資源簡介

第07講 增長速度的比較
課程標準 學習目標
1.理解函數平均變化率的概念. 2.知道函數平均變化率的幾何意義. 3.會求函數在指定區間上的平均變化率. 4.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義． 1.通過學習函數平均變化率的概念、幾何意義培養數學抽象素養. 2.通過利用函數的平均變化率比較函數的增長速度培養數學運算素養和邏輯推理素養．
知識點01平均變化率的概念
函數yf(x)在區間[x1，x2](x1x2時)上的平均變化率為．
說明：　（1）實數x1，x2在定義域內不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可負；Δyy2－y1是Δxx2－x1相應的改變量，Δy的值可正可負，也可為零，因此平均變化率可正、可負、也可為零．
（2）平均變化率實質上是函數值的改變量與自變量的改變量之比，可用平均變化率來比較函數值變化的快慢．
【即學即練1】函數f(x)3x在區間[2，3]上的平均變化率為________．
知識點02平均變化率的幾何意義
函數yf(x)在區間[x1，x2](x1【即學即練2】 已知函數f(x)2x2圖象上的兩點A，B，xA1，xB2，則直線AB的斜率為(　　)
A．－6 B．6
C．－3 D．3
知識點03增長速度的比較
1．幾類不同增長的函數模型
(1)一次函數模型
一次函數模型ykx(k＞0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．
(2)指數函數模型
指數函數模型yax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長”．
(3)對數函數模型
對數函數模型ylogax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．
(4)冪函數模型
當x＞0，n＞1時，冪函數yxn是增函數，且當x＞1時，n越大其函數值的增長速度就越快．
2．指數函數、對數函數和冪函數的增長差異
一般地，在區間(0，＋∞)上，盡管函數yax(a＞1)，ylogax(a＞1)和yxn(n＞0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．
隨著x的增大，yax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n＞0)的增長速度，而ylogax(a＞1)的增長速度則會越來越慢．
因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．
指數函數、對數函數和冪函數的增長趨勢比較
函數 性質　　 yax(a＞1) ylogax(a＞1) yxn(n＞0)
在(0，＋∞)上的單調性 單調遞增，且a越大，增長越快. 單調遞增，且a越小，增長越快. 單調遞增，且x＞1時，n越大增長越快．
增長速度 越來越快. 越來越慢. 越來越快．
圖像的變化 隨x的增大越來越陡. 隨x的增大逐漸變緩. 隨著n值的不同而不同.
【即學即練3】下列函數增長速度最快的是(　　)
A．y3x　　　　　　　　 B．ylog3x
C．yx3 D．y3x
題型01 求函數的平均變化率
【典例1】函數，當自變量x由1變到1.1時，函數的平均變化率為（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．1
【變式1】函數在區間上的平均變化率為___________.
【變式2】函數從1到2的平均變化率是___________.
【變式3】函數是冪函數，則實數的值為 ．
【變式4】函數在區間上的平均變化率為3，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【變式5】函數，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．，的大小無法確定
題型02 同一函數在不同區間上變化快慢的比較
【典例2】已知函數f(x)x＋，分別計算函數在區間[1，2]與[3，5]上的平均變化率，并比較函數在兩區間上變化的快慢．
【變式1】已知函數f(x)x2，分別計算函數在區間[1，2]與[3，4]上的平均變化率，并比較函數在兩區間上變化的快慢．
【變式2】某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示．
比較時間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？
【變式3】若函數，，在上的平均變化率分別記為，則下面結論正確的是
A． B．
C． D．
【變式4】（22-23高一上·遼寧錦州·期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度隨開窗通風換氣時間的關系如圖所示，則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
題型03 不同函數在同一區間上變化快慢的比較
【典例3】已知函數f(x)3x＋1和g(x)2x2＋1.
