資源簡介

1.2.4 二面角
課程標準 學習目標
1.理解二面角及其平面角的概念 2.會利用定義法求二面角的大小 3.會用向量法求二面角的大小 1.理解二面角的概念，并會求簡單的二面角: 2.理解二面角的平面角的概念，會找二面角的平面角:
知識點01 二面角的概念
1.半平面：平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角的面，記作α l β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A l B，二面角的范圍為[0，π]．
3.二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在兩半平面內分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知識點02 二面角的向量求法
定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，設α1與α2所成角的大小為θ．則θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sin θsin〈n1，n2〉．
條件 平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，v〉φ
圖形
關系 θφ θπ－φ
計算 cos θcos φ cos θ－cos φ
【即學即練1】（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形．平面，且，則平面與平面所成的角的大小為 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法求平面與平面所成的角的大小.
【詳解】
因為平面，底面為正方形，，
所以為坐標原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，
則，，
由題知，平面PAD的法向量為，
設平面PBC的法向量為，
則，令，則，
所以，
設平面與平面所成的角為，則，
又，所以，
所以平面與平面所成的角的大小為，
故答案為：.
【即學即練2】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）設，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為80°，則t等于（ ）
A．1 B．－1 C．－1或1 D．2
【答案】D
【分析】借助向量夾角公式求解即可.
【詳解】因為法向量，所成的角與兩平面所成的角相等或互補，
所以，得t±1．
．
難點：動點問題
示例1：（23-24高二下·江蘇常州·期末）在棱長為2的正方體中，為的中點，點在正方形內部及其邊界上運動，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，點的軌跡長度為
B．若平面，則長度的最小值為2
C．當時，二面角的余弦值的最小值是
D．記直線與平面所成角為，則的取值范圍是
【答案】AD
【分析】建立適當空間直角坐標系后，設出點坐標，對A：利用空間兩點間距離公式計算即可得點軌跡，即可得其長度；對B：借助空間向量求出平面法向量可得點軌跡，即可得其長度的最小值；對C：借助空間向量求出兩平面的法向量后可得其夾角的余弦值，結合點軌跡即可得其范圍；對D：求出平面法向量后借助空間向量夾角公式計算即可得.
【詳解】以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則有，，設，，，
對A：，故，
則點的軌跡為以為圓心，為半徑，且在正方形內部的半圓，
則點的軌跡長度為，故A正確；
對B：，，，
則，，令平面的法向量為，
則有，可令，則，即，
由平面，則有，
即，則
，故B錯誤；
對C：，，，
設平面的法向量為，
則有，
可令，則，，即，
易得軸平面，故平面的法向量可為，
則，
由A知，故，即，
則，
故二面角的余弦值的最小值是，故C錯誤；
對D：，平面法向量為，
則，
由，，則，
故，故D正確.
D.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于建立適當空間直角坐標系，從而借助平面的法向量研究位置關系，借助空間向量的夾角公式研究二面角或線面角.
【題型1：定義法求面面角】
例1．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）H是二面角棱上的一點，在平面上引射線HM，在平面上引射線HN，若，，那么二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】過上一點分別在內做的垂線，分別交于點和點，則即為二面角的平面角，設，求出可得答案.
【詳解】過上一點分別在內做的垂線，
分別交于點和點，則即為二面角的平面角，
如下圖所示：設，因為，
所以，，
因為，所以，可得，
所以，即二面角的大小為.
.
變式1．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，正八面體的12條棱長相等，則二面角的余弦值為 .
【答案】.
【分析】的中點為，為二面角的平面角，結合正八面體的幾何特征，利用余弦定理求值即可.
【詳解】連接交于點，連接，取的中點，連接，
根據正八面體的幾何特征，有過點，，，
又平面，平面， 平面平面，
所以為二面角的平面角.
正八面體中， 平面，平面， 則，所以是直角三角形，
設正八面體棱長為2， 則，，所以，得
在中，，同理
在中， 由余弦定理， 可得
故答案為：.
變式2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體中，為矩形內一點，過點與棱作平面．
(1)直接在圖中作出平面截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；
(2)設平面平面．若截面圖形的周長為16，求二面角的余弦值．
【答案】(1)作圖見解析，截面為矩形，證明見解析；
(2).
【分析】（1）作出截面，利用面面平行的性質及線面垂直的性質判斷即可.
（2）連接，確定二面角的平面角并計算即得.
【詳解】（1）在平面內過點作分別交于點，連接，
則四邊形為所作截面，截面為矩形，證明如下：
在長方體中，，
又平面平面，平面平面，平面平面，
于是，四邊形為平行四邊形，又平面，平面，
因此，所以四邊形為矩形.
（2）連接，由矩形的周長為16，且，得，
又，，得，又，則，
由（1）知，，則平面，而平面，
因此，二面角的平面角為，
在中，，則，
所以二面角的余弦值為.
變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）P是二面角內的一點（，），，且，求此二面角的大小.
【答案】
【分析】根據給定條件，作出二面角的平面角，利用定義求解即得.
【詳解】令平面與l相交于O，連接OA、OB，如圖，

