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第08講 函數的應用（二）
課程標準 學習目標
理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具. 2.在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律． 1.理解指數函數模型. 2.理解對數函數模型. 3.理解冪函數模型. 4.理解幾類函數模型的建立及應用．
知識點01　常見的幾類函數模型及其應用
1．指數函數模型
能用指數型函數f(x)abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，且b≠1)表達的函數模型叫做指數函數模型，若a＞1，其增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，常稱之為“爆炸式增長”．指數類型的函數在實際問題中的應用比較廣泛，主要有以下兩類．
(1)平均增長率問題：若原來產值或產量的基數為N，平均增長率為P，則對于時間x的產值或產量y，可以用公式yN(1＋P)x(N≠0)表示．
(2)儲蓄中的復利計算問題：若本金為a元，每期利率為r，本息和為y，存期為x，則ya(1＋r)x(a≠0)．
2．對數函數模型
能用對數型函數f(x)mlogax＋n(m，n，a為常數，m≠0，a＞0，且a≠1)表達的函數模型叫做對數函數模型，若a＞1，則其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著自變量的逐漸增大，函數值增大的速度越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．
有關對數函數的應用題一般都會給出函數關系式，要求根據實際情況求出函數關系式中的參數，對于此類問題，我們要從中提煉出數據，代入函數關系式求出參數的值，然后解答實際問題．
3．冪函數模型
能用冪型函數f(x)axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)表達的函數模型叫做冪函數模型，其增長情況隨xα中α的取值而定，常見的有二次函數模型和反比例函數模型.
【即學即練1】某種細菌在培養過程中，每15 min分裂一次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個繁殖成212個需經過(　　)
A．12 h　 B．4 h
C．3 h　 D．2 h
知識點02 用函數模型求解應用問題的步驟
(1)審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型．
(2)建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型．
(3)求模——求解數學模型，得出數學模型．
(4)還原——將數學結論還原為實際問題．
【即學即練2】某工廠第三年的產量比第一年的產量增長44%，若每年的平均增長率相同(設為x)，則下列結論中正確的是(　　)
A．x＞22% B．x＜22%
C．x22% D．x的大小由第一年產量確定
知識點03擬合函數模型的建立
1.數學建模
研究實際問題時，要深入調查，了解對象信息，給出簡化假設，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子（也就是數學模型），然后計算得到模型的結果，并進行檢驗，最后解釋實際問題．這個建立數學模型的全過程就成為數學建模．
2.函數擬合
根據收集的數據或給出的數據畫出散點圖，然后選擇函數模型并求出函數解析式，再進行擬合、比較，從而選出最恰當的函數模型的過程，稱為函數擬合（或數據擬合）．
3.函數擬合與預測的一般步驟
(1)繪圖：通過原始數據、表格，繪出散點圖；
(2)連線：通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；
(3)列式：求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式；
(4)判定：根據擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數；
(5)預測：利用選取的擬合函數進行預測；
(6)結論：利用函數關系式，根據條件所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
【即學即練3】
1.某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則每年沙漠面積增加值y關于年數x的函數關系較為近似的是(　　 )
A．y0.2x B．y(x2＋2x)
C．y D．y0.2＋log16x
2．“紅豆生南國，春來發幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數y(枝)的散點圖．那么紅豆生長時間與枝數的關系用下列哪個函數模型擬合最好(　A　)
A．指數函數：y2t　 B．對數函數：ylog2t
C．冪函數：yt3 D．二次函數：y2t2
題型01 指數函數模型的應用
【典例1】（23-24高一上·江蘇南通·期中）某滅活疫苗的有效保存時間單位：小時與儲藏的溫度單位：滿足的函數關系為為常數，其中，是一個和類似的無理數，叫自然對數的底數，超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在時的有效保存時間是1080h，在時的有效保存時間是120h，則該疫苗在時的有效保存時間為（ ）
A．15h B．30h C．40h D．80h
【變式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”在“進步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經過365天的“進步值”，看作是經過365天的“退步值”，則大約經過（ ）天時，“進步值”大約是“退步值”的100倍（參考數據：，）
A．100 B．230 C．130 D．365
【變式2】國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統，已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初污染物數量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）
A．3.8小時 B．4小時 C．4.4小時 D．5小時
【變式3】著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1 ℃，空氣溫度為θ0 ℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位： ℃)滿足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若當空氣溫度為30 ℃時，某物體的溫度從90 ℃下降到80 ℃用時14分鐘．則再經過28分鐘后，該物體的溫度為________ ℃.
【變式4】假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎上進步，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步.那么，大約需要經過（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（參考數據：，，）
A．85 B．100 C．170 D．225
題型02 對數函數模型的應用
【典例2】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學考試）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足關系式：，已知小明和小李視力的五分記錄法的數據分別為4.3和a，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為，，則，則a的值可以是（ ）（參考數據：，）
A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的十倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關系式，現知同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，若同學大喝一聲的聲強大約相當于個同學同時大喝一聲的聲強，則同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（ ）

A．5米 B．10米 C．45米 D．70米
【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術中的數學原理之一是香農公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內所傳信號的平均功率S、信道內部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農公式，由于技術提升，寬帶在原來的基礎上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（ ）（附：）
A． B． C． D．
【變式3】2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　)
A．1010.1　　　　　　　　 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
題型03 冪函數模型的應用
【典例3】．2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金170萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【變式1】某公司的收入由保險業務收入和理財業務收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業務收入為億元，理財業務收入為億元.該公司經營狀態良好、收入穩定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業務發展迅速.要求從年起每年通過理財業務的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業務收入不高于當年總收入的，則的值至少為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為 (為常數)，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為 萬元.