(1)分別求函數f(x)和g(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率；
(2)比較兩函數在區間[－3，－1]上函數值變化的快慢．
【變式1】已知函數f(x)3x，g(x)x3，分別計算這兩個函數在區間[2，3]上的平均變化率，并比較這兩個函數在該區間上函數值變化的快慢．
【變式2】對于以下四個函數：①；②；③；④．在區間上函數的平均變化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
題型04 函數變化快慢的應用
【典例4】函數f(x)2x和g(x)x3的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
(2)結合函數圖象示意圖，判斷f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．
【變式1】若，則使不成立的的取值范圍是________，使不成立的的取值范圍是________．
【變式2】下面對函數，與在區間上的衰減情況的敘述正確的是（ ）
A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢
B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快
C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢
D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快
【變式3】下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【變式5】如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內，路程的變化情況，下列說法正確的是________．
①在0到t0范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度．
1.函數從到的平均變化率為（ ）
A．1 B．
C． D．
2．如圖，函數yf(x)在A，B兩點間的平均變化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
3．某公司的盈利y（元）和時間x（天）的函數關系是，假設恒不成立，且，，則這些數據說明后10天與前10天比較（ ）
A．公司已經虧損
B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大
C．公司在虧損且虧損幅度變小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度變小
4．下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高一·上海·課堂例題）若某工廠去年12月份的產值是去年元月份產值的m倍，則該廠去年產值的月平均增長率為（ ）
A．m B． C． D．
6．某人騎自行車沿直線勻速行駛，先前進了，休息了一段時間，又沿原路返回，再前進，則此人離起點的距離與時間的關系示意圖是（ ）．
A． B． C．D．
7．（24-25高一上·全國·課前預習）在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數，則下列關于這三個函數的描述中，正確的是（ ）
A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
C．當時，增長速度一直快于
D．當時，增長速度有時快于
9．（多選題）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長率為1
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1.5個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間曼延的平均速度
10.（多選）（24-25高一上·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A．函數減小的速度越來越慢
B．在指數函數中，當時，底數越大，其增長速度越快
C．不存在一個實數m，使得當時，
D．當，時，在區間內，對任意的，總有不成立
11．函數在[2, 6]內的平均變化率為________．
12.汽車行駛的路程和時間之間的函數圖像如圖所示，在時間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關系為______.
10．已知，函數，則下面結論中正確的有__________.（填上所有正確結論的序號）
①函數在區間上的平均變化率總是大于；
②函數在區間上的平均變化率總是小于；
③函數在區間上的平均變化率隨著的增大而增大；
④函數在區間上的平均變化率隨著的增大而減小.
13．函數與在區間上增長較快的是________．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第07講 增長速度的比較
課程標準 學習目標
1.理解函數平均變化率的概念. 2.知道函數平均變化率的幾何意義. 3.會求函數在指定區間上的平均變化率. 4.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義． 1.通過學習函數平均變化率的概念、幾何意義培養數學抽象素養. 2.通過利用函數的平均變化率比較函數的增長速度培養數學運算素養和邏輯推理素養．
知識點01平均變化率的概念
函數yf(x)在區間[x1，x2](x1x2時)上的平均變化率為．
說明：　（1）實數x1，x2在定義域內不相等，因此Δx≠0，但Δx可正也可負；Δyy2－y1是Δxx2－x1相應的改變量，Δy的值可正可負，也可為零，因此平均變化率可正、可負、也可為零．
（2）平均變化率實質上是函數值的改變量與自變量的改變量之比，可用平均變化率來比較函數值變化的快慢．
【即學即練1】函數f(x)3x在區間[2，3]上的平均變化率為________．
【答案】18
【解析】　因為，所以f(x)3x在[2，3]上的平均變化率為18.
知識點02平均變化率的幾何意義
函數yf(x)在區間[x1，x2](x1【即學即練2】 已知函數f(x)2x2圖象上的兩點A，B，xA1，xB2，則直線AB的斜率為(　　)
A．－6 B．6
C．－3 D．3
【答案】C
【解析】直線AB的斜率為函數f(x)在區間[1,2]上的平均變化率，故k==6，故選B.
知識點03增長速度的比較
1．幾類不同增長的函數模型
(1)一次函數模型
一次函數模型ykx(k＞0)的增長特點是直線上升，其增長速度不變．
(2)指數函數模型
指數函數模型yax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“爆炸式增長”．
(3)對數函數模型
對數函數模型ylogax(a＞1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．
(4)冪函數模型
當x＞0，n＞1時，冪函數yxn是增函數，且當x＞1時，n越大其函數值的增長速度就越快．
2．指數函數、對數函數和冪函數的增長差異
一般地，在區間(0，＋∞)上，盡管函數yax(a＞1)，ylogax(a＞1)和yxn(n＞0)都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．
隨著x的增大，yax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yxn(n＞0)的增長速度，而ylogax(a＞1)的增長速度則會越來越慢．
因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就有logax＜xn＜ax(a＞1，n＞0)．
指數函數、對數函數和冪函數的增長趨勢比較
函數 性質　　 yax(a＞1) ylogax(a＞1) yxn(n＞0)
在(0，＋∞)上的單調性 單調遞增，且a越大，增長越快. 單調遞增，且a越小，增長越快. 單調遞增，且x＞1時，n越大增長越快．
增長速度 越來越快. 越來越慢. 越來越快．
圖像的變化 隨x的增大越來越陡. 隨x的增大逐漸變緩. 隨著n值的不同而不同.
