資源簡介

1.2.3 直線與平面的夾角
課程標準 學習目標
1.掌握求線面角的兩種基本方法，即空間向量法與幾何法 2.靈活運用兩種基本方法求線面角 1.理解直線與平面的夾角的概念。 2.學習如何計算直線與平面的夾角。 3.掌握求直線與平面夾角的方法。 4.能夠應用所學知識解決相關的題目。
知識點01 直線與平面的夾角
1.直線與平面垂直：直線與平面的夾角為90°.
2.直線與平面平行或在平面內：直線與平面的夾角為0°.
3.斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內的射影所成的角，叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）
【即學即練1】（浙江省紹興市2022-2023學年）在正方體中，棱長為3，是上底面的一個動點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)當是上底面的中心時，求與平面ABCD所成角的余弦值.

【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用等體積，即可求解.
(2)根據直線與平面夾角的定義，找到線面角，即可求解.
【詳解】（1）如圖所示，根據題意得：
.

（2）如圖所示,過點做平面ABCD的垂線，垂足為G，易知G為AC中點，
故為與平面ABCD所成線面角，
又,
所以與平面ABCD所成角的余弦值為：.

【即學即練2】（2023·全國·高二假期作業）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求點到平面的距離；
(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)．
【分析】（1）先證明平面，再根據面面垂直的判定定理證明平面平面；
（2）利用幾何關系和等體積法求解即可．
（3）由（2）可知點到平面的距離為，計算的長度，根據直線與平面所成的角的定義求解．
【詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，所以，
因為平面，平面，且，
所以平面．又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，為點到平面的距離．
所以，
連接．因為平面，平面，所以，
因為，，所以，
又因為，所以．
在中，，，
所以，
設點到平面的距離為，
由，
得，所以．
所以點到平面的距離為．
（3）若，由（2）可知，點到平面的距離為，
又，
設直線與平面所成角為，
所以，
所以.
即直線與平面所成角的余弦值為．
知識點02 用空間向量求直線與平面的夾角
1.定義：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與 的角為，則有__ ____=_______.
2.范圍：[0,]
【即學即練3】若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為______.
【答案】##0.6
【分析】利用空間向量的坐標運算求解線面角即可.
【詳解】
如圖，取中點，連接,
則有,
所以以為軸正方向建系如圖，設,
則,
設平面的法向量為，
則有，令則，
所以，
設直線與平面所成角為，
則，
因為，所以
故答案為: .
【即學即練4】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）如圖所示，在棱長為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿足.
(1)用表示，并求出；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先利用正四面體幾何性質用表示，進而求得；
（2）先求得直線與直線所成角的余弦值，進而得到直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）連接并延長交于，則為中點，
則，
，
則

（2）根據題意，平面，因此，直線與平面所成角的正弦值
即為直線與直線所成角的余弦值的絕對值.
，
且
故.
則直線與平面所成角的正弦值為.
難點：動點問題
示例1：（多選）（23-24高二下·江蘇徐州·期末）如圖，在邊長為12的正方形中，分別邊的三等分點，正方形內有兩點，點到的距離分別為，點到的距離也是和，其中.將該正方形沿折起，使與重合，則在該空間圖形中，（ ）
A．直線 平面
B．的最小值為
C．線段的中點到的距離不超過
D．異面直線與成角時，
【答案】ABD
【分析】根據條件，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得，選項A，先求出平面的一個法向量，利用，即可求解；選項B，因為，利用二次函數的性質，即可求解；選項C，求出的中點及的坐標，即可求解；選項D，利用線線角的向量法，即可求解.
【詳解】如圖，取中點，的中點，連接，
因為，所以，
因為，，又，面，
所以面，又，所以面，
故 ，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設于，于，過作于,
易知，，又，所以，又，
所以，同理可知，所以，
對于選項A，易知平面的一個法向量為，因為，
顯然平面，所以 平面，故選項A正確，
對于選項B，因為，
令，其中，
對稱軸，所以，
所以，故選項B正確，
對于選項C，因為的中點，，
所以 ，故選項C錯誤，
對于選項D，因為，所以，
所以，整理得到，
解得或（舍），故選項D正確，
BD.
【點睛】關鍵點點晴：本題的關鍵在于建立空間直角坐標系，求出，再利用線面平行的向量法、空間兩點間的距離及線線角的向量法，即可求解.
【題型1：定義法求直線與平面所成的角】
例1．（23-24高二下·安徽·階段練習）在棱長均相等的正三棱柱中,E為棱AB的中點,則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題線面角的定義,作出線面角,根據勾股定理算出線面角所在直角三角形的邊長,進而求出正弦值.
【詳解】過E作,F為垂足,連接,則為直線與平面所成角,
設三棱柱的棱長為2,則,,
∴.
變式1．（23-24高二下·河南·階段練習）在直三棱柱中，，則與平面所成的角為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，，得到平面，從而有平面，即為所求線面角，在中，由長度關系求得.
【詳解】由題意，，，可知平面，
則有平面，即為所求線面角，
不妨設，則，，
故，故.