題型04 利用給定函數模型解決實際問題
【典例4】（24-25高三上·安徽·階段練習）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（ ）
A．4h B．6h C．8h D．12h
【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習）已知某種污染物的濃度C（單位：摩爾/升）與時間t（單位：天）的關系滿足指數模型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），k是常數.第2天（即）測得該污染物的濃度為5摩爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第n天測得該污染物的濃度變為，則 .
【變式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市從12月15日至1月5日（共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天），某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數圖象如圖所示，則該超市在12月20日賣出了這種蘋果 千克.
題型05 擬合函數模型的建立與應用
【典例5】數據顯示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情況如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入（萬元） 1.4 2.580 5.31 11 21.3
根據上述數據，在建立該公司2023年月收入（萬元）與月份的函數模型時，給出兩個函數模型與供選擇.
(1)你認為哪個函數模型較好，并簡單說明理由；
(2)試用你認為較好的函數模型，分析大約從第幾月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考數據：，）
【變式1】（23-24高一上·福建廈門·階段練習）生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環境下的總量進行監測. 第一次監測時的總量為（單位：噸），此時開始計時，時間用（單位：月）表示. 甲經過一段時間的監測得到一組如下表的數據：
月
噸
為了研究該生物總量與時間的關系，甲通過研究發現可以用以下的兩種函數模型來表達與的變化關系：
①；②且.
(1)請根據表中提供的前列數據確定第一個函數模型的解析式；
(2)根據第列數據，選出其中一個與監測數據差距較小的函數模型；甲發現總量由翻一番時經過了個月，根據你選擇的函數模型，若總量再翻一番時還需要經過多少個月？（參考數據：，）
【變式2】由于慣性作用，行駛中的汽車在剎車后要滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．下表是對某種型號汽車剎車性能的測試數據．
剎車時車速 15 30 40 70 80 80
剎車距離 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40
(1)試選擇合適的函數模型擬合測試數據，并寫出函數解析式；
(2)若車速為，剎車距離為多少？若測得剎車距離為，剎車時的車速是多少？（可以使用計算器輔助計算）
一、單項選擇題
1.某物體一天中的溫度T(℃)是時間t(h)的函數：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值為正，則上午8：00的溫度是(　D　)
A．112 ℃　　　　　　　　 B．58 ℃
C．18 ℃ D．8 ℃
2．（23-24高一上·吉林白山·階段練習）在某個時期，某湖泊的藍藻每天以5%的增長率呈指數增長，則經過2天后，該湖泊的藍藻變為原來的（ ）
A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍
3.（24-25高一上·全國·課后作業）某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺，第二個月銷售了200臺，第三個月銷售了400臺，第四個月銷售了790臺，第五個月銷售了1800臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量與投放市場的月數（，）之間關系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·江西景德鎮·期末）地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關，可以用關系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發生了3.6級地震，此前11月19日該地發生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（ ）倍（參考數據：）
A．110 B．115 C．120 D．125
5.（23-24高一上·廣東廣州·期末）為加強環境保護，治理空氣污染，某環保部門對轄區內一工廠產生的廢氣進行了監測，發現該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量與時間的關系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（ ）
A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時
6.（23-24高一下·廣東揭陽·期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產，中國國家地理標志產品.贛南臍橙年產量達百萬噸，原產地江西省贛州市已經成為臍橙種植面積世界第一，年產量世界第三，全國最大的臍橙主產區，假設某贛南臍橙種植區的臍橙產量平均每年比上一年增長20%，若要求該種植區的臍橙產量高于當前臍橙產量的6倍，則至少需要經過的年數為（ ）（參考數據：取，）
A．10 B．9 C．8 D．7
7.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：
0 40 80 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A． B．
C． D．
8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一種放射性物質，當生物死亡后，機體內的碳14含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為半衰期.如果是碳14的初始質量，那么經過年后，碳14所剩的質量為.一名學者在今年的一次考古活動中，對出土的文物標本進行研究，發現碳14的含量是原來的，可以推測該文物屬于下列哪個時期（ ）（參考數據：）
參考時間線：

A．戰國 B．漢 C．唐 D．宋
二、多項選擇題
9．如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖2,3所示．你能根據圖像判斷下列說法錯誤的是(　 　)
A．圖2的建議為減少運營成本 B．圖2的建議可能是提高票價
C．圖3的建議為減少運營成本 D．圖3的建議可能是提高票價
10.（23-24高一上·廣東·期末）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.本金為（單位：元），每期利率為，本利和為（單位：元），存期數為，則下列命題是真命題的是（ ）
A．本利和關于存期數的函數解析式為
B．本利和關于存期數的函數解析式為