由于點A，得，同理，又平面，
因此平面，而平面，則，，
于是是二面角的平面角，又，
所以.
變式5．（23-24高二下·浙江·期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為4的正方形，，分別為棱，的中點，，，.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的平面角余弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）作出輔助線證明為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結論；
（2）利用線面垂直判定定理作出二面角的平面角，再由余弦定理可得結果.
【詳解】（1）取的中點，連接，，如下圖所示：
，分別是，的中點，
，，
，，
，，可得四邊形為平行四邊形，
，面，面，
所以平面
（2）取，的中點，，連接，，，
作交于，，且，
底面是邊長為4的正方形，，
，，平面，
平面，平面，
，又且平面；
即平面.
過點作，連接，如下圖所示：

易知知，則為二面角的平面角.
在中，，
在中，，
設，則，
則，解得，
可得，，
所以在中，.
即二面角的平面角的余弦值為.
變式5．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在幾何體中，點E、O分別是SC、AC的中點，底面ABC，．
(1)求證：平面SAB；
(2)若點F在線段BC上，求異面直線OE、SF所成角的大小；
(3)若，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)90°
(3)
【分析】（1）借助中位線性質，運用線面平行判定可解；
（2）運用線面垂直得到線線垂直即可得到異面直線OE、SF所成角;
（3）找出二面角的平面角，借助銳角三角函數求出余弦值即可.
【詳解】（1）證明：因為點E、O分別是SC、AC的中點，所以．
又因為平面，平面,所以平面SAB．
（2）解：因為，所以∠ASF（或其補角）是異面直線OE、SF所成的角．
因為平面ABC，又平面ABC，所以．
又，即，又平面，
所以平面ASC，平面,于是．
因為，即，又平面，
所以平面SBC，從而，所以，
即異面直線OE、SF所成角的大小為90°．
（3）解：由（2）可得平面SBC，所以，而，
所以∠BSC是二面角的平面角．
在Rt△ASC中，，，則，而，則．
由上面證明知道，平面ASC，平面ASC.
則，，，則，
所以，所以二面角的平面角的余弦值為．
變式6．（2024高二下·浙江紹興·學業考試）如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐中，，平面平面，，設是棱上一點，三棱錐的體積為.
(1)證明：；
(2)求；
(3)求二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點，連結，，證明平面，再根據線面垂直的性質即可得證；
（2）作于，根據面面垂直的性質證明平面，再根據三棱錐的體積公式即可得解；
（3）作交于的延長線于點，連接，證明平面，則，則即為二面角的平面角，再解即可.
【詳解】（1）取中點，連結，，
因為，所以，
在菱形中，，則是等邊三角形，
所以，
又平面，
故平面，
又平面，所以；
（2）作于，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，所以，
所以；
（3）作交于的延長線于點，連接，
由平面，平面，得，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即為二面角的平面角，
.
變式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，，， E、F分別為棱、的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據E，F分別是棱、的中點得到 ，從而可證直線平面；
（2）利用線面角與二面角的定義，結合線面垂直的判定定理求得所需線面角與二面角，從而得解.
【詳解】（1）∵E，F分別是棱、的中點，∴在中， ，
∵平面，平面，∴直線平面；
（2）∵平面平面，平面平面，
平面，，∴平面，
∴是直線與平面所成角，
∵直線與平面所成角為，
∴，∴，∵平面，， 平面，
∴，，∵，，， 平面，
∴平面，∴是直線與平面所成角，
∵直線與平面所成角為，∴，
∴， ，設，
則，，，，
∴為等腰直角三角形，，
∵，，∴是二面角的平面角，
∴二面角的大小為．
【方法技巧與總結】
用定義求二面角的步驟
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)．
2.證明所作平面角即為所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【題型2：向量法求面面角】
例2．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形， 為BC的中點，.則平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先證明，再根據體積公式，結合棱柱與棱錐的體積關系，結合等體積法可得，即可建立空間直角坐標系，運用法向量求解.
【詳解】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，所以．
又因為，平面,
所以平面,平面，所以．
由于,所以四邊形為平行四邊形，所以．
又，所以，所以．
因為，所以，
又，平面，所以平面，則面．
取中點，連接，由面，面，則面面，面面，
根據已知易知，所以為三棱柱，
設，多面體的體積為，
則
．
解得．
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．
則平面的一個法向量，且，
設平面的一個法向量，則即取．
所以，平面與平面夾角的余弦值為．
變式1．（23-24高二上·河南焦作·階段練習）如圖，過二面角內一點作于于，若，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，根據向量的模長關系可得，進而可求，即可得二面角.
【詳解】設，則且，
因為，解得，
可得，
且，所以，
所以二面角的大小為．
.
變式2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立適當的空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，結合二面角是銳角以及法向量夾角余弦的坐標運算公式即可得解.
【詳解】過點作交于點，
因為平面，平面，
所以，
又因為，，所以，
所以兩兩互相垂直，
所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：
因為，，為的中點，
所以，
所以，
設平面的法向量為，則，
令，解得，即可取，
顯然可取平面的法向量為，且二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為.
.
變式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體中，為棱上的一個動點，為棱上的一個動點，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數法求出平面EFB的法向量，由向量的夾角公式求解二面角的余弦值的取值范圍，由此判斷求解即可．
【詳解】
設平面與底面所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.
以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，
則，
所以，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則，故，
又底面的一個法向量為，
所以，因為，
則，
當時，，
當時，，當，，
則，，則，
則當時，分母取到最小值，此時，
當，時，則，此時，
綜上，
.
變式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如圖，已知四棱錐中， ，，且在線段上，且滿足 平面.
(1)求；
(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)2；
(2).
【分析】（1）過點作 交于，由線面平行的性質可得 ，則可求；
（2）利用空間向量法即可求得平面與平面夾角的余弦值.
【詳解】（1）過點作 交于，連接，
由于 平面，
由線面平行性質知 ，
又 四邊形為平行四邊形.
所以，
則.
（2）取線段的中點，連接.
又平面平面，
由已知：平面平面
平面.
以為坐標原點，過作的垂線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則易得平面的一個法向量
，
則.
設平面的法向量為，
則
令，可得.
設平面與平面夾角為.
故平面與平面夾角的余弦值為.
變式5．（23-24高二下·云南紅河·期末）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的大小.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）利用空間向量證明即可；
（2）利用空間向量求解二面角即可.
【詳解】（1）底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，
故，，兩兩垂直.
以為原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，

