資源簡介

1.1.3 空間向量的坐標與空間直角坐標系
課程標準 學習目標
1.了解空間向量坐標的定義. 2.掌握空間向量的坐標運算，會計算向量的長度及兩向量的夾角. 3.會利用向量的坐標關系，判定兩個向量平行或垂直. 4.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置. 5掌握空間直角坐標系中兩點之間的距離公式和中點坐標公式 1.掌握空間向量的線性運算的坐標表示:掌握空間向量數量積的坐標表示 2.掌握空間向量的模、夾角 3.掌握空間向量坐標與空間向量平行與垂直的關系
知識點01 正交基底與單位正交基底
正交基底 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底
單位正交基底 當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示
【即學即練1】（22-23高二上·山東煙臺·階段練習）設是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量在基底下的坐標為得到，即可得到向量在基底下的坐標.
【詳解】因為向量在基底下的坐標為，所以，所以向量在基底下的坐標為.
.
【即學即練2】（20-21高二·江蘇·課后作業）已知為一個單位正交基底，試寫出下列向量的坐標：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據向量的坐標表示直接寫出坐標.
【詳解】（1）
（2）
知識點02 空間直角坐標系
1.定義：如圖，在空間選定一點0和一個單位正交基底{i，j，k}以0為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標軸，這是我們說建立了一個空間直角坐標系O-xyz。
其中點O叫作坐標原點，x軸、y軸、z軸叫作坐標軸，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系。
【即學即練3】（23-24高二上·上海·期中）如圖所示，以長方體的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據已知先求坐標，再結合圖形可得坐標，進而求得答案.
【詳解】在長方體中，，為坐標原點，則，
因此，所以.
故答案為：
【即學即練4】（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，在長方體中，，，E、F分別為、的中點，分別以DA、DC、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．求點E、F的坐標．

【答案】，
【分析】利用空間直角坐標系結合空間想象能力求解.
【詳解】由題意，，，E、F分別為、的中點，∴，．
知識點03 空間直角坐標系中的點坐標
定義：對于空間任意一點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即通過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R，點P， Q， R在相應數軸上的坐標依次為x，y，z，我們把有序實數組（x，y，z）叫作A點的坐標，記為A（x，y，z）。其中x，y，z分別叫作點A的橫坐標，縱坐標，豎坐標。
【即學即練5】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點，則點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據終點坐標減去起點坐標，即為所求向量的坐標，即可得解.
【詳解】設，
則，
所以，解得，
所以點坐標為.
.
【即學即練6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根據空間直角坐標系對稱點的特征即可得對稱點的坐標．
【詳解】點關于軸的對稱點為，
．
知識點04 空間向量的坐標運算
1.空間向量的坐標運算
（1）設a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是兩個實數，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|；
⑦當a≠0且b≠0時，cos〈a，b〉．
(2)設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一個向量的
坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.
2.空間向量平行、垂直的坐標表示
（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b0 x1x2＋y1y2＋z1z20．
3.空間向量坐標的應用
(1)點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離OP．
(2)任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2．
【即學即練7】（23-24高一下·天津·階段練習）已知，，，令，，則對應的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量坐標運算公式計算即可.
【詳解】因為，，，
所以，，
所以.
【即學即練8】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）已知向量則（ ）
A．－3 B．3 C．9 D．0
【答案】C
【分析】利用向量的坐標運算求解即可.
【詳解】因為，所以
.
難點：空間向量與動點問題
示例1：（多選）（23-24高二下·福建漳州·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為邊的中點，點在底面ABCD內運動（包括邊界），則下列說法正確的有（ ）．
A．不存在點，使得
B．過三點的正方體的截面面積為
C．若則點在正方形內運動軌跡長為
D．點在棱上，且，若，則點的軌跡是圓
【答案】AB
【分析】對于A，利用空間向量分析判斷，對于B，取中點，連接，可得四點共面，然后求出其面積判斷，對于C，利用空間向量可得點在正方形內運動軌跡為線段，對于D，利用空間向量得軌跡為圓：被四邊形ABCD截得的4段圓弧.
【詳解】對于A，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，則，
若，則，即，與題意矛盾，所以A正確；
對于B，取中點，連接，
因為，所以可得四點共面，
所以過三點的正方體的截面為以為底的等腰梯形，過點作，
所以，所以梯形的高為，
所以，所以B正確，
對于C，設，則，
所以，
因為所以，即，
所以點在正方形內運動軌跡為線段，其長為，所以C錯誤，
對于D，，
即，可得軌跡為圓：，
所以圓心，
又，所以軌跡為圓：被四邊形ABCD截得的4段圓弧，所以D錯誤.
B．
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵是利用空間向量求出點的軌跡方程，由此即可順利得解.
【題型1：空間向量的坐標表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知點，直線DE平行所在的平面，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意設，從而得到方程組，求出答案.
【詳解】，
由已知可得，所以，
所以，解得.
變式1．（23-24高二上·湖北武漢·期中）在空間直角坐標系中，已知點關于原點中心對稱的點為，而點關于軸對稱的點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由對稱性得出點坐標，進而得出.
【詳解】點關于原點中心對稱的點為，
則點關于軸對稱的點為， .
變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）若，，三點共線，則（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．3
【答案】A
【分析】利用向量共線的坐標運算，求出即可.
【詳解】若，，三點共線，
由，，則有，得，
解得，所以.
變式3．（23-24高二上·四川成都·階段練習）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則下列結論中不正確的是（ ）
A．點關于直線對稱的點為 B．點關于點對稱的點為
C．點的坐標為 D．點關于平面對稱的點為
【答案】D
【分析】利用空間點的對稱性即可逐項判斷得出結論.
【詳解】由圖可得，則點關于直線對稱的點為，故A正確；
由于，所以點關于點對稱的點為，故B正確；
點的坐標為，故C不正確；
由于點，則點關于平面對稱的點為，故D正確.
.
變式4．（23-24高二上·山西運城·階段練習）已知正方體的棱長為1，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則以下坐標表示的點在平面內的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間坐標系，標出點坐標，由共面向量定理得，存在唯一的有序實數對，使，依次驗證即可.
【詳解】在正方體中，以D為原點所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系；