C．若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為1022.5元
D．若存入本金1000元，每期利率為，則4期后的本利和為1090元
11. （23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面積（單位：）為時間（單位：月）的指數函數，即，且有關數據如圖所示.則下列說法錯誤的是（ ）

A．浮萍面積的月增長率為1 B．浮萍面積的月增加量都相等
C．第4個月，浮泙面積為 D．
填空題
12．（24-25高一上·全國·課前預習）某種動物繁殖的數量y（只）與時間x（年）的關系為，若這種動物第一年有100只，則到第15年會有 只．
13．（24-25高一上·上海·期中）某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發獎金投入．若該公司2019年（年底統計）全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是 ．（年底統計）
14．（24-25高一上·上海·課堂例題）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為．關于下列說法正確的命題序號是 ．
（1）這個指數函數的底數為3；
（2）浮萍每月增加的面積都相等；
（3）第4個月時，浮萍面積不超過；
（4）若浮萍曼延到、、所經過的時間分別是、、，則．
解答題
15．（24-25高一上·全國·課后作業）富蘭克林（Benjamin Franklin，1706-1790）是美國著名的政治家和物理學家，去世后留下的財產并不可觀，大致只有英鎊．但令人驚奇的是，他竟然留下了一份分配幾百萬英鎊財產的遺囑！這份遺囑是這樣寫的：
“……英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這英鎊，那么這筆錢應托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年的利率借給一些年輕的手工業者去生息，這筆錢過了年增加到英鎊．我希望那時候用英鎊來建立一座公共建筑物，剩下的英鎊拿去繼續生息年．在第二個年末了，這筆款增加到英鎊，其中英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理，從此之后，我可不敢多作主張了．”
你認為富蘭克林的設想有道理嗎？為什么？
16．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要進行秋去春來的南北大遷徙，已知某種燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度（米/秒）之間滿足關系：．
(1)當該燕子的耗氧量為1280時，它的飛行速度是多少？
(2)若該燕子飛行時的耗氧量增加到原來的3倍，則它的飛行速度大約增加多少？（參考數據：）
17．（24-25高一上·福建泉州·階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發，為最大程度減少人員流動，減少疫情發生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯動，鼓勵企業在國慶期間留住員工在本市過節并加班追產，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產提供（萬元）的專項補貼.波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產量將增加到（萬件）.同時波司登制衣有限公司生產（萬件）產品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產的產品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項補貼-成本.
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產所獲收益（萬元）關于政府補貼（萬元）的表達式；
(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產所獲收益（萬元）最大？
18．（24-25高一上·上海楊浦·階段練習）某新建居民小區欲建一面積為的矩形綠地，并在綠地四周鋪設人行道，設計要求綠地外南北兩側人行道寬3m，東西兩側人行道寬4m，如圖所示（圖中單位：m）.設矩形綠地的南北側邊長為x米.
(1)當人行道的占地面積不大于時，求x的取值范圍；
(2)問x取多少時，才能使人行道的占地面積最小.
19．（22-23高一上·廣東清遠·期末）在無菌培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量y（單位：百萬個）與培養時間x（單位：小時）的3組數據如下表所示.
2 3 5
3.5 4.5 5.5
(1)當時，根據表中數據分別用模型和建立關于的函數解析式.
(2)若用某函數模型根據培養時間來估計某類細菌在培養皿中的數量，則當實際的細菌數量與用函數模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數模型為“理想函數模型”，已知當培養時間為9小時時，檢測到這類細菌在培養皿中的數量為6.2百萬個，你認為（1）中哪個函數模型為“理想函數模型”？說明理由.（參考數據：）
(3)請用（2）中的“理想函數模型”估計17小時后，該類細菌在培養皿中的數量.
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課程標準 學習目標
理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具. 2.在實際情境中，會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律． 1.理解指數函數模型. 2.理解對數函數模型. 3.理解冪函數模型. 4.理解幾類函數模型的建立及應用．
知識點01　常見的幾類函數模型及其應用
1．指數函數模型
能用指數型函數f(x)abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b＞0，且b≠1)表達的函數模型叫做指數函數模型，若a＞1，其增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，常稱之為“爆炸式增長”．指數類型的函數在實際問題中的應用比較廣泛，主要有以下兩類．
(1)平均增長率問題：若原來產值或產量的基數為N，平均增長率為P，則對于時間x的產值或產量y，可以用公式yN(1＋P)x(N≠0)表示．
(2)儲蓄中的復利計算問題：若本金為a元，每期利率為r，本息和為y，存期為x，則ya(1＋r)x(a≠0)．
2．對數函數模型
能用對數型函數f(x)mlogax＋n(m，n，a為常數，m≠0，a＞0，且a≠1)表達的函數模型叫做對數函數模型，若a＞1，則其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著自變量的逐漸增大，函數值增大的速度越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．
有關對數函數的應用題一般都會給出函數關系式，要求根據實際情況求出函數關系式中的參數，對于此類問題，我們要從中提煉出數據，代入函數關系式求出參數的值，然后解答實際問題．
3．冪函數模型
能用冪型函數f(x)axα＋b(a，b，α為常數，a≠0)表達的函數模型叫做冪函數模型，其增長情況隨xα中α的取值而定，常見的有二次函數模型和反比例函數模型.
