資源簡介

第06講 冪函數
課程標準 學習目標
了解冪函數的概念． 2．結合函數yx，yx2，yx3，yx－1，的圖象，了解他們的變化情況． 3．掌握五種冪函數的性質并會應用． 1．通過冪函數概念的學習，體現數學抽象等核心素養． 2．借助冪函數圖象與性質的探究，培養直觀想象、邏輯推理等核心素養．
知識點01冪函數的定義
一般地，函數yxα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
【即學即練1】（2024·高一·上海·隨堂練習）下列函數是冪函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據冪函數的定義，A、B、C均不是冪函數，只有D選項，形如（為常數），是冪函數，所以D正確
.
知識點02常見冪函數的圖象與性質
冪函數 yx yx2 yx3 yx yx－1
定義域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，減 增 增 x∈(0，＋∞)，減；x∈(－∞，0)，減
公共點 都經過點(1，1)
【即學即練2】已知冪函數的圖象過，那么在上的最大值為 .
【答案】
【分析】先求冪函數解析式，再根據冪函數單調性求最值.
【解析】設，因為的圖象過，
，解得，
在上是單調遞增的
在上的最大值為，
故答案為:
知識點03冪函數的特征
冪函數隨著的取值不同，它們的定義域、性質和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質：
（1）所有的冪函數在都有定義，并且圖象都過點；
（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；
（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【即學即練3】（2024·高一·全國·隨堂練習）函數的圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，定義域為，排除A，B．
經過定點， ，則第一象限圖象是單調遞增，且增長率逐步變快.
.
題型01 冪函數的概念
【典例1】現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據冪函數的定義逐個辨析即可
【解析】冪函數滿足形式，故，滿足條件，共2個
【變式1】（2024·高一·河北滄州·期末）下列函數是冪函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】B項可化為，根據冪函數的概念，可知函數是冪函數，即函數是冪函數.ACD均不是冪函數.
.
【變式2】（2024·高一·陜西·期中）下列函數是冪函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據冪函數的定義：形如，而，符合冪函數的定義,正確.
ABD在形式上都不符合冪函數定義，錯誤.
【變式3】函數是冪函數，則實數的值為 ．
【答案】或
【解析】由題意，解得m=2或-1
【變式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函數既是冪函數又是奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于A，由冪函數的定義知是冪函數，由題意可知的定義域為,，所以是奇函數，符合題意；故A正確；
對于B，由冪函數的定義知是冪函數，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數，不符合題意；故B錯誤；
對于C，由冪函數的定義知不是冪函數，不符合題意；故C錯誤；
對于D，由冪函數的定義知不是冪函數，不符合題意；故D錯誤；
.
題型02 求冪函數的解析式
【典例2】（2024·高一·江蘇南通·期中）已知冪函數為偶函數在上單調遞減，則的解析式可以為 寫一個即可
【答案】 答案不唯一
【解析】因為冪函數 在 上單調遞減，所以 ，
又因為 為偶函數，
所以 適合題意．
故答案為: 答案不唯一.
【變式1】若冪函數過點，則此函數的解析式為 .
【答案】/
【分析】設，代入所過點即可求得結果.
【解析】設冪函數，則，解得：，.
故答案為：.
【變式2】已知冪函數的圖象關于y軸對稱，則 ．
【答案】4
【分析】根據冪函數的知識求得的可能取值，根據圖象關于軸對稱求得的值，進而即得.
【解析】由于是冪函數，所以，解得或.
當時，，圖象關于軸對稱，符合題意.
當時，，圖象關于原點對稱，不符合題意.
所以的值為，
∴. ，.
故答案為：4.
【變式3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知冪函數的圖象經過點，求 ．
【答案】
【分析】設冪函數為，根據題意求得，得到，代入即可求解.
【詳解】設冪函數為，
因為冪函數的圖象經過點，可得，解得，即，
所以.
故答案為：.
【變式4】（2024·高一·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數滿足①函數圖象不經過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因為對，則在上為減函數，
又因為冪函數（為常數），當不經過原點時，即可，
故可取.
故答案為：（答案不唯一）.
題型03 定義域問題
【典例3】（2024·高一·福建龍巖·期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，依題意可得，解得，所以，
所以的定義域為，值域為，且，
對于函數，則，解得，
即函數的定義域是.
【變式1】（2024·高一·上海·課后作業）在函數①；②；③；④；⑤；⑥中，定義域是的有 個．
【答案】3
【解析】①的定義域為；
②的定義域為；
③的定義域為；
④的定義域為；
⑤的定義域為；
⑥的定義域為．
故定義域為的有①③⑥，共3個，
故答案為：3．
【變式2】（2024·高一·黑龍江綏化·期末）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知解得，所以f(x)的定義域為．
．
【變式3】（2024·高一·湖北·期中）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
則有，解得且，因此的定義域是．
.