則，則，
若點，在平面中，則由共面向量定理得，
存在唯一的有序實數對，使，所以，即，
在A中，代入點坐標，無解，故A錯誤；
在B中，代入點坐標，可解出，故B正確；
在C中，代入點坐標，無解，故C錯誤；
在D中，代入點坐標，無解，故D錯誤
變式5．（23-24高二上·福建廈門·階段練習）設，，，，其中，，是兩兩垂直的單位向量，若，則實數，，的值分別是（ ）
A．1，，3 B．，1，
C．，1，3 D．，2，3
【答案】C
【分析】根據空間向量的坐標運算以及向量相等，即可求得答案.
【詳解】由題意可分別以，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，
則可得，
即得，解得，
變式6．（23-24高三上·安徽·階段練習）已知空間向量，若共面，則 ．
【答案】6
【分析】
根據向量共面列方程，化簡求得的值.
【詳解】
若共面，則存在實數，使得，
即．
所以，解得．所以．
故答案為：
變式7．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標系中，若平行四邊形ABCD的頂點，則頂點D的坐標為 ．
【答案】
【分析】設D的坐標為，根據，結合向量的坐標運算，即可求得答案.
【詳解】設D的坐標為，
平行四邊形ABCD的頂點，
故，即，
則，即D的坐標為，
故答案為：
變式8．（23-24高二上·山東聊城·階段練習）已知直線經過，兩點，直線上一點，使得，則點坐標 ．
【答案】
【分析】利用空間向量的坐標、向量的相等、向量的運算分析運算即可得解.
【詳解】解：設，則，，
∴由得：，
∴，解得：，
∴點坐標為：.
故答案為：.
【題型2：空間向量的加減數乘與數量積】
例2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，M為AB的中點，N為PD的中點.若PA=4，AB=2，則 .
【答案】
【分析】考慮到此題中條件適合建系，故通過建系后求出空間向量的坐標計算數量積即得.
【詳解】
如圖，由題意可以為軸的正方向建立空間直角坐標系.則,
因M為AB的中點，N為PD的中點，故,于是,，則.
故答案為：.
變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知為原點，，，，點在直線上運動，則取得最小值時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量表示出點坐標，再求出，的坐標，借助數量積建立函數關系即可求解.
【詳解】因點在直線上運動，則，設，于是有，
因為，，所以，，
因此，，
于是得
，
則當時，，此時點，
所以當取得最小值時，點的坐標為.
變式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱錐的底面為矩形，平面，在棱上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，設，求得向量，結合向量的數量積的運算公式，即可求解.
【詳解】如圖所示，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，由，設，
可得，則，
所以．
．
變式3．（23-24高二上·河北滄州·階段練習）《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵中，，，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系后計算即可得.
【詳解】
以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，，
∴，
，.
．
變式4．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，長方體中，，，點為線段上一點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】以點為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，設，其中，求出向量的坐標，利用二次函數的基本性質可求出的取值范圍，即可得出合適的選項.
【詳解】以點為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設，其中，
則，
，
所以，，
因為，則，所以，，
所以，，
D．
變式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空間直角坐標系中，點關于平面xOz的對稱點為B，則 ．
【答案】
【分析】根據題意，得到，求得，結合空間向量的數量積的坐標運算公式，即可求解.
【詳解】在空間直角坐標系中，可得點關于平面xOz的對稱點為，
則，所以.
故答案為：.
變式6．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）已知空間向量，則 .
【答案】
【分析】利用空間向量線性運算的坐標表示即可得解.
【詳解】由，得.
故答案為：
變式7．（23-24高二下·上海·期中）已知，，則 .
【答案】
【分析】首先求出、的坐標，再根據數量積的坐標表示計算可得.
【詳解】因為，，
所以，
，
所以.
故答案為：
變式8．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知向量，，，若，則實數 ．
【答案】
【分析】利用空間向量坐標運算以及數量積的坐標表示，可求出結果.
【詳解】由，可得，
所以，
解得.
故答案為：
【方法技巧與總結】
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
（2）由條件求向量或點的坐標
首先把向量用坐標形式設出來，然后通過建立方程（組），解方程（組）求出其坐標..
【題型3：空間向量的模長】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知，則 .
【答案】
【分析】由空間向量的模長公式可直接求得答案.
【詳解】因為，所以，
故答案為：.
變式1．（2024高三·全國·專題練習）在空間直角坐標系中，已知點，，點C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，，應用向量垂直的坐標表示可得，再應用向量模長的坐標表示及二次函數性質求最小值.
【詳解】設，，且，，
∴，，又，
∴，即．
∵，
∴，
當且僅當時等號不成立.
變式2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）在空間直角坐標系中，，點關于y軸的對稱點為C，則=（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根據空間坐標系中的對稱性求得點的坐標，計算即得的坐標和模長.
【詳解】因點關于y軸的對稱點為，，
則，故.
.
變式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如圖，在邊長為3的正方體中，，點在底面正方形上移動（包含邊界），且滿足，則線段的長度的最大值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立合適的空間直角坐標系，求出點P的軌跡結合函數求最值即可.
【詳解】
依據題意可以建立如圖所示的空間直角坐標系，則，
設，
所以，
即，所以，
而，
由二次函數的單調性可知，
當時，，則.
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量建立的函數關系求解即可.
【詳解】三棱錐中，過作平面，由，知，
以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，如圖，