【即學即練1】某種細菌在培養過程中，每15 min分裂一次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個繁殖成212個需經過(　　)
A．12 h　 B．4 h
C．3 h　 D．2 h
【答案】D
【解析】　細菌的個數y與分裂次數x的函數關系為y2x，令2x212，解得x12，又每15 min分裂一次，所以共需15×12180 min，即3 h．
知識點02 用函數模型求解應用問題的步驟
(1)審題——弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型．
(2)建模——將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識建立相應的數學模型．
(3)求模——求解數學模型，得出數學模型．
(4)還原——將數學結論還原為實際問題．
【即學即練2】某工廠第三年的產量比第一年的產量增長44%，若每年的平均增長率相同(設為x)，則下列結論中正確的是(　　)
A．x＞22% B．x＜22%
C．x22% D．x的大小由第一年產量確定
【答案】C
【解析】　由題意設第一年產量為a，則第三年產量為a(1＋44%)a(1＋x)2，∴x0.2.故選B．
知識點03擬合函數模型的建立
1.數學建模
研究實際問題時，要深入調查，了解對象信息，給出簡化假設，用數學的符號和語言，把它表述為數學式子（也就是數學模型），然后計算得到模型的結果，并進行檢驗，最后解釋實際問題．這個建立數學模型的全過程就成為數學建模．
2.函數擬合
根據收集的數據或給出的數據畫出散點圖，然后選擇函數模型并求出函數解析式，再進行擬合、比較，從而選出最恰當的函數模型的過程，稱為函數擬合（或數據擬合）．
3.函數擬合與預測的一般步驟
(1)繪圖：通過原始數據、表格，繪出散點圖；
(2)連線：通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；
(3)列式：求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式；
(4)判定：根據擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數；
(5)預測：利用選取的擬合函數進行預測；
(6)結論：利用函數關系式，根據條件所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
【即學即練3】
1.某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則每年沙漠面積增加值y關于年數x的函數關系較為近似的是(　　 )
A．y0.2x B．y(x2＋2x)
C．y D．y0.2＋log16x
【答案】D　
【解析】當x1時，排除選項B；當x3時，排除選項A、D，檢驗C項較為接近．
2．“紅豆生南國，春來發幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數y(枝)的散點圖．那么紅豆生長時間與枝數的關系用下列哪個函數模型擬合最好(　A　)
A．指數函數：y2t　 B．對數函數：ylog2t
C．冪函數：yt3 D．二次函數：y2t2
【答案】A
【解析】由題意知函數的圖像在第一象限是一個單調遞增的函數，并且增長速度很快，符合指數型函數模型，且圖像過(1,2)點，所以圖像由指數函數來模擬比較好，故選A．
題型01 指數函數模型的應用
【典例1】（23-24高一上·江蘇南通·期中）某滅活疫苗的有效保存時間單位：小時與儲藏的溫度單位：滿足的函數關系為為常數，其中，是一個和類似的無理數，叫自然對數的底數，超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在時的有效保存時間是1080h，在時的有效保存時間是120h，則該疫苗在時的有效保存時間為（ ）
A．15h B．30h C．40h D．80h
【答案】D
【分析】根據已知條件，結合指數函數的公式，即可求解．
【詳解】，
當時，，
當時，，解得，
當時，
【變式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”在“進步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經過365天的“進步值”，看作是經過365天的“退步值”，則大約經過（ ）天時，“進步值”大約是“退步值”的100倍（參考數據：，）
A．100 B．230 C．130 D．365
【答案】C
【分析】設大約經過天“進步值”大約是“退步值”的倍，依題意可得，根據指數對數的關系及換底公式計算可得.
【詳解】設大約經過天“進步值”大約是“退步值”的倍，
此時“進步值”為，“退步值”為，即，
所以，則，
所以天．
【變式2】國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設計，但整個系統的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統，已知過濾過程中廢水的污染物數量與時間（小時）的關系為（為最初污染物數量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（ ）
A．3.8小時 B．4小時 C．4.4小時 D．5小時
【答案】C
【分析】由題意可得，再令，解出可得，即可得解.
【詳解】由題意可知，即有，
令，則有，解得，
，故還需要4小時才能消除至最初的.
.
【變式3】著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1 ℃，空氣溫度為θ0 ℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位： ℃)滿足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若當空氣溫度為30 ℃時，某物體的溫度從90 ℃下降到80 ℃用時14分鐘．則再經過28分鐘后，該物體的溫度為________ ℃.
【答案】37.5
【解析】　∵θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，
又∵當空氣溫度為30 ℃時，某物體的溫度從90 ℃下降到80 ℃用時14分鐘，
∴8030＋(90－30)e－14k，解得e－14k，
則再經過28分鐘后，相當于當過了42分鐘后，
θ30＋(90－30)e－42k30＋80×(e－14k)330＋80×37.5 (℃)．
故答案為：37.5.
【變式4】假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎上進步，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步.那么，大約需要經過（ ）天，甲的“日能力值”是乙的倍（參考數據：，，）
A．85 B．100 C．170 D．225
【答案】C
【分析】根據給定信息，列出方程，再利用指數式與對數式的互化關系求解即可.
【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為，天后，甲、乙的“日能力值”分別、，
依題意可得，即，兩邊取對數得，
因此，
所以大約需要經過天，甲的“日能力值”是乙的倍.