故選:A.
變式2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，證明平面，則即為直線與平面所成角的平面角，即可得解.
【詳解】連接，則，
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
所以即為直線與平面所成角的平面角，
在等腰直角三角形中，，
所以直線與平面所成的角為.
.
變式3．（多選）（22-23高二上·貴州黔東南·開學考試）已知梯形，，，，，是線段的中點．將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項正確的是（ ）

A．與始終垂直
B．當直線與平面所成角為時，
C．四面體體積的最大值為
D．四面體的外接球的表面積的最小值為
【答案】ABD
【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，進而可判斷A選項；由直線與平面所成角為得，取的中點，由可判斷B選項；當平面時，四面體體積最大，進而可判斷C選項；由題意確定球心，進而求半徑的最小值，可判斷D選項.
【詳解】對于A：連接，，如圖所示：

易知四邊形是正方形，所以,
于是在四面體中，

，
又且平面，
平面，
又因為平面，所以，故A正確；
對于B：取的中點，連接，

因為，所以.
當直線與平面所成角為時，,
所以，故B正確；
對于C：由題意可知，當平面時，四面體體積最大，
于是，故C錯誤；
對于D：因為，所以外接圓的圓心為，
又因為，所以外接圓的圓心為.
分別過點作平面和的垂線，交于點，
則是四面體的外接球的球心.
，當與重合時取等號，
所以四面體的外接球的表面積的最小值為，故D正確.
BD.
【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.
變式4．（多選）（23-24高二下·四川瀘州·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點P是平面內一個動點，且滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．直線與平面所成角為定值
C．點P的軌跡的周長為
D．三棱錐體積的最大值為
【答案】ABD
【分析】利用線面垂直的判定定理、性質定理可判斷A；求出點的軌跡可判斷C；求出直線與平面所成角可判斷B；求出三棱錐體積的最大值可判斷D.
【詳解】對于A，連接，因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，則，
因為，平面，所以平面，
平面，所以，同理可得，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以，故A正確；
對于C， 由A選項知平面，設平面，
即平面，平面，
因為，，
所以三棱錐為正三棱錐，因為平面，
則與正的中心，則，
所以，因為，
所以，因為，
即，
即，
，兩邊平方化簡可得 ，
因為點到等邊三角形的邊的距離為，
所以點的軌跡是在內，且以為圓心、半徑為的圓，
所以點P的軌跡的周長為，故C錯誤；
對于B，由選項C可知，點的軌跡是在內，
且以為圓心、半徑為的圓，，且，
平面，所以就是直線與平面所成角，
所以，因為，
所以直線與平面所成角為定值，故B正確；
對于D，因為點到直線的距離為，
點到直線的最大距離為，
故的面積的最大值為，
因為平面，則
三棱錐體積的最大值為，故D正確.
BD.
【點睛】關鍵點點睛：選項C的解題關鍵點是求出點的軌跡；選項B的解題的關鍵點求出直線與平面所成角.
變式5．（24-25高二上·上海·課后作業）如圖，平面平面，，，．平面內一點滿足，記直線與平面所成角為，求的最大值．
【答案】
【分析】作出圖形，找出直線與平面所成的角，證出平面，得出，得出點的軌跡就是平面內以線段為直徑的圓（點除外），轉化成與圓有關的最值問題，即可求出結果.
【詳解】如圖①所示，過作的延長線，垂足為，
連接、，取的中點，連接，
過點作，垂足為．
∵平面平面，且平面平面，平面OAB，，
∴，平面，
∴在平面上的射影就是直線，
故就是直線與平面所成角，
即．
∵，∴，
又∵，，
∴平面，則．
∴點的軌跡是平面內以線段為直徑的圓（點除外）．
∵，且，
∴，設，則，
從而，
∴，如圖②所示，
當且僅當，即是圓的切線時，
角有最大值，有最大值，
的最大值為．
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了立體幾何中線面角的最值，解題的關鍵在于通過輔助線作出線面角，并求線面角的最值，空間思維能力較強，容易混淆.
變式6．（2024高二下·天津南開·學業考試）如圖，在正方體中，

(1)求證：平面平面；
(2)求直線和平面所成角．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在正方體中，可得，則得平面，同理平面，所以得平面平面；
（2）在正方體中，可得AC⊥平面，則得為直線和平面所成角，則在中，，即可的.
【詳解】（1）在正方體中，
因為，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又因為平面，平面，
所以平面，
同理，平面，
又，
所以平面平面.
（2）

設，連接，
因為平面ABCD，所以，
又因為AC⊥BD，，平面，
所以AC⊥平面，
所以為在平面的射影，
則為直線和平面所成角，
設正方體的棱長為a，
則在中，，
所以.
變式7．（24-25高二·上海·假期作業）已知斜三棱柱的底面是正三角形，側棱，并且與底面所成角是.設側棱長為
(1)求此三棱柱的高；
(2)求證：側面是矩形；
(3)求證：在平面上的射影在的平分線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）利用線面角的定義和性質求解即可；
（2）利用斜三棱柱的性質結合平行關系求解即可；
（3）利用線線垂直、線面垂直的性質和判定定理求解即可.
【詳解】（1）因為側棱與底面所成角是，且，
則過點斜三棱柱的高；
（2）因為斜三棱柱，
所以側面是平行四邊形，，
又因為，所以，
所以平行四邊形是矩形；
（3）過點作的平分線的平分線交于，
過作交于，
因為是正三角形，所以，
又因為，，面，
所以面，
因為面，所以，
因為，面，
所以面，即在平面上的射影在的平分線上.
【方法技巧與總結】
計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
【題型2：向量法求直線與平面所成的角】
例2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正三角形，側面是長方形，，平面平面為棱上一點，，且，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別取的中點，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.
【詳解】分別取的中點，連接，則，，
因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，，，
所以是平面的一個法向量，
，，所以，
設與平面所成的角為，
則.
.
變式1．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形，現將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取BD中點O，連結AO，CO，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，過點O作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AB與CD所成角的余弦值的最大值．
【詳解】取BD中點O，連接AO，CO，，
則，且，于是是二面角的平面角，
顯然平面，在平面內過點作，則，
直線兩兩垂直，以O為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
，設二面角的大小為，，
因此，，，
于是，
顯然，則當時，，
所以的最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：建立空間直角坐標系，求出動點的坐標，利用向量建立函數關系是解題的關鍵.
變式2．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為 .
【答案】
【分析】以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得對應點的坐標，設出未知點的坐標，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【詳解】解：連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如下所示：
在三角形中，因為，
故，
則，
則，
，
故點，又，，，
設點，，由，可得，
，，
設平面的法向量，
則，即，
取，則，
故平面的法向量，
又，
設直線與平面所成角為，，
則，
因為，且，
故令，，，
則，，，
又，所以，
，即，
所以的最大值為.
故答案為：.
變式3．（貴州省黔東南州2023-2024學年高二下學期期末教學質量檢測數學試題）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點.