由平面，得，則，
令，則，設，
于是，
當且僅當時取等號，所以線段的最小值為.
變式5．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）已知，.則 .
【答案】
【分析】應用空間向量加法和模的坐標公式計算即可.
【詳解】根據題意，，
所以.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·上海·期末）在空間直角坐標系中，點P坐標可記為：定義柱面坐標系，在柱面坐標系中，點P坐標可記為．如圖所示，空間直角坐標與柱面坐標之間的變換公式為：,,．則在柱面坐標系中，點與點兩點距離的最小值為 .

【答案】
【分析】先將兩點的空間直角坐標求出來，結合向量的模、正弦函數的最值即可得解.
【詳解】由題意點與點的空間直角坐標分別為，
所以，等號不成立當且僅當.
故答案為：.
變式7．（23-24高二上·浙江紹興·期中）已知向量，則 .
【答案】或
【分析】先求出，再求出，然后求出即可.
【詳解】，
所以，解得或者，
故答案為：或
變式8．（24-25高二上·上海·課堂例題）如圖，正方體的棱長為1，動點M在線段上，動點P在平面上，且平面．
(1)當點M與點C重合時，求線段AP的長度；
(2)求線段AP長度的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，再由向量模長的坐標公式代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由向量模長的坐標公式，代入計算，即可求解.
【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標
系，則，，．
設，，則，，．因為平面，
所以得
當點M與點C重合時，，，此時，
則AP的長度為.
（2），
即線段AP長度的最小值為.
【題型4：空間向量的夾角】
例4．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】由空間向量的數量積，模長公式及夾角公式的坐標運算直接求解.
【詳解】（1）;
（2）,
則；
（3），則
變式1．（23-24高二上·河南鶴壁·階段練習）已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設與夾角為，利用空間向量數量積坐標表示從而求解.
【詳解】由題意得是空間的一個單位正交基底，
所以=，，
設與的夾角為，，
所以，故D項錯誤.
.
變式2．（23-24高二上·遼寧·階段練習）如圖，在正方形中，點，分別是線段，上的動點，且，與交于G，在與之間滑動，但與和均不重合．現將四邊形沿直線折起，使平面平面，在從滑動到的過程中，的大小（ ）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．不發生變化 D．由小變大
【答案】D
【分析】以為原點，，，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，設正方形的邊長為，，利用空間向量的數量積可判斷.
【詳解】設正方形的邊長為，，
，，，，，
，，
，
由面面垂直關系可知，即角度不會發生變化，所以C正確；
.

變式3．（多選）（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖，在直三棱柱中，，棱分別是的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算即可求解ABD，根據等體積法即可求解C.
【詳解】以為坐標原點，以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，

由題意得,0,,,1,，．A正確
,0,,,1,,,0,,,1,,,0,,．
,,,,1,，,
故，B正確，
．，，所以．D正確
,故C錯誤，
BD
變式4．（多選）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形紙片中，E，F分別為，的中點，O是菱形的中心，，，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，以O為原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據空間直角坐標系，寫出對應點坐標可判定A、B、C，由空間向量的數量積公式求夾角可判定D .
【詳解】由題意可知：，
所以，
則，，，
易知為鈍角，所以.
綜上A、C、D三項正確，B項錯誤.
CD
變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習）若，，與的夾角為，則λ的值為 ．
【答案】/
【分析】根據空間向量的夾角公式計算即可.
【詳解】因為，，與的夾角為，
所以，
解得，
故答案為：.
變式6．（2024高二上·全國·專題練習）已知向量，，若與夾角為，則的值為 ．
【答案】
【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示得到關于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為，，且與夾角為，
則，，，
所以，
由題可知，解得.
故答案為：.
變式7．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知， ，點在直線上運動，則的最大值為 .
【答案】
【分析】設，根據夾角公式，代入坐標運算，求其最值即可.
【詳解】設，
則，
所以，
既然求最大值，必有，令，
則
，
當，即時取等號，所以的最大值為.
故答案為：.
【題型5：空間向量的投影】
例5．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習）已知向量，，則向量在向量上的投影向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用投影向量的意義求解即得.
【詳解】由向量，，得，而，
向量在向量上的投影向量.
變式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空間點在坐標平面上投影的性質確定向量在平面上的投影向量.
【詳解】若起點為原點，則終點為，該點在平面上投影坐標為，
所以向量在平面上的投影向量是.
變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由投影向量的概念求解即可.
【詳解】∵，
∴，，
∴在上的投影向量為，
.
變式3．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形在上底面的圓周上，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】連接，以點為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，根據空間向量數量積的坐標公式及投影向量的定義即可得解.
【詳解】如圖，連接，則底面圓，
以點為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，
不妨設圓臺的高為，，則，
故，
則，
所以，
所以在上的投影向量為.
.
變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標系中，已知點，則（ ）
A．
B．異面直線與所成角的余弦值為
C．
D．在上的投影向量的模為
【答案】CC
【分析】根據向量的模、向量的夾角、向量的數量積及投影向量判斷選項即可.
【詳解】因為，故A錯誤；
因為，所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為，故B正確；
因為，故C正確；
由投影向量的定義知，在上的投影向量的模為，故D錯誤.
C
變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為 ．
【答案】
【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出與同向的單位向量，進而求出向量在方向上的投影向量.
【詳解】由題意，向量在方向上的投影為：，，
則與同向的單位向量為，
所以向量在方向上的投影向量為：.
故答案為：
變式6．（23-24高二上·福建莆田·階段練習）已知向量在向量上的投影向量是，且，則 .
【答案】/
【分析】根據題意，由投影向量的定義，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，則，且向量在向量上的投影向量為，
即，
所以.
故答案為：
變式7.（23-24高二上·吉林長春·階段練習）如圖，已知正方體的棱長為，為棱上的動點，則在方向上的投影向量的模的取值范圍為 ．