題型02 對數函數模型的應用
【典例2】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學考試）青少年視力問題是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足關系式：，已知小明和小李視力的五分記錄法的數據分別為4.3和a，記小明和小李視力的小數記錄法的數據分別為，，則，則a的值可以是（ ）（參考數據：，）
A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0
【答案】A
【分析】根據給定條件，建立方程，結合對數運算及對數函數單調性求解即得.
【詳解】依題意，，則，即
由，得，因此，解得，
所以a的值可以是.
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業）“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的十倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關系式，現知同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為米，若同學大喝一聲的聲強大約相當于個同學同時大喝一聲的聲強，則同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（ ）

A．5米 B．10米 C．45米 D．70米
【答案】D
【分析】設同學的聲強為，噴出泉水高度為，可得，，兩式相減即可求出的值.
【詳解】設同學的聲強為，噴出泉水高度為，
則同學的聲強為，噴出泉水高度為，
由題意知，，
即①，
又，
即②，
得，
解得.
.
【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術中的數學原理之一是香農公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內所傳信號的平均功率S、信道內部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農公式，由于技術提升，寬帶在原來的基礎上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（ ）（附：）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用對數的運算性質，由香農公式分別計算信噪比為1000和8000時的比值即可求解.
【詳解】由題意可得，當時，，
當時，，
所以
，
所以的增長率約為.
【變式3】2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內噪聲更小．如果用聲強（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米上的聲能流密度，聲強級（單位：）與聲強的函數關系式為，其中為基準聲強級，為常數，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：
聲源 與聲源的距離（單位：） 聲強級范圍
內燃列車 20
電力列車 20
高速列車 20
設在離內燃列車 電力列車 高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據聲強、聲強級之間的關系確定基準聲強級，即可判斷A；計算可得大小關系，即可判斷B，D；計算可得大小關系，即可判斷.
【詳解】對于：因為聲強時，聲強級，
所以，解得，故錯誤；
對于B：因為，
所以，即，故B正確；
對于C：，
所以，即，故C不正確；
對于D，，
所以，即，故D不正確．
．
【變式4】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　)
A．1010.1　　　　　　　　 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
【答案】A　
【解析】由題意可設太陽的星等為m2，太陽的亮度為E2，天狼星的星等為m1，天狼星的亮度為E1，
則由m2－m1lg ，
得－26.7＋1.45lg ，lg －25.25，
∴lg －10.1，lg 10.1，1010.1.
題型03 冪函數模型的應用
【典例3】．2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續實施鄉村振興戰略，某企業響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業2021年初有資金170萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
【答案】C
【分析】設年平均增長率為，依題意列方程求即可.
【詳解】由題意，設年平均增長率為，則，
所以，故年平均增長率為20%.
【變式1】某公司的收入由保險業務收入和理財業務收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業務收入為億元，理財業務收入為億元.該公司經營狀態良好、收入穩定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業務發展迅速.要求從年起每年通過理財業務的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業務收入不高于當年總收入的，則的值至少為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出年通過理財業務的收入為億元，根據題意可得出關于的不等式，解出的范圍即可得解.
【詳解】因為該公司年總收入為億元，預計每年總收入比前一年增加 億元，所以年的總收入為億元，
因為要求從年起每年通過理財業務的收入是前一年的倍，
所以年通過理財業務的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，
.
【變式2】異速生長規律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數量關系通常以冪函數形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數，該類動物某一個體在生長發育過程中，其體重增長到初始狀態的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態的8倍，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】初始狀態設為，變化后為，根據，的關系代入后可求解．
【詳解】設初始狀態為，則，，
又，，即，
，，，，．
．
【變式3】某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關系為 (為常數)，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為 萬元.
【答案】125
【分析】利用代入法，結合指數冪的運算定義進行求解即可.
【詳解】因為投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，
所以，即
當今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為，
故答案為：
題型04 利用給定函數模型解決實際問題
【典例4】（24-25高三上·安徽·階段練習）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（ ）
A．4h B．6h C．8h D．12h
【答案】D
【分析】根據給定條件求出值，再由廢氣中的污染物含量不超過的列出不等式求解即得.
【詳解】依題意得，當時，，
當時，，則，
可得，即，所以，
當時，解得，
故至少需要過濾8h才能達到排放標準．
.
【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習）已知某種污染物的濃度C（單位：摩爾/升）與時間t（單位：天）的關系滿足指數模型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），k是常數.第2天（即）測得該污染物的濃度為5摩爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第n天測得該污染物的濃度變為，則 .
【答案】
【分析】根據題意，將點代入函數模型，求出的值，從而可求解.
【詳解】由題意可得則，解得.
因為，即，
所以，所以，解得.
故答案為：.
【變式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市從12月15日至1月5日（共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天），某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數圖象如圖所示，則該超市在12月20日賣出了這種蘋果 千克.
【答案】21.
【分析】計算得到直線方程為，當時計算得到答案.
【詳解】當時，設直線方程為，
將點，代入直線解得 ，故
當時，
故答案為：
【點睛】本題考查了根據圖像求解析式，意在考查學生的應用能力.
題型05 擬合函數模型的建立與應用
【典例5】數據顯示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情況如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
月收入（萬元） 1.4 2.580 5.31 11 21.3
根據上述數據，在建立該公司2023年月收入（萬元）與月份的函數模型時，給出兩個函數模型與供選擇.