題型04 值域問題
【典例4】（2024·高一·遼寧·階段練習）函數的值域為 .
【答案】
【解析】由冪函數性質可知在上單調遞增，
又易知為偶函數，
所以當時，可知在上單調遞減，
可得.
故答案為：
【變式1】若冪函數的圖象過點，則的值域為 ．
【答案】
【分析】設，根據條件求出，然后可得答案.
【解析】設，因為冪函數的圖象過點，所以
所以，所以
故答案為：
【變式2】函數的值域為 .
【答案】
【分析】根據的解析式求得的值域.
【解析】時，，
時，，
所以的值域為.
故答案為：
【變式3】（2024·高一·全國·課后作業）函數，其中，則其值域為 .
【答案】
【解析】設，則.因為，所以. 當時，.所以函數的值域為.
故答案為：
【變式4】（2024·高一·全國·課后作業）（1）使用五點作圖法，在圖中畫出的圖象，并注明定義域．
（2）求函數的值域．
【解析】（1）由于，
則，，，
所以過點，
故的圖象，如圖所示，函數的定義域為；
（2）由題可知，
設，則，
當時取等號，故的值域為．
【變式5】（2024·高一·全國·單元測試）已知冪函數，且在區間內函數圖象是上升的．
（1）求實數k的值；
（2）若存在實數a，b使得函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數a，b的值．
【解析】（1）為冪函數，
∴，解得或，
又在區間內的函數圖象是上升的，
，
∴k2；
（2）∵存在實數a，b使得函數在區間上的值域為，且，
∴，即，
，∴a0，b1．
題型05 冪函數的圖像
【典例5】冪函數yx2，yx－2，yx，yx－1在第一象限內的圖象依次是圖中的曲線(　　)
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【答案】　D
【解析】由于在第一象限內直線x1的右側，冪函數yxα的圖象從上到下相應的指數α由大變小，即冪函數圖象在第一象限內直線x1右側的“高低”關系是“指大圖高”，故冪函數yx2在第一象限內的圖象為C1，yx－2在第一象限內的圖象為C4，yx在第一象限內的圖象為C2，yx－1在第一象限內的圖象為C3.
【變式1】（2024·高一·上海·課堂例題）函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，則，
所以函數是偶函數，故排除D，
由冪函數性質可知函數在上單調遞增，且當時的圖象高于的函數圖象，故排除B、C.
.
【變式2】數在第一象限的圖象如圖所示，若，則 ．
【答案】/
【分析】根據冪函數的圖象與性質，結合題意，即可求解.
【解析】由冪函數的圖象可得，函數在單調遞增，且增長趨勢越來越緩慢，
又由，則只有滿足條件．
故答案為：．
【變式3】已知函數的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于A：函數的定義域為，顯然不符合題意，故A錯誤；
對于B：函數的定義域為，顯然不符合題意，故B錯誤；
對于C：函數的定義域為，又為奇函數，
但是在上函數是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤；
對于D：定義域為，又為奇函數，
且在上函數是上凸遞增，故D正確.
【變式4】（2024·高一·山東濟南·期末）已知函數則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】結合題意可得：當時，易知為冪函數，在單調遞增；
當時，易知為冪函數，在單調遞增.
故函數,圖象如圖所示:
要得到，只需將的圖象沿軸對稱即可得到.
.
【變式5】已知冪函數，其圖像與坐標軸無交點，則實數m的值為 ．
【答案】
【分析】根據冪函數定義，由求得m，再根據函數圖象與坐標軸無交點確定即可.
【解析】由冪函數知，
得或.
當時，圖象與坐標軸有交點，
當時，與坐標軸無交點，
∴.
故答案為:
【變式6】已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數，且
B．q為偶數，p為奇數，且
C．q為奇數，p為偶數，且
D．q為奇數，p為偶數，且
【答案】A
【分析】根據函數的單調性可判斷出；根據函數的奇偶性及，互質可判斷出為偶數，為奇數.
【解析】因為函數的定義域為，且在上單調遞減，
所以0，
因為函數的圖象關于y軸對稱，
所以函數為偶函數，即p為偶數，
又p、q互質，所以q為奇數，
所以選項D正確，
.
題型06 圖像過定點問題
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函數的圖象恒過定點，若點在一次函數的圖象上，其中，，則的最小值為 .