【答案】
【分析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，其中，利用空間向量數量積的坐標運算可求得在方向上的投影向量的模的取值范圍.
【詳解】在正方體中，以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、，設點，其中，
所以，，，
所以，在方向上的投影向量的模為
.
故答案為：.
【題型6：空間向量的平行、垂直與銳角、鈍角問題】
例6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設，向量 且，則的值為（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由空間向量垂直和平行的坐標表示計算即可.
【詳解】因為，
所以，
又，
所以設，即，
所以，
.
變式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據空間向量垂直的坐標表示結合充分、必要條件分析求解.
【詳解】若，則，解得，
顯然“”可以推出“”， “”不可以推出“”，
所以“”是“”的充分不必要條件.
.
變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知空間向量、，若，則 ．
【答案】1
【分析】依題意可得，從而得到方程組，解得即可.
【詳解】因為、且，
所以，則，即，解得，
所以.
故答案為：
變式3．（23-24高二下·湖北·開學考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】
根據向量垂直的坐標形式可得的等量關系，利用基本不等式可求的最小值.
【詳解】因為，故即，
故，
當且僅當時等號不成立，故的最小值為，
故答案為：.
變式4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）若空間向量，，向量、夾角為銳角，則的取值范圍是
【答案】
【分析】依題意可得且與不同向，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】因為向量，，且、夾角為銳角，
所以且與不同向，
當時，則，解得，
當與同向時，則，即，解得，
綜上可得或，即的取值范圍是.
故答案為：
變式5．（22-23高二下·江蘇·課后作業）若，，若與的夾角是鈍角，則t的值的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由與的夾角是鈍角轉化為且與不反向.
【詳解】已知，，
因為與的夾角是鈍角，所以，即，
即，解得.
若與的夾角為180°，則存在，使，
所以，解得，.
所以，且.
故的取值范圍是.
變式6．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間中三點，，，設，.
(1)已知，求的值；
(2)若，且∥，求的坐標.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）問題轉化為，求.
（2）根據向量的模的計算和向量共線，求的坐標.
【詳解】（1）由題知，，
所以，
因為，
所以 .
（2）因為∥， ，
所以，，
因為，所以，解得 ，
所以或.
變式7．（22-23高二上·黑龍江牡丹江·階段練習）已知，且.
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根據求出坐標，進而求出的坐標，則模可求；
（2）求出坐標，然后求數量積，根據數量積可得夾角.
【詳解】（1） ，
，
；
（2）由（1）可得，
，
向量與垂直，
即向量與夾角的大小為.
變式8．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）已知，，，，，
(1)若、共線，求實數；
(2)若向量與所成角為銳角，求實數的范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據空間向量的模長公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐標，根據、共線，可得出關于實數的不等式，解之即可；
（2）分析可知以及、不共線，結合空間向量的坐標運算可求得實數的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為，，，，，
則，可得，，解得，
所以，，所以，，
因為，所以，解得．
（2）解；由（1）知，，，
因為向量與所成角為銳角，
所以，解得，
又當時，，
所以實數的范圍為．
【題型7：最值與取值范圍問題】
例7．（23-24高二上·廣東湛江·階段練習）已知直線和平面，且，的方向向量為，平面的一個法向量為，，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用空間向量法解決線面平行，得到，再利用代換1法，來求最小值.
【詳解】由得：，
所以
因為，所以，
所以，當且僅當等號不成立，
.
變式1.（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）如圖，在四棱錐中，⊥平面，四邊形是正方形，且，E，F分別為的三等分點，若P為底面上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】證明線面垂直，得到線線垂直，建立空間直角坐標系，推出點在上時，取得最小值，作出點的對稱點，由幾何關系得到最小值，求出答案.
【詳解】因為⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
又四邊形是正方形，所以⊥，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
過點分別為⊥，⊥于點，
則⊥平面，⊥平面，
過點作⊥于點，連接，
則，，
，其中，
故要想取得最小值，則，即只需點在上，
其中關于直線的對稱點為，
連接，此時取得最小值，最小值為，
其中.
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若 ，則
C．的最大值2 D．的最小值
【答案】AB
【分析】利用向量數量積運算的坐標表示，即可判斷選項.
【詳解】A.若，則，得，故A正確；
B.若 ，則，即，得
，解得：，故B正確；
CD.，當時，的最小值2，故CD錯誤；
B
變式3．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知點，，，，點在直線上運動，當取得最小值時，點的坐標是 ．
【答案】/
【分析】
令，根據題設，，進而有，利用數量積的坐標表示及二次函數性質求取得最小值時對應參數值，即可得結果.
【詳解】由題設，，則，，
令，則，所以，則，
故，
所以
，
故當時，取得最小值，此時坐標為.
故答案為：
變式4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）在棱長為3的正方體中，點E滿足，點F在平面內，則|的最小值為 .
【答案】
【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標系，由線面垂直的判定定理，證得平面，記與平面交于點H，連接，，，得到，結合點關于平面對稱的點為，進而求得的最小值.
【詳解】以點D為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，，，
因為，，且，則平面，
又因為平面，所以，
同理得平面，因為平面，所以，
因為，且平面，所以平面，
記與平面交于點H，連接，，，且，
則，可得，
由得點關于平面對稱的點為，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式5．（23-24高二上·河北衡水·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點、分別為、的中點，若線段上存在點，使得，則線段的長度最小值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，設且，求得，結合，列出方程，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，設，，
則，
則，
因為，所以，
則，當且僅當時，即時，等號不成立，
所以，即，所以長度的最小值為.
故答案為：.
變式6．（23-24高二下·上海·階段練習）在空間直角坐標系中，有兩點是平面上任意一點，則的最小值為 .
【答案】
【分析】求出點關于平面的對稱點，再根據即可得解.
【詳解】如圖，點關于平面的對稱點為，
則，
當且僅當三點共線時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
變式7．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）已知，向量，且滿足
(1)求點的坐標；
(2)若點在直線（為坐標原點）上運動，當取最小值時，求點的坐標．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設，由向量共線列方程組，解出即可；
（2）由向量的坐標運算分別求出，再由坐標計算結合二次函數求出最值即可；
【詳解】（1）設，則，
因為．
所以，解得．
所以；
（2）因為點在直線為坐標原點）上運動，
所以．
所以，
．
所以
．
當時，取得最小值．
．
一、單選題
1．（河南省開封市2023-2024學年高二下學期7月期末數學試題）已知，，且，則（ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】C
【分析】根據空間向量垂直的坐標表示，列方程求.
【詳解】因為，，，
所以，所以.
.
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標運算即可.
【詳解】由題意可得.
.
3．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據點關于平面的對稱點是分析求解.
【詳解】由題意可知：點關于平面的對稱點是.
.
4．（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量：，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據空間向量的坐標運算直接求解即可.
【詳解】因為，，
所以
，
5．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知向量，，向量在向量上的投影向量為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據投影向量的公式計算即可.
【詳解】向量在向量上的投影向量為
6．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知空間三點，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得兩向量的坐標，利用向量的夾角公式可求與的夾角.
【詳解】∵，
，
∴結合向量夾角范圍易知：與的夾角為．
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三點共線，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據條件得到，再利用向量相等，即可求出結果.
【詳解】因為，，三點共線，則，又向量，，
所以，解得，
.
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量，，，若，，三個向量共面，則實數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由題意得與不共線，所以由空間向量共面定理可知存在實數，使，然后將坐標代入化簡可求出的值.
【詳解】因為
所以與不共線，
所以存在實數，使，
所以，
所以，解得.
二、多選題
9．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知向量，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則向量在向量上的投影向量
【答案】ACD
【分析】代入的值，得到向量的坐標，利用向量的坐標運算，判斷向量的平行垂直，求向量夾角的余弦和投影向量的坐標.
【詳解】向量
若，則，，所以，A選項正確；
若，，，不滿足則，B選項錯誤；
若，，則，C選項正確；
若，，則向量在向量上的投影向量:
，D選項正確.
CD
10．（23-24高二上·重慶·期末）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．任意向量，，滿足
B．在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點是
C．已知，，，為空間向量的一個基底，則向量，，能共面
D．已知，，，則向量在向量上的投影向量是
【答案】CC
【分析】
根據向量的數量積的幾何意義，可判定A錯誤；根據空間直角坐標系的特征，可判定B正確；根據共面向量定理，可判定C正確；根據投影向量的計算方法，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，根據向量的數量積的定義知，
所以與分別表示與向量和向量共線的向量，
又因為向量和不一定共線，所以A不正確；
對于B中，根據空間直角坐標系的特征，點關于坐標平面的對稱點是，所以B正確；
對于C中，由向量，，，
設，即，
可得，此時，即，所以向量，，能共面，所以C正確；
對于D中，由，，，
可得，則，
所以向量在向量上的投影向量為，所以D錯誤.
C.
11．（23-24高二上·廣東揭陽·階段練習）下面四個結論正確的是（ ）
A．向量，若，則
B．若空間四個點，，則三點共線
C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
D．已知向量，，若，則為鈍角
【答案】ABC
【分析】由向量的數量積的定義及運算，可判定A正確；由空間向量的共面定理，可判定B正確；由空間向量的基底的定義，可判定C正確；根據向量的數量積運算公式和向量的夾角的定義，可判定D錯誤.
【詳解】對于A中，根據向量的數量積的定義，若，則，所以A正確；
對于B中，由，則，
即，因為與有公共點，所以三點共線，所以B正確；
對于C中，因為是空間的一組基底，則向量不共面，
由，令，即，此時方程無解，所以不共面，
所以也是空間的一組基底，所以C正確．
對于D中，若為鈍角，可得，且與不共線，
由向量，，若，可得，解得，
當與共線時，設，即，可得，解得
所以，當與不共線得，所以當且時，為鈍角，所以D錯誤.
BC.
三、填空題
12．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知，則向量在上的投影向量的坐標是 .
【答案】
【分析】
根據投影向量的知識求得正確答案.
【詳解】，，
所以向量在上的投影向量的坐標是：
.
故答案為：
13．（22-23高二上·北京·階段練習）若異面直線的方向向量分別是，，則異面直線與的夾角的余弦值等于 ．
【答案】/
【分析】利用空間向量的數量積與模長公式計算夾角即可.
【詳解】設異面直線與的夾角為，則，
.
故答案為：
14．（22-23高二上·北京豐臺·階段練習）已知空間向量，則 ， ．
【答案】
【分析】利用向量的坐標運算計算即可.
【詳解】因為，
所以，，，
所以，.
故答案為：；.
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點，，，設，．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若，，求．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據空間向量垂直得到方程，求出答案；
（2）設，根據平行和模長得到方程組，求出答案.
【詳解】（1），
故，
，
因為互相垂直，所以，
解得或；
（2），
設，則且，
解得或，
故或；
16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知空間中三點，，，設，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量與互相垂直，求的值；
(3)若點在平面上，求的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）由向量的坐標表示共線和模長計算求出即可；
（2）由向量垂直的坐標表示求出參數即可；
（3）由點在平面上，設，解方程組求出即可.
【詳解】（1），設，
因為，而，所以；
故或
（2），，，
由與互相垂直得：，
解得.
（3）點在平面上，，
，
，
解得：.
17．（23-24高二上·廣西玉林·階段練習）已知．
(1)求實數的值；
(2)求與夾角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據向量平行，設，進而得到方程組，求出，根據向量垂直得到，求出；
（2）先計算出，，從而利用向量夾角公式求出答案.
【詳解】（1）因為，所以設，
即，所以，解得，
故
又，所以，即，
解得．
（2）由（1）得，，
設與的夾角為，
因為，
所以與夾角的余弦值為.
18．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為1，頂點位于坐標原點，若是棱的中點，是側面的中心．

