資源簡(jiǎn)介

1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量
1.2.2空間中的平面與空間向量
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解平面的法向量 2.能用向量語言表述線面、面面的垂直、平行關(guān)系 3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理 1.了解空間向量的有關(guān)概念 2.掌握兩個(gè)空間向量的夾角、方向向量和平面的法向量的概念
知識(shí)點(diǎn)01 平面的法向量
1.平面的法線
與平面垂直的直線叫作平面的法線。
由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，我們可以考慮用平面的垂線的方向來刻畫平面的“方向”。
2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α，此時(shí)，我們把向量n叫作平面α的法向量.
注意：
平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.
（2）一個(gè)平面的法向量有無限多個(gè)，它們相互平行.
3.平面法向量的性質(zhì)
（1）如果直線垂直于平面α，則直線l的任意一個(gè)方向都是平面α的一個(gè)法向量.
（2）如果n是平面α的一個(gè)法向量，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ ≠0，空間向量λn也是平面α的一個(gè)法向量，而且平面α的任意兩個(gè)法向量都平行
（3）如果n為平面α的一個(gè)法向量，A為平面α上一個(gè)已知的點(diǎn)，則對(duì)于平面α上任意一點(diǎn)B，向量一定與向量n垂直，即 n=0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定.
【即學(xué)即練1】（22-23高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由題意，由此可得，對(duì)比選項(xiàng)即可得解.
【詳解】設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則，平面的一個(gè)法向量為
所以，整理得，
而，，，，
所以對(duì)比選項(xiàng)可知只有在平面內(nèi).
.
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·吉林延邊·期末）已知平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，若，則實(shí)數(shù)（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由，得到直線與平面的法向量垂直，得出，進(jìn)而求得的值.
【詳解】因?yàn)椋裕裕獾茫?br/>故選：.
知識(shí)點(diǎn)02 直線與平面的位置關(guān)系
如果v是直線的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量
（1）
（2）
【即學(xué)即練3】（23-24高二下·甘肅·期中）已知平面外的直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（ ）
A．與斜交 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，求得，得到，即可得到答案.
【詳解】由平面外的直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，
可得，所以，則.
.
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】由題意可得，從而列出方程組求解即可.
【詳解】由題意若，且直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，
則，，解得.
.
知識(shí)點(diǎn)03 平面與平面的位置關(guān)系
如果n1是平面α1的一個(gè)法向量，n2是平面α2的一個(gè)法向量：
（1）α1α2；
（2）α1//α2,或α1與α2重合
【即學(xué)即練5】（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知平面的法向量分別為，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能確定
【答案】D
【分析】先判斷法向量的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷兩平面的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
則，所以.
.
【即學(xué)即練6】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知平面α內(nèi)有兩點(diǎn)M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一個(gè)法向量為n(6，－3，6)，則實(shí)數(shù)a .
【答案】2
【詳解】
因?yàn)镸(1，－1，2)，N(a，3，3)，所以(a－1，4，1).因?yàn)槠矫姒恋囊粋€(gè)法向量為n(6，－3，6)，所以n⊥，則n6(a－1)－3×4＋60，解得a2.
難點(diǎn)：空間中的動(dòng)點(diǎn)問題
示例1：（23-24高二上·重慶·期中）如圖，設(shè)為正方體，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，記．

(1)證明：；
(2)當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明；
（2）顯然不是平角，則為鈍角時(shí)有，解得不等式即可．
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則；
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，所以．
（2），，
與是異面直線，顯然不是平角，
則為鈍角，有，解得．
所以的取值范圍為．
【題型1：直線的方向向量】
例1．（23-24高二上·山西·階段練習(xí)）已知直線l的一個(gè)方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點(diǎn)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】利用空間向量共線的坐標(biāo)表示即可.
【詳解】因?yàn)椋本€的一個(gè)方向向量為，
所以有向量與向量為共線，
所以，解得，，
所以，
.
變式1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，利用空間向量夾角公式即可求解.
【詳解】如圖分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)異面直線與所成角為，
則 ，
所以異面直線與所成角為.
.
變式2．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知一直線經(jīng)過點(diǎn)，下列向量中是該直線的方向向量的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的方向向量與共線判斷.
【詳解】由題意得直線的方向向量與共線，
而，所以是該直線的方向向量.
.
變式3．（23-24高二上·陜西咸陽·期末）已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】應(yīng)用求空間向量夾角余弦值的公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)兩條異面直線所成的角為，且這兩條異面直線的方向向量分別是，，
則，且，
所以兩條異面直線所成的角，
.
變式4．（23-24高二上·湖北孝感·期末）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，O為上底面中心，E，F(xiàn)，G分別為棱、、的中點(diǎn).若平面與平面的交線為l，則l的方向向量可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出平面、平面截正四棱柱所得截面，進(jìn)而確定出交線l，再求出其方向向量.
【詳解】連接，正四棱柱的對(duì)角面是矩形，則，
而分別是中點(diǎn)，則，又O為上底面中心，則，
因此四邊形是平面截正四棱柱所得截面，
延長(zhǎng)，由是的中點(diǎn)，得，連接，
則四邊形是平面截正四棱柱所得截面，
顯然與相交，令交點(diǎn)為，，四邊形是正方形，則，
而，又，所以向量是直線的一個(gè)方向向量，A滿足，
選項(xiàng)BCD中向量與不共線，即選項(xiàng)BCD不滿足.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.
變式5．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）若直線的方向向量分別為，則（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能確定
【答案】C
【分析】計(jì)算，根據(jù)其結(jié)果，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得，
∴，∴，
變式6．（多選）（23-24高二上·廣東江門·期末）如圖，在四面體中，分別是的中點(diǎn)，是和的交點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（ ）
A．四點(diǎn)共面
B．
C．為直線的方向向量
D．
【答案】AC
【分析】證明四邊形是平行四邊形即可判斷A和B；利用方向向量的概念即可判斷C；利用向量加法運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.
【詳解】在四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則，，
于是得四邊形是平行四邊形，故，，，四點(diǎn)共面，即A正確
因平行四邊形兩條對(duì)角線不一定垂直，即不一定垂直，則不一定不成立，B不正確；
因，，則為直線的方向向量，C正確；
平行四邊形中，是和的交點(diǎn)，則是中點(diǎn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)，
則，D不正確.
C.
變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為
B．直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為
C．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為.
D．為鈍角
【答案】AC
【分析】A求得，判斷是否與共線即可；B設(shè)直線與平面的交點(diǎn)，根據(jù)與共線求坐標(biāo)；C由空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的性質(zhì)寫出對(duì)稱點(diǎn)判斷；D由的符號(hào)判斷.
【詳解】A：由，而，故直線的一個(gè)方向向量為，對(duì)；
B：由，令直線與平面的交點(diǎn)，則，
所以，即交點(diǎn)，錯(cuò)；
C：點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)；
D：由，故為銳角，錯(cuò).
C
【方法技巧與總結(jié)】
空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：
①是非零向量；
②向量所在的直線與l平行或重合.
【題型2：異面直線所成角】
例2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形，，將沿對(duì)角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面平面，以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示可解.
【詳解】記的 中點(diǎn)分別為，因?yàn)椋裕?br/>同理，，記，
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
易知，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)，
以E為原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則
所以，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
變式1．（23-24高二上·廣東中山·期中）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，，分別為母線、的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用線線角的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則,
又，分別為母線、的中點(diǎn)，所以，
則，，
設(shè)異面直線和所成角的，
則，又，所以.
.
變式2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，已知，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一（定義法），通過補(bǔ)形，得出為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，再在中，根據(jù)條件，利用余弦定理即可求出結(jié)果；法二（向量法），根據(jù)條件求出，，再利用線線角的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，將正三棱柱補(bǔ)形成直四棱柱，易知其底面為菱形．
連接，則，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角．
在菱形中，，連接，則，
在中，，
則由余弦定理得，
異面直線與所成角的余弦值為，