(1)證明：平面.
(2)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）借助正四棱柱的性質可建立空間直角坐標系，求出空間向量與平面的法向量后，借助空間向量計算即可得；
（2）求出空間向量與平面的法向量后，借助空間向量夾角公式計算即可得.
【詳解】（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，.

因為，分別為的中點，所以，，
則，，，
設平面的法向量為，
則，即，
令，則有，，即，
因為，所以，
又平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
，
所以與平面所成角的正弦值為.
變式4．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，在三棱柱中，側棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在線段上取一點，使，連結、，先證四邊形為平行四邊形，所以，從而可得平面；
（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，利用線面角的空間向量法求解.
【詳解】（1）在線段上取一點，使，連結、，
在中，因為，，所以，
所以且，
因為，，且，
所以，且，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面， 所以平面．
（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，
因為底面是正三角形，，所以點，點，
點，點，點，
因為，所以點，
則，，，
設平面的一個法向量為．
由，令，
得平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角的大小為，
則，
所以，
所以直線與平面所成角的余弦值為
變式5．（貴州省六盤水市2023-2024學年高二下學期7月期末數學試題）已知長方體中，．
(1)在長方體中，過點作與平面平行的平面，并說明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）作圖，即平面平面求解；
（2）方法1，以點為坐標原點建系，利用直線與平面的向量運算求解；
方法2，由體積公式求解．
【詳解】（1）解：如圖，所作平面為平面．
理由如下：
因為為平行四邊形，所以，
而平面平面，得平面，
同理得平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）方法1：以點為坐標原點建系如圖，則，．
，
設平面的法向量為，則
，即
令，則，所以，
設與平面所成的角為，則．
方法2：設點到平面的距離為，
依題，
因為，所以，
從而，解得，
設與平面所成的角為，則．
變式6．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖，在五棱錐中，平面ABCDE，，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)已知直線與平面所成的角為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，再由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）做交于點，以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，設，求出、平面的一個法向量，由線面角的向量求法求出可得答案，
【詳解】（1），，．
由余弦定理得
，
所以，故，
因為，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面；
（2）做交于點，所以四邊形是長方形，
因為，，所以，
因為，所以，
由（1）知，互相垂直，以為原點，
所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
設，則，
，
設為平面的一個法向量，
則，即，令，則，
所以，
所以，
解得，所以，
所以線段的長為．
變式7．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角.動點在線段上.
(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量求異面直線夾角；
（2）設可得，利用空間向量求線面夾角結合二次函數分析運算.
【詳解】（1）由題意可得：，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
若為的中點，則，可得，
設異面直線與所成角，，
則.
故異面直線與所成角的余弦值為.
（2）若動點在線段上，設，
則，可得，解得，
即，則，
由題意可知：平面的法向量為，