【答案】4
【解析】函數的圖象恒過定點，所以 ,
因為，所以，
當時，的最小值為4.
故答案為：4
【變式1】（2024·高一·上海徐匯·期末）當時，函數的圖象恒過定點A，則點A的坐標為 ．
【答案】
【解析】由于對任意的，恒經過點，所以函數的圖象恒過定點,
故答案為：
【變式2】（2024·高一·上海靜安·期中）不論實數取何值，函數恒過的定點坐標是 ．
【答案】
【解析】因為，故當，即時，，
即函數恒過定點.
故答案為：.
【變式3】（2024·高一·上海靜安·期中）不論實數取何值，函數恒過的定點坐標是 ．
【答案】
【解析】因為，故當，即時，，
即函數恒過定點.
故答案為：.
題型07 利用單調性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若冪函數的圖象關于軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因為冪函數在上單調遞減，
所以，解得，
又，所以或，
當時，冪函數為，圖象關于y軸對稱，滿足題意；
當時，冪函數為，圖象不關于y軸對稱，舍去，
所以，不等式為，
因為函數在和上單調遞減，
所以或或，
解得或.
故答案為：.
【變式1】（2024·高一·廣西百色·開學考試）已知冪函數滿足條件，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因為為冪函數，所以，則，
故的定義域為，且在定義域上為增函數，
所以由，可得，解得，故a的取值范圍為.
故答案為：.
【變式2】（2024·高一·全國·期中）若，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由在上單調遞增，故，解得.
故答案為：
【變式3】（2024·高一·廣東梅州·期末）已知冪函數的圖象過點，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由冪函數的圖象過點得，解得，
則，定義域為.
由可得為偶函數，
又冪函數的單調性可知，函數在上單調遞減.
于是等價于，解得或.
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【變式4】（2024·高一·重慶永川·期中）已知冪函數在上是減函數，.若，則實數的取值范圍為
【答案】
【解析】由函數為冪函數得，解得或，又
函數在上是減函數，則，即，
所以，所以；
所以不等式為，
設函數，則函數的定義域為，且函數在上單調遞減，
所以，解得，所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
題型08比較大小問題
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知冪函數且，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以在上單調遞增，
又因為，
所以，
所以.
.
【變式1】（2024·高一·廣東佛山·階段練習）若，，，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，，
又在第一象限內是增函數，，
所以，即.
.
【變式2】（2024·高一·重慶·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由單調遞增，
則可知，
由單調遞增，
又，可得
所以．
．
【變式3】（2024·高三·黑龍江牡丹江·階段練習）已知冪函數的圖象過點是函數圖象上的任意不同兩點，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設冪函數，
因為的圖象經過點，則，解得，
所以.
因為函數在定義域內單調遞增，
則當時，，
所以，且，
故選項錯誤；
又因為函數單調遞增，
則當時，，且，
故選項D正確，選項錯誤.
.
【變式4】函數是冪函數，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
【答案】A
【分析】確定函數在上單調遞增，根據冪函數得到或，驗證單調性得到，代入數據計算得到答案.
【解析】對任意的，且，滿足，函數是單調增函數，
是冪函數，可得，解得或，
當時，；當時，，不滿足單調性，排除，
故，．
，，故恒不成立．
題型09 奇偶性問題
【典例9】　已知冪函數的圖象過點，則下列關于的說法正確的是（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．的定義域為 D．在上單調遞增
【答案】A
【分析】求出冪函數的解析式，利用冪函數的基本性質逐項判斷，即可得出合適的選項.
【解析】因為函數為冪函數，設，則，解得，
所以，，所以，函數的定義域為，
函數為非奇非偶函數，且該函數在上單調遞增，ABC都錯，D對.
.
【變式1】已知冪函數在區間上是單調增函數，且的圖象關于y軸對稱，則m的值為（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據函數的單調性得到，代入驗證函數的奇偶性得到答案.
【解析】冪函數在區間上是單調增函數，故，
解得，，
當時，不滿足條件；
當時，滿足條件；
當時，不滿足條件；
.
【變式2】函數，若，則實數的范圍是 ．
【答案】
【分析】根據解析式可判斷是定義在上的奇函數且在上單調遞增，轉化不等式即可求解.
【解析】，，
是定義在上的奇函數，且顯然在上單調遞增，
由可得，
，解得.
故答案為：.
【變式3】已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根據已知條件求出的解析式，再根據的單調性和奇偶性求解即可.
【解析】由題意可知，，解得，，
故，易知，為偶函數且在上單調遞減，
又因為，
所以，解得，或.
故的取值范圍為.
.