．
解法二 由題，，
，
所以 ，
所以，則異面直線與所成角的余弦值為．
．
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是圓柱下底面圓的圓心，為圓柱的一條母線，為圓柱下底面圓周上一點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一（定義法）：過點(diǎn)作交圓柱的上底面于點(diǎn)，連接，則或其補(bǔ)角即異面直線與所成的角，再通過解三角形即可求出結(jié)果；方法二（坐標(biāo)法）：建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式，即可求出結(jié)果；方法三（向量法）：根據(jù)條件求得，及，再利用向量夾角公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】方法一 如圖，過點(diǎn)作交圓柱的上底面于點(diǎn)，連接，
則由圓柱的性質(zhì)易證四邊形為矩形，所以，所以或其補(bǔ)角即異面直線與所成的角，
在中，，所以，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危遥裕?br/>所以，又，
所以，（另解：在中，，所以）
即異面直線與所成角的余弦值為，
.

解法二 由圓柱的性質(zhì)知可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危遥裕?br/>則，
所以，故異面直線與所成角的余弦值為，
.

解法三 在中，，所以，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危遥裕?br/>易知，所以，
所以，
所以，
則異面直線與所成角的余弦值為，
.
變式4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，點(diǎn)，滿足，，是原正方形的中心，當(dāng)，直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，求出相關(guān)線段長(zhǎng)，利用余弦定理求出，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求出，利用向量的夾角公式求得，再結(jié)合異面直線所成角的范圍即可求得答案.
【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為3，由題意知，，
，故，

則，
把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折后，直線與為異面直線，

則
，
故，
由題意知直線與為異面直線，它們所成角的范圍為，
故直線與所成角的余弦值為，
變式5．（多選）（23-24高二上·福建福州·期末）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為.點(diǎn)A，B，M是底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn)，且.已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．當(dāng)時(shí)，直線與所成角為45°
C．存在點(diǎn)M，使得直線與所成角為30°
D．當(dāng)直線與成80°角時(shí)，與所成角為80°
【答案】CD
【分析】對(duì)于A項(xiàng)，只需使邊上的高最大即可，顯然是經(jīng)過圓心的高最長(zhǎng)；對(duì)于B項(xiàng)，由條件可推出，故得三點(diǎn)共線，即可轉(zhuǎn)化求角；對(duì)于C項(xiàng)，可以建系后通過求點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)向量坐標(biāo)，借助于正弦型函數(shù)的值域判斷；對(duì)于D項(xiàng)，可由與成80°求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求解驗(yàn)證與所成的角即得.
【詳解】
對(duì)于A項(xiàng)，如圖，要使三棱錐體積最大，則須使面積最大， 因,取的中點(diǎn)，
連接并延長(zhǎng)與底面圓交于點(diǎn)，此時(shí)面積最大，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B項(xiàng)，如圖，因平面,平面，則,因，,則平面，
又平面,則,即三點(diǎn)共線，故直線與所成角即,顯然該角為45°，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，如圖，不妨分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,
因點(diǎn)在底面圓上一動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)為且，則，
設(shè)直線與所成角為，則 ，
因，故，又因，故，故不存在點(diǎn)M，使得直線與所成角為30°，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)建系，可得：因直線與成80°，則，解得：，
又設(shè)與所成角為，則 ，因，故，故D項(xiàng)正確.
D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查與圓錐有關(guān)的體積，異面直線的夾角問題.
求解與圓錐有關(guān)的問題的主要方法有：
（1）推理化歸法：借助于圓錐的軸與底面垂直特征，可完成各項(xiàng)推理轉(zhuǎn)化，將問題移到基本圖形解決；
（2）空間圖形平面化：在處理空間幾何問題時(shí)，常將某平面上的關(guān)系化成直觀圖利用平面幾何方法求解；（如A項(xiàng)求邊上的最長(zhǎng)的高）
（3）建系坐標(biāo)法:對(duì)于易于建系，而且較易使用空間向量解決的夾角、距離等問題時(shí)常用.
變式6．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線PM與直線AB的所成角的余弦值的取值范圍為 .
【答案】
【分析】
結(jié)合正四面體的結(jié)構(gòu)特征求出相關(guān)線段長(zhǎng)，確定M軌跡，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而表示出的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知正四面體的棱長(zhǎng)為，
設(shè)P在底面上的射影為O，則O為正三角形的中心，
設(shè)D為的中點(diǎn)，連接，則O在上，，
且，
則，而，
故，故點(diǎn)M軌跡為平面內(nèi)以O(shè)為圓心半徑為1的圓，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，過點(diǎn)O作的垂線為y軸，為z軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，
，
故，，
設(shè)直線PM與直線AB的所成角為，
則，
故答案為：
變式7．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知正四面體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】/
【分析】先設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)，設(shè)定基底為，表示與，應(yīng)用用空間向量的數(shù)量積求解即可.
【詳解】正四面體的棱長(zhǎng)設(shè)為2，
其中，三個(gè)向量間的夾角都為，
則，
由，得，且，
異面直線與所成角的余弦值為.
故答案是：.
變式8．（23-24高三上·四川成都·期末）在棱柱中，底面為平行四邊形，，，，設(shè)異面直線與的夾角為，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)數(shù)量積等式，結(jié)合底面是平行四邊形可得到，代入條件可求得結(jié)果.
【詳解】，
因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危裕?br/>所以，
所以，
所以，
故答案為：.
【方法技巧與總結(jié)】
求異面直線所成角的方法
1.基向量法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，經(jīng)常采用取定基向量的方法，在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則與可分別作為a與b的方向向量，則cos θ=，根據(jù)條件可以把與用基表示，再進(jìn)行計(jì)算.
2.坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線
角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡(jiǎn)單．
【題型3：平面法向量的概念】
例3．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說法：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】利用空間向量法分別判斷即可得到答案.
【詳解】因?yàn)?不重合，，
對(duì)①，平面平行等價(jià)于平面的法向量平行，故①正確；
對(duì)②，平面的法向量垂直等價(jià)于平面垂直，故②正確；
對(duì)③，若 ，故③錯(cuò)誤；
對(duì)④，，故④正確.
.
變式1.（23-24高二上·全國·期中）已知為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量與不重合），那么下列說法中：
①；
②；
③；
④．
其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意知，平面與平面不重合，
對(duì)于①中，因?yàn)楹头謩e為平面和的法向量，
當(dāng)，可得與平面平行，即，所以①正確；
對(duì)于②中，平面與平面垂直等價(jià)于平面于平面的法向量垂直，所以②正確；
對(duì)于③中，因?yàn)闉橹本€的方向向量，分別為平面的法向量，
若，可得，所以③錯(cuò)誤；
對(duì)于④中，因?yàn)闉橹本€的方向向量，分別為平面的法向量，
若，可得或，所以④錯(cuò)誤．
．
變式2．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知平面平面的法向量分別為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】由平面互相垂直可知其對(duì)應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.
【詳解】∵平面平面，
∴平面的法向量也垂直，
∴，即，解得：.
.
變式3．（22-23高二上·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線的方向向量，平面α的法向量，若，則（ ）
A． B．0 C．5 D．4
【答案】A
【分析】由法向量的概念結(jié)合向量共線定理即可求解.
【詳解】由，則，則存在非零常數(shù)λ，使得，即，解得.
.
變式4．（23-24高二上·廣東梅州·期末）空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，則過點(diǎn)且以為法向量的平面方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面法向量的定義可得.
【詳解】設(shè)過點(diǎn)且以為法向量的平面上不同于P的任一點(diǎn)，
則，所以，
所以過點(diǎn)且以為法向量的平面方程為，
變式5．（23-24高二上·云南昆明·期末）我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡(jiǎn)得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，利用平面法向量與面內(nèi)任意向量垂直，即可求得結(jié)論．
【詳解】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)，
則
平面法向量為，
．
變式6．（多選）（22-23高二下·福建漳州·期中）設(shè)是不重合的兩個(gè)平面，分別為平面的法向量，為直線的方向向量，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用平面法向量和直線的方向向量，判定線面的空間位置關(guān)系.
【詳解】對(duì)A，若一直線的方向向量與一平面的法向量平行，則該直線垂直于該平面，
所以若，則， A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若一直線的方向向量與一平面的法向量垂直，則該直線平行于該平面或者在該平面內(nèi)，
所以若，則或， B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若兩個(gè)不同的平面的法向量互相平行，則兩個(gè)平面互相平行，
所以若，則， C正確；
對(duì)D，若兩個(gè)平面的法向量互相垂直，則兩個(gè)平面垂直，
所以若，則， D錯(cuò)誤.
BD．
變式7．（多選）（2024高二上·全國·專題練習(xí)）給出下列命題，其中是真命題的為（ ）
A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則l與m垂直
B．若直線的方向向量，平面的法向量，則
C．若平面的法向量分別為，則
D．若平面經(jīng)過三點(diǎn)，向量是平面的法向量，則
【答案】AD
【分析】對(duì)于A，計(jì)算，即可判斷；對(duì)于B，求出的值，即可判斷；對(duì)于C，計(jì)算的值，即可判斷；對(duì)于D，求出的坐標(biāo)，根據(jù)法向量含義可得，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，，則，
所以直線與垂直，故A是真命題；
對(duì)于B，，則，
所以或，故B是假命題；
對(duì)于C，，即不垂直，
所以不不成立，故C是假命題；
對(duì)于D，，
因?yàn)橄蛄渴瞧矫娴姆ㄏ蛄浚剩?br/>即，故D是真命題，
D
【方法技巧與總結(jié)】
平面的法向量的定義及應(yīng)用
1.平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量.
2.直線與平面垂直的判定，必須證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，至于兩直線與已知直線是否有公共點(diǎn)，并不重要.
【題型4：平面法向量的求解】
例4．（22-23高二上·湖北荊州·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，以為原點(diǎn)，為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的坐標(biāo)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用求出法向量.
【詳解】如圖由已知得，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取得.
.
變式1．（23-24高二上·廣東茂名·期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則平面ABE的一個(gè)法向量為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)平面ABE的法向量為，然后由，可求出其法向量.
【詳解】由題意可得，，，
所以，
設(shè)平面ABE的法向量為，
由，得到，取，則，
所以平面ABE的一個(gè)法向量為，
所以是平面ABE的法向量.

