資源簡介

1.2.5空間中的距離
課程標準 學習目標
1．理解圖形與圖形之間的距離的概念.，提升學生的數學抽象素養 2．理解并掌握兩點之間、點到直線的距離的概念及它們之間的相互轉化,會用法向量求距離:提升學生的數學抽象數學運算的素養、 1.能用向量方法進行有關距離的計算 2.能用向量方法求點到面的距離
知識點01 兩點間的距離
1.兩點間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 兩點間距離=(,,),|AB|=
【即學即練1】（2024高二下·江蘇·學業考試）已知點，則=（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根據兩點間距離公式計算即可.
【詳解】由已知點的坐標應用兩點間距離公式可得.
.
【即學即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習）如圖，已知線段在平面內，，且，則 .

【答案】
【分析】根據空間向量的線性表示，結合模長公式，即可求解.
【詳解】由于，在平面內，所以,又
所以,
由于,所以,
所以，
故答案為：
知識點02 點到直線的距離
定義：若P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內，取一個與直線l垂直的向量n，則點P到直線l的距離為d==
設e是直線l的方向向量，則點P到直線l的距離為d=||sin<,e>
【即學即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用點到直線的空間向量距離公式求出答案.
【詳解】，，故在上的投影向量的模為，
故B點到直線的距離為.
【即學即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量，則點A到直線的距離為 ．
【答案】1
【分析】根據點到直線距離公式求出答案.
【詳解】在方向上投影向量的模為，
所以點A到直線的距離．
故答案為：1
知識點03 點到平面的距離
定義：若P是平面α外一點，PQ⊥α，垂足為Q，A 為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，點P到平面α的距離d=
【即學即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到平面的距離為（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量法求點到平面的距離公式即可求解.
【詳解】由題得，
所以到平面的距離為，
.
【即學即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測試）已知平面經過點，且的法向量，則到平面的距離為 .
【答案】
【分析】根據點到面距離空間向量公式進行求解即可.
【詳解】因為，，
所以到平面的距離，
故答案為：
知識點04 線面間的距離
1.定義：當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離，
2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A、B分別是l上和α內的點，則直線l與平面α之間的距離為d．
【即學即練7】（23-24高二上·湖南邵陽·階段練習）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，
所以,
設平面的法向量為，則
，令，則，
因為，平面，平面，
所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，
所以直線到平面的距離為 .
.

【即學即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點．
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)求直線到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，進而根據向量夾角公式計算即可；
（2）利用向量法求線面距離作答即可.
【詳解】（1）在正方體中，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，，，，，
所以，，
所以直線與所成角的余弦值為.
（2）由（1）知，，，，，
顯然，所以，
而平面，平面，于是平面，
因此直線到平面的距離等于點到平面的距離，
設平面的法向量為，
則，令，得，
所以點到平面的距離為，
所以直線FC到平面的距離是.
知識點05 面面間的距離
1.定義：當平面與平面平行時，一個平面內任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離．
2.公垂線段：一般地，與兩個平行平面同時垂直的直線，稱為這兩個平面的 公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個平面的公垂線段．顯然，兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.
3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量，A和B分別是平面α和平面β內的點，則平面α和平面β之間的距離為d．
【即學即練9】（22-23高二·全國·隨堂練習）已知正方體的棱長均為1．
(1)求到平面的距離；
(2)求平面與平面之間的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，從而利用點到平面距離的公式進行求解；
（2）求出平面的法向量，得到平面與平面平行，從而轉化為點到平面距離，利用公式進行求解即可.
【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
故平面的法向量為，
則到平面的距離為；
（2）則，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
故平面的法向量為，
由于，故平面與平面平行，
則平面上任意一點到平面的距離即為平面與平面之間的距離，
不妨求點到平面的距離，
故平面與平面之間的距離為.
【即學即練10】（2022高二·全國·專題練習）設正方體的棱長為2，求：
(1)求直線到平面的距離；
(2)求平面與平面間的距離.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直線到平面的距離等于點到平面的距離，利用向量求解可得；
（2）平面與平面間的距離等于點到平面的距離，利用向量法求解即可．
【詳解】（1）以D為原點，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直線到平面的距離等于點到平面的距離．
設平面的一個法向量為，
則，令，則，又，
所以點到平面的距離.

（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面與平面間的距離等于點到平面的距離．
由（1）知，點到平面的距離.
所以平面與平面間的距離為.
難點：建系有難度問題
示例1：（2023·福建龍巖·統考二模）三棱柱中，，，側面為矩形，，三棱錐的體積為．
(1)求側棱的長；
(2)側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)
(2)
【分析】（1）證明平面，結合題目條件，先計算出的值，然后即可以求得側棱的長；
（2）建立空間直角坐標系，設未知數，結合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.
【詳解】（1）在平面內過作，垂足為，
因為側面為矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
易得，面，平面平面，
所以平面，
因為，所以，
因為，，所以；
（2）存在點滿足題意，，理由如下：
如圖，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，
設，則，
故，，
設平面的法向量為
則即，令，則，
故平面的一個法向量，
設直線與平面所成角為，
則，解得，
故存在點E滿足題意，所以.
難點：幾何的應用
示例2：（2023·四川成都·校聯考二模）如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

(1)證明：平面平面；
(2)已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）利用平面幾何知識結合已知條件可以證明，再利用面面垂直的性質進一步證明，
結合線面垂直、面面垂直的判定定理即得證.
（2）不妨設，則點到平面的距離即為的長度，結合附加條件四棱錐的體積為可以求得所有棱長，最終利用平面幾何知識即可求解.
【詳解】（1）一方面：因為為正三角形且為的中點，所以（三線合一），
又因為平面平面且平面平面，并注意到平面，
所以由面面垂直的性質可知平面，
又因為平面，
所以由線面垂直的性質可知；
另一方面：由題意不妨設，則，
因為為正三角形且為的中點，所以，，
所以，且，注意到與均為銳角，
所以，不妨設，