題型10 冪函數性質的綜合運用
【典例10】（2024·高一·陜西西安·期末）已知冪函數為偶函數，．
(1)求的解析式；
(2)若對于恒不成立，求的取值范圍．
【解析】（1）因為冪函數為偶函數，
所以，解得或，
當時，，定義域為R，，
所以為偶函數，符合條件；
當時，，定義域為R，，
所以為奇函數，舍去；
所以.
（2）因為，
所以對于恒不成立，即對于恒不成立，
等價于對于恒不成立，
因為，當且僅當，即時，等號不成立，
所以，故，則.
【變式1】（2024·高一·廣西河池·期末）已知冪函數的圖象過點.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若對任意恒不成立，求實數的取值范圍.
【解析】（1）設函數，由的圖象過點，得，解得，
所以函數的解析式是.
（2）由（1）知，，則，由，得，
即，令，依題意，任意，，
而函數在上單調遞減，，因此，
所以實數的取值范圍是.
【變式2】（2024·高一·江蘇淮安·期末）已知是定義在R上的函數，滿足：，，且當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求的表達式；
(3)若函數在區間（）上的值域為，求的值．
【解析】（1）因為，，
所以，
故是奇函數，且為其一個周期，且關于軸對稱，
所以；
（2）結合（1）的結論可令，則，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函數單調性可知在上單調遞增，且，
所以，則，
若，則，此時，
若，則，此時，
若，則，此時.
故的值為或或.
【變式3】（2024·高一·陜西商洛·期中）已知冪函數滿足：
①在上為增函數，
②對，都有，
求同時滿足①②的冪函數的解析式，并求出時，的值域.
【解析】因為在上為增函數，所以，解得，
又，所以，或．
又因為，所以是偶函數，所以為偶數．
當時，滿足題意；當時，不滿足題意，
所以，
又因為在上遞增，所以，，
故時，的值域是．
題型11 與冪函數有關的新定義問題
【典例11】（2024·高一·廣西欽州·開學考試）若函數在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數是在上的“美好函數”.
(1)函數①；②；③，哪個函數是在上的“美好函數”，并說明理由；
(2)已知函數.
①函數是在上的“美好函數”，求的值；
②當時，函數是在上的“美好函數”，求的值.
【解析】（1）①因為，所以，所以，，
得，故是在上的“美好函數”；
②因為，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函數”；
③因為，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函數”
（2）①由題得，
當，可知
所以，當時，，此時，，
因為函數是在上的“美好函數”
所以有；
當時，，此時，，
因為函數是在上的“美好函數”
所以有；
故
②由題可知此時，函數，可知此時，函數的對稱軸為且開口向上；
當時，此時函數在上單調遞減，此時，，
因為函數是在上的“美好函數”
所以有，解得；
當時，此時函數在上單調遞減，在單調遞增，所以當時，，
因為函數是在上的“美好函數”
所以有；
令，解得或
所以此時（舍去），（舍去）
當時，此時函數在上單調遞増，此時，，
因為函數是在上的“美好函數”
所以有，解得；
綜上所述：或
【變式1】（2024·高一·貴州六盤水·期末）對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①在上是單調函數；②當時，，則稱是該函數的“優美區間”.
(1)求證：是函數的一個“優美區間”；
(2)求證：函數不存在“優美區間”；
(3)已知函數有“優美區間”，當取得最大值時求的值.
【解析】（1）在區間上單調遞增，又，
當時，，
根據“優美區間”的定義，是的一個“優美區間”；
（2），設，可設或，
則函數在上單調遞增.
若是的“優美區間”，則是方程的兩個同號且不等的實數根.
方程無解.
函數不存在“優美區間”.
（3），設.
有“優美區間”，
或，
在上單調遞增.
若是函數的“優美區間”，則，
是方程，即（*）的兩個同號且不等的實數根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
當時，取得最大值.
.
一、單選題
1．（23-24高一·上海·課堂例題）下列命題中，正確的是（ ）
A．當時，函數的圖象是一條直線；
B．冪函數的圖象都經過和兩個點；
C．若冪函數的圖象關于原點成中心對稱，則在區間上是嚴格增函數；
D．冪函數的圖象不可能在第四象限．
【答案】A
【分析】根據冪函數的圖象和性質，即可判斷選項.
【詳解】A. 的定義域為，所以表示除去點的直線，故A錯誤；
B.冪函數，當時，過點和兩個點，時，只過點，故B錯誤；
C.當時，冪函數的圖象關于原點成中心對稱，在區間上是嚴格減函數，故C錯誤；
D.由冪函數的性質可知，冪函數不可能在第四象限，故D正確.