(1)求點，的坐標及；
(2)求向量在方向上的投影向量．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】（1）利用給定的圖形直接求出點，的坐標，再利用向量的坐標表示并求出模作答.
（2）求出的坐標，再利用投影向量的意義求解作答.
【詳解】（1）在棱長為1的正方體中，棱的中點，側面的中心，
因此，所以.
（2）依題意，，，則，，，
所以向量在方向上的投影向量為.
19．（21-22高二·全國·課后作業）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，，，．
(1)若點F為DC的中點，求；
(2)若點E為PB的中點，點M為AB上一點，當時，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可證，再建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標后可求夾角的余弦值.
（2）設，則可用表示的坐標，再利用可求，從而可得兩條線段的比值.
【詳解】（1）因為為等腰直角三角形，，，所以，
又，，所以．
而，，故，
因，平面，故平面.
以點C為原點，CP，CD所在直線分別為x，z軸，過點C作PB的平行線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．
則，，，，．
則，，
所以．
（2）由（1）知，設，
而，所以，
所以，所以，
又，
因為，故，
所以，解得，
所以．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.1.3 空間向量的坐標與空間直角坐標系
課程標準 學習目標
1.了解空間向量坐標的定義. 2.掌握空間向量的坐標運算，會計算向量的長度及兩向量的夾角. 3.會利用向量的坐標關系，判定兩個向量平行或垂直. 4.了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置. 5掌握空間直角坐標系中兩點之間的距離公式和中點坐標公式 1.掌握空間向量的線性運算的坐標表示:掌握空間向量數量積的坐標表示 2.掌握空間向量的模、夾角 3.掌握空間向量坐標與空間向量平行與垂直的關系
知識點01 正交基底與單位正交基底
正交基底 如果空間一個基底的三個基向量兩兩互相垂直，那么這個基底叫作正交基底
單位正交基底 當一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用{i,j,k}表示
【即學即練1】（22-23高二上·山東煙臺·階段練習）設是單位正交基底，已知，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練2】（20-21高二·江蘇·課后作業）已知為一個單位正交基底，試寫出下列向量的坐標：
(1)；
(2)．
知識點02 空間直角坐標系
1.定義：如圖，在空間選定一點0和一個單位正交基底{i，j，k}以0為原點，分別以i，j，k的方向為正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫作坐標軸，這是我們說建立了一個空間直角坐標系O-xyz。
其中點O叫作坐標原點，x軸、y軸、z軸叫作坐標軸，三條坐標軸中的每兩條確定一個坐標平面，分別叫作xoy平面、yoz平面和xoz平面。
2.右手直角坐標系
在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系。
【即學即練3】（23-24高二上·上海·期中）如圖所示，以長方體的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為，則的坐標為 ．
【即學即練4】（24-25高二上·上海·隨堂練習）如圖，在長方體中，，，E、F分別為、的中點，分別以DA、DC、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．求點E、F的坐標．