(1)你認為哪個函數模型較好，并簡單說明理由；
(2)試用你認為較好的函數模型，分析大約從第幾月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考數據：，）
【答案】(1)用函數這一模型較好，理由見解析
(2)大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元
【分析】（1）由題意，描點并和函數圖象比較，可得答案；
（2）解法一：根據題意建立不等式，利用對數運算即可；解法二：指數函數的單調性試根.
【詳解】（1）對已知數據進行描點：
由圖可知點，，，，基本上是落在函數的圖像的附近，
因此用函數這一模型較好
（2）解法一：當時，即，∴，即，
∴，
故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元.
解法二：當時，即，∵，，
故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元
【變式1】（23-24高一上·福建廈門·階段練習）生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環境下的總量進行監測. 第一次監測時的總量為（單位：噸），此時開始計時，時間用（單位：月）表示. 甲經過一段時間的監測得到一組如下表的數據：
月
噸
為了研究該生物總量與時間的關系，甲通過研究發現可以用以下的兩種函數模型來表達與的變化關系：
①；②且.
(1)請根據表中提供的前列數據確定第一個函數模型的解析式；
(2)根據第列數據，選出其中一個與監測數據差距較小的函數模型；甲發現總量由翻一番時經過了個月，根據你選擇的函數模型，若總量再翻一番時還需要經過多少個月？（參考數據：，）
【答案】(1)
(2)第二個模型與監測數據差距較小；總量再翻一番時還需要經過個月
【分析】（1）將前列數據代入第一個函數模型即可解方程組求得結果；
（2）將前列數據代入第二個函數模型可求得第二個函數模型的解析式；再將列數據分別代入兩個模型，比較預估值與檢測數據即可確定差距較小的函數模型；將代入模型即可求得總量再翻一番時所需時長，進而得到結果.
【詳解】（1）將前列數據代入第一個函數模型得：，解得：，
第一個函數模型的解析式為：.
（2）將前列數據代入第二個函數模型得：，解得：，
第二個函數模型的解析式為：；
將代入第一個函數模型得：；代入第二個函數模型得：；
將代入第一個函數模型得：；代入第二個函數模型得：；
根據第列數據，第二個模型與監測數據差距較小；
總量翻一番時，，此時；
若總量再翻一番，則，由得：，，
，總量再翻一番時還需要經過個月.
【變式2】由于慣性作用，行駛中的汽車在剎車后要滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．下表是對某種型號汽車剎車性能的測試數據．
剎車時車速 15 30 40 70 80 80
剎車距離 1.23 6.20 11.5 17.80 25.20 44.40
(1)試選擇合適的函數模型擬合測試數據，并寫出函數解析式；
(2)若車速為，剎車距離為多少？若測得剎車距離為，剎車時的車速是多少？（可以使用計算器輔助計算）
【答案】(1)選擇二次函數模型，
(2)，
【分析】（1）選擇二次函數模型，結合圖象經過點，再代入兩個點，求出答案；
（2）在（1）的基礎上，代入求值即可.
【詳解】（1）選擇二次函數模型，顯然函數圖象經過點，再近似地選取兩個點和，
設二次函數為，
故，解得，
可求得；
（注：本題選取的點不同，所得到的函數解析式和下面所得的結果均可能不同．）
（2）當時，；
當時，有，解得（負舍）．
一、單項選擇題
1.某物體一天中的溫度T(℃)是時間t(h)的函數：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值為正，則上午8：00的溫度是(　D　)
A．112 ℃　　　　　　　　 B．58 ℃
C．18 ℃ D．8 ℃
【答案】A
【解析】本題考查函數的應用．由題意，上午8∶00時，t－4，所以溫度T(－4)3－3×(－4)＋808(℃)，故選D．
2．（23-24高一上·吉林白山·階段練習）在某個時期，某湖泊的藍藻每天以5%的增長率呈指數增長，則經過2天后，該湖泊的藍藻變為原來的（ ）
A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍
【答案】D
【分析】根據指數函數求解即可.
【詳解】解：設某湖泊的藍藻量為1，
由題意可知，每天的藍藻量是以1.05為底的指數函數，
即，
所以經過2天后，湖泊的藍藻量，
所以該湖泊的藍澡變為原來的倍.
.
3.（24-25高一上·全國·課后作業）某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺，第二個月銷售了200臺，第三個月銷售了400臺，第四個月銷售了790臺，第五個月銷售了1800臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量與投放市場的月數（，）之間關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】將題目中的數據代入各函數中，易知指數型函數能較好與題中的數據相對應.
【詳解】將代入函數中觀察可知，
函數符合條件.
.
4．（23-24高一上·江西景德鎮·期末）地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關，可以用關系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發生了3.6級地震，此前11月19日該地發生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（ ）倍（參考數據：）
A．110 B．115 C．120 D．125
【答案】A
【分析】根據題意結合對數運算分析求解.
【詳解】第一次，即①，
第二次，即②，
①②得，，即由題可知，，
．
5.（23-24高一上·廣東廣州·期末）為加強環境保護，治理空氣污染，某環保部門對轄區內一工廠產生的廢氣進行了監測，發現該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量與時間的關系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（ ）
A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時
【答案】D
【分析】根據前5個小時消除了的污染物，由，求得k，再設污染物減少所用的時間為t，由求解.