在四棱臺中，，，P為AB的中點，
故,
則,
所以，即，
且平面，平面，
故平面.
（2）由（1）知，,,
設平面的法向量為
則
令，解得
設平面的法向量為
則
令，解得
故
故平面與平面的夾角為.
變式6．（24-25高二上·上海·單元測試）在矩形中，已知，，平面，且．
(1)在邊上是否存在點，使得，說明理由；
(2)若邊上有且僅有一個點，使，求與平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的條件下，求出平面與平面所成角的大小．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】（1）設，則，分別求出，假設存在點，使得，由，建立方程，根據判別式分析即可；
（2）由（1）知，當邊上僅有一個點，使得時，即，為中點，先根據面面垂直的判斷定理，證明平面平面，然后過點作，垂足為，得平面，即為和平面所成的角，最后利用等面積法和銳角三角函數即可求解；
（3）延長，交于點，則為平面和平面的交線，過點作，垂足為，連接，根據線面垂直的判定定理以及性質證明，則即為平面與平面所成角，最后利用等面積法和銳角三角函數即可求解.
【詳解】（1）設，則，
因為四邊形為矩形，
所以，
，
因為平面，平面，
所以，，
所以，
，
假設存在點，使得，
由，得，
即①，
其判別式為，
則當時，，方程①有一解，即存在一個點Q，使，
當時，，方程①有兩解，即存在兩個點Q，使得，
當時，，方程①無實根，即不存在點Q，使得；
（2）由（1）知，當邊上僅有一個點，使得時，
，，
即，為中點，
此時，，，，
所以，
即，
又因為，，平面，
所以平面，
因為平面
所以平面平面，
如圖①所示，過點作，垂足為，
則平面，
所以為和平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，；
（3）如圖②所示，延長，交于點，
則為平面和平面的交線，
過點作，垂足為，連接，
因為平面，
所以平面，
因為平面，
所以，
又因為平面，
所以平面，
所以，
所以即為平面與平面所成角，
由（2）知為中點，
因為，
所以為中點，
即，
所以，
在中，，
所以，
在中，
，
所以，
即平面與平面所成角的大小為．
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了線線垂直、線面角及二面角，解題的關鍵在于通過輔助線作出線面角、二面角，計算量較大，容易出錯.
變式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側面，且分別是棱的中點，．

(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直可得平面，則，由幾何知識可得，，結合線面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系標點，可得平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.
【詳解】（1）因為為矩形，則，
且平面平面，平面平面平面，
則平面，且平面，所以．

連接．
在和中，，
可知全等于．則，
且是的中點，則．
在中，，
而是的中點，則．
且，平面，所以平面．
（2）以A為坐標原點，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，可得，
由（1）知，是平面的法向量，
且平面的法向量是．
可得．
所以二面角的正弦值為．
【方法技巧與總結】
求面面角的步驟
第一步 首先根據已知條件建立適當的空間直角坐標系并標出相應點的空間坐標；
第二步 然后根據已知條件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的數量積計算公式即可得出結論.
【題型3：動點探索性習題】
例3．（22-23高二上·全國·階段練習）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．當點自向處運動時，二面角的平面角先變大后變小
D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大
【答案】A
【分析】建立適當的空間直角坐標系，對于A，由即可判斷；對于B，即可判斷；對于CD，，即可判斷.
【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

設，則；
，，，，，，，；
對于A，假設存在點，使得，則，
又，
，解得：，即點與重合時，，A錯誤；
對于B，假設存在點，使得異面直線與所成的角為，
，，
，方程無解；
不存在點，使得異面直線與所成的角為，B錯誤；
對于C，D，由上分析知：，，若是面的法向量，
則，令，則，
而面的法向量，
所以，令，
則，而，
由從到的過程，由小變大，則由大變小，即由小變大，
所以先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，故二面角先變小后變大，C錯誤D正確.
.
變式1．（多選）（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點E，F（E在F的左邊）且，下列說法錯誤的是（ ）
A．當E，F運動時，存在點E，F使得
B．當E，F運動時，存在點E，F使得
C．當E運動時，二面角最小值為
D．當E，F運動時，二面角的余弦值為定值．
【答案】ABD
【分析】利用垂直關系的坐標表示求解選項A；利用平行關系求解選項B；利用空間向量的坐標運算，表示出二面角的余弦值求解選項C,D.
【詳解】
以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
對于A，則，
由于，設
則，
則，
所以E，F運動時，不存在點E，F使得，A錯誤;
對B，若，則四點共面，
與與是異面直線矛盾，B錯誤;
對C，設平面的法向量為. 又,
,令，可得，
平面的法向量可取為，
故，
因為，所以函數在單調遞減，
所以，
所以，
所以當時，有最大值為，
設二面角的平面角為，
所以有最大值為，
即二面角的最小值為，C正確;
對于D，連接，
平面即為平面,平面即為平面，
取平面的法向量為.
設平面的法向量為，
，令，則，
設二面角的平面角為，
則，
觀察可知二面角的平面角為為銳角，所以，D錯誤；
故選:ABD.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是建立空間直角坐標系，利用向量法來判斷選項.
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，是底面圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面且，，點在線段上，則下列說法正確的是（ ）