因為，
所以，即.
綜合以上兩方面有且，
注意到，平面，平面，
所有由線面垂直的判定有平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知平面，則點到平面的距離即為的長度，
一方面梯形的面積為，，
所以有四棱錐的體積為，
另一方面由題可知四棱錐的體積為，
結合以上兩方面有，解得，
因為，所以，由（1）可知，
所以，所以，
所以.
【題型1：兩點間的距離】
例1．（22-23高二上·山西運城·期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】設是底面正的中心，平面，，以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線與間的距離用空間向量法求異面直線的距離．
【詳解】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，
，則，又，，
，直線交于點，，
以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，，
，，，
，
設與和都垂直，
則，取，則，，
P，Q兩點間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．
．
變式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱中，，.動點，分別在線段，上，則線段長度的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.
【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.
如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
則點、、、，
所以，，，，
設向量滿足，，
由題意可得，解得，取，則，，
可得，
因此，.
故選：.
變式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點，E和A，F，使，且已知，則線段的長為 ．
【答案】或
【分析】利用空間向量線性運算得到，結合空間向量數量積的運算法則及模的運算即可得解，注意的夾角有兩種情況.
【詳解】由題意，得，
所以，
因為，所以，，
因為，所以，則，同理：，
因為異面直線a，b所成的角為，
當的夾角為時，，
所以，則，即，故；
當的夾角為時，，
所以，則，故；
綜上：線段的長為或.
故答案為：或.
.
變式3. （22-23高二上·遼寧沈陽·開學考試）正四棱柱中，底面邊長為1，側棱長為分別是異面直線和上的任意一點，則間距離的最小值為 .
【答案】
【分析】利用空間向量法求出異面直線和的距離，即可得解.
【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則、，，，
所以，，，
設且，即，令，則，，所以，
所以異面直線和的距離，
所以、間距離的最小值為；
故答案為：
變式4. （21-22高二上·江蘇鎮江·期中）已知在邊長為6的正方體中，點分別為線段和上的動點，當 時，線段取得最小值 .
【答案】
【分析】根據題意，設，線段取得最小值，此時滿足，再根據向量法求解即可.
【詳解】解： 如圖，建立空間直角坐標系，則，，，
，
設，線段取得最小值，此時滿足.
所以，
，
所以，即，解得，
此時
所以當時，線段取得最小值，最小值為
故答案為：；.
變式5. （20-21高二·全國·單元測試）已知，，點在軸上，點在直線上，則線段長的最小值為 ．
【答案】
【分析】如圖將點放在棱長為的正方體中，建系如圖，取，根據題意求異面直線和之間的距離即可，先求和的公垂線的方向向量，再利用公式計算即可求解.
【詳解】如圖：在棱長為的正方體中，以為原點，建系如圖：
則，，，，
所以，，
因為點在軸上，點在直線上，
求線段長的最小值也即是求異面直線和之間的距離，
設直線和的公垂線的方向向量，
由 可得：，令，則，
所以，
因為，
所以異面直線和之間的距離為
，
即線段長的最小值為，
故答案為：.
變式6. （2021高二上·全國·專題練習）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線上移動，若，則長度的最小值為 ．
【答案】
【分析】的最小值即為兩條異面直線間的距離，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設異面直線的公垂向量為，由距離公式可求得答案.
【詳解】分別是異面直線上的點，的最小值即為兩條異面直線間的距離，
平面 平面，，平面平面，平面，
又，兩兩垂直．以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則， ，
設異面直線的公垂向量為，則,
令，則，，
，即的最小值為．
故答案為：
變式7. （20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是 ．
【答案】
【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算出異面直線、的公垂線的長度，即為所求.
【詳解】由題意可知，線段長度的最小值為異面直線、的公垂線的長度.
如下圖所示，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，
則點、、、，
所以，，，，
設向量滿足，，
由題意可得，解得，取，則，，
可得，
因此，.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵在于將長度的最小值轉化為異面直線、的距離，實際上就是求出兩條異面直線的公垂線的長度，利用空間向量法求出兩條異面直線間的距離，首先要求出兩條異面直線公垂線的一個方向向量的坐標，再利用距離公式求解即可.
變式8. （18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出目標的表達式，從而可得最小值.
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，
則 ,
設,,.
,.
,
當且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.
【點睛】本題主要考查空間向量的應用，利用空間向量求解距離的最值問題時，一般是把目標式表示出來，結合目標式的特征，選擇合適的方法求解最值.
【方法技巧與總結】
計算兩點間的距離的兩種方法
1.利用|a|2a·a，通過向量運算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用||求解．
2.用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時．
【題型2：向量法求點線距】
例2.（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經過，兩點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意先求出直線的方向向量，然后依次求得，則到直線的距離為，求解即可.
【詳解】由題意可知直線的方向向量為：，
又，則，
，
點到直線的距離為：.
.
變式1．（23-24高二下·江西·階段練習）已知正方體的棱長為是棱的中點，若點在線段上運動，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以點D為原點，建立空間直角坐標系，借助空間向量結合二次函數求解作答.
【詳解】在棱長為2的正方體中，以分別為軸建立空間直角坐標系，
則有，則，
設點，
則點到直線的距離
，
當且僅當時取等號，則點到直線的距離的最小值為.
.
變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，，三角形重心為G，則點P到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求點到直線的距離即可得解.
【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，
則，， ，則，
，，
故在的投影為，
點到線的距離為.
.
變式3．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F滿足，，則點E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量法求點到直線的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，根據條件可得，，，
，，設向量與的夾角為，
，
所以點到直線的距離為.
.
變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開學考試）如圖，四邊形都是邊長為2的正方形，平面平面，P，Q分別是線段的中點，則（ ）
A．
B．異面直線所成角為
C．點P到直線的距離為
D．的面積是
【答案】AC
【分析】建立適當的空間直角坐標系，對于A，判斷是否平行即可；對于B，求出兩直線的方向向量，由兩向量的夾角的余弦公式即可驗算；對于C，由公式即可驗算；對于D，由得，Q到的距離即為P到的距離，結合三角形面積公式即可驗算.
【詳解】由題意知兩兩垂直，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，
則，，，，，
又P，Q分別是線段AE，BD的中點，所以，，
所以，，
又PQ，DF不共線，所以，故A正確；
，，
設異面直線所成角為θ，則，
又，所以，即異面直線所成角為，故B錯誤；
由，，得，
所以點P到直線DF的距離為，故C正確；
因為，所以Q到的距離即為P到的距離，
所以的面積．故D錯誤．
C．
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是線段上的點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在點E，使得平面
B．當點E為線段的中點時，點到平面的距離為2
C．點E到直線的距離的最小值為
D．當點E為棱的中點，存在點，使得平面與平面所成角為
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根據點面距離，以及點線距離，求解BC，利用兩平面的法向量的夾角即可求解D.
【詳解】對A選項，以，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建系如圖：
則根據題意可得,0,,,0,,,0,,,2,,，
設,2,，
所以，，，
假設存在點，使得平面，
則，，
解得，
所以存在點，使得平面，此時點與點重合，故A正確；
對于B，點E為線段的中點時，,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
,故點到平面的距離為，故B正確，
對C選項,,2,，,
點到直線的距離為，
故當時，即點為中點時，此時點到直線的距離的最小值為，故C錯誤；
對D選項，點E為線段的中點時，,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
設,,,
設平面的法向量為，則，取，則，
若存在點，使得平面與平面所成角為，
則，化簡得，解得或，由于，所以，故D正確，
BD．
變式6．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知空間直角坐標系中的點，則點到直線的距離為 .
【答案】
【分析】設為三角形的邊上的高，由三點共線，以及，可通過待定系數得出，結合模長公式即可得解.
【詳解】由題意設為三角形的邊上的高，而，
因為三點共線，設，
因為，所以，解得，
所以，所以點到直線的距離為.
故答案為：.
變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；
(2)求證：面.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）依題建系，求得相關點和向量的坐標，利用點到直線的距離的空間向量計算公式即可求得；
（2）由（1）中所建的系求出的坐標，分別計算得到和，由線線垂直推出線面垂直.
【詳解】（1）

如圖,以為原點，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，
正四棱柱,為中點,
則點到直線的距離為：.
（2）由（1）可得，
則，
由可得，
又由可得，
又，
故面.
變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習）如圖所示，在四棱錐中，是矩形，平面，，，E是PB上一點，且，求點E到直線PD的距離.
【答案】
【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算代入計算，即可得到結果.
【詳解】
以A為原點，分別為軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，
設，則，
則，
所以點E到直線PD的距離.
【方法技巧與總結】
用向量法求點線距的一般步驟
建立空間直角坐標系；
（2）求直線的方向向量；
（3）計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影長；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
【題型3：用向量法求點面距】
例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．直線和所成的角為
B．四面體的體積是
C．點到平面的距離為
D．平面與平面所成二面角的正弦值為
【答案】CCD
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算A、C、D，利用割補法求出四面體的體積，即可判斷B.
【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，
對于A，，故，
故，即直線和所成的角為，故A錯誤；
對于B，易得四面體為正四面體，
則，故B正確；
對于C，，
設平面的法向量為，則有，
令，則，故點到平面的距離，故C正確；
對于D，設平面的法向量為，則有，
令，則，所以，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為，故D正確．
CD
變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，是線段上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）