2．（23-24高一上·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知是冪函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根據函數是冪函數求出參數，再求函數值即可.
【詳解】因為是冪函數，所以，解得，則，
所以.
.
3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據冪函數、指數函數的單調性判定大小即可.
【詳解】易知，
又定義域上單調遞減，，所以，
易知單調遞增，，
則，
綜上.
4．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知函數，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為1
C．的最小值為1 D．的最小值為0
【答案】C
【分析】求出函數定義域，結合復合函數單調性即可求得函數的最值.
【詳解】因為，所以定義域為，
由復合函數單調性可知，在上單調遞增，在上單調遞減，
所以在上單調遞增，
所以當時，，
當時，.
.
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數，，的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據的單調性相反排除AD，然后根據冪函數圖象判斷出的范圍，由此可得答案.
【詳解】因為在同一坐標系中，所以函數，的單調性一定相反，
且圖象均不過原點，故排除AD；
在BC選項中，過原點的圖象為冪函數的圖象，且由圖象可知，
所以單調遞減，單調遞增，故排除B，所以C正確.
.
6．（23-24高一上·江西新余·期末）若冪函數圖象過點，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由條件求得的值，即得函數；分別判斷該函數的奇偶性和在區間上的單調性；最后將抽象不等式轉化成，再通過兩邊平方化成一元二次不等式求解即得.
【詳解】把代入可得：，易得：，則，
顯然函數的定義域為R，由知為偶函數.
且，由，
因故，即，故函數在上為增函數.
由，將兩邊平方整理可得：，
解得：或.
.
7．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知冪函數是上的偶函數，且函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據冪函數的定義與奇偶性求出的值，可得出函數的解析式，再利用二次函數的單調性可得出關于實數的不等式，從而得解.
【詳解】因為冪函數是上的偶函數，
則，解得或，
當時，，該函數是定義域為的奇函數，不合乎題意；
當時，，該函數是定義域為的偶函數，合乎題意.
所以，則，其對稱軸方程為，
因為在區間上單調遞減，則，解得.
．
8．（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知函數圖象與函數圖象有三個交點，分別為，則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】求出的圖象關于中心對稱，關于中心對稱，且，設，則關于點中心對稱，從而求出答案.
【詳解】，且，
由于
，
故的圖象關于中心對稱，
又關于中心對稱，且，
不妨設，
與的交點關于點中心對稱，
即，
故.
二、多選題
9．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習）下列函數中，既是奇函數，又在上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根據奇偶性與單調性的定義判斷．
【詳解】的定義域是，的定義域是，它們都沒有奇偶性，
與都是奇函數，
在上，遞增，單調遞增，
D．
10．（22-23高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數圖象經過點，則下列命題正確的有（ ）
A．函數為增函數
B．函數為偶函數
C．若，則
D．若，則
【答案】ACD
【分析】代入法求出，然后根據冪函數的性質判斷ABC，平方作差法判斷D．
【詳解】將點代入函數得：，則．
所以，
顯然在定義域上為增函數，所以A正確．
的定義域為，所以不具有奇偶性，所以B不正確．
當時，，即，所以C正確．
當時，
即不成立，所以D正確．
CD．
11．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”．下列四個函數中能被稱為“理想函數”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據①②得到為奇函數且在定義域上單調遞減，從而對四個選項一一作出判斷.
【詳解】由①得為奇函數，由②得在定義域上單調遞減，
對于A，滿足要求，A正確；
對于B，，故為偶函數，B錯誤；
對于C，滿足要求，C正確；
對于D，，故不是奇函數，D錯誤.
C
三、填空題
12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知冪函數的圖象經過點，那么的解析式為 ．
【答案】
【分析】設出冪函數的解析式，代入點的坐標，求出解析式.
【詳解】設冪函數為，將點代入得，解得.
所以．
故答案為：
13．（23-24高三上·上海靜安·期中）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】定義域即使得式子有意義，列出不等式即可.
【詳解】由，使得式子有意義，則，則定義域為.
故答案為：
14．（23-24高一下·北京·開學考試）若函數在定義域內的某區間M上是增函數，且在M上是減函數，則稱函數在M上是“弱增函數”，則下列說法正確的是
①若，則存在區間M使為“弱增函數”
②若，則存在區間M使為“弱增函數”
③若，則為R上的“弱增函數”
④若在區間上是“弱增函數”，則
【答案】②④
【分析】根據給定的定義，結合冪函數、對勾函數單調性，依次判斷各個命題即得.