.
變式2．（多選）（22-23高二上·廣東惠州·期末）已知空間中，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．與共線的單位向量是
C． D．平面的一個(gè)法向量是
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由判斷；對(duì)于B，由不是單位向量判斷；對(duì)于C，由向量的模公式求解判斷；對(duì)于D，利用平面法向量判斷.
【詳解】對(duì)于A，，故，A正確；
對(duì)于B，不是單位向量，且與不共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，，C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，
，所以，，
又，所以平面的一個(gè)法向量是，D正確．
CD
變式3．（多選）（23-24高二上·四川眉山·期中）已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．與是共線向量 B．的單位向量是
C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是
【答案】DD
【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷AB，由空間向量夾角坐標(biāo)公式，即可判斷C，由平面法向量的計(jì)算公式，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，因?yàn)椋瑒t、不共線，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，與同向的單位向量為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，
所以，與夾角的余弦值是，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)為平面的法向量，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，D對(duì).
D.
變式4．（多選）（23-24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在圓臺(tái)中，分別為圓的直徑，，圓臺(tái)的高為為內(nèi)側(cè)上更靠近的三等分點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，下底面垂直于的直線為軸，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（ ）

A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為
C． D．平面的一個(gè)法向量為
【答案】AB
【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征以及空間直角坐標(biāo)系可知，可知A正確；根據(jù)點(diǎn)位置可求得，即B正確；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得，所以C錯(cuò)誤；易知與的數(shù)量積不為零，所以不是平面的一個(gè)法向量，即D正確.
【詳解】根據(jù)空間坐標(biāo)系，由圓臺(tái)的高為可直接求得，即A正確；
由可得，所以，
又為內(nèi)側(cè)上更靠近的三等分點(diǎn)，因此，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，
又平面，所以可得，即B正確；
易知，所以，即C錯(cuò)誤；
若平面的一個(gè)法向量為，設(shè)，則須滿足，
而，所以不是平面的一個(gè)法向量，即D錯(cuò)誤；
B
變式5．（23-24高二上·遼寧撫順·期中）在中，．向量為平面的一個(gè)法向量，則的坐標(biāo)為 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)向量垂直求平面的法向量即可.
【詳解】根據(jù)題意可得：，設(shè)，
與平面垂直，則，可得，
當(dāng)時(shí)，則，的坐標(biāo)為．
故答案為：（答案不唯一）
變式6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量、是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，，，求平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．
【答案】（答案不唯一）
【分析】設(shè)法向量，由且，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，
令，則，故，
所以平面的一個(gè)法向量（答案不唯一）.
變式7．（23-24高二上·新疆·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，.以D為原點(diǎn)，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后寫出平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量坐標(biāo)，根據(jù)法向量與平面內(nèi)向量數(shù)量積為0列方程組求解可得.
【詳解】如圖，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，得，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，取，得，
所以平面的一個(gè)法向量為.
【方法技巧與總結(jié)】
求平面法向量的步驟
1.設(shè)出平面的法向量為n=（x，y，z）.
2.找出（求出）平面中兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=（a1， a2， a3）， b=（b1， b2， b3）.
3.根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組
4.解方程組，取其中的一個(gè)解作為法向量（由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，故可在方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量）
【題型5：利用法向量研究平行與垂直問題】
例5．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)判定計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
同理解得平面的法向量，
，故A不正確；
，故B不正確；
，
，所以，
又，所以平面，C正確；
平面的一個(gè)法向量為，
，故D不正確；
變式1．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出，證明平面，求得平面的法向量，由條件得到，將的表達(dá)式整理成二次函數(shù)，利用其最小值即得.
【詳解】
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則有,
依題意，，
,
于是，.
又因 平面，平面,則,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取為，
因平面，故，即.
則
，
因，故當(dāng)時(shí)，.
.
變式2．（多選）（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為
【答案】CD
【分析】A選項(xiàng)，由推出平面，矛盾；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，證明出，，得到線面垂直，進(jìn)而當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)平面，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)體積為定值，得到平面，求出平面的法向量，證明出平面不不成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.
【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面，矛盾，故A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
因?yàn)椋?br/>，
故，，
故，，
因?yàn)椋矫妫?br/>故平面，當(dāng)Q為的中點(diǎn)時(shí)，，
此時(shí)平面，故B正確．
對(duì)于C，Q在線段上運(yùn)動(dòng)，若三棱錐的體積為定值，則平面，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得，令得，故，
故，故與不垂直，
故平面不不成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，二面角即二面角，連接BP，DP，BD，
由于為等邊三角形，
則，，所以為所求二面角的平面角，
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則的棱長(zhǎng)為，
故，，
由余弦定理可得，
二面角的余弦值為，故D正確．
D
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是棱BC、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的最小值是 ．
【答案】/
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中、，求出平面的一個(gè)法向量，，由因?yàn)槠矫妫瑒t，可得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合空間向量的模長(zhǎng)公式可求得線段長(zhǎng)度的最小值.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、，，設(shè)點(diǎn)，其中、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，因?yàn)槠矫妫瑒t，
所以，，即，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值.
故答案為：.
變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用空間向量法證明線面垂直證明面面垂直；
（2）利用空間向量法證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到面面平行；
【詳解】（1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則，，，，，.
設(shè)，則，，.
因?yàn)椋?br/>所以，.
所以，，即，.
又平面，所以平面.
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?
（2）因?yàn)椋?br/>所以，.
所以，.
因?yàn)槠矫妫云矫?
又由（1）知平面，所以平面平面.
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)若，判定直線與平面的位置關(guān)系，并證明．
【答案】(1)證明見解析
(2)平面，證明見解析
【分析】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，只需證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；
（2）只需證明即可得證，其中平面的法向量為.
【詳解】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，取的中點(diǎn)，則平面，
分別以、、所在直線為x軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
因?yàn)椋?br/>所以，，，，，，
因?yàn)椋?
，，，
因?yàn)椋?br/>所以，，
又，平面，所以平面；
（2）平面，
因?yàn)椋裕?br/>所以．
設(shè)平面的法向量為，則，有，取，則．
因?yàn)椋辉谄矫嫔希云矫妫?br/>變式6．（2024·河北邢臺(tái)·二模）直三棱柱中，，，，
(1)如圖1，點(diǎn)E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求線段長(zhǎng)的最小值；
(2)如圖2，點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得面？

【答案】(1)
(2)存在點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處
【分析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案；
（2）利用向量法求解即可.
【詳解】（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
，
故
，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以線段長(zhǎng)的最小值為；
（2）假設(shè)存在，設(shè)，
，
故，
，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
因?yàn)槊妫裕?br/>則，解得，
所以存在點(diǎn)在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處，使得面.

變式7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在棱上運(yùn)動(dòng)，在線段上運(yùn)動(dòng)，直線與平面交于點(diǎn)．

(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此時(shí)的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)最大值為，
【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算確定線線垂直，結(jié)合線面垂直判定定理證明即可；
（2）由（1）坐標(biāo)關(guān)系與線面垂直，設(shè)，可得，建立坐標(biāo)等式關(guān)系，利用基本不等式求得最值即可.
【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
設(shè)，
當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，，有，
所以，，，有，，
所以，又平面，
所以平面．
（2）由（1）可得，，，
若平面，則，，所以，
設(shè)，則，
由平面ACE，所以，
當(dāng)時(shí)，，有，當(dāng)時(shí)，等號(hào)不成立，
所以，即，
綜上，的最大值為，．
【方法技巧與總結(jié)】
線線平行 證明兩直線的方向向量共線
線面平行 ①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； ②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行
面面平行 證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題
【題型6：空間向量中的動(dòng)點(diǎn)問題】
例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（ ）

A．三棱錐的體積不是定值
B．直線到平面的距離是
C．存在點(diǎn)，使得
D．面積的最小值是
【答案】D
【分析】根據(jù)線面平行的判定判斷A；根據(jù)等體積法求得點(diǎn)到平面的距離判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算解決垂直問題判斷C；求出面積的表達(dá)式，再求得面積的最小值判斷D.
【詳解】對(duì)于A，分別是棱的中點(diǎn)，則，
因?yàn)椋遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕?br/>所以，因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br/>因?yàn)樵谏希渣c(diǎn)在平面的距離不變，而面積是定值，則三棱錐的體積不變，
即三棱錐的體積不變，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋矫妫矫妫谑瞧矫妫?br/>因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離h，
，
，，，
由，得，則，B錯(cuò)誤；

