一次項，可考慮用因式分解法或直接開平方法求解；
（3）若一元二次方程的二次項系數為1，且一次項的系數是偶數時或常數項非常大時，可考慮用配方法求解；
（4）若用以上三種方法都不容易求解時，可考慮用公式法求解．
三、一元二次方程的根的判別式
一元二次方程的根的判別式
對于一元二次方程（a≠0）：
（1）＞0 方程有兩個不相等的實數根；
（2）＝0 方程有兩個的實數根；
（3）＜0 方程沒有實數根．
一元二次方程的根與系數的關系
若一元二次方程（a≠0）的兩根分別為，，則有，．
注意：一元二次方程的根的判別式應用時必須滿足a≠0；一元二次方程有解分兩種情況：1、有兩個相等的實數根；2、有兩個不相等的實數根．
四、一元二次方程的應用
1． 列一元二次方程解應用題的步驟和列一元一次方程（組）解應用題的步驟相同，即審、設、列、解、驗答五步．
2． 列一元二次方程解應用題中，經濟類和面積類問題是常考類型，解決這些問題應掌握以下內容：
（1）增長率等量關系：
A．增長率＝ ×100%；
B．設a為原來量，x為平均增長率，n為增長次數，b為增長后的量，則；當x為平均下降率，n為下降次數，b為下降后的量時，則有．
（2）利潤等量關系：
A．利潤＝售價-成本；
B．利潤率＝×100%．
（3）面積問題
3．解應用題的書寫格式：
　　設→根據題意→解這個方程→答．
方法：解題時先理解題意找到等量關系列出方程再解方程最后檢驗即可．
問題：找對等量關系最后一定要檢驗．
1.用配方法解一元二次方程，配方正確的是（ ）．
A． B． C． D．
2.如果關于的一元二次方程的一個解是，則代數式的值為（ ）
A． B．2023 C．2024 D．2025
3.將方程化成（m、n為常數）的形式，則m、n的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
4.直線不經過第二象限，則關于的方程實數解的個數是（ ）.
A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個
（2023·廣東廣州·中考真題） 已知關于x的方程有兩個實數根，則的化簡結果是（ ）
A. B. 1 C. D.
（2024·廣東佛山·一模）香云紗作為廣東省佛山市特產，中國國家地理標志產品，是世界紡織品中唯一用純植物染料染色的絲綢面料，被紡織界譽為“軟黃金”，在某網網店，香云紗連衣裙平均每月可以銷售120件，每件盈利200元.為了盡快減少庫存，決定降價促銷，通過市場調研發現，每件每降價20元，則每月可多售出30件.如果每月要盈利2.88萬元，則每件應降價 元．
7.已知一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值為 ．
8.對于字母m、n，定義新運算，若方程的解為a、b，則的值為 ．
9.若一元二次方程（b，c為常數）的兩根滿足，則符合條件的一個方程為 ．
10.解下列一元二次方程：
（1） （2）
11.已知．
(1)化簡T；
(2)已知，求T的值．
12.某市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”．某商店統計了某品牌頭盔的銷售量，10月份售出150個，12月份售出216個．求該品牌頭盔11，12兩個月銷售量的月均增長率．
13.列方程（組）解應用題：某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．求這個茶園的長和寬．
14.某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優質水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
（1）當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？
（2）當月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元
（3）當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
1.（2024·廣東東莞·三模）若方程有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（ ）
A．且 B． C． D．且
2.（2024·廣東茂名·一模）已知a是一元二次方程的一個根，則代數式的值為（ ）
A．4 B．8 C． D．
3.（2024·廣東惠州·一模）若有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（ ）
A． B．且 C．且 D．
4.（2024·廣東云浮·一模）關于x的一元二次方程（其中）的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有實數根
C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不等的實數根
5.在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．已知的中點值是3，其中一個根是2，則x的另一個根是（ ）
A． B． C．2 D．4
6.關于x的方程的兩根都是正整數且，則方程的兩根是 ．
7.若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則 ．
8定義新運算：例如：，．若，則的值為 ．
9.已知一元二次方程一個根為1，則______．
10.關于的方程有兩個不等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)化簡：．
1.已知是方程的一個根，則它的另一根是（ ）
A． B． C． D．
2.已知方程的兩根是，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.（2024·廣東深圳·三模）如圖，若設從年到年我國海上風電新增裝機容量的平均增長率為，根據這個統計圖可知，應滿足（ ）
A． B．
C． D．
4.方程x2=4x的解 ．
5.若a，b是一元二次方程的兩個根，則 ．
6.（2024·廣東東莞·一模）若m是方程的一個根．則的值為 ．
7.（2024·廣東惠州·二模）新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形．
(1)驗證：矩形 是矩形的“減半”矩形，其中矩形 的長為12、寬為2， 矩形長為4、寬為3．
(2)探索：一矩形的長為2、寬為1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并說明理由．
8.（2024·廣東佛山·二模）某單位響應綠色環保倡議，提出要節約用紙，逐步走向“無紙化”辦公．據統計，單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．
(1)求單位紙的用紙量月平均降低率；
(2)根據（1）的結果，估算5月份單位紙的用紙量．
9.已知T=
(1)化簡T；
(2)若關于的方程有兩個相等的實數根，求T的值．
10某玩具生產廠生產的玩具1月份平均日產量為20000，為滿足市場需求，工廠決定從2月份起擴大產能，3月份平均日產量達到24200個．
（1）求玩具日產量的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計4月份平均日產量為多少？
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