設與平面所成角為，，
則，
對于函數，開口向上，對稱軸為，
可得當時，取到最小值，
所以的最大值為，因為，
故與平面所成角的正弦最大值為.
變式8．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.
(1)證明： 平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取上的點，使，可得，則由線線平行可證線面平行；
（2）取中點，連，根據題意可證，平面，所以以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，利用線面角的空間向量法求解.
【詳解】（1）取上的點，使，
則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以 平面；
（2）取中點，連，因為，所以，
因為為正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以，，
以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
則，，，
設為平面的法向量，
則，可取，
，故直線與平面所成角的正弦值為.
【方法技巧與總結】
求線面角的兩種思路
（1）線面角轉化為線線角．根據直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉化為直線的夾角來求解，此時要注意兩直線夾角的取值范圍.
（2）向量法．
方法一：設直線PA的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線PA與平面α所成的角為 θ（θ∈[0,]），α與n的夾角為，則sin θ=lcos |=
方法二：設直線PA的方向向量為a，直線PA在平面α內的投影的方向向量為b，
則直線PA與平面α所成的角θ滿足cosθ=|cos|
【題型3：動點探索性習題】
例3．（多選）（2024·吉林·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，為線段上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．一定是異面直線
B．存在點，使得
C．直線與平面所成角的正切值的最大值為
D．過M，N，P三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為
【答案】AD
【分析】對ABC選項，以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解和判斷即可；對D選項，由正方體的性質可得截面面積最大的狀態，畫出截面圖，求得面積即可判斷.
【詳解】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系：
則，
設，則點坐標為；
對A：設平面的法向量為，，
則，即，取，解得，故；
又，，
考慮到，則，故，
故一定是異面直線，A正確；
對B：，，
若，則，即，
解得，又，故不存在這樣的點，使得，B錯誤；
對C： ，取平面的法向量，
則，
設直線與平面的夾角為
則，則，
，又，故，
即直線與平面所成角的正切值的最大值為，C錯誤；
對D：在正方體中，過的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時面積最大.
此時過的截面經過對稱中心，
設截面交于中點，也為中點，
所以為的中點時，過三點的平面截正方體所得截面面積最大，
取的中點為，連接，如下所示：
故此時截面為正六邊形，
其面積，故D正確.
D.
【點睛】關鍵點點睛：本題A選項解決的關鍵是能夠掌握用向量法證明異面直線的方法；本題D選項解決的關鍵是能夠合理轉化問題，類比解決，從而找到截面面積最大的狀態.
變式1．（多選）（2024·吉林長春·模擬預測）已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內一點（異于點），且，則（ ）
A．存在點，使得平面
B．存在點，使得直線與所成角為
C．當時，三棱錐的體積最大值為
D．當時，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為
【答案】CCD
【分析】利用反證法即可判斷A；建立如圖空間坐標系，利用空間向量法求解線線角即可判斷B；確定的最大值即可求解棱錐的體積的最大值，即可判斷C；通過展開圖確定球體與側面交線的長度，加上底面交線長即可判斷D.
【詳解】A：假設存在點使得平面，由平面平面，
得平面 平面，又平面 平面 平面，
則，又，平面，所以重合，
即點落在上，由，知點落在以為圓心，以為半徑的圓面內（不含圓），
這與點落在上矛盾，故A錯誤；
B：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
平面，則即為PC與底面所成的角，
故，而，所以，
則，所以，結合A的分析，取，
所以，又，
所以直線PB與AM所成角為，即存在點M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；
C：當時，當M位于BA的延長線時，的高最大為，
此時面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；
D：當時，，
以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線
是以P為圓心，為半徑的圓與側面展開圖的交線，如下圖，
由，有，則，
所以，則，
所以，根據對稱性有，
所以，故的長為，
又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的的四分之一圓，其長度為，
故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長，故D正確.
CD
【點睛】難點點睛：本題考查了幾何體中求解空間角以及體積和側面展開圖的問題，難度較大，難點在于D選項的判斷，解答時要利用側面展開圖求解.
變式2．（多選）（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在正方體中，點P滿足，，則下列結論正確的是（ ）
A．對于任意的，都有平面
B．對于任意的，都有
C．若，則
D．存在，使與平面所成的角為
【答案】ABC
【分析】
建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明及線面角的向量求法求解判斷即可.
【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，
則，
由，得，，
對于A，，顯然，
即，而平面，則平面，
因此是平面的法向量，又，
平面，所以平面，A正確；
對于B，由選項A知，對于任意的，，即，B正確；
對于C，由，，得，C正確；
對于D，平面的法向量，令與平面所成的角為，
則，
而，因此不存在，使與平面所成的角為，D錯誤.
BC
變式3．（多選）（23-24高二上·河北邯鄲·期中）在正四棱柱中，，，M，N分別為棱，上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．當M，N分別為棱，的中點時，直線與所成角的余弦值為
C．存在點M，使得為鈍角
D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是
【答案】ABD
【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】
以D為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由，，，，有，，，可得，故A正確；
當M，N分別為棱，的中點時，，，，，所以，，所以，，，故B正確；
，設，所以，，
所以，故C錯誤；
設，所以，，設平面的一個法向量為，所以令，解得，，所以平面的一個法向量為，又，設直線與平面所成角的大小為，所以，又，所以，故D正確.
BD.
變式4．（23-24高三上·四川成都·期末）如圖所示的幾何體是由正方形沿直線旋轉得到的，設是圓弧的中點，是圓弧上的動點（含端點），則下列結論不正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．存在點，使得平面
D．存在點，使得直線與平面的所成角為
【答案】C
【分析】由題意將圖形補全為正方體，，對于A，根據平面，當重合即可判定；對于B，根據平面，而是圓弧上的動點，即可判定；對于C，建立空間直角坐標系，根據平面的法向量和垂直即可判定結果；對于D，當點與點重合時，直線與平面所成角最大，求出夾角正弦值，進一步分析即可.
【詳解】對于A，因為正方體中，平面 平面，所以
，所以當重合時，由.由A正確；
對于B，因為，若，則，又，所以B不正確；
對于C，以A為原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，
設，則，，
，
，
所以
設為平面的一個法向量，
則即，
令得，則
假設平面，
則，所以.
因為，所以，
即是圓弧的中點，符合題意，故C正確；
對于D，當點與點重合時，直線與平面所成角最大，
所以.
由得直線與平面的所成角的最大角大于，
所以存在點，使得直線與平面的所成角為，故D正確.
變式5．（2024·四川南充·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面為矩形，點在線段上，平面.
(1)求證：；
(2)若是等邊三角形，，平面平面，四棱錐的體積為，試問在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）連接，設，連接，即可得到為的中點，再由線面平行的性質得到，即可得證；
（2）作于，即可得到平面，根據錐體的體積求出，再建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得.
【詳解】（1）連接，設，連接.
因為為矩形，所以為的中點，
因為平面，平面，平面平面，
所以.
因為為的中點，所以為的中點，所以.
（2）設，因為是等邊三角形，所以.
如圖，作于，則，
因為平面平面，，平面，平面平面，
所以平面，所以是四棱錐的高，
因為為矩形，，，所以，
所以，解得.
因為為矩形，所以，平面平面，平面，
平面平面，所以平面，
建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，
所以，，，
設平面的一個法向量為，則，取，
假設在線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，
設，，
則，
所以，
化簡得，解得（舍去）或，
因為，此時，
所以線段上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時的長為.
變式6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面分別在梭上，為的中點.