A．當為中點時，平面
B．記直線與平面所成角為，則
C．存在點，使得平面與平面夾角為
D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解.
【詳解】因為，，所以，又因為垂直于圓所在的平面，故以為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系，則，
對于A，因為為中點，所以，，
所以，即，
又平面，所以平面，選項A正確；
對于B，因為點在線段上，設，則，，平面的一個法向量為，
所以 ，
所以，故選項B正確；
對于C，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以；設平面的一個法向量為，，
則，令，則，
所以；
所以，因為，
所以，而，
所以不存在點，使得平面與平面夾角為，故選項C錯誤；
對于D，，
因為，所以當時，取得最小值為，故選項D正確.
BD.

變式3．（多選）（23-24高二上·新疆烏魯木齊·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結論中，正確的有（ ）
A．存在點，使得平面
B．存在點，使得直線與直線所成的角為
C．存在點，使得三棱錐的體積為
D．不存在點，使得，其中為二面角的大小， 為直線與所成的角
【答案】ACD
【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.
【詳解】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系（如圖所示），
則、、、、、、
、，設，即點，其中.
對于A：假設存在點，使得平面，
因為，，，
則，解得，
故當點為線段的中點時，平面，
即選項A正確；
對于B：假設存在點，使得直線與直線所成的角為，
，，
因為，即，
所以不存在點，使得直線與直線所成的角為，
即選項B錯誤；
對于C：假設存在點，使得三棱錐的體積為，
，且點到平面的距離為，
則，解得，
所以當點為線段的靠近的三等分點時，
三棱錐的體積為，即選項正確；
對于D：，，
設平面的法向量為，
則，
取，可得，
易知平面的一個法向量為，而，，
則，
，，
，
因為，，
則，
因為，，且余弦函數在上單調遞減，
則，即不存在點，使得，即選項D正確.
CD.
變式4．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點，使二面角的平面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性質得平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量、，利用可得答案；
（2）假設在線段上存在點，設，求出平面、平面的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案.
【詳解】（1）平面平面，
平面平面，
平面平面，
則以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則
.
，
設平面的法向量為，則，
令，解得：，
又，即，
又平面平面；
（2）假設在線段上存在點，使二面角的大小為.
設，則.
設平面的一個法向量為，
則，
令，解得：，
又平面的一個法向量為，
，
即，解得：或（舍去），
此時，
在線段上存在點，使二面角的平面角的大小為，
此時.
變式5．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點，點在直線上，且.
(1)證明：無論取何值，總有；
(2)當取何值時，直線與平面所成角最大 并求該角取最大值時的正切值；
(3)是否存在點，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)；
(3)存在；點的位置在
【分析】（1）以，，別為軸，建立空間直角坐標系，求出各點的坐標及對應向量的坐標，易判斷，即；
（2）設出平面的一個法向量，表達出，利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件的值，進而求出此時的正切值；
（3）假設存在，利用平面與平面所成的二面角的余弦值為，則平面與平面法向量的夾角的余弦值為，代入向量夾角公式，可以構造一個關于的方程，解方程即可得到結論．
【詳解】（1）證明：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，即，
，
∵，∴，
所以無論取何值，.
（2）∵是平面ABC的一個法向量.
∴
∴當時，取得最大值，此時，，.
（3）假設存在，則，因為，
設是平面的一個法向量.
則，解得，令，得，，
∴，
∴，
化簡得，解得，
∴存在點使得平面與平面所成的二面角正弦值為，此時點的位置在.
【點睛】方法點睛：在求二面角時可用分別求出兩個面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，進而求出角度.
變式6．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，若異面直線與所成角等于．
(1)求棱的長；
(2)在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)2
(2)存在，點為棱上靠近的三等分點
【分析】（1）先得到線面垂直，線線垂直，建立空間直角坐標系，設，得到各點坐標，由異面直線的夾角得到方程，求出，求出棱長；
（2）假設棱上存在一點，設，，表達出，求出兩個平面的法向量，由平面與平面所成銳二面角的余弦值得到方程，求出，得到答案.
【詳解】（1）因為底面，平面，
所以 ， ，
又，所以兩兩垂直，
如圖，以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
設，
則，
則，
異面直線、所成角為，
，
解得，棱長的大小為2；
（2）假設棱上存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為，
設，，且，則，
，
設平面的一個法向量為，
，，
則，
取，得，
平面的法向量，
平面與平面所成銳二面角的正切值為，
由得，又，解得，
平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
，
解得或（舍，
在棱上存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為，
且點為棱上靠近的三等分點．
變式7．（23-24高二上·湖北·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，點為線段的中點
【分析】（1）由題意，，得到，進而證明平面，即可得到，即可證明平面；
（2）以為原點建立空間直角坐標系，，求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即可.
【詳解】（1）證明：