對(duì)C，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，,

設(shè)，則，，，，
由，得，解得，
由于，因此存在點(diǎn)，使得，C正確；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C得在的投影點(diǎn)為，
則P到的距離，
面積為 ，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，D錯(cuò)誤.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定來判定A，再通過等體積法求出距離從而判斷B，C,D選項(xiàng)通過建立合適的空間直角坐標(biāo)系解決.
變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為
D．當(dāng)時(shí)，的最大值為
【答案】CC
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、、、、
、，
因?yàn)椋渲小ⅲ?br/>對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，
所以，與不垂直，故不存在點(diǎn)，使得平面，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，
若存在點(diǎn)，使得平面，則，解得，
即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面，B對(duì)；
對(duì)于CD選項(xiàng)，，可得，
又因?yàn)椋O(shè)，，其中，
則，
則，
因?yàn)椋瑒t，所以，，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，
，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，取最大值，
C對(duì)D錯(cuò).
C.
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江紹興·期中）如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論 正確的是（ ）
A．直線與直線始終是異面直線
B．存在點(diǎn)，使得
C．四面體的體積為定值
D．H為線段的中點(diǎn)，
【答案】CCD
【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，與共面；對(duì)于選項(xiàng)B和D可采用空間向量計(jì)算，對(duì)于C選項(xiàng)，連接,交于 ，此時(shí)，易證所以四面體的體積為定值，由面面平行的判定定理得出平面平面，進(jìn)而可得平面.
【詳解】解：
對(duì)于A選項(xiàng)，連接交與，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，直線與直線相交，故A選項(xiàng)不正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，連接,交于，此時(shí)，故線段到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，故C選項(xiàng)正確；
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則，，，， ，，
對(duì)于B選項(xiàng)， 存在點(diǎn)，使得，
則，，，所以，得，故當(dāng)M滿足時(shí)，，
故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，連接，如下圖所示：
因?yàn)镠為AA1的中點(diǎn)，E為DD1的中點(diǎn)，所以
所以平面平面，
平面，所以平面，故D選項(xiàng)正確；
CD.
變式3．（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，．
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，使得∥平面.
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則由四邊形為菱形，得，由平面，得，再利用線面垂直的判定定理可結(jié)論；
（2）由題意可證得兩兩垂直，則以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕?br/>因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面；
（2）解：取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詾榈冗吶切危?br/>所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>所以兩兩垂直，
所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
所以，
假設(shè)存在點(diǎn)，使得∥平面，
設(shè)，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
由，得，
此時(shí)與重合，平面，
所以存在點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，使得∥平面.
變式4．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點(diǎn).
(1)證明：平面ABCD；
(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得平面AMN 如果存在，求出線段AS的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由平面，平面ABCD，所以，因?yàn)椋运倪呅蜯DBN為平行四邊形，所以可證明結(jié)論.
（2）建系，設(shè)，由平面AMN，解出，再由向量的模長(zhǎng)公式計(jì)算長(zhǎng)度.
【詳解】（1）證明：連接BD，如圖(1).

因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，
所以.
因?yàn)椋?br/>所以四邊形MDBN為平行四邊形.
所以.
又平面，平面ABCD，所以平面ABCD.
（2）由題意知DM，DC，DA兩兩垂直.
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖(2)的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，
假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得平面AMN，連接AE.
易知，，.
設(shè)，，
則.
由平面AMN，得即
解得.
此時(shí)，所以.
故在線段AN上存在點(diǎn)S，使得平面AMN，此時(shí)線段AS的長(zhǎng)度為.
變式5．（23-24高二上·四川綿陽·期中）在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）．
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面 若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，.
【分析】（1）利用線線平行證明線面平行即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究面面垂直計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵谔菪沃校瑸榈闹悬c(diǎn)，
所以，所以四邊形為平行四邊形，
因?yàn)榫€段點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，
所以中，，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以平面；
（2）
因?yàn)槠叫兴倪呅沃校?br/>所以四邊形是菱形，則，垂足為，
所以，，
因?yàn)槠矫妫矫妫允嵌娼堑钠矫娼牵?br/>因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵裕矗?br/>如圖所示，分別以所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，
線段上存在點(diǎn)，使得平面平面，
設(shè)，，
因?yàn)椋裕?br/>由設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
由，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則可得，
則，
解得，即 為線段的中點(diǎn)，此時(shí).
變式6．（23-24高二上·四川雅安·期中）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．
(1)用空間向量法證明：平面；
(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)指出的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，在的延長(zhǎng)線上，且
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可根據(jù)共線求證，
（2）根據(jù)法向量與直線的方向向量垂直即可求解.
【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，
．
設(shè)平面的法向量為，
則取，則，得，
平面．
（2）存在點(diǎn)，使得平面，在的延長(zhǎng)線上，且．
由題意得，
設(shè)，則，
平面，得．
變式7．（22-23高二下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，在三棱柱中，，設(shè).
(1)試用向量表示，并求.
(2)在平行四邊形內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)，
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得，兩邊同時(shí)平方，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，則.設(shè)，根據(jù)線性運(yùn)算可得，結(jié)合數(shù)量積的定義建立方程組，解之即可.
【詳解】（1）連接，
由題意可知，，且三個(gè)向量?jī)蓛蓨A角均為，
所以.
故，
所以.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，連接，
不妨設(shè)，則，
而，
所以.
要使平面，只需，
即，
所以，
解得即，
所以存在點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，平面.

