資源簡介

指數函數、對數函數與冪函數章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡集合后由交集定義可得答案.
【詳解】集合表示函數的定義域，則，
集合表示函數的值域，則.
故.
.
2．（23-24高一上·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知是冪函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根據函數是冪函數求出參數，再求函數值即可.
【詳解】因為是冪函數，所以，解得，則，
所以.
.
3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意得：在上單調遞增，根據二次函數的性質列不等式即可.
【詳解】由題意得：在上單調遞增，
所以對稱軸，所以.
.
4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指數函數與對數函數的性質比較大小即可.
【詳解】因為在上遞增，且，
所以，即，
所以，
因為在上遞減，且，
所以，即，
因為在上遞增，且，
所以，即，
所以.
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數，，的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據的單調性相反排除AD，然后根據冪函數圖象判斷出的范圍，由此可得答案.
【詳解】因為在同一坐標系中，所以函數，的單調性一定相反，
且圖象均不過原點，故排除AD；
在BC選項中，過原點的圖象為冪函數的圖象，且由圖象可知，
所以單調遞減，單調遞增，故排除B，所以C正確.
.
6．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】按分段討論，結合函數單調性、零點存在性定理及數形結合求解即得.
【詳解】函數的定義域為，
當時，，顯然函數在上都單調遞減，
因此函數在上單調遞減，而，
則函數在上有唯一零點；
當時，，顯然，
因此函數在區間上至少各有一個零點，
當時，由，得，
則在上的零點即為函數的圖象與直線的交點橫坐標，
在同一坐標系內作出函數的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數的圖象與直線有兩個交點，即有兩個解，
所以函數的零點個數為3.
7．（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用反函數知識求出，結合復合函數的單調性可判斷出的單調遞減區間.
【詳解】因為函數與的圖象關于直線對稱，
所以，
因為，所以，解得：.
所以，
由，可得的定義域為，
令，則在單調遞減，
而在定義域單調遞增，
由復合函數的單調性可知:在單調遞減.
.
8．（23-24高一上·北京通州·期末）設函數，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．函數和的圖象有且只有兩個公共點
B．，當時，使得恒不成立
C．，使得不成立
D．當時，方程有解
【答案】A
【分析】作出函數和的圖象，結合函數圖象即可判斷A B；根據指數函數和對數函數的圖象即可判斷C；根據當時，函數和的圖象都過過點，即可判斷D.
【詳解】對于A，如圖所示，作出函數和的圖象，
由圖可知，函數和的圖象有三個公共點，故A錯誤；
對于B，由A選項可知，當時，，
所以不存在，當時，使得恒不成立，故B錯誤；
對于C，如圖，作出函數，的圖象，

由圖可知，函數的圖象在的圖象的上方，
函數的圖象在的圖象的下方，
所以，，
所以不存在，使得不成立，故C錯誤；
對于D，因為，，
當時，函數的圖象過點，
函數的圖象過點，即直線與函數圖象有交點，
當時，直線斜率更小，直線與函數圖象有交點，
所以當時，方程有解，故D正確.
.
【點睛】方法點睛：判定函數的零點個數的常用方法：
（1）直接法：直接求解函數對應方程的根，得到方程的根，即可得出結果；
（2）數形結合法：先令，將函數的零點個數，轉化為對應方程的根，進而轉化為兩個函數圖象的交點個數，結合圖象，即可得出結果.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（23-24高一上·浙江金華·期末）已知（）（ ）
A．當時，的值域為 B．當時，
C．當時，是偶函數 D．當時，是奇函數
【答案】CC
【分析】根據冪函數的性質即可求解AB，結合函數奇偶性的定義即可判斷CD.
【詳解】當時，，此時的值域為，故A錯誤，
當時，在上單調遞增，所以，B正確，
當時，，，所以是偶函數，C正確，
當時，，，則，，定義域不關于原點對稱，故為非奇非偶函數，D錯誤，
C
10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函數是定義在上的偶函數，當時，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．
C．存在，使得
D．函數的零點個數為
【答案】ACD
【分析】根據分段函數，求出的解析式即可判斷A；舉反例，取一個特殊值驗證選項的正誤判斷B；作出函數的圖象，發現函數的值域為，即可判斷C；利用數形結合的思想，將函數的零點問題轉化為方程的根，進而轉化為兩個函數的交點個數問題，再結合圖象即可得解判斷D.
【詳解】對于選項A，當時，，所以，
所以，故A正確；
對于選項B，當時，與矛盾，故B錯誤；
對于選項C，由為偶函數，可作出函數在上的圖象，