A．直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為
B．點到平面的距離為
C．四面體的體積為
D．若線段的中點為，則一定平行于平面
【答案】CD
【分析】建系，求平面的法向量.對于A：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求點到面的距離；對于C：根據錐體的體積公式運算求解；對于D：利用空間向量證明線面平行.
【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，設，
可得，
設平面的法向量，則，
令，則，可得，
對于選項A：設直線與平面所成角為，
可得，
所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為，故A錯誤；
對于選項B：點到平面的距離為，故B正確；
對于選項C：由題意可知：，
所以四面體的體積為，故C錯誤；
對于選項D：由題意可知：，則，
可得，可知，
且平面，所以一定平行于平面，故D正確；
D.
【點睛】關鍵點點睛：求平面的法向量，進而利用空間向量處理相關問題.
變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長為2的正方體中，E，F分別為正方形和正方形的中心，則點到平面的距離為 .
【答案】/
【分析】建系，寫出相關點的坐標，分別求出與平面的法向量的坐標，代入點到平面距離的向量計算公式計算即得.
【詳解】
如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系.
則,
于是，，,
設平面的法向量為，則，
故可取，則點到平面的距離為.
故答案為：
變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正方體的棱長為，為棱（包含端點）上的動點，則點到平面距離的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用坐標法可得點到平面的距離，進而可得范圍.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，，，
設，其中，
則，，
設平面的法向量為，
則，
令，故，
而，
故到平面的距離，
故答案為：.
變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，，，E為AC的中點，．

(1)求證：平面平面ABC；
(2)求點C到平面PAB的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）先證，再證平面由線面垂直推出面面垂直即得；
（2）先證平面，建立空間直角坐標系，求出相關向量坐標，利用點到平面距離的向量公式計算即得.
【詳解】（1），E為AC的中點，
又，且平面 ，故平面．
又平面ABC，所以平面平面ABC
（2）在三角形ABC中：，

由（1）知平面．因平面 ．
又E為AC的中點，則垂直平分AC，，
，又
，即，又平面，故得，平面.
故可以E為坐標原點，分別以、、所在方向為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖.

則，，，，
，，，
設平面PAB的一個法向量為，則
令，得．
設點C到平面PAB的距離，則．
變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，，，，E，F分別是AB，BC的中點．

(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算以及點到面的距離公式代入計算，即可求解；
（2）結合直線到平面的距離公式，代入計算，即可求解.
【詳解】（1）
，，．
又，，平面，
面ABCD，
故建立如圖所示的空間直角坐標系．
則，，，，，，
，，，
設為面PEF的法向量，，
令，則，，，，
設點D到平面PEF的距離為d，則．
（2）因為，平面，平面，
所以平面，所以直線AC到平面PEF的距離等于點A到平面PEF的距離，
設點A到平面PEF的距離為，，則．
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，若M、N分別為棱、的中點，O為中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求點N到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）要證面面垂直，可以先證線線垂直，線面垂直，再證面面垂直即可，
（2）建立空間直角坐標系，求出及平面的法向量，采用向量法來求點到平面的距離．
【詳解】（1）平面，面，
，．
矩形，
，故、、兩兩垂直．
分別以、、所在直線為軸、軸和軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
則，，，，．
，，，
設平面的法向量為，則可取，
設平面的法向量為，，，則可取，
，
，
平面平面．
（2）解：設平面的法向量為．
，，
由得可取
，平面的法向量為 ，
．
變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.
(1)求證：平面DEC；
(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
(3)求點D到平面BEF的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出，平面的一個法向量為，則由，即可證得平面DEC；
（2）分別求出平面與平面的一個法向量，則利用向量坐標運算，求得平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
（3）由平面的一個法向量為，，利用點到平面的距離公式即可求得點D到平面BEF的距離.
【詳解】（1）
由已知，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，
由平面ABCD，所以，又，
，平面，
所以平面，
以D為原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
已知，
則，所以，
易知平面的一個法向量為，
得，又平面，
所以 平面.
（2）由上坐標系可知，則，
設平面與平面的一個法向量分別為，
則有，，
取，則，即，
設平面與平面的夾角為，則.
（3）由（2）得平面的一個法向量為，
又，所以點D到平面的距離.
變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意可證平面，結合面面垂直的判定定理分析證明；
（2）建系標點，分別為求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角；
（3）求平面的法向量，利用空間向量求點到面的距離.
【詳解】（1）因為平面，平面，則，
又因為為矩形，則，
且，平面，可得平面，
且平面，所以平面平面.
（2）由題意可知：平面，且，
如圖，以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，
由題意可得，解得，
則，
可得，
設平面的法向量為，則，
令，則，可得；
設平面的法向量為，則，
令，則，可得；
則，
由題意可知：二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.
（3）設平面的法向量為，則，
令，則，可得，
所以點到平面的距離.
【方法技巧與總結】
用向量法求點面距的步驟
建系：建立恰當的空間直角坐標系；
求點坐標：寫出（求出）相關點的坐標；
（3）求向量：求出相關向量的坐標（，α內兩個不共線向量，平面α的法向量n）；
（4）求距離d=
【題型4：用向量法求線面距】
例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長為2的正方體中，，，分別是的中點，則直線與平面之間的距離為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，先利用向量法證明平面EMN，根據線面距離的定義把直線AC到平面EMN的距離轉化為點A到平面EMN的距離，再利用點面距離的向量公式求解即可.
【詳解】如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，
則，
所以，設平面的一個法向量為，
則令，可得，所以，
即，又平面，所以平面，
故點到平面的距離即為直線到平面的距離，
又，所以點到平面的距離為，
即直線與平面之間的距離為.
變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，點是側面上的動點，且截面，則下列說法正確的是（ ）

A．直線到截面的距離是定值
B．點到截面的距離是
C．的最大值是
D．的最小值是
【答案】ABC
【分析】由截面，可得直線到截面的距離即為點到截面的距離，利用空間向量法求出點到平面的距離，即可判斷A、B，取的中點為，取的中點為，取的中點為，即可證明平面平面，則線段掃過的圖形是，求出的取值范圍，從而判斷C、D.
【詳解】因為截面，是的中點，
所以直線到截面的距離，即為點到截面的距離，為定值，
如圖建立空間直角坐標系，則，，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，取，
所以點到截面的距離，
所以點到截面的距離是，故A、B正確；