一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（ ）
A． B．
C．與相交但不垂直 D．或
【答案】A
【分析】由于，得到，從而確定與的位置關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br/>則，
得到，且直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，
所以與的位置關(guān)系是：或，
.
2．（23-24高二上·全國·期中）若直線的方向向量為,,，平面的法向量為,6,，則（ ）
A． B．
C． D．與位置關(guān)系不確定
【答案】A
【分析】根據(jù)方向向量與法向量共線即可判斷.
【詳解】由于直線的方向向量為,,，平面的法向量為,6,，
由于，所以直線與平面的法向量共線，所以．
．
3．（23-24高二上·山東威海·期末）設(shè)，分別是空間中的直線，的方向向量，，.記甲：，，不共面，乙：與異面，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】從充分性和必要性的角度，結(jié)合異面直線的定義，即可判斷和選擇.
【詳解】對(duì)空間中的任意兩條直線，
若，，不共面，顯然不可能平行或相交，兩直線異面，充分性不成立；
若是異面直線，根據(jù)異面直線的定義，定有，，不共面，必要性不成立；
故甲是乙的充要條件.
.
4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設(shè)平面和的法向量分別為．若，則（ ）
A．4 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求解可得.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，解得.
5．（22-23高二下·福建龍巖·期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，可得、、的坐標(biāo)，由此可得向量、的坐標(biāo)，由此可得關(guān)于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則有，令，可得，則.
．
6．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的坐標(biāo)系中，為正方體，給出下列結(jié)論：
①直線的一個(gè)方向向量為；
②直線的一個(gè)方向向量為；
③平面的一個(gè)法向量為；
④平面的一個(gè)法向量為.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)空間直線的方向向量的概念以及平面的法向量的定義判斷可得答案.
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，則與平行，故直線的一個(gè)方向向量為，故①正確；
因?yàn)椋裕驗(yàn)榕c平行，所以直線的一個(gè)方向向量為，故②正確；
因?yàn)椋裕驗(yàn)槭瞧矫娴囊粋€(gè)法向量，且與平行，所以平面的一個(gè)法向量為，故③正確；
因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋耘c不垂直，所以不是平面的一個(gè)法向量，故④不正確.
7．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與所在直線的方向向量，由空間向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式求解即可.
【詳解】以為原點(diǎn)，在平面中過作的垂線交于，
以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)橹比庵校?br/>設(shè)，
所以，，，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：.
8．（22-23高二上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是法向量為的平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中，不在平面內(nèi)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)平面內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)構(gòu)成的向量與垂直來逐一判斷.
【詳解】假設(shè)選項(xiàng)中的點(diǎn)為點(diǎn)，
對(duì)于A：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對(duì)于B：，此時(shí)，點(diǎn)不在平面內(nèi)；
對(duì)于C：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對(duì)于D：，此時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)；
.
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（　　）
A．已知向量a（9，4，－4），b（1，2，2），則a在b上的投影向量為（1，2，2）
B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C．已知{a，b，c}是空間的一組基底，若ma＋c，則{a，b，m}也是空間的一組基底
D．若直線l的方向向量為e（1，0，3），平面α的法向量n（－2，0，），則直線l⊥α
【答案】ABC
【詳解】
分析：利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點(diǎn)共面，滿足m＋n＋t，其中m＋n＋t1判斷B，根據(jù)向量基底的概念判斷C，利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.
詳解：因?yàn)閍（9，4，－4），b（1，2，2），所以a在b上的投影向量為··b·（1，2，2）（1，2，2），故A正確；因?yàn)椋?，故B正確；{a，b，c}是空間的一組基底，ma＋c，所以{a，b，a＋c}兩向量之間不共線，所以{a，b，m}也是空間的一組基底，故C正確；因?yàn)橹本€l的方向向量為e（1，0，3），平面α的法向量n（－2，0，），e·n－2＋0＋20，則直線l∥α或l α，故D錯(cuò)誤．故選ABC.
【考查意圖】考查空間向量應(yīng)用．
10．（23-24高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（ ）
A．
B．方向上的單位向量坐標(biāo)是
C．是平面ABC的一個(gè)法向量
D．在上的投影向量的模為
【答案】CC
【分析】對(duì)于A：求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求模；對(duì)于B：根據(jù)求單位向量；對(duì)于C：通過計(jì)算來判斷；對(duì)于D：通過計(jì)算來判斷.
【詳解】對(duì)于A：，則，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：方向上的單位向量坐標(biāo)是，B正確；
對(duì)于C：，，
又與不平行，故是平面ABC的一個(gè)法向量，C正確；
對(duì)于D：在上的投影向量的模為，D錯(cuò)誤.
C.
11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論不正確的有（ ）
A．與是共線向量
B．的單位向量是
C．與夾角的余弦值是
D．平面的一個(gè)法向量是
【答案】ABC
【分析】利用共線向量的坐標(biāo)關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用單位向量的定義可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C選項(xiàng)；利用法向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，
因?yàn)椋瑒t、不共線，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，的單位向量為，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，
所以，與夾角的余弦值是，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)為平面的法向量，
則，取，則，，
所以，平面的一個(gè)法向量為，D對(duì).
.
三、填空題
12．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，平面，四邊形為正方形，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， .
【答案】1
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用向量的數(shù)量積為0表示垂直可求得結(jié)論．
【詳解】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
，則 ，，.
設(shè)，則
因?yàn)椋?，，
即是AD的中點(diǎn)，故，
.
13．（23-24高二上·北京石景山·期末）如圖，在正四棱柱中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②三棱錐的體積為定值；
③存在點(diǎn)，使得 平面；
④存在點(diǎn)，使得平面.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【答案】①②③
【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及空間向量的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕矗寓僬_；
由，因?yàn)榈拿娣e為定值，點(diǎn)到平面的距離也是定值，
所以為定值，所以②正確；
又由
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
因?yàn)椋桑獾茫寓壅_；
又因?yàn)椋瑒t，
所以不存在點(diǎn)，使得平面，所以④錯(cuò)誤.
故選：①②③.