【詳解】對于①，在上為增函數，在上是增函數，
因此不存在區間M使為“弱增函數”，①錯誤；
對于②，由對勾函數的性質知：在上為增函數，在上為減函數，
因此存在區間使為“弱增函數”，②正確；
對于③，函數在R上單調遞增，，
顯然函數在上是增函數，在上為減函數，
因此函數不是R上的“弱增函數”，③錯誤；
對于④，若在區間上是“弱增函數”，
則在上為增函數，有，解得，
又在上為減函數，而當時，為增函數，不符合題意，
于是，又由對勾函數的單調性知，函數在上是減函數，因此，即，
所以．④正確.
故答案為：②④
四、解答題
15．（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知冪函數的圖像經過點．
(1)求冪函數解析式；
(2)求證：冪函數在區間上是嚴格增函數．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由冪函數的解析式列出方程，求解即可；
（2）由函數單調性的定義結合不等式的性質證明即可.
【詳解】（1）因為的圖像經過點，所以，則．
（2）證明：由（1）可知，，
設，可得，
所以，
即，
所以在區間上是嚴格增函數．
16．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數為奇函數，且在區間上是嚴格減函數.
(1)求函數的表達式；
(2)對任意實數，不等式恒不成立，求實數t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據在區間上是嚴格減函數可得，解不等式可得整數的值，檢驗是否符合奇函數即可；
（2）對任意實數，不等式恒不成立，而在上為減函數，由此可得解．
【詳解】（1）依題意為奇函數，在區間上是嚴格減函數，
可得，解得，
由于,故，1，2，
當和時，，此時為奇函數，符合要求，
當時，，此時為偶函數，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是減函數，在上為增函數，則在上為減函數，
所以，則，
所以實數的取值范圍為．
17．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）已知冪函數的圖象過點
(1)解不等式：；
(2)設，若存在實數，使得不成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據圖象所過點求出冪函數解析式，再由二次不等式求解即可；
（2）分離參數后由題意轉化為求二次函數的最小值即可得解.
【詳解】（1）因為冪函數的圖象過點，
所以，解得
所以，
由，
所以，
整理得，即
解得或
故不等式的解集為
（2）由（1）可知，，則，
由得，，
即，
令，根據題意，存在實數，，
則 ，由于，
所以當時，取最小值，故，
所以的取值范圍為.
18．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知冪函數在上單調遞減.
(1)求函數的解析式；
(2)若，求x的取值范圍；
(3)若對任意，都存在，使得不成立，求實數t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據冪函數的定義與性質，列出關系式，即可求解；
（2）由函數的圖象與性質，把不等式轉化為，結合不等式的解法，即可求解；
（3）根據題意，轉化為，得到，再由題意，轉化為，結合一次函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：由冪函數在上單調遞減，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函數圖象關于y軸對稱，且在上單調遞增，
則可化為，平方得，
化簡得，解得，所以x的取值范圍是.
（3）解：由（1）知，
因為對，使得都不成立，
所以，其中，
由（1）可得函數在上的最大值為4，所以，
因為存在，使得不成立，可得，
又因為，所以是關于的單調遞增函數，
所以，即，解得或，
所以實數t的取值范圍為.
19．（22-23高一上·山東聊城·期末）若在函數的定義域內存在區間，使得在上單調，且函數值的取值范圍是（是常數），則稱函數具有性質．
(1)當時，函數否具有性質 若具有，求出，；若不具有，說明理由；
(2)若定義在上的函數具有性質，求的取值范圍．
【答案】(1)函數具有性質M，
(2)．
【分析】（1）首先求出函數的定義域與單調性，依題意可得，解得即可；
（2）首先將寫出分段函數，再分和兩種情況討論，結合函數的單調性得到方程組，當時，得到在上有兩個不等實根，再構造函數，結合二次函數的性質求出參數的取值范圍.
【詳解】（1）解：因為在上單調遞增，
所以在上的函數值的取值范圍是，即，
顯然，所以，
故函數具有性質．
（2）解：，
因為在上單調遞減，在上單調遞增，
而，故，
而，故，故或.