連接，與的交點記為點，因為，
，，
所以，所以，
因為，
所以，
所以，即，
又因為，且，平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以．
因為在中，，所以，
又因為，平面，平面，
所以平面．
（2）存在，點為線段的中點
理由如下：如圖，以為原點，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，

設，即，
則，．
設平面的法向量，由，
取，則，
易知，平面的一個法向量為，
因為二面角的余弦值為，
即，
整理可得，解得（舍去）或．
故線段上存在一點，使得二面角的余弦值為，此時點為線段的中點．
1．（22-23高二下·山東濟南·期末）已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】根據兩平面夾角與其法向量夾角的關系，利用向量夾角公式即可得到答案.
【詳解】，因為向量夾角范圍為，
故兩向量夾角為，故兩平面夾角為，即，
.
2．（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角的棱上有兩點，線段與分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，則二面角的大小為，根據，展開計算可得，即可求解.
【詳解】設，則二面角的大小為，
由題意，，則，
所以，
即，得，所以，
即二面角的大小為.
.
3．（23-24高二上·陜西安康·期中）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，若，則平面與平面的夾角為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.
【詳解】因為平面，且為正方形，
如圖建立空間直角坐標系，則、、，
所以，，
設平面的法向量為，則，取，
又平面的一個法向量為，
設平面與平面的夾角為，則，
又，所以.

4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如圖，在四棱錐中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合圖形，利用空間向量的坐標運算表示面面夾角的余弦值，即可確定點位置，即可求解.
【詳解】以為坐標原點，建系如圖，
因為二面角的平面角大小為，
所以的軌跡是過點的一條直線，
又因為Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），
所以的軌跡是過點的一條線段，
設以的軌跡與軸的交點坐標為，
由題意可得,
所以,
因為平面，所以平面的一個法向量為,
設平面的法向量為，
所以令則
所以，
因為二面角的平面角大小為，
所以，解得，
所以當在線段BC上時，面積最大，最大值為，
所以面積的取值范圍是，
故選:D.
5．（22-23高二上·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，點D是棱的中點，則平面與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建系，求兩平面的法向量，利用空間向量解決面面夾角問題.
【詳解】如圖，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，則，
設平面的法向量，
∵，則，
令，則，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
設平面與平面所成角為，則，
故平面與平面所成角的正弦值.
.
6．（22-23高二上·北京·期中）若直線的方向向量為，平面、的法向量分別為、，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則直線平面
B．若，則直線平面
C．若，則直線與平面所成角的大小為
D．若，則平面、的夾角為
【答案】C
【分析】利用空間線面位置關系與空間向量的關系，可判斷AB選項的正誤；利用空間角與空間向量的關系可判斷CD選項的正誤.
【詳解】對于A選項，若，則為平面的一個法向量，故直線平面，A對；
對于B選項，若，則直線平面或直線平面，B錯；
對于C選項，若，則直線與平面所成角的大小為，C對；
對于D選項，若，則平面、的夾角為，D對.
.
7．（21-22高二下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結論不正確的是（ ）
A．異面直線與所成的角為
B．二面角的正切值為
C．直線與平面所成的角為
D．四面體的外接球體積為
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項，D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.
【詳解】以D為坐標原點，DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則，
A選項，設異面直線與所成的角為，
則，
故異面直線與所成的角為，A正確；
B選項，設平面的法向量為，
則有，令得：，
則，
平面的法向量為，
設二面角的大小為，顯然為銳角，則，
所以，，故二面角的正切值為，B正確；
C選項，設平面的法向量為，
則令，則，
所以，
設直線與平面所成的角為，
則，
則，C錯誤；
D選項，四面體的外接球即為正方體的外接球，
設外接球半徑為R，則，則外接球體積為，D正確.
8．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在長方體中，，，P為線段上的動點，則下列結論正確的是（　　）
A．當時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為
B．當時，若平面的法向量記為，則
C．當時，二面角的余弦值為
D．若，則
【答案】D
【分析】A選項，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設，根據得到，結合法向量得到直線BP與平面ABCD所成角的正弦值；B選項，根據得到，結合得到答案；C選項，根據求出，利用二面角的向量求解公式得到答案；D選項，設 ，表達出，根據得到方程，求出，得到D錯誤.
【詳解】A選項，如圖所示，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系．由，可知，
，
則,設，則.
當時，，即解得，
所以，所以，
平面ABCD的一個法向量為，
所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值，故A錯誤．
B選項，當時，，解得，
所以，所以.
設平面的法向量為，
因為，
由，
令，則，則，
所以，故B錯誤．
C選項，當時，解得，
所以，平面的一個法向量為.
設平面APD1的法向量為，
因為，，
由，
令，則，，則，
所以二面角的余弦值為
，故C正確；
D選項，設 ，因為，
所以，解得，所以，
所以，
若，則，
解得，所以，即，故D錯誤．
.
二、多選題
9．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）．
A． B．與平面所成角為
C．異面直線與所成角的余弦值為 D．二面角的正弦值為
【答案】ABD
【分析】連接，由已知結合余弦定理與勾股定理逆定理可得，于是可建立空間直角坐標系，根據空間向量的坐標運算逐項判斷即可.
【詳解】連接，因為，設，
由余弦定理得，
所以，則，
則，即，又底面，底面，
所以，
如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，
則
對于A，所以，，則，
所以，故A正確；
對于B，又，因為底面，所以是平面的一個法向量，所以，
則與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角為，故B正確；
對于C，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；
對于D，設平面的法向量為，則，令，則，
設平面的法向量為，則，令，則，
所以，
令二面角所成角為，則
則平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，故D正確.
BD.
10．（22-23高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為
【答案】AB
【分析】根據錐體體積公式求得三棱錐的體積.建立空間直角坐標系，利用向量法判斷BCD選項的正確性.
【詳解】A選項，，
所以，A選項正確.
建立如圖所示空間直角坐標系，
，
,
，所以，
由于平面，所以平面，B選項正確.
平面的一個法向量為，
，所以與平面不平行，C選項錯誤.
平面的法向量為，
設平面于平面的夾角為，
則，D選項錯誤.
B
11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（ ）