(1)若為中點，證明： 面；
(2)若，是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在點，且或
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用法向量證明線面平行即可；
（2）設，利用向量法求出求出線面角的正弦，由正弦值得出參數，即可得解.
【詳解】（1），所以為等邊三角形，
為中點，，
又 ，所以
以為原點，分別頭軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則
，
設平面的一個法向量，
則，，令，可得，
，，
又面， 面.
（2）設，
則,
,
設平面的法向量，
則，即，
令，得平面的一個法向量，
設與平面所成的角為，
則，
解得或，
即存在點，且或.
變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且為銳角．在梯形中，，，，平面平面．
(1)證明：平面;
(2)若，，是否存在實數，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，則求出，若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)存在；
【分析】（1）利用面面垂直得到平面，進而得到，再結合線面垂直的判定定理證明即可;
（2）由可得，并建立空間直角坐標系，利用向量法表示出線面角，從而求得.
【詳解】（1）因為平面平面，，平面，
平面平面，
所以平面，
又因為平面,所以，
因為四邊形為菱形，所以，
又，平面，所以平面，
（2）
設，取中點,連接,
易得,因為平面，所以平面,
因為，
所以．
因為為銳角，所以，所以為等邊三角形，
所以，．
以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，，
設平面CEF的一個法向量，則，
即，
取，可得，，故，
假設存在實數，使得直線與平面所成角的正弦值為，
，
設，由,得，
即，則．
設直線與平面所成的角為，
則，
解得，即或，又因為，所以，
故存在實數，使得直線與平面所成角的正弦值為.
變式8．（23-24高二上·廣西柳州·開學考試）如圖（1），在中，，，，分別是，的中點，將和分別沿著，翻折，形成三棱錐，是中點，如圖（2）.

(1)求證：平面；
(2)若直線上存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，求的值.
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據線面平行的性質定理和判斷定理，結合垂直關系，平行關系的轉化，即可證明；
（2）根據（1）的結果，以點為原點，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用線面角的向量法，即可求解.
【詳解】（1）因為點分別是邊的中點，所以，
因為，即，所以，
所以，，即，
因為，平面，
所以平面，又平面，所以，
由題意，，，則，
又是的中點，所以，
因為，平面，
所以平面；
（2）
以為原點，分別為軸，作，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由，，
則，，，，
，,
設平面的法向量為，
則，令，則，
設，則，
因為與平面所成角的正弦值為，
所以，解得：，
則，故.
一、單選題
1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】設出夾角，由，求出答案.
【詳解】設與所成角的大小為，
則.
2．（22-23高一下·湖南·期末）在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】設正方體的棱長為4，直線與平面所成的角為，
以，，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
，
，
，所以，
由于，所以平面，
即平面的法向量為，，
所以.

3．（23-24高三下·廣東·階段練習）如圖，正方體的邊長為4，，平面經過點，，則（ ）
A．
B．直線與直線所成角的正切值為
C．直線與平面所成角的正切值為
D．若，則正方體截平面所得截面面積為26
【答案】CC
【分析】本題四個選項逐個分析，A選項利用在勾股定理判斷；B，C選項分別作出線線角，線面角算出正切值判斷是否正確；D選項面面平行的性質的定理畫出完整的截面進而計算面積即可.
【詳解】在中，,
在中，，，，
∵，∴A錯誤．
∵，∴直線與直線所成角等于，，∴B正確．
因為平面 ，且平面
所以直線與平面所成角等于直線與平面所成角，，∴C正確．
因為正方體的對面都是相互平行，且根據面面平行的性質定理可得，
在邊上作點使得，則平行四邊形為所求截面．
在中，
∴，，
∴平行四邊形的面積為．∴D錯誤．
C
4．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，， 底面，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標，利用空間向量法計算可得.
【詳解】四棱錐的底面為直角梯形，，，
底面，且，，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
則，，
設直線與所成角為，則，
直線與所成角的余弦值為．
5．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（ ）

A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出與平面所成角的余弦值范圍，即可得出正弦值的范圍.
【詳解】以為原點建立空間直角坐標系如圖：設棱長為1，
則，設，
所以，平面的法向量為
，
所以則與平面所成角的正弦值取值范圍為.
對比各選項，C項不可能.

6．（23-24高二上·河南鄭州·期末）人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標系中，若平面經過點，且以為法向量，設是平面內的任意一點，由，可得，此即平面的點法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意求出平面的法向量，利用線面角公式即可求解．
【詳解】因為平面的方程為，
所以平面的一個法向量為,2,，
直線的方向向量為，
設直線與平面所成角為，
則,．
．
7．（23-24高二上·廣西·期末）如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面內一動點，，直線PA和底面ABC所成的角為，則P點的坐標滿足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】寫出各點坐標，求得平面法向量，利用線面角公式計算化簡求得答案.
【詳解】由正三棱柱，且，根據坐標系可得：，，又是正三棱柱的底面內一動點，則，所以，又平面ABC，所以是平面ABC的一個法向量，因為直線PA和底面ABC所成的角為，
所以，整理得，又z2，所以.
故選:A.
8．（2024·陜西·模擬預測）在平行六面體中，已知，，則下列選項中錯誤的一項是（ ）
A．直線與BD所成的角為90°
B．線段的長度為
C．直線與所成的角為90°
D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為
【答案】A
【分析】在平行六面體中，取，利用空間向量的線性運算及數量積運算，逐一分析選項，即可得出答案.
【詳解】在平行六面體中，令，，，
由，，
得，，
對于，顯然，，
則，即，
因此直線與所成的角為，A正確；
對于B，，即，B正確；
對于C，，即，
因此直線與所成的角為，C正確；
對于D，在平行六面體中，四邊形是菱形，即，
又，，平面，于是平面，
又平面，則平面平面，
連接交于點，在平面內過點作于點，如圖，
由平面平面，因此平面，即直線與平面所成角為，
，則，即，
由及選項C知，，則，D錯誤.
二、多選題
9．（23-24高二上·四川南充·階段練習）在如圖所示的直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，．點是側面內的動點（不含邊界），，則與平面所成角的正切值可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意確定點的軌跡，利用線面角定義可得與平面所成角即為，利用圓的幾何性質確定的范圍，即可求出線面角正切值的范圍，從而得出正確選項.
【詳解】由題意建系如圖，

因為底面是邊長為2的正方形，，
則，，設，
可得，，
由題意得，故，
可得，
故點軌跡是以為圓心，1為半徑的圓在正方形內的部分（不含邊界），
由題可知為的中點，如圖，