取的中點為，取的中點為，取的中點為，如圖所示

因為是的中點，是的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
同理可證平面，
又，平面，
所以平面平面.
又平面，線段掃過的圖形是，
即點的軌跡為線段，
由，得，,
，，
所以，即為直角，
所以線段長度的取值范圍是，即，
所以的最大值是，的最小值是，故C正確，D錯誤.
BC
【點睛】關鍵點點睛：求點到平面的距離關鍵是利用空間向量法，當然也可利用等體積法，C、D主要是確定動點的軌跡，從而確定的取值范圍.
變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正四面體的棱長為，點、分別為和的重心，則直線到平面的距離為 ．
【答案】
【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標系，利用坐標法可證線面平行，進而可得直線到平面的距離.
【詳解】將正四面體放入正方體中，
以點為原點，以、、所在直線為軸、軸、軸，如圖所示，
因為正四面體的棱長為，所以正方體的棱長為，
則，，，
因為點、分別為和的重心，
所以點的坐標為，點的坐標為，
所以,
設平面的一個法向量為，
因為，，
所以，取，則，
因為，且直線不在平面上，
所以直線平面，
所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，
點到平面的距離，
故答案為：.
變式3．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，在邊長為1的正方體中，點在上，點在平面內，設直線與直線所成角為.若直線到平面的距離為，則的最小值為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法表示出到面的距離，進而求出點坐標，過作平面的平行平面，得到點的軌跡，再利用向量法求線線角，進而求其最值即可.
【詳解】因為直線到平面的距離為，
所以必有面，即點到平面的距離為，
如圖建立空間直角坐標系，設，又，
則，
設面的法向量為，
則，取得，
則，解得，即，
過作平面的平行平面，與正方體的截面為，
分別為線段和線段的中點，則
所以在直線上，
設，
又，則，
當時，，
當時，，
又，所以，
則的最小值為.
故答案為：
變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.
(1)證明：；
(2)求直線與平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質證明即可；
（2）連接,，以點為原點，建立空間直角坐標系，利用點到平面距離公式求解即得.
【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以，
又平面，平面，則平面，
又平面，平面平面，所以.
（2）由（1）知，平面，
則點到平面的距離即為與平面的距離，
連接,，由均為正三角形，為的中點，得，
又平面平面，平面平面平面，
于是平面，又平面，則，
以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，，又，，
又，可得，
所以，，，
設平面的一個法向量為，則，
令，得，
設點到平面的距離為，則，
所以與平面的距離為.
變式5．（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.
(1)證明：平面平面；
(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質與勾股定理，結合三線合一證得，，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.
（2）由線面平行判定定理可證得平面，則點到平面的距離即為到平面的距離.方法一：以為原點建立空間直角坐標系，運用點到面的距離公式計算即可.方法二：運用等體積法計算即可.
【詳解】（1）證明：連接，如圖所示，
平面，
，
，即，
又為中點，則，且，
四邊形為正方形，，
平面平面，
又，、平面，平面，
又平面平面平面.
（2）在中，分別為中點，，
又平面平面，平面，
點到平面的距離即為到平面的距離，
（方法一）
，
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，
則，
，
設是平面的法向量，
，
取，則是平面的一個法向量，
點到平面的距離為，
即直線到平面的距離為.
（方法二）
連接、，如圖所示，
為等腰直角三角形，，
又平面是三棱錐的高，
，
，
，
，
設到平面距離為，則，
，
即到平面的距離為.
變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．
(1)a為何值時，的長最小？
(2)當的長最小時求平面與平面夾角的余弦值；
(3)當的長最小時求直線到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間兩點間距離公式、配方法進行求解即可得；
（2）利用空間向量夾角公式進行求解即可得，
（3）可得平面，借助空間向量中點到平面的距離公式求解即可得.
【詳解】（1）因為平面平面，，，
且平面平面，平面，
故平面，又平面，
故，從而兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，
有、、、、，
，，，
，
，
當時，最小，最小值為；
（2）由（1）可知，當，為、中點時，最短，
則，，
，，，
令平面與平面的法向量分別為、，
則有，，取，
則有，，
則，
平面與平面夾角的余弦值是；
（3），當的長最小時，平面的法向量為，
有，故平面，
故直線到平面的距離等于點到平面的距離，
，故，
即當的長最小時直線到平面的距離為.
變式7．（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，四邊形為正方形，且平面平面．
(1)證明：；
(2)求直線到平面的距離；
(3)求平面與平面夾角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用余弦定理計算AC，再證明即可推理作答.
（2）以點A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點C到平面BEF的距離即可求出線面距離.
（3）利用（2）中坐標系，用向量數量積計算兩平面夾角余弦值，進而求解作答.
【詳解】（1）在中，，由余弦定理得，
，即，有，則，即，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，又平面，
所以.
（2）由四邊形為正方形，得，由（1）易知兩兩垂直，
以點A為原點，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，
，
，設平面的一個法向量，
則，令，得，
而，于是得點C到平面的距離，
而，平面，平面，則平面，
所以線到平面的距離等于點C到平面的距離為.
（3）由（2）知，，設平面的一個法向量，
則，令，得，設平面BEF與平面ADF夾角為，
于是，，
所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為.
【方法技巧與總結】
求直線與平面間的距離，往往轉化為點到平面的距離求解，且這個點要適當選取，以求解最為簡單為準則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點到平面的距離求解，但在求點到平面的距離時有時用直線到平面的距離進行過渡.
【題型5：用向量法求面面距】
例5．（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結論錯誤的是（ ）

A． B．異面直線、所成的角為
C．幾何體的體積為 D．平面與平面間的距離為
【答案】D
【分析】根據線線平行、異面直線所成角、幾何體體積、面面距等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】由于四邊形是矩形，所以，
由于，平面，所以平面，
由于平面平面，所以平面.
由于平面，所以，
由于，所以平面，由于平面，
所以，同理可證得，
所以,
所以四邊形是平行四邊形，所以，，A選項正確.
由于，所以異面直線、所成的角為（或其補角），
由于，所以三角形是等邊三角形，所以，
即異面直線、所成的角為，B選項正確.
將幾何體補形為正方體，如下圖所示，
所以，C選項錯誤.
由上述分析可知，由于平面，平面，
所以平面.同理可證得平面，
由于，所以平面平面.
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，
設平面的法向量為，
則，故可設，
，平面與平面間的距離，即到平面的距離，
所以距離為，D選項正確.