A．異面直線與所成角大小為
B．二面角的平面角的余弦值為
C．此八面體存在外接球
D．此八面體的內切球表面積為
【答案】ACD
【分析】建立空間直角坐標系，運用坐標法計算異面直線所成角及二面角判斷AB；由判斷C項；利用等體積法求得內切球的半徑，進而可求得內切球的表面積即可判斷D項．
【詳解】連接交于點，連接，由正方形，得，
又八面體的每個面都是正三角形，則三點共線，且平面，
以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，
對于A，，則，
所以異面直線與所成角大小為，A正確；
對于B，，
設平面的法向量為，則，取，得，
設平面的法向量為，則，取，得，
于是，又平面與平面所成的二面角的平面角為鈍角，
所以二面角的平面角的余弦值為，B錯誤；
對于C，因為，即為此八面體外接球的球心，
因此此八面體一定存在外接球，C正確；
對于D，設內切球的半徑為，，八面體表面積
則八面體的體積為，
又八面體的體積為，因此，解得，
所以內切球的表面積為，D正確．
CD
【點睛】結論點睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內切球，則此多面體的體積V滿足：.
三、填空題
12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形，，沿對角線AC將折起，若，則二面角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】利用空間向量的數量積與模長計算夾角即可.
【詳解】
如圖所示，過分別作，垂足分別為，
由矩形中，，
可知，
設二面角的平面角為，則，
.
故答案為：
13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）在菱形ABCD中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面ACD（如圖），則平面BCD與平面ACD夾角的正弦值為 ．

【答案】/
【分析】根據面面垂直的性質建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】設的中點為，連接，
因為菱形ABCD中，，
所以三角形和三角形ACD都是等邊三角形，
因此，，
因為平面平面ACD，平面平面ACD，
所以平面ACD，而平面ACD，
因此，因此建立如圖所示的空間直角坐標系，

設菱形的邊長為，，
設平面BCD的法向量為，，
所以有，
平面ACD的法向量為，
平面BCD與平面ACD夾角為，
所以，
因此，
故答案為：
14．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，．是底面的內接正三角形，P為DO上一點，，則二面角的余弦值是 ．

【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，求得平面以及平面的法向量，根據向量的夾角公式即可求得答案.
【詳解】由題意知O是圓錐底面的圓心，，則平面，為正三角形，則,
設，由題設可得,
是底面的內接正三角形,故，
,
如圖，以O為原點，在平面內過O點作的垂線作為x軸，
以為軸建立空間直角坐標系，