根據圓的幾何性質可得：
當共線時，取得最小值為，
而，所以，
因為平面，所以與平面所成角即為，
所以，
所以正確選項有AD.
D．
10．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習）如圖，正方體的棱長為3，E，F分別為棱上的點，且，平面AEF與棱交于點G，若點P為正方體內部（含邊界）的點，滿足，則（ ）

A．點P的軌跡為四邊形AEGF及其內部
B．當時，點P的軌跡長度為
C．當時，
D．當時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為
【答案】ABD
【分析】取上一點H，使得，證得四邊形為平行四邊形，結合空間向量基本定理可知，可判定A正確；當時，得到，得到P的軌跡長度為線段EG的長，可判定B正確；當時，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，結合，可判定C錯誤；當時，由，可得，求得平面的一個法向量為和，結合向量的夾角公式，以及二次函數的性質，即可求解.
【詳解】對于A中，取上一點H，使得，連接EH，FH，HB，
可得且，且，
所以四邊形和四邊形是平行四邊形，所以，
所以四邊形為平行四邊形，
因為，由空間向量基本定理可知，所以在四邊形內（或邊界上），所以A正確；
對于B中，當時，，所以，即，
所以P在線段EG上，點P的軌跡長度為線段EG的長，所以，所以B正確；
對于C中，當時，可得點P為線段AF的中點，
以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，可得，
則，可得，
所以不不成立，所以C錯誤；
對于D中，當時，，分別取的中點，
連接，在線段上，,
由，可得，
平面的一個法向量為，
設與平面所成的角為，
所以，
設，因為，則，
則，代入可得，
當時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，所以D正確.
BD.

11．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在正方體中，點P滿足，，則下列結論正確的是（ ）
A．對于任意的，都有平面
B．對于任意的，都有
C．若，則
D．存在，使與平面所成的角為
【答案】ABC
【分析】
建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明及線面角的向量求法求解判斷即可.
【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，
則，
由，得，，
對于A，，顯然，
即，而平面，則平面，
因此是平面的法向量，又，
平面，所以平面，A正確；
對于B，由選項A知，對于任意的，，即，B正確；
對于C，由，，得，C正確；
對于D，平面的法向量，令與平面所成的角為，
則，
而，因此不存在，使與平面所成的角為，D錯誤.
BC
三、填空題
12．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在正方體中，O是AC中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為θ，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求得的取值范圍.
【詳解】設正方體邊長為，建立如圖所示空間直角.則，
設，
則，
由于 使，，
所以是平面的法向量，
所以 ，
由于，所以，，
所以 ，
故答案為：
13．（23-24高二上·浙江·期中）如圖，正四棱柱中，設，點在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值是 .
【答案】/
【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值.
【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量為，
則，
令，則，故，
設直線與平面所成角大小為，
則，
故答案為：
14．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，點為的中點，則與平面的位置是 ．
【答案】垂直
【分析】建立空間直角坐標系，證明即可得與平面的位置關系.
【詳解】如圖所示，分別以所在直線為軸建立如圖空間直角坐標系，
且.
設，則，
所以,
因為,
所以，
因為平面，平面，
所以平面.
故答案為：垂直.
四、解答題
15．（23-24高二下·安徽宣城·期末）如圖，在四棱錐中，平面，且 ，分別為棱的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，根據面面垂直的判定定理即可證明結論；
（2）方法一：結合（1）可知平面，即可說明即為直線與平面所成的角，解三角形，即可求得答案；方法二，建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，利用空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）平面平面，則，
由，則；
又平面，
平面平面，
，
，且為的中點，
，
平面，
平面，又平面，
所以平面平面；
（2）解法一：如圖，連結，由（1）知平面，
所以，為直線在平面內的射影，且，
所以，即為直線與平面所成的角.
在直角梯形內，過作于，則四邊形為矩形，
，在中，，
所以，，
而，在中，，
所以，
綜上，直線與平面所成角的正弦值為.
解法二：在直角梯形內，過作于，則四邊形為矩形，
，在中，，
所以，，
以點為原點，分別為軸，建系如圖，
則.
由（1）知，平面，平面法向量可取為，
設直線與平面所成角為，則，
綜上，直線與平面所成角的正弦值為.
16．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，在三棱柱中，側棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）在線段上取一點，使，連結、，先證四邊形為平行四邊形，所以，從而可得平面；
（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，利用線面角的空間向量法求解.
【詳解】（1）在線段上取一點，使，連結、，
在中，因為，，所以，
所以且，
因為，，且，
所以，且，
所以且，
故四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面， 所以平面．
（2）以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖空間直角坐標系，
因為底面是正三角形，，所以點，點，
點，點，點，
因為，所以點，
則，，，
設平面的一個法向量為．
由，令，
得平面的一個法向量為，
設直線與平面所成角的大小為，
則，
所以，
所以直線與平面所成角的余弦值為
17．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖，在五棱錐中，平面ABCDE，，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)已知直線與平面所成的角為，求線段的長．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理得，再由線面垂直的判定定理可得答案；
（2）做交于點，以為原點，所在的直線分別為建立空間直角坐標系，設，求出、平面的一個法向量，由線面角的向量求法求出可得答案，
【詳解】（1），，．
由余弦定理得
，
所以，故，
因為，所以，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面；
（2）做交于點，所以四邊形是長方形，
因為，，所以，
因為，所以，
由（1）知，互相垂直，以為原點，
所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
設，則，
，
設為平面的一個法向量，
則，即，令，則，
所以，
所以，
解得，所以，
所以線段的長為．
18．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.
(1)證明： 平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）取上的點，使，可得，則由線線平行可證線面平行；
（2）取中點，連，根據題意可證，平面，所以以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，利用線面角的空間向量法求解.
【詳解】（1）取上的點，使，
則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以 平面；
（2）取中點，連，因為，所以，
因為為正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以，，
以為坐標原點，分別為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，，
則，，，
設為平面的法向量，
則，可取，
，
故直線與平面所成角的正弦值為.
19．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)設.
①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
②在線段上是否存在點，使得點，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)①或；②不存在點，理由見解析
【分析】（1）利用面面垂直的性質可證得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證得結論；
（2）①依題建系，設，利用題設條件，分別求得相關點和向量的坐標，利用空間向量坐標的夾角公式列出方程，求解即得的值；
②假設存在點，可由推得，得點坐標，由得方程，因此方程無實數解，假設不不成立.
【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）如圖以為原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示直角空間坐標系，
設，則，由， ，，，
則，，因，則，，
所以，
①設平面的法向量為，由，，得：
，可取
設直線與平面所成角為，
則有：，，
即：，化簡得：，
解得或，即或.
②如圖，假設在線段上是否存在點，使得點，，在以為球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即（*），
因為，所以方程（*）無實數解，
所以線段上不存在點，使得點，，在以為球心的球上.
【點睛】方法點睛：本題主要考查利用空間向量解決線面所成角以及多點是否在同一球面上的開放性問題，屬于較難題.
根據題意，創建合適的空間直角坐標系，利用空間向量夾角的坐標表達式即可求解相關問題，對于開放性問題，一般是假設結論不成立，通過推理計算求得結論不成立的條件或者推導出矛盾.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)1.2.3 直線與平面的夾角
課程標準 學習目標
1.掌握求線面角的兩種基本方法，即空間向量法與幾何法 2.靈活運用兩種基本方法求線面角 1.理解直線與平面的夾角的概念。 2.學習如何計算直線與平面的夾角。 3.掌握求直線與平面夾角的方法。 4.能夠應用所學知識解決相關的題目。
知識點01 直線與平面的夾角
1.直線與平面垂直：直線與平面的夾角為90°.
2.直線與平面平行或在平面內：直線與平面的夾角為0°.
3.斜線和平面所成的角：斜線和它在平面內的射影所成的角，叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）
【即學即練1】（浙江省紹興市2022-2023學年）在正方體中，棱長為3，是上底面的一個動點.
(1)求三棱錐的體積；
(2)當是上底面的中心時，求與平面ABCD所成角的余弦值.