知識點03 空間直角坐標系中的點坐標
定義：對于空間任意一點A，作點A在三條坐標軸上的射影，即通過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于P，Q，R，點P， Q， R在相應數軸上的坐標依次為x，y，z，我們把有序實數組（x，y，z）叫作A點的坐標，記為A（x，y，z）。其中x，y，z分別叫作點A的橫坐標，縱坐標，豎坐標。
【即學即練5】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知點，則點坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【即學即練6】（22-23高二下·福建漳州·期中）在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為（ ）
A． B． C． D．
知識點04 空間向量的坐標運算
1.空間向量的坐標運算
（1）設a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），則
①a+b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）
②a-b=（x1-x2，y1-y2，z1-z2）
③λa=（λx1，λy1，λz1）(a∈R).
④若u，v是兩個實數，ua＋vb(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)；
⑤a·bx1x2＋y1y2＋z1z2；
⑥|a|；
⑦當a≠0且b≠0時，cos〈a，b〉．
(2)設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則=-=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.即一個向量的
坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.
2.空間向量平行、垂直的坐標表示
（1）已知空間向量a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2），且a≠0，則a//bb=λax2=λx1，y2=λy1，z2=λz1(λ∈R).
(2)a⊥b a·b0 x1x2＋y1y2＋z1z20．
3.空間向量坐標的應用
(1)點P(x，y，z)到坐標原點O(0,0,0)的距離OP．
(2)任意兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)間的距離P1P2．
【即學即練7】（23-24高一下·天津·階段練習）已知，，，令，，則對應的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練8】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）已知向量則（ ）
A．－3 B．3 C．9 D．0
難點：空間向量與動點問題
示例1：（多選）（23-24高二下·福建漳州·階段練習）如圖，在棱長為1的正方體中，為邊的中點，點在底面ABCD內運動（包括邊界），則下列說法正確的有（ ）．
A．不存在點，使得
B．過三點的正方體的截面面積為
C．若則點在正方形內運動軌跡長為
D．點在棱上，且，若，則點的軌跡是圓
【題型1：空間向量的坐標表示】
例1．（23-24高二上·湖北·期末）已知點，直線DE平行所在的平面，則（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·湖北武漢·期中）在空間直角坐標系中，已知點關于原點中心對稱的點為，而點關于軸對稱的點為，則（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期中）若，，三點共線，則（ ）
A．4 B．-2 C．1 D．3
變式3．（23-24高二上·四川成都·階段練習）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則下列結論中不正確的是（ ）
A．點關于直線對稱的點為 B．點關于點對稱的點為
C．點的坐標為 D．點關于平面對稱的點為
變式4．（23-24高二上·山西運城·階段練習）已知正方體的棱長為1，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則以下坐標表示的點在平面內的是（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二上·福建廈門·階段練習）設，，，，其中，，是兩兩垂直的單位向量，若，則實數，，的值分別是（ ）
A．1，，3 B．，1，
C．，1，3 D．，2，3
變式6．（23-24高三上·安徽·階段練習）已知空間向量，若共面，則 ．
變式7．（23-24高二上·河北石家莊·期中）在空間直角坐標系中，若平行四邊形ABCD的頂點，則頂點D的坐標為 ．
變式8．（23-24高二上·山東聊城·階段練習）已知直線經過，兩點，直線上一點，使得，則點坐標 ．
【題型2：空間向量的加減數乘與數量積】
例2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，M為AB的中點，N為PD的中點.若PA=4，AB=2，則 .
變式1．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知為原點，，，，點在直線上運動，則取得最小值時，點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·福建泉州·期末）四棱錐的底面為矩形，平面，在棱上，，則（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·河北滄州·階段練習）《九章算術》是我國東漢初年編訂的一部數學經典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵中，，，則（ ）
A． B．1 C． D．
變式4．（多選）（23-24高二上·河北石家莊·期末）如圖，長方體中，，，點為線段上一點，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在空間直角坐標系中，點關于平面xOz的對稱點為B，則 ．
變式6．（23-24高二下·云南曲靖·階段練習）已知空間向量，則 .
變式7．（23-24高二下·上海·期中）已知，，則 .
變式8．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知向量，，，若，則實數 ．
【方法技巧與總結】
關于空間向量坐標運算的兩類問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
（2）由條件求向量或點的坐標
首先把向量用坐標形式設出來，然后通過建立方程（組），解方程（組）求出其坐標..
【題型3：空間向量的模長】
例3．（23-24高二下·上海·期中）已知，則 .
變式1．（2024高三·全國·專題練習）在空間直角坐標系中，已知點，，點C，D分別在x軸，y軸上，且，那么的最小值是（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）在空間直角坐標系中，，點關于y軸的對稱點為C，則=（ ）
A． B． C．3 D．
變式3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如圖，在邊長為3的正方體中，，點在底面正方形上移動（包含邊界），且滿足，則線段的長度的最大值為（ ）