【詳解】因為在前5個小時消除了的污染物，所以，
解得，所以，
設污染物減少所用的時間為t，
所以，
所以，解得.
.
6.（23-24高一下·廣東揭陽·期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產，中國國家地理標志產品.贛南臍橙年產量達百萬噸，原產地江西省贛州市已經成為臍橙種植面積世界第一，年產量世界第三，全國最大的臍橙主產區，假設某贛南臍橙種植區的臍橙產量平均每年比上一年增長20%，若要求該種植區的臍橙產量高于當前臍橙產量的6倍，則至少需要經過的年數為（ ）（參考數據：取，）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】先根據條件建立對數不等式，從而得到，再利用換底公式即可求出的值，進而求出的范圍得到結果.
【詳解】假設當前該種植區的臍橙產量為1，經過x年該種植區的臍橙產量為，
由題意得，得到，
又因為
所以，故至少需要經過的年數為10.
7.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數據：
0 40 80 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
為描述汽車每小時耗油量與速度的關系，則下列四個函數模型中，最符合實際情況的函數模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出散點圖，根據單調性和定義域即可得解.
【詳解】作出散點圖，由圖可知函數模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調遞增且單位增長率變快；第三，函數圖象過原點.
A選項：函數在定義域內單調遞減，故A錯誤；
B選項：函數的單位增長率恒定不變，故B錯誤；
C選項：滿足上述三點，故C正確；
D選項：函數在處無意義，D錯誤.
8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一種放射性物質，當生物死亡后，機體內的碳14含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為半衰期.如果是碳14的初始質量，那么經過年后，碳14所剩的質量為.一名學者在今年的一次考古活動中，對出土的文物標本進行研究，發現碳14的含量是原來的，可以推測該文物屬于下列哪個時期（ ）（參考數據：）
參考時間線：

A．戰國 B．漢 C．唐 D．宋
【答案】A
【分析】列出方程，求出，，從而判斷出答案.
【詳解】令，
方程兩邊取對數得，
即，
又，故，
，
由于，故推測該文物屬于戰國時期，A正確.
二、多項選擇題
9．如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像．由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖2,3所示．你能根據圖像判斷下列說法錯誤的是(　 　)
A．圖2的建議為減少運營成本 B．圖2的建議可能是提高票價
C．圖3的建議為減少運營成本 D．圖3的建議可能是提高票價
【答案】CC
【解析】根據題意和圖2知，兩直線平行即票價不變，直線向上平移說明當乘客量為0時，收入是0但是支出的變少了，即說明了此建議是降低成本而保持票價不變；由圖3看出，當乘客量為0時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘客量時收入變大，即票價提高了，即說明了此建議是提高票價而保持成本不變，綜上可得AD正確，BC錯誤．
10.（23-24高一上·廣東·期末）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.本金為（單位：元），每期利率為，本利和為（單位：元），存期數為，則下列命題是真命題的是（ ）
A．本利和關于存期數的函數解析式為
B．本利和關于存期數的函數解析式為
C．若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為1022.5元
D．若存入本金1000元，每期利率為，則4期后的本利和為1090元
【答案】AC
【分析】根據題目條件求出本利和的函數解析式，并代入計算出結果即可判斷正誤．
【詳解】本利和關于存期數的函數解析式為，A正確，B錯誤．
若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為元，
4期后的本利和為元，，C正確，D錯誤．
C．
11. （23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面積（單位：）為時間（單位：月）的指數函數，即，且有關數據如圖所示.則下列說法錯誤的是（ ）

A．浮萍面積的月增長率為1 B．浮萍面積的月增加量都相等
C．第4個月，浮泙面積為 D．
【答案】CC
【分析】根據圖象所過點可求得函數解析式，可判斷AB；代入可知C錯誤；分別求出相應函數值可得D.
【詳解】過點，，則；
對于A，每個月的月增長率為，A正確；
對于B，浮萍面積第個月的增加量為；
第個月的增加量為，增加量不相等，B錯誤；
對于C，當時，，即浮萍面積為，C錯誤；
對于D，，則，D正確.
C.
填空題
12．（24-25高一上·全國·課前預習）某種動物繁殖的數量y（只）與時間x（年）的關系為，若這種動物第一年有100只，則到第15年會有 只．
【答案】400
【分析】令，解得：，再令，代入函數即可求解.
【詳解】當時，，代入可得，
∴，∴當時，．
故答案為：400
13．（24-25高一上·上海·期中）某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發獎金投入．若該公司2019年（年底統計）全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是 ．（年底統計）
【答案】2023
【分析】結合指數的運算公式解決函數的實際應用.
【詳解】，
故答案為：2023
14．（24-25高一上·上海·課堂例題）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為．關于下列說法正確的命題序號是 ．
（1）這個指數函數的底數為3；
（2）浮萍每月增加的面積都相等；
（3）第4個月時，浮萍面積不超過；
（4）若浮萍曼延到、、所經過的時間分別是、、，則．
【答案】（1）（4）
【分析】將特殊點代入，求出解析式，逐個分析即可．
【詳解】，將代入，即，則，則（1）正確；
因為
所以浮萍每月增加的面積是上一個月增加的面積的3倍，不相等，故（2）錯誤；
令，代入，解得，則（3）錯誤；
令，求得；令，求得；令，求得；
則，則（4）正確.