由前面證明的結論，不妨取，則，可得，
,
則 ，，
設是平面的法向量，則,即，
令，則可取，
，，
設是平面的法向量，則,即，
令，則可取，
則，
由圖知二面角的平面角為銳角,
故二面角的余弦值為.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如圖，在正三棱柱中，分別為棱的中點，．
(1)證明：平面．
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）構造平行四邊形證明線線平行，然后用線面平行的判定定理即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，然后利用向量坐標法求夾角的余弦值即可得解.
【詳解】（1）證明：取為的中點，連接．
因為為棱的中點，所以，且．
又為棱的中點，所以．
因為且，所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以．
又平面平面，
所以平面．
（2）取為的中點，為的中點，連接．
因為為正三棱柱，所以兩兩垂直．
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則．
設平面的法向量為，則
令，則，可得，
又是平面的一個法向量，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
16．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，點E是棱PC上一點.
(1)求證：平面平面BDE；
(2)當E為PC中點時，求所成二面角銳角的大小.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進而得到平面PAC，從而得到面面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到兩平面的法向量，求出二面角的大小.
【詳解】（1）底面ABCD是正方形，
，
平面ABCD，平面ABCD，
，又平面PAC，
平面PAC，又平面BDE，
平面平面BDE.
（2）平面ABCD，平面ABCD，
所以，
以為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設平面ABE的法向量為，則，
解得，令得，故，
設平面DBE的法向量為，
則，
解得，令得，故，
設二面角為，由圖可知二面角為銳二面角，
所以，所以銳二面角為.
17．（23-24高二下·青海海東·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，F，E分別是PB，PC的中點．
(1)證明：；
(2)求平面ADEF與平面PCD的夾角．
【答案】(1)證明見解析
(2)80°
【分析】（1）由線面垂直得到，結合正方形性質得到線面垂直，得到，再由三線合一得到線線垂直，證明出線面垂直，得到；
（2）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到平面的法向量，得到兩個平面的夾角.
【詳解】（1）∵平面ABCD，平面，
∴，
又四邊形ABCD為正方形，
故，AB，PA為平面PAB上的相交直線，
∴平面PAB，
∵平面，
∴，
∵等腰三角形PAB中F是PB的中點，
∴，
∵，平面，
∴平面ADEF，
∵平面ADEF，
∴．
（2）平面ABCD，平面，
故，
易知AB，AD，AP兩兩垂直，故分別以其所在直線為坐標軸建系，
如圖所示，則，，，，，，
由（1）得平面ADEF，
可得平面ADEF的一個法向量，
設平面PCD的一個法向量，
則，
解得，令得，故，
∴，
設平面ADEF與平面PCD的夾角為，則，
故，
∴平面ADEF與平面PCD的夾角為80°．
18．（23-24高二下·吉林長春·期末）如圖①，在等腰梯形中，，，，，分別是線段的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線，折起，使得點和點重合，記為點，如圖②.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）通過證明來證得平面，由此證得平面平面.
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【詳解】（1）由題意可知：四邊形ABEF是正方形，
則，且，平面PEF，
所以平面PEF，
因為平面ABEF，所以平面平面ABEF．
（2）如圖，過點P作于點O，過點O作BE的平行線交AB于點G，
因為平面平面ABEF，平面平面，平面，
則平面ABEF．
又因為PO，EF，OG所在直線兩兩垂直，
所以分別以OG，OE，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則.
所以.
設平面PAE的法向量為，則，
設，則，可得.
設平面的法向量為，則，
設，則，可得.
設平面與平面所成銳二面角為，
則，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
19．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知直棱柱中，，，，，D為線段上任一點，E，F分別為，中點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，平面與平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)，最小值為
【分析】（1）根據題意，可得，建立空間直角坐標系，利用向量運算判斷；
（2）根據向量法求出二面角的余弦，轉化判斷得解.
【詳解】（1）∵，，，
∴．
∵．
∴．
建立如圖所示空間直角坐標系，
設，
則，，，，．
∴，．
∴，
∴．
（2）∵，，
設平面的一個法向量為：，
∴，即，
令，則，，
∴．
∵平面，
∴取平面的一個法向量為，
∴，
又，，
∴當時，平面與平面所成的二面角的正弦值最小，最小值為.
【點睛】思路點睛：根據題意，由余弦定理可判斷，建立空間直角坐標系，利用向量法證明，再求出平面與平面各自的一個法向量，求出所成的二面角的余弦范圍，進而得解.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.2.4 二面角
課程標準 學習目標
1.理解二面角及其平面角的概念 2.會利用定義法求二面角的大小 3.會用向量法求二面角的大小 1.理解二面角的概念，并會求簡單的二面角: 2.理解二面角的平面角的概念，會找二面角的平面角:
知識點01 二面角的概念
1.半平面：平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．
2.二面角：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角的面，記作α l β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A l B，二面角的范圍為[0，π]．
3.二面角的平面角：在二面角α l β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在兩半平面內分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α l β的平面角．
知識點02 二面角的向量求法
定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，設α1與α2所成角的大小為θ．則θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sin θsin〈n1，n2〉．
條件 平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構成的二面角的大小為θ，〈u，v〉φ
圖形
關系 θφ θπ－φ
計算 cos θcos φ cos θ－cos φ
【即學即練1】（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形．平面，且，則平面與平面所成的角的大小為 ．
【即學即練2】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）設，分別為兩平面的法向量，若兩平面所成的角為80°，則t等于（ ）
A．1 B．－1 C．－1或1 D．2
難點：動點問題
示例1：（23-24高二下·江蘇常州·期末）在棱長為2的正方體中，為的中點，點在正方形內部及其邊界上運動，則下列說法正確的有（ ）
A．當時，點的軌跡長度為
B．若平面，則長度的最小值為2
C．當時，二面角的余弦值的最小值是
D．記直線與平面所成角為，則的取值范圍是
【題型1：定義法求面面角】
例1．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）H是二面角棱上的一點，在平面上引射線HM，在平面上引射線HN，若，，那么二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，正八面體的12條棱長相等，則二面角的余弦值為 .
變式2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體中，為矩形內一點，過點與棱作平面．
(1)直接在圖中作出平面截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；
(2)設平面平面．若截面圖形的周長為16，求二面角的余弦值．
變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）P是二面角內的一點（，），，且，求此二面角的大小.
變式5．（23-24高二下·浙江·期末）如圖，已知四棱錐，底面是邊長為4的正方形，，分別為棱，的中點，，，.

(1)求證：平面；
(2)求二面角的平面角余弦值.
變式5．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在幾何體中，點E、O分別是SC、AC的中點，底面ABC，．
(1)求證：平面SAB；
(2)若點F在線段BC上，求異面直線OE、SF所成角的大小；
(3)若，，求二面角的平面角的余弦值．
變式6．（2024高二下·浙江紹興·學業考試）如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐中，，平面平面，，設是棱上一點，三棱錐的體積為.
(1)證明：；
(2)求；
(3)求二面角的正弦值.
變式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，，， E、F分別為棱、的中點．
(1)求證：直線平面；
(2)若直線與平面所成的角為，直線與平面所成角為，求二面角的大小．
【方法技巧與總結】
用定義求二面角的步驟
1.作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)．
2.證明所作平面角即為所求二面角的平面角．
3.解三角形求角．
【題型2：向量法求面面角】
例2．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形， 為BC的中點，.則平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·河南焦作·階段練習）如圖，過二面角內一點作于于，若，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐中，平面，，，，，為的中點，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體中，為棱上的一個動點，為棱上的一個動點，則平面與底面所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如圖，已知四棱錐中， ，，且在線段上，且滿足 平面.
(1)求；
(2)若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.
變式5．（23-24高二下·云南紅河·期末）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點.