14．（23-24高二上·山東聊城·期中）如圖，平面，底面是正方形，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，若平面，則 .
【答案】
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，根據(jù)求解即可.
【詳解】如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則得一個(gè)法向量為.
因?yàn)槠矫妫瑒t，
設(shè)，則，所以，
解得，所以，即.
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高二上·青海海東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱 中， M是棱上任意一點(diǎn).
(1)求證:
(2)若M是棱的中點(diǎn)，求異面直線AM與BC 所成角的正切值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法從而求證；
（2）利用空間向量法求解異面直線所成的角.
【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因?yàn)椋瑒t，，
可得，則，
所以，即.
（2）是棱的中點(diǎn)，故，則，
設(shè)異面直線與所成角的大小為，，
則，
所以，
故異面直線與所成角的正切值為.
16．（23-24高二上·廣東江門·期中）長(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明過程見解析
(2)證明過程見解析
【分析】
（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，
所以平面，而平面，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以側(cè)面是正方形，因此，
因?yàn)槠矫妫?br/>所以平面；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
因?yàn)椋?br/>所以有平面.
17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，∠ABC∠BCD90°，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【詳解】證明：（1）取BC的中點(diǎn)O，連接PO，△PBC為等邊三角形，即PO⊥BC.
∵ 平面PBC⊥底面ABCD，BC為交線，PO 平面PBC，
∴ PO⊥底面ABCD.
以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.
不妨設(shè)CD1，則ABBC2，PO，
∴ A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，)，
∴ (－2，－1，0)，(1，－2，－).
∵ (－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－)0，
∴ ⊥，∴ PA⊥BD.
（2）取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則M(，－1，).
∵ (，0，)，(1，0，－)，
∴ ·×1＋0×0＋×(－)0，
∴ ⊥，即DM⊥PB.
∵ ×1＋0×(－2)＋×(－)0，
∴ ⊥，即DM⊥PA.
∵ PA∩PBP，PA，PB 平面PAB，∴ DM⊥平面PAB.
∵ DM 平面PAD，∴ 平面PAD⊥平面PAB.
18．（23-24高二上·四川瀘州·期末）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析
(2)2或3
【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由題意及正弦定理可得，結(jié)合，可證明結(jié)論；
（2）由（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面與平面的夾角的余弦值為，列出方程即可解出.
【詳解】（1）過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，由題知平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>又因?yàn)槠矫妫裕?br/>所以四邊形為矩形，所以.
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理易知，，所以，又因?yàn)椋遥訟E⊥平面ADP.
因?yàn)椋云矫妫?br/>因?yàn)槠矫鍼CD，所以平面平面；
（2）由（1）知，兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
易得：，
所以.
設(shè)平面的法向量，所以 ，
令，可得平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量，所以，
令，可得平面的一個(gè)法向量，
所以，
解得，所以.
19．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求；若不存在，說明理由．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)Q是的中點(diǎn), 即.
【分析】（1）（2）根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即可.
【詳解】（1）在直三棱柱中，，直線兩兩垂直，
以C為原點(diǎn)，以直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，
，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
顯然，即，而平面，
所以平面.
（2）假定線段上存在點(diǎn)滿足條件，由（1）設(shè)，，
，
則，，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，
由平面，得，即存在實(shí)數(shù)，滿足：
，即，解得，因此，即Q是的中點(diǎn)，
所以線段上存在點(diǎn)，使平面，.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)1.2.1空間中的點(diǎn)、直線與空間向量
1.2.2空間中的平面與空間向量
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解平面的法向量 2.能用向量語言表述線面、面面的垂直、平行關(guān)系 3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理 1.了解空間向量的有關(guān)概念 2.掌握兩個(gè)空間向量的夾角、方向向量和平面的法向量的概念
知識(shí)點(diǎn)01 平面的法向量
1.平面的法線
與平面垂直的直線叫作平面的法線。
由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，我們可以考慮用平面的垂線的方向來刻畫平面的“方向”。
2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α，那么稱向量n垂直于平面α，記作n⊥α，此時(shí)，我們把向量n叫作平面α的法向量.
注意：
平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量.
（2）一個(gè)平面的法向量有無限多個(gè)，它們相互平行.
3.平面法向量的性質(zhì)
（1）如果直線垂直于平面α，則直線l的任意一個(gè)方向都是平面α的一個(gè)法向量.
（2）如果n是平面α的一個(gè)法向量，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ ≠0，空間向量λn也是平面α的一個(gè)法向量，而且平面α的任意兩個(gè)法向量都平行
（3）如果n為平面α的一個(gè)法向量，A為平面α上一個(gè)已知的點(diǎn)，則對(duì)于平面α上任意一點(diǎn)B，向量一定與向量n垂直，即 n=0，從而可知平面α的位置可由n和A唯一確定.
【即學(xué)即練1】（22-23高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列四個(gè)點(diǎn)中在平面內(nèi)的是（ ）
A． B．
C． D．
【即學(xué)即練2】（23-24高二上·吉林延邊·期末）已知平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，若，則實(shí)數(shù)（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
知識(shí)點(diǎn)02 直線與平面的位置關(guān)系
如果v是直線的一個(gè)方向向量，n是平面α的一個(gè)法向量
（1）
（2）
【即學(xué)即練3】（23-24高二下·甘肅·期中）已知平面外的直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則（ ）
A．與斜交 B． C． D．
【即學(xué)即練4】（23-24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）直線的方向向量，平面的一個(gè)法向量，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．3
知識(shí)點(diǎn)03 平面與平面的位置關(guān)系
如果n1是平面α1的一個(gè)法向量，n2是平面α2的一個(gè)法向量：
（1）α1α2；
（2）α1//α2,或α1與α2重合
【即學(xué)即練5】（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知平面的法向量分別為，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．相交垂直 D．不能確定
【即學(xué)即練6】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知平面α內(nèi)有兩點(diǎn)M(1，－1，2)，N(a，3，3)，平面α的一個(gè)法向量為n(6，－3，6)，則實(shí)數(shù)a .
難點(diǎn)：空間中的動(dòng)點(diǎn)問題
示例1：（23-24高二上·重慶·期中）如圖，設(shè)為正方體，動(dòng)點(diǎn)在對(duì)角線上，記．