變式1．（22-23高二下·安徽阜陽·階段練習）在棱長為2的正方體中，下列說法不正確的是（ ）
A．直線與平面所成的角為
B．
C．三棱錐外接球的表面積為
D．平面與平面的距離為
【答案】A
【分析】根據線面角的定義即可判斷A，建立空間直角坐標系，通過空間向量的坐標運算即可判斷BD，由三棱錐外接球與正方體的外接球相同即可判斷C.
【詳解】
連接，與相交于點，因為平面，且平面，
所以，又因為，，所以平面，
即直線與平面所成的角為，且，故A錯誤；
連接，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
則
設平面的法向量為，
則，解得，取，則
所以，則，所以平面，
且平面，則 ，故B正確；
因為三棱錐外接球就是正方體的外接球，
設其外接球的半徑為，則，即，
所以，故C正確；
因為平面平面所以平面
同理平面 又平面,
所以平面平面，
由B選項可知，平面的法向量為，且，
則兩平面間的距離，故D正確.
故選:A
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將平面與平面的距離轉化為點到平面的距離，建立空間直角坐標系，，然后用空間向量求解
【詳解】由正方體的性質：∥,∥，
，，
且平面，平面，
平面，平面，
所以平面平面，
則兩平面間的距離可轉化為點B到平面的距離．
以為坐標原點，所在的直線分別為軸
建立空間直角坐標系，如圖所示：
由正方體的棱長為1，所以，，，
，，
所以，，
，．
連接，
由，，
所以，
且，
可知平面，
得平面的一個法向量為，
則兩平面間的距離：
．
.
變式3．（21-22高二上·浙江紹興·期末）空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得，，，設向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.
【詳解】解：由已知得，，，設向量與向量、都垂直，則
，即，取，，
又平面平面，則平面與平面間的距離為，
.
變式4．（21-22高二·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：
(1)直線與平面的距離；
(2)平面與平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）證明出平面平面，可得出平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面的距離；
（2）利用空間向量法可求得平面與平面的距離．
【詳解】（1）解：因為平面，四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、、、，
因為、分別為、的中點，則，
平面，平面，平面，
因為且，、分別為、的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
設平面的法向量為，，，
則，取，可得，，
所以，直線與平面的距離為.
（2）解：因為平面平面，則平面與平面的距離為.
變式5．（20-21高二·全國·課后作業）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，
（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）如圖所示，建立空間直角坐標系，證明，，即可得EF∥MN，AM∥BF，從而可證MN∥平面EFBD，AM∥平面EFBD，再利用面面平行的判定定理即可得證；
（2）因為平面AMN∥平面EFBD，所以點B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離，求出平面AMN的法向量，從而可求的答案.
【詳解】（1）證明：如圖所示，建立空間直角坐標系，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
從而(2，2，0)，(2，2，0)，(－2，0，4)，(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因為MN∩AMM，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因為平面AMN∥平面EFBD，
所以點B到平面AMN的距離即為平面AMN與平面EFBD間的距離．
設是平面AMN的法向量，
則有即，可取，
由于(0，4，0)，
所以點B到平面AMN的距離為，
所以平面AMN與平面EFBD間的距離為．
【題型6：線線距離】
例6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與的距離為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】在直線上任意一點，作，設，，根據得出和的關系，再由模長公式得出與的關系，再求最值即可.
【詳解】設為直線上任意一點，過作，垂足為，可知此時到直線距離最短，
設，，
，
，因為，所以，
即，所以，即，
所以，
所以，
所以當時，取得最小值，所以直線與的距離為.
變式1. （23-24高二上·山東棗莊·階段練習）如圖，在正方體中，，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量即可根據公式求解.
【詳解】以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，易知，
，設同時垂直于，
由，令，得，
又，則異面直線間的距離為.
．
變式2. （21-22高二上·上海浦東新·期中）如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，求出與和垂直的向量坐標，求出異面直線間的距離.
【詳解】以D為原點，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，
則，，設與和都垂直，
則，即，取，又因為，
所以異面直線和間的距離為.
.
變式3. (多選)（2023·遼寧朝陽·一模）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．與垂直
B．是異面直線與的公垂線段，
C．異面直線與所成的角為
D．異面直線與間的距離為
【答案】ABD
【分析】建立空間直角坐標系，運用空間向量逐項分析.
【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸， 為z軸，建立如下圖所示坐標系：
則： ，
，
設 ，
則有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
對于A， ， ， ，正確；
對于B， ， ，
即，又,
故是異面直線與的公垂線段，正確；
對于C，設 與 所成的角為 ，則 ，
，，錯誤；
對于D，由B知 是 與 的公垂線段， ，正確；
BD.
變式4. （23-24高二上·北京昌平·階段練習）在棱長是的正方體中，為的中點，則異面直線和間的距離是
【答案】/
【分析】
建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，利用空間距離的向量求法，即可求得答案.
【詳解】以D為坐標原點，以為軸建立空間直角坐標系，

則，
則，
設與異面直線和都垂直的向量為，
則，令，則，
又，故異面直線和間的距離是，
故答案為：
變式5. （21-22高二·全國·課后作業）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是 ．
【答案】#
【分析】建立空間直角坐標系，直接利用異面直線之間的距離公式求解即可.
【詳解】以為坐標原點，分別以，,為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則,,,,
∴,,
設是，的公垂線方向上的單位向量，
則，即①，
，即②，
易知③，
聯立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
則異面直線與的距離，
故答案為：.
變式6. （21-22高二·全國·單元測試）如圖，在正方體中，AB1，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為 .
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，表示出，求出同時垂直于的，再通過公式求距離即可.
【詳解】
以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系，易知，
，設同時垂直于，由，令，得，
又，則異面直線，EN間的距離為.
故答案為：.
一、單選題
1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空間點到直線的距離公式計算求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以在上投影的長度為，
所以點到直線的距離為.
2．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知，則點O到平面ABC的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，利用公式求出點到平面的距離.
【詳解】，設平面ABC的法向量為，
則，
令得，，故，
故點O到平面ABC的距離為.
3．（22-23高二上·河南焦作·期末）在棱長為2的正方體，中，、分別是、的中點，則點到截面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量點到平面距離公式進行計算.
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量為，
則，
令，則，
故設平面的法向量為，
所以點到截面的距離為.
4．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用點到直線距離的向量表示可直接求得答案.
【詳解】因為，所以，，
所以，
所以點C到直線AB的距離=，
．
5．（22-23高二下·四川成都·期末）在空間直角坐標系中，已知，則四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用空間向量法求出高，運用錐體體積公式進而求出體積
【詳解】如圖所示，正方體邊長為1，建立坐標系，
則.則四面體為正三棱錐.
底面為等邊，且邊長為.則面積為.
，.設平面法向量為，
則，故.
則到平面的距離為．
則四面體的體積為.
6．（23-24高二下·河南·階段練習）如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先得到，再平方求解.
【詳解】解：由題意得，
故，
，
則.
.
7．（23-24高二下·江蘇·期中）已知點，記點M到x軸的距離為a，到y軸的距離為b，到z軸的距離為c，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別求出點M在x軸，y軸，z軸上的投影點的坐標，再借助空間兩點間距離公式計算作答.
【詳解】設點M在x軸上的投影點，則，而x軸的方向向量，
由得：，解得，則，
設點M在y軸上的投影點，則，
而y軸的方向向量，
由得：，解得，則，
設點M在z軸上的投影點，則，而z軸的方向向量，
由得：，解得，則，
所以.
8．（23-24高二下·江西·開學考試）在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則=（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據，得到PA，PB，PC兩兩垂直，從而把該三棱錐補成一個正方體求解.
【詳解】解：在正三棱錐中，，又，，所以，所以，
同理可得，，即PA，PB，PC兩兩垂直，
把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得，
如圖，建立空間直角坐標系，