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的大小.
變式6．（24-25高二上·上海·單元測試）在矩形中，已知，，平面，且．
(1)在邊上是否存在點，使得，說明理由；
(2)若邊上有且僅有一個點，使，求與平面所成角的正弦值；
(3)在（2）的條件下，求出平面與平面所成角的大小．
變式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如圖，在四棱錐中，底面矩形垂直于側面，且分別是棱的中點，．

(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【方法技巧與總結】
求面面角的步驟
第一步 首先根據已知條件建立適當的空間直角坐標系并標出相應點的空間坐標；
第二步 然后根據已知條件求出各自所求平面的法向量；
第三步 由向量的數量積計算公式即可得出結論.
【題型3：動點探索性習題】
例3．（22-23高二上·全國·階段練習）如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（ ）

A．不存在點，使得
B．存在點，使得異面直線與所成的角為
C．當點自向處運動時，二面角的平面角先變大后變小
D．當點自向處運動時，二面角的平面角先變小后變大
變式1．（多選）（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點E，F（E在F的左邊）且，下列說法錯誤的是（ ）
A．當E，F運動時，存在點E，F使得
B．當E，F運動時，存在點E，F使得
C．當E運動時，二面角最小值為
D．當E，F運動時，二面角的余弦值為定值．
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，是底面圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面且，，點在線段上，則下列說法正確的是（ ）

A．當為中點時，平面
B．記直線與平面所成角為，則
C．存在點，使得平面與平面夾角為
D．的最小值為
變式3．（多選）（23-24高二上·新疆烏魯木齊·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，點為線段上的動點（含端點），下列四個結論中，正確的有（ ）
A．存在點，使得平面
B．存在點，使得直線與直線所成的角為
C．存在點，使得三棱錐的體積為
D．不存在點，使得，其中為二面角的大小， 為直線與所成的角
變式4．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點，使二面角的平面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.
變式5．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）如圖，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，M，N分別是，的中點，點在直線上，且.
(1)證明：無論取何值，總有；
(2)當取何值時，直線與平面所成角最大 并求該角取最大值時的正切值；
(3)是否存在點，使得平面與平面所成的二面角的正弦值為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.
變式6．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，若異面直線與所成角等于．
(1)求棱的長；
(2)在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點的位置，若不存在，請說明理由．
變式7．（23-24高二上·湖北·期中）如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，，，，，為的中點，且．
(1)證明：平面；
(2)線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，試確定點的位置；若不存在請說明理由．
1．（22-23高二下·山東濟南·期末）已知兩個平面的法向量分別為，則這兩個平面的夾角為（ ）
A． B． C．或 D．
2．（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角的棱上有兩點，線段與分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·陜西安康·期中）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，平面，若，則平面與平面的夾角為（ ）

A． B． C． D．
4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如圖，在四棱錐中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二上·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，點D是棱的中點，則平面與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·北京·期中）若直線的方向向量為，平面、的法向量分別為、，則下列命題為假命題的是（ ）
A．若，則直線平面
B．若，則直線平面
C．若，則直線與平面所成角的大小為
D．若，則平面、的夾角為
7．（21-22高二下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結論不正確的是（ ）
A．異面直線與所成的角為
B．二面角的正切值為
C．直線與平面所成的角為
D．四面體的外接球體積為
8．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在長方體中，，，P為線段上的動點，則下列結論正確的是（　　）
A．當時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為
B．當時，若平面的法向量記為，則
C．當時，二面角的余弦值為
D．若，則
二、多選題
9．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面，則（ ）．
A． B．與平面所成角為
C．異面直線與所成角的余弦值為 D．二面角的正弦值為
10．（22-23高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（ ）
A．三棱錐的體積為1 B．平面EFG
C．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為
11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形是邊長為4的正方形，則（ ）

A．異面直線與所成角大小為
B．二面角的平面角的余弦值為
C．此八面體存在外接球
D．此八面體的內切球表面積為
三、填空題
12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形，，沿對角線AC將折起，若，則二面角的余弦值為 ．
13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）在菱形ABCD中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面ACD（如圖），則平面BCD與平面ACD夾角的正弦值為 ．

14．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，．是底面的內接正三角形，P為DO上一點，，則二面角的余弦值是 ．

四、解答題
15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如圖，在正三棱柱中，分別為棱的中點，．
(1)證明：平面．
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
16．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，點E是棱PC上一點.
(1)求證：平面平面BDE；
(2)當E為PC中點時，求所成二面角銳角的大小.
17．（23-24高二下·青海海東·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，，F，E分別是PB，PC的中點．
(1)證明：；
(2)求平面ADEF與平面PCD的夾角．
18．（23-24高二下·吉林長春·期末）如圖①，在等腰梯形中，，，，，分別是線段的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線，折起，使得點和點重合，記為點，如圖②.

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知直棱柱中，，，，，D為線段上任一點，E，F分別為，中點．
(1)證明：；
(2)當為何值時，平面與平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．
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