A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（ ）

A． B． C． D．
變式5．（23-24高二下·貴州六盤水·期中）已知，.則 .
變式6．（23-24高二上·上海·期末）在空間直角坐標系中，點P坐標可記為：定義柱面坐標系，在柱面坐標系中，點P坐標可記為．如圖所示，空間直角坐標與柱面坐標之間的變換公式為：,,．則在柱面坐標系中，點與點兩點距離的最小值為 .

變式7．（23-24高二上·浙江紹興·期中）已知向量，則 .
變式8．（24-25高二上·上海·課堂例題）如圖，正方體的棱長為1，動點M在線段上，動點P在平面上，且平面．
(1)當點M與點C重合時，求線段AP的長度；
(2)求線段AP長度的最小值．
【題型4：空間向量的夾角】
例4．（23-24高一下·北京順義·階段練習）已知向量，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
變式1．（23-24高二上·河南鶴壁·階段練習）已知是空間的一個單位正交基底，且，，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二上·遼寧·階段練習）如圖，在正方形中，點，分別是線段，上的動點，且，與交于G，在與之間滑動，但與和均不重合．現將四邊形沿直線折起，使平面平面，在從滑動到的過程中，的大小（ ）

A．先變小后變大 B．先變大后變小 C．不發生變化 D．由小變大
變式3．（多選）（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖，在直三棱柱中，，棱分別是的中點，則（ ）