當時，單調遞減，
∴，得，整理得，
∵與矛盾，∴當時，不合題意．
當時，在單調遞增，
∴，知在上有兩個不等實根，
即在上有兩個不等實根，
令，，
由，，，知，
綜上可得的取值范圍是．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第06講 冪函數
課程標準 學習目標
了解冪函數的概念． 2．結合函數yx，yx2，yx3，yx－1，的圖象，了解他們的變化情況． 3．掌握五種冪函數的性質并會應用． 1．通過冪函數概念的學習，體現數學抽象等核心素養． 2．借助冪函數圖象與性質的探究，培養直觀想象、邏輯推理等核心素養．
知識點01冪函數的定義
一般地，函數yxα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
【即學即練1】（2024·高一·上海·隨堂練習）下列函數是冪函數的是（　　）
A． B．
C． D．
知識點02常見冪函數的圖象與性質
冪函數 yx yx2 yx3 yx yx－1
定義域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 增 x∈[0，＋∞)，增；x∈(－∞，0]，減 增 增 x∈(0，＋∞)，減；x∈(－∞，0)，減
公共點 都經過點(1，1)
【即學即練2】已知冪函數的圖象過，那么在上的最大值為 .
知識點03冪函數的特征
冪函數隨著的取值不同，它們的定義域、性質和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質：
（1）所有的冪函數在都有定義，并且圖象都過點；
（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；
（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
【即學即練3】（2024·高一·全國·隨堂練習）函數的圖象是（ ）
A．B．C．D．
題型01 冪函數的概念
【典例1】現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1】（2024·高一·河北滄州·期末）下列函數是冪函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024·高一·陜西·期中）下列函數是冪函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】函數是冪函數，則實數的值為 ．
【變式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函數既是冪函數又是奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
題型02 求冪函數的解析式
【典例2】（2024·高一·江蘇南通·期中）已知冪函數為偶函數在上單調遞減，則的解析式可以為 寫一個即可
【變式1】若冪函數過點，則此函數的解析式為 .
【變式2】已知冪函數的圖象關于y軸對稱，則 ．
【變式3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知冪函數的圖象經過點，求 ．
【變式4】（2024·高一·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數滿足①函數圖象不經過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數解析式 .
題型03 定義域問題
【典例3】（2024·高一·福建龍巖·期末）若冪函數的圖象過點，則的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2024·高一·上海·課后作業）在函數①；②；③；④；⑤；⑥中，定義域是的有 個．
【變式2】（2024·高一·黑龍江綏化·期末）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·高一·湖北·期中）函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
題型04 值域問題
【典例4】（2024·高一·遼寧·階段練習）函數的值域為 .
【變式1】若冪函數的圖象過點，則的值域為 ．
【變式2】函數的值域為 .
【變式3】（2024·高一·全國·課后作業）函數，其中，則其值域為 .
【變式4】（2024·高一·全國·課后作業）（1）使用五點作圖法，在圖中畫出的圖象，并注明定義域．
（2）求函數的值域．
【變式5】（2024·高一·全國·單元測試）已知冪函數，且在區間內函數圖象是上升的．
（1）求實數k的值；
（2）若存在實數a，b使得函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數a，b的值．
題型05 冪函數的圖像
【典例5】冪函數yx2，yx－2，yx，yx－1在第一象限內的圖象依次是圖中的曲線(　　)
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【變式1】（2024·高一·上海·課堂例題）函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】數在第一象限的圖象如圖所示，若，則 ．
【變式3】已知函數的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（2024·高一·山東濟南·期末）已知函數則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5】已知冪函數，其圖像與坐標軸無交點，則實數m的值為 ．
【變式6】已知冪函數（且互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數，且
B．q為偶數，p為奇數，且
C．q為奇數，p為偶數，且
D．q為奇數，p為偶數，且
題型06 圖像過定點問題
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函數的圖象恒過定點，若點在一次函數的圖象上，其中，，則的最小值為 .
【變式1】（2024·高一·上海徐匯·期末）當時，函數的圖象恒過定點A，則點A的坐標為 ．
【變式2】（2024·高一·上海靜安·期中）不論實數取何值，函數恒過的定點坐標是 ．
【變式3】（2024·高一·上海靜安·期中）不論實數取何值，函數恒過的定點坐標是 ．
題型07 利用單調性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若冪函數的圖象關于軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍為 ．
【變式1】（2024·高一·廣西百色·開學考試）已知冪函數滿足條件，則實數a的取值范圍是 .
【變式2】（2024·高一·全國·期中）若，則實數的取值范圍為 .
【變式3】（2024·高一·廣東梅州·期末）已知冪函數的圖象過點，若，則的取值范圍是 .