【即學即練3】下列函數增長速度最快的是(　　)
A．y3x　　　　　　　　 B．ylog3x
C．yx3 D．y3x
【答案】A　
【解析】結合函數y3x，ylog3x，yx3，y3x的圖像可知，隨著x的增大，函數y3x的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于yx3的增長速度，而ylog3x的增長速度則會越來越慢，y3x的增長速度不變，故本題選A.
題型01 求函數的平均變化率
【典例1】函數，當自變量x由1變到1.1時，函數的平均變化率為（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根據函數平均變化率的求法即可得到答案.
【詳解】由題意，函數的平均變化率為：.
.
【變式1】函數在區間上的平均變化率為___________.
【答案】##
【分析】利用平均變化率的定義求解
【詳解】函數在區間上的平均變化率為，故答案為：
【變式2】函數從1到2的平均變化率是___________.
【答案】
【分析】利用平均變化率的定義求解即可
【詳解】函數從1到2的平均變化率是，故答案為：
【變式3】函數是冪函數，則實數的值為 ．
【答案】或
【解析】由題意，解得m=2或-1
【變式4】函數在區間上的平均變化率為3，則實數m的值為（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
【答案】C
【分析】根據題意，求出函數在間上的平均變化率，解方程即可得答案．
【詳解】解;由已知得，
∴，
∴，
故選B.
【變式5】函數，在[0，2]上的平均變化率分別記為，，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．，的大小無法確定
【答案】A
【分析】根據平均變化率的定義計算比較即可.
【詳解】，，故.
.
題型02 同一函數在不同區間上變化快慢的比較
【典例2】已知函數f(x)x＋，分別計算函數在區間[1，2]與[3，5]上的平均變化率，并比較函數在兩區間上變化的快慢．
【解析】在區間[1，2]上，函數f(x)的平均變化率為，
在區間[3，5]上，函數f(x)的平均變化率為.
因為<，所以函數f(x)x＋在區間[3，5]上函數值變化的較快．
【變式1】已知函數f(x)x2，分別計算函數在區間[1，2]與[3，4]上的平均變化率，并比較函數在兩區間上變化的快慢．
【解析】在區間[1，2]上，函數f(x)的平均變化率為
3，
在區間[3，4]上，函數f(x)的平均變化率為
7.
因為7>3，所以函數f(x)x2在區間[3，4]上函數值變化的較快．
【變式2】某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示．
比較時間x從0 min到20 min和從20 min到30 min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？
【解析】當時間x從0 min變到20 min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為－0.025(℃/min)；
當時間x從20 min變到30 min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為－0.05(℃/min)．
這里負號表示體溫下降，顯然，絕對值越大，下降得越快，又因為|－0.025|<|－0.05|，故體溫從20 min到30 min這段時間下降得比從0 min到20 min這段時間要快．
【變式3】若函數，，在上的平均變化率分別記為，則下面結論正確的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】函數在的平均變化率為：；
函數在的平均變化率為：；
函數在的平均變化率為：；
∴
故選A.
【變式4】（22-23高一上·遼寧錦州·期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度隨開窗通風換氣時間的關系如圖所示，則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；
【詳解】如圖分別令、、、、、、所對應的點為,
所以內空氣中微生物密度變化的平均速度最快；
題型03 不同函數在同一區間上變化快慢的比較
【典例3】已知函數f(x)3x＋1和g(x)2x2＋1.
(1)分別求函數f(x)和g(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率；
(2)比較兩函數在區間[－3，－1]上函數值變化的快慢．
【解析】(1)因為Δx(－1)－(－3)2.
對于函數f(x)，Δff(－1)－f(－3)3×(－1)＋1－[3×(－3)＋1]6，
所以函數f(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率為3.
對于函數g(x)，Δgg(－1)－g(－3)2×(－1)2＋1－[2×(－3)2＋1]－16，
所以函數g(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率為－8.