則，，，，
所以，，，
設平面ABC的一個法向量為，
則，
令，則，所以，
則點O到平面ABC的距離，
所以．
．
二、多選題
9．(多選)（22-23高二上·遼寧·期中）如圖，在正四棱柱中，，為四邊形對角線的交點，下列結論正確的是（ ）
A．點到側棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為
C．若，則平面 D．點到平面的距離為
【答案】CD
【分析】利用正四棱柱的體對角線等于外接球直徑，以及空間位置關系的向量方法證明和空間距離的向量方法計算方法即可求解.
【詳解】對于A, 到側棱的距離等于,
到側棱的距離相等且等于,故A錯誤；
對于B，設正四棱柱外接球的直徑為，則有,
即，所以外接球的體積等于，故B正確；
對于C，建立空間直角坐標系，如圖，
則,
因為，所以,
所以，，,
所以，所以與平面不垂直，故C錯誤；
對于D,由以上知，設平面的法向量為，
則有，,
,即，令則，
所以，
因為,所以點到平面的距離為，故D正確.
故選:BD.
10．（23-24高二下·甘肅·期中）如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一個法向量
D．點到平面的距離為
【答案】ACD
【分析】對于A，由線面平行的判定定理證明即可；對于B，由空間向量判斷異面直線垂直即可；對于C，由平面法向量求解即可；對于D，由點到平面的距離公式計算即可.
【詳解】對于A，由于，分別是的中點，
所以平面平面，
所以平面，故A正確；
對于B，，
故，，
故與不垂直，進而可得與不垂直，故B錯誤；
對于C，由，所以，
設平面的法向量為，則，
令，則，所以平面的一個法向量，故C正確；
對于D，，點到平面的距離為，故D正確.
CD．
11．（24-25高二上·江蘇·假期作業）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動點．則（ ）
A．平面平面
B．為的中點時，
C．存在點，使得直線與的距離為
D．存在點，使得直線與平面所成的角為
【答案】AB
【分析】選項，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判斷；選項B，取的中點，連接，，可證，，從而作出判斷；選項C，先證平面，從而將原問題轉化為求點到平面的距離，再以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求點到面的距離，即可作出判斷；選項D，利用向量法求線面角，即可得解．
【詳解】對于選項A，由題意知，，平面，
因為平面，所以，
又，、平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面，即選項A正確；
對于選項B，當為的中點時，取的中點，連接，，
則，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
因為和都是等腰直角三角形，所以，
所以，所以，即選項B正確；
對于選項C，因為，且平面，平面，
所以平面，
所以直線與的距離等價于直線到平面的距離，
也等價于點到平面的距離，
以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
設點，其中，，
由射影定理知，，即，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
取，則，，所以，
若直線與的距離為，則點到平面的距離為，
而點到平面的距離，
所以不存在點，使得直線與的距離為，即選項C錯誤；
對于選項D，，，
所以，，，
設平面的法向量為，則，
取，則，，所以，
若直線與平面所成的角為，
則 ，
由，知，
代入上式整理得，此方程無解，
所以不存在點，使得直線與平面所成的角為，即選項D錯誤．
B．
三、填空題
12．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習）如圖，棱長為1的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為 .
【答案】
【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得向量和平面的一個法向量，結合空間向量的距離公式，即可求解.
【詳解】以為坐標原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則，
則，
設平面的法向量為，則，
取，則，所以，
所以點到平面的距離為.
故答案為：.
13．（23-24高二上·天津·期末）已知空間中三點，，，則點到直線的距離為 .
【答案】
【分析】根據空間中點到直線的距離的向量公式求解.
【詳解】由點的坐標可得，
則點到直線的距離為.
故答案為：
14．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個頂點均在以為球心的球面上，設點到平面的距離為，到平面的距離為，則 ．
【答案】
【分析】根據，得到兩兩垂直，從而把該三棱錐補成一個正方體，再建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.
【詳解】在正三棱錐中，，又，，
所以，所以，
同理可得，，即兩兩垂直，
把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，如圖所示，
正方體的體對角線就是外接球的直徑，則，
如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，
令，則，所以，
則點到平面的距離，
所以．
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求點到平面的距離，方法如下：
（1）等體積法：先計算出四面體的體積，然后計算出的面積，利用錐體的體積公式可計算出點到平面的距離；
（2）空間向量法：先計算出平面的一個法向量的坐標，進而可得出點到平面的距離為.
四、解答題
15．（24-25高二上·江蘇·假期作業）如圖所示，在四棱錐中，側面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，．
(1)取線段中點連接，判斷直線與平面是否平行并說明理由；
(2)求到平面的距離；
(3)線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)平面，理由見解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中點，連接，證出四邊形為平行四邊形，即可得證；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量以及，利用到平面的距離的向量公式即可求解；
（3）平面的法向量以及，利用向量夾角公式即可求解．
【詳解】（1）平面．
理由如下證明：取中點，連接，
因為為的中點，且，，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以平面．
（2）取的中點，連接，，
因為為等邊三角形，
所以，
又因為平面平面，平面平面，
所以平面，
如圖所示，
以為坐標原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，
則,,，,1,，,0,，,,，，
，，
設平面的法向量為，
所以，
令，則，
，
故到平面的距離．
（3）設,,，，
所以，
所以，
則，，
設平面的法向量為,,，
則，
令，則，
又平面的法向量為，
于是，
化簡得，又,，
得，
即，
故存在點，此時．
16．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，且平面，．求：
(1)平面與平面所成的二面角的正弦值；
(2)點到平面的距離．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接建立空間直角坐標系，先求法向量，再求兩法向量夾角的余弦值，再求正弦值即可；
（2）直接用空間向量法求點到面的距離.
【詳解】（1）以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系．
，，，，，，
設平面的法向量，則，令，則，
所以．
取平面的法向量為，，
所以，
即平面與平面所成的二面角的正弦值．
（2），平面的法向量為，
點到平面的距離.
17．（23-24高一下·廣西·階段練習）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由等邊三角形三線合一可得，再由側棱垂直于底面可得面即可得出結論；
（2）可由等體積法計算即可得出.
【詳解】（1）法一:是等邊三角形，且是中點
面，面
面，面，且 面
面
法二：取的中點，則面，可知兩兩垂直，
如圖以為軸，為軸，為軸，則，，，；
所以，，則，即 ；
（2）法一：由題可知：；
在中，，；
取中點，在中，，
邊上的高為；
；
設點到平面的距離為，則，
解得，即點到平面的距離為．
法二：，，，，
設面的法向量為，；
設點到面的距離為，
故點到平面的距離為.
18．（23-24高二下·江蘇連云港·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形， ，平面平面.
(1)證明：；
(2)若點是的中點，點是線段上的點，點到平面的距離是.求：
①直線與平面所成角的正弦值；
②三棱錐外接球的表面積.
【答案】(1)證明見解析
(2)；
【分析】（1）由平面平面先證平面，得，從而根據線面垂直的判定定理得平面即可得證；
（2）①建立空間直角坐標系，利用點到平面的距離確定點的坐標，再利用線面角的向量法求解；②取的中點，其為直角三角形外心，則三棱錐外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，即可確定半徑，得解.
【詳解】（1）取的中點，連接，在直角梯形中，，
則四邊形為正方形，所以，
在等腰直角三角形 中，，
為等腰直角三角形，而，故，
則有，所以，
因為平面平面平面平面，平面 ，
所以平面，又平面，所以，
又因為，直線有公共點，平面
所以平面又平面得；
（2）以A為坐標原點，分別以所在的直線為 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則，，，，，，
，，，
設，則，則，
設平面的一個法向量為，
則 ，得 ，
取 ，則 ，得平面的一個法向量為，
點P到平面的距離為，
解得，此時，，
①設直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值；
②取的中點，其為直角三角形外心，且，
則三棱錐外接球的球心在過點且垂直于平面的直線上，
即平面，設，
由，
得，
解得，
故外接球的半徑為，
其表面積為，
故三棱錐外接球表面積為.
【點睛】關鍵點睛：求解外接球的相關問題，關鍵是根據題意結合幾何題的特征，確定外接球的球心位置，進而求出半徑，即可求解.
19．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習）如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．