(1)證明：；
(2)當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．
【題型1：直線的方向向量】
例1．（23-24高二上·山西·階段練習(xí)）已知直線l的一個(gè)方向向量，且直線l經(jīng)過和兩點(diǎn)，則（ ）
變式1．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期末）已知一直線經(jīng)過點(diǎn)，下列向量中是該直線的方向向量的為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（23-24高二上·陜西咸陽·期末）已知兩條異面直線的方向向量分別是，，這兩條異面直線所成的角為（ ）
A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·湖北孝感·期末）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4，高為2，O為上底面中心，E，F(xiàn)，G分別為棱、、的中點(diǎn).若平面與平面的交線為l，則l的方向向量可以是（ ）

A． B． C． D．
變式5．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）若直線的方向向量分別為，則（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能確定
變式6．（多選）（23-24高二上·廣東江門·期末）如圖，在四面體中，分別是的中點(diǎn)，是和的交點(diǎn)，為空間中任意一點(diǎn)，則（ ）
A．四點(diǎn)共面
B．
C．為直線的方向向量
D．
變式7．（多選）（23-24高二上·河南焦作·期中）已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為
B．直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為
C．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為.
D．為鈍角
【方法技巧與總結(jié)】
空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個(gè)條件：
①是非零向量；
②向量所在的直線與l平行或重合.
【題型2：異面直線所成角】
例2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形，，將沿對(duì)角線折起，使以四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·廣東中山·期中）如圖，圓錐的軸截面為等邊三角形，為弧的中點(diǎn)，，分別為母線、的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，已知，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是圓柱下底面圓的圓心，為圓柱的一條母線，為圓柱下底面圓周上一點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
變式4．（23-24高二上·浙江嘉興·期末）如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線進(jìn)行翻折，點(diǎn)，滿足，，是原正方形的中心，當(dāng)，直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B． C． D．
變式5．（多選）（23-24高二上·福建福州·期末）如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為.點(diǎn)A，B，M是底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn)，且.已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三棱錐體積的最大值為
B．當(dāng)時(shí)，直線與所成角為45°
C．存在點(diǎn)M，使得直線與所成角為30°
D．當(dāng)直線與成80°角時(shí)，與所成角為80°
變式6．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)M為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線PM與直線AB的所成角的余弦值的取值范圍為 .
變式7．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知正四面體，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
變式8．（23-24高三上·四川成都·期末）在棱柱中，底面為平行四邊形，，，，設(shè)異面直線與的夾角為，則 .
【方法技巧與總結(jié)】
求異面直線所成角的方法
1.基向量法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，經(jīng)常采用取定基向量的方法，在兩異面直線a與b上分別取點(diǎn)A，B和C，D，則與可分別作為a與b的方向向量，則cos θ=，根據(jù)條件可以把與用基表示，再進(jìn)行計(jì)算.
2.坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求線線
角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡(jiǎn)單．
【題型3：平面法向量的概念】
例3．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量（與不重合，），下列說法：①；②；③；④．其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
變式1.（23-24高二上·全國·期中）已知為直線的方向向量，和分別為平面與的法向量與不重合），那么下列說法中：
①；
②；
③；
④．
其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
變式2．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知平面平面的法向量分別為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
變式3．（22-23高二上·全國·階段練習(xí)）設(shè)直線的方向向量，平面α的法向量，若，則（ ）
A． B．0 C．5 D．4
變式4．（23-24高二上·廣東梅州·期末）空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，則過點(diǎn)且以為法向量的平面方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式5．（23-24高二上·云南昆明·期末）我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為，則直線的點(diǎn)法式方程為：，化簡(jiǎn)得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（ ）
A． B．
C． D．
變式6．（多選）（22-23高二下·福建漳州·期中）設(shè)是不重合的兩個(gè)平面，分別為平面的法向量，為直線的方向向量，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．
C． D．
變式7．（多選）（2024高二上·全國·專題練習(xí)）給出下列命題，其中是真命題的為（ ）
A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則l與m垂直
B．若直線的方向向量，平面的法向量，則
C．若平面的法向量分別為，則
D．若平面經(jīng)過三點(diǎn)，向量是平面的法向量，則
【方法技巧與總結(jié)】
平面的法向量的定義及應(yīng)用
1.平面的法向量不唯一，并且垂直于平面α的所有共面向量.
2.直線與平面垂直的判定，必須證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，至于兩直線與已知直線是否有公共點(diǎn)，并不重要.
【題型4：平面法向量的求解】
例4．（22-23高二上·湖北荊州·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，以為原點(diǎn)，為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二上·廣東茂名·期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E為棱的中點(diǎn)，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.則平面ABE的一個(gè)法向量為（ ）