【變式4】（2024·高一·重慶永川·期中）已知冪函數在上是減函數，.若，則實數的取值范圍為
題型08比較大小問題
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知冪函數且，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024·高一·廣東佛山·階段練習）若，，，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·高一·重慶·期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（2024·高三·黑龍江牡丹江·階段練習）已知冪函數的圖象過點是函數圖象上的任意不同兩點，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】函數是冪函數，對任意，且，滿足，若，且，，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
題型09 奇偶性問題
【典例9】　已知冪函數的圖象過點，則下列關于的說法正確的是（ ）
A．是奇函數 B．是偶函數
C．的定義域為 D．在上單調遞增
【變式1】已知冪函數在區間上是單調增函數，且的圖象關于y軸對稱，則m的值為（ ）．
A． B．0 C．1 D．2
【變式2】函數，若，則實數的范圍是 ．
【變式3】已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為( )
A． B．
C． D．
題型10 冪函數性質的綜合運用
【典例10】（2024·高一·陜西西安·期末）已知冪函數為偶函數，．
(1)求的解析式；
(2)若對于恒不成立，求的取值范圍．
【變式1】（2024·高一·廣西河池·期末）已知冪函數的圖象過點.
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，若對任意恒不成立，求實數的取值范圍.
【變式2】（2024·高一·江蘇淮安·期末）已知是定義在R上的函數，滿足：，，且當時，．
(1)求的值；
(2)當時，求的表達式；
(3)若函數在區間（）上的值域為，求的值．
【變式3】（2024·高一·陜西商洛·期中）已知冪函數滿足：
①在上為增函數，
②對，都有，
求同時滿足①②的冪函數的解析式，并求出時，的值域.
題型11 與冪函數有關的新定義問題
【典例11】（2024·高一·廣西欽州·開學考試）若函數在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數是在上的“美好函數”.
(1)函數①；②；③，哪個函數是在上的“美好函數”，并說明理由；
(2)已知函數.
①函數是在上的“美好函數”，求的值；
②當時，函數是在上的“美好函數”，求的值.
【變式1】（2024·高一·貴州六盤水·期末）對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足：①在上是單調函數；②當時，，則稱是該函數的“優美區間”.
(1)求證：是函數的一個“優美區間”；
(2)求證：函數不存在“優美區間”；
(3)已知函數有“優美區間”，當取得最大值時求的值.
一、單選題
1．（23-24高一·上海·課堂例題）下列命題中，正確的是（ ）
A．當時，函數的圖象是一條直線；
B．冪函數的圖象都經過和兩個點；
C．若冪函數的圖象關于原點成中心對稱，則在區間上是嚴格增函數；
D．冪函數的圖象不可能在第四象限．
2．（23-24高一上·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知是冪函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知函數，則（ ）
A．的最大值為 B．的最大值為1
C．的最小值為1 D．的最小值為0
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數，，的圖象可能是（ ）
A．B． C． D．
6．（23-24高一上·江西新余·期末）若冪函數圖象過點，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知冪函數是上的偶函數，且函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知函數圖象與函數圖象有三個交點，分別為，則（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
二、多選題
9．（24-25高一上·河南鄭州·階段練習）下列函數中，既是奇函數，又在上單調遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數圖象經過點，則下列命題正確的有（ ）
A．函數為增函數
B．函數為偶函數
C．若，則
D．若，則
11．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函數同時滿足：①對于定義域上的任意，恒有；②對于定義域上的任意，當時，恒有，則稱函數為“理想函數”．下列四個函數中能被稱為“理想函數”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知冪函數的圖象經過點，那么的解析式為 ．
13．（23-24高三上·上海靜安·期中）函數的定義域為 .
14．（23-24高一下·北京·開學考試）若函數在定義域內的某區間M上是增函數，且在M上是減函數，則稱函數在M上是“弱增函數”，則下列說法正確的是
①若，則存在區間M使為“弱增函數”
②若，則存在區間M使為“弱增函數”
③若，則為R上的“弱增函數”
④若在區間上是“弱增函數”，則
四、解答題
15．（24-25高一上·上海·隨堂練習）已知冪函數的圖像經過點．
(1)求冪函數解析式；
(2)求證：冪函數在區間上是嚴格增函數．
16．（23-24高一下·上海·期中）已知冪函數為奇函數，且在區間上是嚴格減函數.
(1)求函數的表達式；
(2)對任意實數，不等式恒不成立，求實數t的取值范圍.
17．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）已知冪函數的圖象過點
(1)解不等式：；
(2)設，若存在實數，使得不成立，求實數的取值范圍．
18．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知冪函數在上單調遞減.
(1)求函數的解析式；
(2)若，求x的取值范圍；
(3)若對任意，都存在，使得不成立，求實數t的取值范圍.
19．（22-23高一上·山東聊城·期末）若在函數的定義域內存在區間，使得在上單調，且函數值的取值范圍是（是常數），則稱函數具有性質．
(1)當時，函數否具有性質 若具有，求出，；若不具有，說明理由；
(2)若定義在上的函數具有性質，求的取值范圍．
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