(1)證明：平面；
(2)若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)求動點Q到線段的距離的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）根據空間中的垂直關系的轉化，結合線面垂直的判定即可求證；
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角；
（3）根據向量共線求出，利用空間向量表示出點到直線距離，利用二次函數性質求范圍即可.
【詳解】（1）
因為折疊前為中點，，所以，折疊后，，
所以，所以，在折疊前分別為中點，
所以，又因為折疊前，所以，所以在折疊后，
，；以為坐標原點， 、、分別為、、軸建立
空間直角坐標系，則，，，，，
為中點，所以，，設平面的法向量為
，又，，所以，
，令，則，，所以，所以，
所以，所以平面.
（2）設，由（1）知，，因為動點Q在線段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，設平面的法向量為，，
，令，則，，所以，
設平面的法向量為，所以
，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
（3）設，，，動點Q在線段上，
所以，，即，即，
所以，，，
設點Q到線段的距離為，，
，，
，，令，，
則，，根據二次函數的性質可知，
所以，由此可知動點Q到線段的距離的取值范圍為.
20．（23-24高二上·全國·期中）已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．
(1)若為的中點，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時平面與平面的夾角的余弦值．
(2)在（1）的條件下，設，，，且四面體的體積為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據二面角可知，可證平面，建系，根據題意利用空間求點的坐標，進而求面面夾角；
（2）根據題意關系結合點到面距離的向量求法運算求解.
【詳解】（1）由題意知，，，
，，平面，可得平面，
且為二面角的平面角，即，
連接，而，則為正三角形，取的中點，
連接，則，由平面，平面，
所以平面平面，
而平面平面，平面，
可得平面，
取的中點，連接，由矩形得，
以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，
則點，
可得，
設點， 則，
設平面的法向量，則，
令，則，，可得，
因為直線與平面所成的角為，
則，解得或（舍，
即，
設平面的法向量為，則，
令，則，，可得，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
（2）因為，，可知，分別為，的中點，
又因為為的中點，則，
可得， ，
設平面的一個法向量為，則，
令，則，，可得，
因為，，，
由余弦定理得，
可知為銳角，可得，
則，
因為四面體的體積為，設點到平面的距離為，
則，解得，
因為，則，可得，
則，解得．
所以的值為
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.2.5空間中的距離
課程標準 學習目標
1．理解圖形與圖形之間的距離的概念.，提升學生的數學抽象素養 2．理解并掌握兩點之間、點到直線的距離的概念及它們之間的相互轉化,會用法向量求距離:提升學生的數學抽象數學運算的素養、 1.能用向量方法進行有關距離的計算 2.能用向量方法求點到面的距離
知識點01 兩點間的距離
1.兩點間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），
|AB|=
2用向量表示 兩點間距離=(,,),|AB|=
【即學即練1】（2024高二下·江蘇·學業考試）已知點，則=（ ）
A． B． C． D．4
【即學即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習）如圖，已知線段在平面內，，且，則 .

知識點02 點到直線的距離
定義：若P為直線l外一點，A是l上任意一點，在點P和直線l所確定的平面內，取一個與直線l垂直的向量n，則點P到直線l的距離為d==
設e是直線l的方向向量，則點P到直線l的距離為d=||sin<,e>
【即學即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量，，則B點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量，則點A到直線的距離為 ．
知識點03 點到平面的距離
定義：若P是平面α外一點，PQ⊥α，垂足為Q，A 為平面α內任意一點，設n為平面α的法向量，點P到平面α的距離d=
【即學即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面的一個法向量，點在平面內，則點到平面的距離為（ ）
A．10 B．3 C． D．
【即學即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測試）已知平面經過點，且的法向量，則到平面的距離為 .
知識點04 線面間的距離
1.定義：當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離稱為這條直線與這個平面之間的距離，
2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個法向量，A、B分別是l上和α內的點，則直線l與平面α之間的距離為d．
【即學即練7】（23-24高二上·湖南邵陽·階段練習）在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
【即學即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段AB的中點．
(1)求直線與所成角的余弦值；
(2)求直線到平面的距離．
知識點05 面面間的距離
1.定義：當平面與平面平行時，一個平面內任意一點到另一個平面的距離稱為這兩個平行平面之間的距離．
2.公垂線段：一般地，與兩個平行平面同時垂直的直線，稱為這兩個平面的 公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個平面的公垂線段．顯然，兩個平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長.
3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個法向量，A和B分別是平面α和平面β內的點，則平面α和平面β之間的距離為d．
【即學即練9】（22-23高二·全國·隨堂練習）已知正方體的棱長均為1．
(1)求到平面的距離；
(2)求平面與平面之間的距離．
【即學即練10】（2022高二·全國·專題練習）設正方體的棱長為2，求：
(1)求直線到平面的距離；
(2)求平面與平面間的距離.
難點：建系有難度問題
示例1：（2023·福建龍巖·統考二模）三棱柱中，，，側面為矩形，，三棱錐的體積為．
(1)求側棱的長；
(2)側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

難點：幾何的應用
示例2：（2023·四川成都·校聯考二模）如圖，平面平面，四邊形為矩形，為正三角形，，為的中點.

(1)證明：平面平面；
(2)已知四棱錐的體積為，求點到平面的距離.
【題型1：兩點間的距離】
例1．（22-23高二上·山西運城·期中）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
變式1. （21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱中，，.動點，分別在線段，上，則線段長度的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
變式2. （22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點，E和A，F，使，且已知，則線段的長為 ．
變式3. （22-23高二上·遼寧沈陽·開學考試）正四棱柱中，底面邊長為1，側棱長為分別是異面直線和上的任意一點，則間距離的最小值為 .
變式4. （21-22高二上·江蘇鎮江·期中）已知在邊長為6的正方體中，點分別為線段和上的動點，當 時，線段取得最小值 .
變式5. （20-21高二·全國·單元測試）已知，，點在軸上，點在直線上，則線段長的最小值為 ．
變式6. （2021高二上·全國·專題練習）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線上移動，若，則長度的最小值為 ．
變式7. （20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱中，，，動點、分別在線段、上，則線段長度的最小值是 ．
變式8. （18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為 ．
【方法技巧與總結】
計算兩點間的距離的兩種方法
1.利用|a|2a·a，通過向量運算求|a|，如求A，B兩點間的距離，一般用||求解．
2.用坐標法求向量的長度(或兩點間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時．
【題型2：向量法求點線距】
例2.（2024·全國·模擬預測）已知在空間直角坐標系中，直線經過，兩點，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·江西·階段練習）已知正方體的棱長為是棱的中點，若點在線段上運動，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習）在三棱錐中，，，兩兩垂直，且，，，三角形重心為G，則點P到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·廣西來賓·一模）棱長為3的正方體中，點E，F滿足，，則點E到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．
變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開學考試）如圖，四邊形都是邊長為2的正方形，平面平面，P，Q分別是線段的中點，則（ ）
A．
B．異面直線所成角為
C．點P到直線的距離為
D．的面積是
變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，點P是線段上的點，點E是線段上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在點E，使得平面
B．當點E為線段的中點時，點到平面的距離為2
C．點E到直線的距離的最小值為
D．當點E為棱的中點，存在點，使得平面與平面所成角為
變式6．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知空間直角坐標系中的點，則點到直線的距離為 .
變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱中，，點在線段上，且，點為中點.