A． B． C． D．
變式4．（多選）（23-24高二上·福建泉州·期中）在菱形紙片中，E，F分別為，的中點，O是菱形的中心，，，將菱形紙片沿對角線折成直二面角，以O為原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則（ ）

A． B．
C． D．
變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習）若，，與的夾角為，則λ的值為 ．
變式6．（2024高二上·全國·專題練習）已知向量，，若與夾角為，則的值為 ．
變式7．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知， ，點在直線上運動，則的最大值為 .
【題型5：空間向量的投影】
例5．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習）已知向量，，則向量在向量上的投影向量（ ）
A． B．
C． D．
變式1．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知空間向量，則向量在坐標平面上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形在上底面的圓周上，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．（多選）（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在空間直角坐標系中，已知點，則（ ）
A．
B．異面直線與所成角的余弦值為
C．
D．在上的投影向量的模為
變式5．（24-25高二上·上海·隨堂練習）已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為 ．
變式6．（23-24高二上·福建莆田·階段練習）已知向量在向量上的投影向量是，且，則 .
變式7.（23-24高二上·吉林長春·階段練習）如圖，已知正方體的棱長為，為棱上的動點，則在方向上的投影向量的模的取值范圍為 ．

【題型6：空間向量的平行、垂直與銳角、鈍角問題】
例6．（23-24高二下·江蘇連云港·期中）設，向量 且，則的值為（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
變式1．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知空間向量、，若，則 ．
變式3．（23-24高二下·湖北·開學考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
變式4．（23-24高二上·遼寧大連·期末）若空間向量，，向量、夾角為銳角，則的取值范圍是
變式5．（22-23高二下·江蘇·課后作業）若，，若與的夾角是鈍角，則t的值的取值范圍為 .
變式6．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間中三點，，，設，.
(1)已知，求的值；
(2)若，且∥，求的坐標.
變式7．（22-23高二上·黑龍江牡丹江·階段練習）已知，且.
(1)求；
(2)求向量與夾角的大小.
變式8．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）已知，，，，，
(1)若、共線，求實數；
(2)若向量與所成角為銳角，求實數的范圍．
【題型7：最值與取值范圍問題】
例7．（23-24高二上·廣東湛江·階段練習）已知直線和平面，且，的方向向量為，平面的一個法向量為，，則的最小值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
變式1.（23-24高二上·廣東惠州·階段練習）如圖，在四棱錐中，⊥平面，四邊形是正方形，且，E，F分別為的三等分點，若P為底面上的一個動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江·期中）已知向量，則下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若 ，則
C．的最大值2 D．的最小值
變式3．（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）已知點，，，，點在直線上運動，當取得最小值時，點的坐標是 ．
變式4．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習）在棱長為3的正方體中，點E滿足，點F在平面內，則|的最小值為 .
變式5．（23-24高二上·河北衡水·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點、分別為、的中點，若線段上存在點，使得，則線段的長度最小值為 .
變式6．（23-24高二下·上海·階段練習）在空間直角坐標系中，有兩點是平面上任意一點，則的最小值為 .
變式7．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）已知，向量，且滿足
(1)求點的坐標；
(2)若點在直線（為坐標原點）上運動，當取最小值時，求點的坐標．
一、單選題
1．（河南省開封市2023-2024學年高二下學期7月期末數學試題）已知，，且，則（ ）
A． B． C．2 D．6
2．（23-24高一下·湖南·期末）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·甘肅蘭州·期中）空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·天津·階段練習）已知向量：，，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）已知向量，，向量在向量上的投影向量為（ ）．
A． B．
C． D．
6．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知空間三點，，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知向量，，若，，三點共線，則（ ）
A． B． C．2 D．3
8．（23-24高二下·福建漳州·期末）已知向量，，，若，，三個向量共面，則實數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
9．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知向量，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則向量在向量上的投影向量
10．（23-24高二上·重慶·期末）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．任意向量，，滿足
B．在空間直角坐標系中，點關于坐標平面的對稱點是
C．已知，，，為空間向量的一個基底，則向量，，能共面
D．已知，，，則向量在向量上的投影向量是
11．（23-24高二上·廣東揭陽·階段練習）下面四個結論正確的是（ ）
A．向量，若，則
B．若空間四個點，，則三點共線
C．已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底
D．已知向量，，若，則為鈍角
三、填空題
12．（23-24高二上·四川宜賓·期末）已知，則向量在上的投影向量的坐標是 .
13．（22-23高二上·北京·階段練習）若異面直線的方向向量分別是，，則異面直線與的夾角的余弦值等于 ．
14．（22-23高二上·北京豐臺·階段練習）已知空間向量，則 ， ．
四、解答題
15．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知空間三點，，，設，．
(1)若與互相垂直，求實數的值；
(2)若，，求．
16．（23-24高二下·江蘇南京·階段練習）已知空間中三點，，，設，．
(1)若，且，求向量；
(2)已知向量與互相垂直，求的值；
(3)若點在平面上，求的值．
17．（23-24高二上·廣西玉林·階段練習）已知．
(1)求實數的值；
(2)求與夾角的余弦值．
18．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為1，頂點位于坐標原點，若是棱的中點，是側面的中心．

(1)求點，的坐標及；
(2)求向量在方向上的投影向量．
19．（21-22高二·全國·課后作業）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，，，．
(1)若點F為DC的中點，求；
(2)若點E為PB的中點，點M為AB上一點，當時，求的值．
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