【即學即練2】（2023·全國·高二假期作業）如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形的中心，平面，，分別為，的中點．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求點到平面的距離；
(3)若，求直線與平面所成角的余弦值．
知識點02 用空間向量求直線與平面的夾角
1.定義：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與 的角為，則有__ ____=_______.
2.范圍：[0,]
【即學即練3】若正三棱柱的所有棱長都相等，是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為______.
【即學即練4】（2023秋·山西晉中·高二統考期末）如圖所示，在棱長為2的正四面體中，為等邊三角形的中心，分別滿足.
(1)用表示，并求出；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.

難點：動點問題
示例1：（多選）（23-24高二下·江蘇徐州·期末）如圖，在邊長為12的正方形中，分別邊的三等分點，正方形內有兩點，點到的距離分別為，點到的距離也是和，其中.將該正方形沿折起，使與重合，則在該空間圖形中，（ ）
A．直線 平面
B．的最小值為
C．線段的中點到的距離不超過
D．異面直線與成角時，
【題型1：定義法求直線與平面所成的角】
例1．（23-24高二下·安徽·階段練習）在棱長均相等的正三棱柱中,E為棱AB的中點,則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·河南·階段練習）在直三棱柱中，，則與平面所成的角為（ ）.
A． B． C． D．
變式2．（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
變式3．（多選）（22-23高二上·貴州黔東南·開學考試）已知梯形，，，，，是線段的中點．將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項正確的是（ ）

A．與始終垂直
B．當直線與平面所成角為時，
C．四面體體積的最大值為
D．四面體的外接球的表面積的最小值為
變式4．（多選）（23-24高二下·四川瀘州·期末）如圖，在棱長為的正方體中，點P是平面內一個動點，且滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．直線與平面所成角為定值
C．點P的軌跡的周長為
D．三棱錐體積的最大值為
變式5．（24-25高二上·上海·課后作業）如圖，平面平面，，，．平面內一點滿足，記直線與平面所成角為，求的最大值．
變式6．（2024高二下·天津南開·學業考試）如圖，在正方體中，

(1)求證：平面平面；
(2)求直線和平面所成角．
變式7．（24-25高二·上海·假期作業）已知斜三棱柱的底面是正三角形，側棱，并且與底面所成角是.設側棱長為
(1)求此三棱柱的高；
(2)求證：側面是矩形；
(3)求證：在平面上的射影在的平分線上.
【方法技巧與總結】
計算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內的射影，即可確定線面角；
（2）在構成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
【題型2：向量法求直線與平面所成的角】
例2．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知如圖所示的幾何體中，底面是邊長為4的正三角形，側面是長方形，，平面平面為棱上一點，，且，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24高二下·江蘇徐州·期中）如圖，四邊形，現將沿折起，當二面角的大小在時，直線和所成角為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為 .
變式3．（貴州省黔東南州2023-2024學年高二下學期期末教學質量檢測數學試題）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點.