(1)求點到直線的距離；
(2)求證：面.
變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習）如圖所示，在四棱錐中，是矩形，平面，，，E是PB上一點，且，求點E到直線PD的距離.
【方法技巧與總結】
用向量法求點線距的一般步驟
建立空間直角坐標系；
（2）求直線的方向向量；
（3）計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影長；
（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
【題型3：用向量法求點面距】
例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體的棱長為2，則下列說法正確的是（ ）
A．直線和所成的角為
B．四面體的體積是
C．點到平面的距離為
D．平面與平面所成二面角的正弦值為
變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，是線段上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）

A．直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為
B．點到平面的距離為
C．四面體的體積為
D．若線段的中點為，則一定平行于平面
變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長為2的正方體中，E，F分別為正方形和正方形的中心，則點到平面的距離為 .
變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正方體的棱長為，為棱（包含端點）上的動點，則點到平面距離的取值范圍是 ．
變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，，，E為AC的中點，．

(1)求證：平面平面ABC；
(2)求點C到平面PAB的距離．
變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長為1的正方形，，，，E，F分別是AB，BC的中點．

(1)求點D到平面PEF的距離；
(2)求直線AC到平面PEF的距離．
變式6．（24-25高二上·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，若M、N分別為棱、的中點，O為中點．
(1)求證：平面平面；
(2)求點N到平面的距離．
變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，且.
(1)求證：平面DEC；
(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；
(3)求點D到平面BEF的距離.
變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求點到平面的距離.
【方法技巧與總結】
用向量法求點面距的步驟
建系：建立恰當的空間直角坐標系；
求點坐標：寫出（求出）相關點的坐標；
（3）求向量：求出相關向量的坐標（，α內兩個不共線向量，平面α的法向量n）；
（4）求距離d=
【題型4：用向量法求線面距】
例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長為2的正方體中，，，分別是的中點，則直線與平面之間的距離為（ ）
A．1 B． C． D．
變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，點是側面上的動點，且截面，則下列說法正確的是（ ）

A．直線到截面的距離是定值
B．點到截面的距離是
C．的最大值是
D．的最小值是
變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正四面體的棱長為，點、分別為和的重心，則直線到平面的距離為 ．
變式3．（23-24高二下·山東煙臺·階段練習）如圖，在邊長為1的正方體中，點在上，點在平面內，設直線與直線所成角為.若直線到平面的距離為，則的最小值為 .
變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點，點在棱上，，直線與平面相交于點.
(1)證明：；
(2)求直線與平面的距離.
變式5．（2024·吉林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，為中點，點在梭上（不包括端點）.
(1)證明：平面平面；
(2)若點為的中點，求直線到平面的距離.
變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．
(1)a為何值時，的長最小？
(2)當的長最小時求平面與平面夾角的余弦值；
(3)當的長最小時求直線到平面的距離．
變式7．（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習）如圖，在平行四邊形中，，四邊形為正方形，且平面平面．
(1)證明：；
(2)求直線到平面的距離；
(3)求平面與平面夾角的正弦值．
【方法技巧與總結】
求直線與平面間的距離，往往轉化為點到平面的距離求解，且這個點要適當選取，以求解最為簡單為準則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點到平面的距離求解，但在求點到平面的距離時有時用直線到平面的距離進行過渡.
【題型5：用向量法求面面距】
例5．（23-24高二上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結論錯誤的是（ ）

A． B．異面直線、所成的角為
C．幾何體的體積為 D．平面與平面間的距離為
變式1．（22-23高二下·安徽阜陽·階段練習）在棱長為2的正方體中，下列說法不正確的是（ ）
A．直線與平面所成的角為
B．
C．三棱錐外接球的表面積為
D．平面與平面的距離為
變式2．（23-24高二上·全國·課后作業）正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（21-22高二上·浙江紹興·期末）空間直角坐標系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（21-22高二·全國·課后作業）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點．求：
(1)直線與平面的距離；
(2)平面與平面的距離．
變式5．（20-21高二·全國·課后作業）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，點M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，
（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．
【題型6：線線距離】
例6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與的距離為（ ）
A．1 B． C． D．
變式1. （23-24高二上·山東棗莊·階段練習）如圖，在正方體中，，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為（ ）
A． B． C．1 D．
變式2. （21-22高二上·上海浦東新·期中）如圖是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式3. (多選)（2023·遼寧朝陽·一模）如圖，在棱長為1正方體中，為的中點，為與的交點，為與的交點，則下列說法正確的是（ ）
A．與垂直
B．是異面直線與的公垂線段，
C．異面直線與所成的角為
D．異面直線與間的距離為
變式4. （23-24高二上·北京昌平·階段練習）在棱長是的正方體中，為的中點，則異面直線和間的距離是
變式5. （21-22高二·全國·課后作業）如圖，多面體是由長方體一分為二得到的，，，，點D是中點，則異面直線與的距離是 ．
變式6. （21-22高二·全國·單元測試）如圖，在正方體中，AB1，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為 .
一、單選題
1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知，則點O到平面ABC的距離是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高二上·河南焦作·期末）在棱長為2的正方體，中，、分別是、的中點，則點到截面的距離為（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知點，則點到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·四川成都·期末）在空間直角坐標系中，已知，則四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·河南·階段練習）如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，則線段的長度為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·江蘇·期中）已知點，記點M到x軸的距離為a，到y軸的距離為b，到z軸的距離為c，則下列結論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·江西·開學考試）在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個頂點均在以O為球心的球面上，設點O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則=（ ）
A．3 B． C． D．
二、多選題
9．(多選)（22-23高二上·遼寧·期中）如圖，在正四棱柱中，，為四邊形對角線的交點，下列結論正確的是（ ）
A．點到側棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為
C．若，則平面 D．點到平面的距離為
10．（23-24高二下·甘肅·期中）如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱和的中點，則以為原點，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則下列結論正確的是（ ）
A．平面
B．
C．是平面的一個法向量
D．點到平面的距離為
11．（24-25高二上·江蘇·假期作業）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，，，是上的動點．則（ ）
A．平面平面
B．為的中點時，
C．存在點，使得直線與的距離為
D．存在點，使得直線與平面所成的角為
三、填空題
12．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習）如圖，棱長為1的正方體中，為的中點，則點到平面的距離為 .
13．（23-24高二上·天津·期末）已知空間中三點，，，則點到直線的距離為 .
14．（23-24高二下·江蘇揚州·期中）在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個頂點均在以為球心的球面上，設點到平面的距離為，到平面的距離為，則 ．
四、解答題
15．（24-25高二上·江蘇·假期作業）如圖所示，在四棱錐中，側面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，．
(1)取線段中點連接，判斷直線與平面是否平行并說明理由；
(2)求到平面的距離；
(3)線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
16．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，且平面，．求：
(1)平面與平面所成的二面角的正弦值；
(2)點到平面的距離．
17．（23-24高一下·廣西·階段練習）如圖，在三棱柱中，側棱垂直于底面，分別是的中點，是邊長為2的等邊三角形，．
(1)證明：；
(2)求點到平面的距離．
18．（23-24高二下·江蘇連云港·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形是梯形， ，平面平面.
(1)證明：；
(2)若點是的中點，點是線段上的點，點到平面的距離是.求：
①直線與平面所成角的正弦值；
②三棱錐外接球的表面積.
19．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習）如圖1所示中，．分別為中點．將沿向平面上方翻折至圖2所示的位置，使得．連接得到四棱錐，記的中點為N，連接，動點Q在線段上．

(1)證明：平面；
(2)若，連接，求平面與平面的夾角的余弦值；
(3)求動點Q到線段的距離的取值范圍．
20．（23-24高二上·全國·期中）已知正方形的邊長為4，，分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角．
(1)若為的中點，在線段上，且直線與平面所成的角為，求此時平面與平面的夾角的余弦值．
(2)在（1）的條件下，設，，，且四面體的體積為，求的值．
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