(2)因為|3|<|－8|，
所以函數g(x)在區間[－3，－1]上函數值變化的較快．
【變式1】已知函數f(x)3x，g(x)x3，分別計算這兩個函數在區間[2，3]上的平均變化率，并比較這兩個函數在該區間上函數值變化的快慢．
【解析】函數f(x)在區間[2，3]上的平均變化率為
18，
函數g(x)在區間[2，3]上的平均變化率為
19，
因為19>18，所以函數g(x)在區間[2，3]上函數值變化的較快．
【變式2】對于以下四個函數：①；②；③；④．在區間上函數的平均變化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】分析求出四個函數的平均變化率，然后比較即可.
【詳解】①，②，③，④．
．
題型04 函數變化快慢的應用
【典例4】函數f(x)2x和g(x)x3的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)請指出示意圖中曲線C1，C2分別對應哪一個函數；
(2)結合函數圖象示意圖，判斷f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小．
【解析】(1)C1對應的函數為g(x)x3，C2對應的函數為f(x)2x.
(2)因為f(1)>g(1)，f(2)g(10)，所以1x2，從圖象上可以看出，當x1x2時，f(x)>g(x)，所以f(2024)>g(2024)．又因為g(2024)>g(6)，所以f(2024)>g(2024)>g(6)>f(6)．
【變式1】若，則使不成立的的取值范圍是________，使不成立的的取值范圍是________．
【答案】
【分析】畫出指對冪函數的圖象，數形結合法判斷不等關系下對應x的范圍即可.
【詳解】在同一平面直角坐標系中作出，，在上的圖象如下．
由圖得，若，則，若，則或．
故答案為：，
【變式2】下面對函數，與在區間上的衰減情況的敘述正確的是（ ）
A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢
B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快
C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢
D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快
【答案】D
【分析】根據冪指對函數的圖象以及性質即可求解.
【詳解】由函數，與在區間上的圖象以及性質知函數，，的衰減速度均逐漸變慢，故選:C．
【變式3】下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，又，所以隨x的增大而減小，故D不正確；
又與它們都是增函數，因為為指數函數，為對數函數，
則隨x的增大而增大且速度最快的是
【變式5】如圖顯示物體甲、乙在時間0到t1范圍內，路程的變化情況，下列說法正確的是________．
①在0到t0范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范圍內，甲的平均速度小于乙的平均速度．
【答案】③
【詳解】在0到t0范圍內，甲、乙的平均速度都為，故①②錯誤；在t0到t1范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為.因為s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故③正確，④錯誤．答案：③.
1.函數從到的平均變化率為（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由題意知函數從到的增量為，
故從到的平均變化率為，故選D．
2．如圖，函數yf(x)在A，B兩點間的平均變化率等于(　 　)
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】
易知，，因此，故選D
3．某公司的盈利y（元）和時間x（天）的函數關系是，假設恒不成立，且，，則這些數據說明后10天與前10天比較（ ）
A．公司已經虧損
B．公司的盈利在增加，增加的幅度變大
C．公司在虧損且虧損幅度變小
D．公司的盈利在增加，增加的幅度變小
【答案】A
【分析】根據平均變化率與增長幅度的關系說明．
【詳解】平均變化率為正說明盈利是增加的，平均變化率變小說明增加的幅度變小了，但還是增加的，故選D．
【點睛】本題考查平均變化率的實際意義，屬于基礎題．
4．下列函數中隨x的增大而增大且速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，
又，
所以隨x的增大而減小，
故D不正確；
又與它們都是增函數，
因為為指數函數，為對數函數，
則隨x的增大而增大且速度最快的是
5．（24-25高一·上海·課堂例題）若某工廠去年12月份的產值是去年元月份產值的m倍，則該廠去年產值的月平均增長率為（ ）
A．m B． C． D．
【答案】A
【分析】該題為平均增長率問題，設去年元月份產值為1，平均增長率為，列出方程求解即可.
【詳解】由題可知，設去年元月份產值為1，月平均增長率為，
則有，解得.
6．某人騎自行車沿直線勻速行駛，先前進了，休息了一段時間，又沿原路返回，再前進，則此人離起點的距離與時間的關系示意圖是（ ）．
A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根據圖象，勻速行駛一段后，休息一段時間路程無變化，應排除A，又原路返回一段，排除D，繼續前進，因為是勻速所以選C.