(1)證明：平面.
(2)求與平面所成角的正弦值.
變式4．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，在三棱柱中，側棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
變式5．（貴州省六盤水市2023-2024學年高二下學期7月期末數學試題）已知長方體中，．
(1)在長方體中，過點作與平面平行的平面，并說明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
變式6．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖，在五棱錐中，平面ABCDE，，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)已知直線與平面所成的角為，求線段的長．
變式7．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角是直二面角.動點在線段上.
(1)當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；
(2)求與平面所成角的正弦值的最大值.
變式8．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.
(1)證明： 平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
【方法技巧與總結】
求線面角的兩種思路
（1）線面角轉化為線線角．根據直線與平面所成角的定義，確定出待求角，轉化為直線的夾角來求解，此時要注意兩直線夾角的取值范圍.
（2）向量法．
方法一：設直線PA的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線PA與平面α所成的角為 θ（θ∈[0,]），α與n的夾角為，則sin θ=lcos |=
方法二：設直線PA的方向向量為a，直線PA在平面α內的投影的方向向量為b，
則直線PA與平面α所成的角θ滿足cosθ=|cos|
【題型3：動點探索性習題】
例3．（多選）（2024·吉林·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，為線段上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．一定是異面直線
B．存在點，使得
C．直線與平面所成角的正切值的最大值為
D．過M，N，P三點的平面截正方體所得截面面積的最大值為
變式1．（多選）（2024·吉林長春·模擬預測）已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內一點（異于點），且，則（ ）
A．存在點，使得平面
B．存在點，使得直線與所成角為
C．當時，三棱錐的體積最大值為
D．當時，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為
變式2．（多選）（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在正方體中，點P滿足，，則下列結論正確的是（ ）
A．對于任意的，都有平面
B．對于任意的，都有
C．若，則
D．存在，使與平面所成的角為
變式3．（多選）（23-24高二上·河北邯鄲·期中）在正四棱柱中，，，M，N分別為棱，上的一點，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．當M，N分別為棱，的中點時，直線與所成角的余弦值為
C．存在點M，使得為鈍角
D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是
變式4．（23-24高三上·四川成都·期末）如圖所示的幾何體是由正方形沿直線旋轉得到的，設是圓弧的中點，是圓弧上的動點（含端點），則下列結論不正確的是（ ）
A．存在點，使得
B．存在點，使得
C．存在點，使得平面
D．存在點，使得直線與平面的所成角為
變式5．（2024·四川南充·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面為矩形，點在線段上，平面.
(1)求證：；
(2)若是等邊三角形，，平面平面，四棱錐的體積為，試問在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由.
變式6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面分別在梭上，為的中點.

(1)若為中點，證明： 面；
(2)若，是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）在如圖所示的多面體中，四邊形為菱形，且為銳角．在梯形中，，，，平面平面．
(1)證明：平面;
(2)若，，是否存在實數，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，則求出，若不存在，說明理由.
變式8．（23-24高二上·廣西柳州·開學考試）如圖（1），在中，，，，分別是，的中點，將和分別沿著，翻折，形成三棱錐，是中點，如圖（2）.

(1)求證：平面；
(2)若直線上存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，求的值.
一、單選題
1．（23-24高二上·福建南平·期末）已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．1
2．（22-23高一下·湖南·期末）在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·廣東·階段練習）如圖，正方體的邊長為4，，平面經過點，，則（ ）
A．
B．直線與直線所成角的正切值為
C．直線與平面所成角的正切值為
D．若，則正方體截平面所得截面面積為26
4．（23-24高二下·江蘇常州·期中）已知四棱錐的底面為直角梯形，， 底面，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（ ）

A． B． C． D．1
6．（23-24高二上·河南鄭州·期末）人教A版選擇性必修第一冊教材44頁“拓廣探索”中有這樣的表述：在空間直角坐標系中，若平面經過點，且以為法向量，設是平面內的任意一點，由，可得，此即平面的點法式方程．利用教材給出的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線的方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·廣西·期末）如圖所示空間直角坐標系A﹣xyz中，是正三棱柱的底面內一動點，，直線PA和底面ABC所成的角為，則P點的坐標滿足（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·陜西·模擬預測）在平行六面體中，已知，，則下列選項中錯誤的一項是（ ）
A．直線與BD所成的角為90°
B．線段的長度為
C．直線與所成的角為90°
D．直線與平面ABCD所成角的正弦值為
二、多選題
9．（23-24高二上·四川南充·階段練習）在如圖所示的直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，．點是側面內的動點（不含邊界），，則與平面所成角的正切值可以為（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高二下·山西呂梁·階段練習）如圖，正方體的棱長為3，E，F分別為棱上的點，且，平面AEF與棱交于點G，若點P為正方體內部（含邊界）的點，滿足，則（ ）

A．點P的軌跡為四邊形AEGF及其內部
B．當時，點P的軌跡長度為
C．當時，
D．當時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為
11．（23-24高二下·重慶·階段練習）如圖，在正方體中，點P滿足，，則下列結論正確的是（ ）
A．對于任意的，都有平面
B．對于任意的，都有
C．若，則
D．存在，使與平面所成的角為
三、填空題
12．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在正方體中，O是AC中點，點P在線段上，若直線OP與平面所成的角為θ，則的取值范圍是 ．
13．（23-24高二上·浙江·期中）如圖，正四棱柱中，設，點在線段上，且，則直線與平面所成角的正弦值是 .
14．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，點為的中點，則與平面的位置是 ．
四、解答題
15．（23-24高二下·安徽宣城·期末）如圖，在四棱錐中，平面，且 ，分別為棱的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
16．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，在三棱柱中，側棱底面，底面是正三角形，，點、分別在、上，且，．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的余弦值．
17．（23-24高二下·廣東廣州·期末）如圖，在五棱錐中，平面ABCDE，，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)已知直線與平面所成的角為，求線段的長．
18．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，四棱錐的側面為正三角形，底面為梯形，，平面平面，已知，.
(1)證明： 平面；
(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.
19．（23-24高二下·江蘇泰州·期末）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)設.
①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.
②在線段上是否存在點，使得點，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.
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