故答案為：（1）（4）.
解答題
15．（24-25高一上·全國·課后作業）富蘭克林（Benjamin Franklin，1706-1790）是美國著名的政治家和物理學家，去世后留下的財產并不可觀，大致只有英鎊．但令人驚奇的是，他竟然留下了一份分配幾百萬英鎊財產的遺囑！這份遺囑是這樣寫的：
“……英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這英鎊，那么這筆錢應托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年的利率借給一些年輕的手工業者去生息，這筆錢過了年增加到英鎊．我希望那時候用英鎊來建立一座公共建筑物，剩下的英鎊拿去繼續生息年．在第二個年末了，這筆款增加到英鎊，其中英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理，從此之后，我可不敢多作主張了．”
你認為富蘭克林的設想有道理嗎？為什么？
【答案】有道理，理由見解析
【分析】根據題意可知，通過計算英鎊在年后的結果，即可求解.
【詳解】根據題意可知，，
所以英鎊在年后為英鎊，
又英鎊在年后為，
所以在理論上說，富蘭克林的設想有道理.
16．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要進行秋去春來的南北大遷徙，已知某種燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度（米/秒）之間滿足關系：．
(1)當該燕子的耗氧量為1280時，它的飛行速度是多少？
(2)若該燕子飛行時的耗氧量增加到原來的3倍，則它的飛行速度大約增加多少？（參考數據：）
【答案】(1)35（米/秒）
(2)8（米/秒）
【分析】（1）由題意可列出指數方程，結合指數運算，即可求得答案；
（2）設該燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，可設燕子的耗氧量為時，飛行速度為，由題意列式，化簡可得，兩邊取對數，結合對數運算，即可求得答案.
【詳解】（1）依題意，有，即，.
又，
所以，所以，
解得，故該燕子的飛行速度是35（米/秒）．
（2）設該燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，
則該燕子的耗氧量為，飛行速度記為，
依題意，有，
所以，則，
則，所以它的飛行速度大約增加8（米/秒）.
17．（24-25高一上·福建泉州·階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發，為最大程度減少人員流動，減少疫情發生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯動，鼓勵企業在國慶期間留住員工在本市過節并加班追產，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產提供（萬元）的專項補貼.波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產量將增加到（萬件）.同時波司登制衣有限公司生產（萬件）產品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產的產品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項補貼-成本.
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產所獲收益（萬元）關于政府補貼（萬元）的表達式；
(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產所獲收益（萬元）最大？
【答案】(1)
(2)當萬元時，取最大值萬元.
【分析】（1）根據題意列出函數關系式，化簡得到；
（2）在（1）的基礎上，變形后利用基本不等式求出答案.
【詳解】（1），
因為，所以；
（2），
又因為，所以，
由基本不等式得，
當且僅當，即時，等號不成立，
所以，
故當萬元時，取最大值萬元.
18．（24-25高一上·上海楊浦·階段練習）某新建居民小區欲建一面積為的矩形綠地，并在綠地四周鋪設人行道，設計要求綠地外南北兩側人行道寬3m，東西兩側人行道寬4m，如圖所示（圖中單位：m）.設矩形綠地的南北側邊長為x米.
(1)當人行道的占地面積不大于時，求x的取值范圍；
(2)問x取多少時，才能使人行道的占地面積最小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表達出人行道占地面積，得到不等式，求出；
（2）在（1）的基礎上，利用基本不等式求出面積最小值.
【詳解】（1）矩形綠地東西側邊長為m，
則人行道占地面積為，
故，解得，
故x的取值范圍為；
（2）
，
當且僅當，即m時，等號不成立，
故x為m時，才能使人行道的占地面積最小.
19．（22-23高一上·廣東清遠·期末）在無菌培養環境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內細菌數量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養皿中的數量y（單位：百萬個）與培養時間x（單位：小時）的3組數據如下表所示.
2 3 5
3.5 4.5 5.5
(1)當時，根據表中數據分別用模型和建立關于的函數解析式.
(2)若用某函數模型根據培養時間來估計某類細菌在培養皿中的數量，則當實際的細菌數量與用函數模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數模型為“理想函數模型”，已知當培養時間為9小時時，檢測到這類細菌在培養皿中的數量為6.2百萬個，你認為（1）中哪個函數模型為“理想函數模型”？說明理由.（參考數據：）
(3)請用（2）中的“理想函數模型”估計17小時后，該類細菌在培養皿中的數量.
【答案】(1)，
(2)模型①是“理想函數模型”，理由見解析
(3)（百萬個
【分析】（1）根據代入法、平方法，結合對數的運算性質進行求解即可；
（2）結合代入法，結合題中理想函數模型的定義分類討論進行求解即可；
（3）結合（2）的結論，利用代入法進行求解即可.
【詳解】（1）當時，，
由圖表數據可得，
，，
聯立上式，解方程可得，，
則；
當時，，
由圖表數據可得，
聯立上式，解方程可得，
則；
（2）考慮①，由，
可得，而
，
可得模型①是“理想函數模型”；
考慮②，由，可得
而，
所以模型②不是“理想函數模型”；
（3）由（2）可得時，
（百萬個
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