【詳解】因為他休息了一段時間，那么在這段時間內，時間在增長，路程沒有變化，應排除A；又按原路返回，說明隨著時間的增長，他離出發點近了點，排除D；C選項雖然離出發點近了，但時間沒有增長，應排除B故選C．
【點睛】本題主要考查了函數圖象的識圖，辨析及實際問題的意義，屬于中檔題.
7．（24-25高一上·全國·課前預習）在2h內將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減．下面能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據血液藥物含量變化，結合函數單調性變化可判斷.
【詳解】在2h內，血液中的藥物含量呈線性增加，則第一段圖象為線段，且為增函數，排除A，D，停止注射后，血液中的藥物含量呈指數衰減，排除C．能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是B．
．
8．（多選）（23-24高一下·全國·課堂例題）已知函數，則下列關于這三個函數的描述中，正確的是（ ）
A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
C．當時，增長速度一直快于
D．當時，增長速度有時快于
【答案】CD
【分析】由指數函數，冪函數，一次函數的圖象特點逐一分析即可．
【詳解】對于，
從負無窮開始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上，
故隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于，A錯誤，BD正確；
對于，
由于的增長速度是不變的，
當時，大于，
當時，大于，再也追不上，
其中增長速度有時快于，C錯誤．
D．
9．（多選題）如圖所示為某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象，假設其函數關系為指數函數，現給出下列說法，其中正確的說法有（ ）
A．野生水葫蘆的面積每月增長率為1
B．野生水葫蘆從蔓延到歷時超過1.5個月
C．設野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，則有
D．野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2個月到第4個月之間曼延的平均速度
【答案】ABC
【分析】根據已知條件可得指數函數為，再結合指對數的關系，以及平均速度的公式，判斷各選項的正誤.
【詳解】由題意得，所求函數為指數函數且過點，可得函數，
A：設第個月的野生水葫蘆面積為，則第個月的野生水葫蘆面積為，
∴野生水葫蘆的面積每月增長率，故正確，
B：設野生水葫蘆從蔓延到歷時超過個月，
∴，解得，故正確，
C：野生水葫蘆蔓延到，，所需的時間分別為，，，
，，
，故正確，
D：野生水葫蘆在第1個月到第3個月之間蔓延的平均速度為，
野生水葫蘆在第2個月到第4個月之間曼延的平均速度為，故錯誤.
BC.
10.（多選）（24-25高一上·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A．函數減小的速度越來越慢
B．在指數函數中，當時，底數越大，其增長速度越快
C．不存在一個實數m，使得當時，
D．當，時，在區間內，對任意的，總有不成立
【答案】AB
【分析】根據指數函數，對數函數，冪函數增長的特征及數形結合，對每個選項逐個判斷即可.
【詳解】對于A，由對數函數的性質知，函數減小的速度越來越慢，選項A正確；
對于B，由指數函數的性質知，指數函數中，當時，底數a越大，其增長速度越快；選項B正確；
對于C，由指數函數的性質知，隨的增大的增長速度是非常快的，遠遠超過冪函數的增長速度，
因此一定存在一個實數m，使得當時，，選項C不正確；
對于D，取，由圖知，
在區間內，對任意的， 不不成立，選項D不正確；
B.
11．函數在[2, 6]內的平均變化率為________．
【答案】24
【解析】
，所以平均變化率為.
12.汽車行駛的路程和時間之間的函數圖像如圖所示，在時間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關系為______.
【答案】##
【分析】根據題意，有平均速度的定義可得汽車在時間段上的平均速度即為該段直線的斜率，結合圖像即可得出答案.
【詳解】解：因為，，
，
由圖可知，
所以.
故答案為：.
13．已知，函數，則下面結論中正確的有__________.（填上所有正確結論的序號）
①函數在區間上的平均變化率總是大于；
②函數在區間上的平均變化率總是小于；
③函數在區間上的平均變化率隨著的增大而增大；
④函數在區間上的平均變化率隨著的增大而減小.
【答案】②④##④②
【分析】利用平均變化率的定義以及對數型復合函數的單調性可得出結論.
【詳解】，
因為，所以，所以①錯誤，②正確.
又當時，隨著的增大而減小，隨著的減小而減小，
所以隨著的增大而減小，所以③錯誤，④正確，
故答案為：②④.
14．函數與在區間上增長較快的是________．
【答案】
【分析】求兩個函數的平均變化率，比較它們的大小可得．
【詳解】在上取，，
，
因為，所以，，
所以，所以函數在區間上的增長速度慢于函數的增長速度，故增長較快的為．
故答案為．
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