A． B．
C． D．
變式2．（多選）（22-23高二上·廣東惠州·期末）已知空間中，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．與共線的單位向量是
C． D．平面的一個(gè)法向量是
變式3．（多選）（23-24高二上·四川眉山·期中）已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．與是共線向量 B．的單位向量是
C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是
變式4．（多選）（23-24高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在圓臺(tái)中，分別為圓的直徑，，圓臺(tái)的高為為內(nèi)側(cè)上更靠近的三等分點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，下底面垂直于的直線為軸，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（ ）

A．的坐標(biāo)為 B．的坐標(biāo)為
C． D．平面的一個(gè)法向量為
變式5．（23-24高二上·遼寧撫順·期中）在中，．向量為平面的一個(gè)法向量，則的坐標(biāo)為 ．
變式6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知向量、是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，，，求平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)．
變式7．（23-24高二上·新疆·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，.以D為原點(diǎn)，以為空間的一個(gè)單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量.
【方法技巧與總結(jié)】
求平面法向量的步驟
1.設(shè)出平面的法向量為n=（x，y，z）.
2.找出（求出）平面中兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=（a1， a2， a3）， b=（b1， b2， b3）.
3.根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x，y，z的方程組
4.解方程組，取其中的一個(gè)解作為法向量（由于一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，故可在方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量）
【題型5：利用法向量研究平行與垂直問題】
例5．（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面內(nèi)存在與平行的直線
變式1．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（多選）（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則（ ）
A．存在點(diǎn)Q，使得 B．存在點(diǎn)Q，使得平面
C．三棱錐的體積是定值 D．二面角的余弦值為
變式3．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是棱BC、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的最小值是 ．
變式4．（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)E在線段上，且，分別為、、的中點(diǎn).求證：

(1)平面平面；
(2)平面平面.
變式5．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱中，，，D是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面；
(2)若，判定直線與平面的位置關(guān)系，并證明．
變式6．（2024·河北邢臺(tái)·二模）直三棱柱中，，，，
(1)如圖1，點(diǎn)E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，求線段長(zhǎng)的最小值；
(2)如圖2，點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，在線段上是否存在點(diǎn)Q，使得面？

變式7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在棱上運(yùn)動(dòng)，在線段上運(yùn)動(dòng)，直線與平面交于點(diǎn)．

(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，證明：平面；
(2)若平面，求的最大值及此時(shí)的長(zhǎng)．
【方法技巧與總結(jié)】
線線平行 證明兩直線的方向向量共線
線面平行 ①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； ②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行
面面平行 證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題
【題型6：空間向量中的動(dòng)點(diǎn)問題】
例6．（23-24高二上·遼寧鞍山·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（ ）

A．三棱錐的體積不是定值
B．直線到平面的距離是
C．存在點(diǎn)，使得
D．面積的最小值是
變式1．（多選）（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)滿足，其中，，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得平面
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．當(dāng)時(shí)，的最小值為
D．當(dāng)時(shí)，的最大值為
變式2．（多選）（23-24高二上·浙江紹興·期中）如圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論 正確的是（ ）
A．直線與直線始終是異面直線
B．存在點(diǎn)，使得
C．四面體的體積為定值
D．H為線段的中點(diǎn)，
變式3．（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，．
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
變式4．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E為BC的中點(diǎn).
(1)證明：平面ABCD；
(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得平面AMN 如果存在，求出線段AS的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
變式5．（23-24高二上·四川綿陽·期中）在梯形中，，，，為的中點(diǎn)，線段與交于點(diǎn)（如圖1）．將沿折起到的位置，使得二面角為直二面角（如圖2）．
(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面 若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
變式6．（23-24高二上·四川雅安·期中）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．
(1)用空間向量法證明：平面；
(2)在直線上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)指出的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
變式7．（22-23高二下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如圖，在三棱柱中，，設(shè).
(1)試用向量表示，并求.
(2)在平行四邊形內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
一、單選題
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知直線的方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（ ）
A． B．
C．與相交但不垂直 D．或
2．（23-24高二上·全國·期中）若直線的方向向量為,,，平面的法向量為,6,，則（ ）
A． B．
C． D．與位置關(guān)系不確定
3．（23-24高二上·山東威海·期末）設(shè)，分別是空間中的直線，的方向向量，，.記甲：，，不共面，乙：與異面，則（ ）
A．甲是乙的充分不必要條件 B．甲是乙的必要不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲是乙的既不充分也不必要條件
4．（23-24高二上·廣東深圳·期末）設(shè)平面和的法向量分別為．若，則（ ）
A．4 B． C．10 D．
5．（22-23高二下·福建龍巖·期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（ ）

A． B． C． D．
6．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）在如圖所示的坐標(biāo)系中，為正方體，給出下列結(jié)論：
①直線的一個(gè)方向向量為；
②直線的一個(gè)方向向量為；
③平面的一個(gè)法向量為；
④平面的一個(gè)法向量為.其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
7．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高二上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是法向量為的平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中，不在平面內(nèi)的是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（多選）下列結(jié)論正確的是（　　）
A．已知向量a（9，4，－4），b（1，2，2），則a在b上的投影向量為（1，2，2）
B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有則P，A，B，C四點(diǎn)共面
C．已知{a，b，c}是空間的一組基底，若ma＋c，則{a，b，m}也是空間的一組基底
D．若直線l的方向向量為e（1，0，3），平面α的法向量n（－2，0，），則直線l⊥α
10．（23-24高二上·江蘇·階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（ ）
A．
B．方向上的單位向量坐標(biāo)是
C．是平面ABC的一個(gè)法向量
D．在上的投影向量的模為
11．（23-24高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)、、，則下列結(jié)論不正確的有（ ）
A．與是共線向量
B．的單位向量是
C．與夾角的余弦值是
D．平面的一個(gè)法向量是
三、填空題
12．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）如圖，平面，四邊形為正方形，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， .
13．（23-24高二上·北京石景山·期末）如圖，在正四棱柱中，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；
②三棱錐的體積為定值；
③存在點(diǎn)，使得 平面；
④存在點(diǎn)，使得平面.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .
14．（23-24高二上·山東聊城·期中）如圖，平面，底面是正方形，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，，若平面，則 .
四、解答題
15．（23-24高二上·青海海東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱 中， M是棱上任意一點(diǎn).
(1)求證:
(2)若M是棱的中點(diǎn)，求異面直線AM與BC 所成角的正切值.
16．（23-24高二上·廣東江門·期中）長(zhǎng)方體中，，.點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，∠ABC∠BCD90°，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.求證：
(1)PA⊥BD；
(2)平面PAD⊥平面PAB.
18．（23-24高二上·四川瀘州·期末）如圖所示，在幾何體中，平面，點(diǎn)在平面的投影在線段上，，，，平面.
(1)證明：平面平面.
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求線段的長(zhǎng).
19．（23-24高二上·四川南充·階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求；若不存在，說明理由．
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