觀察圖象，的值域為，即存在，使得，故C正確；
對于選項D，由的零點個數即為根的個數，
即與的的交點個數，觀察圖象，在時，有5個交點，
根據對稱性可得時，也有5個交點，共計10個交點，故D正確.
CD
【點睛】方法點睛：判斷方程零點個數的常用方法：
①直接法：可利用判別式的正負直接判定一元二次方程根的個數；
②轉化法：函數零點個數就是方程根的個數，結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）可確定函數的零點個數；
③數形結合法：一是轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為的交點個數的圖象的交點個數問題.
11．（23-24高一上·山東日照·期末）對，表示不超過的最大整數，如，，，通常把，叫做取整函數，也稱之為高斯（Gaussian）函數．下列說法正確的是（ ）
A．，
B．，
C．，若，則
D．，使不成立
【答案】CCD
【分析】舉出反例可判斷A，舉例可判斷B，設，則，，求出的范圍可判斷C；根據取值特征可判斷D.
【詳解】對于A，當時，，故A錯誤；
對于B，設，則
，故B正確；
對于C，設，則，，則，所以，故C正確；
對于D，時，，
當時，，當時，，
當時，，當時，，
由，
可得時，不成立，故D正確.
CD.
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是對新定義的理解.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·天津·期末）函數（且）無論取何值，函數圖像恒過一個定點，則定點坐標為 .
【答案】
【分析】根據題意，令，求得和，即可求解.
【詳解】由函數（且），
令，解得，則，所以函數恒經過定點.
故答案為：.
13．（23-24高一上·安徽·期末）已知實數m，n滿足，則 .
【答案】1
【分析】根據已知條件，推得，，再結合對數的運算法則，即可求解．
【詳解】解：，
所以，，
所以．
故答案為：1．
14．（23-24高一上·天津·期末）已知函數若函數有三個零點，則實數的取值范圍 .
【答案】
【分析】轉化為與的圖象有3個交點，做出的圖象，結合圖象可得答案.
【詳解】若函數有三個零點，
則與的圖象有3個交點，
，
當時，，
當時，，
與軸的交點為，
的大致圖象如下，
要使與的圖象有3個交點，
則，解得，或.

故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是數形結合.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·期中）計算：
(1)；
(2).
【答案】(1)0
(2)2
【分析】（1）利用指數運算法則及指數式與對數式互化計算即得.
（2）利用對數運算法則求解即得.
【詳解】（1）.
（2）
.
16．（15分）（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知函數，（其中且）．
(1)若函數定義域為R ，求實數的取值范圍；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由．
【答案】(1)
(2)是偶函數
【分析】
（1）首先求出的解析式，依題意可得恒不成立，即可得到，從而求出參數的取值范圍；
（2）設，首先求出定義域，再根據奇偶性的定義判斷即可.
【詳解】（1）由題意得，
因為函數定義域為，
所以恒不成立，
即， 解得，
故實數的取值范圍.
（2）設，
定義域需滿足：，解得，
故函數的定義域為，定義域關于原點對稱，
則，
又因為，
即，
所以是偶函數，即是偶函數.
17．（15分）（23-24高一上·北京東城·期末）當藥品注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時25%的速度減少.
(1)按照醫囑，護士給患者甲注射了藥品兩小時后，患者甲血液中藥品的殘存量為，求的值；
(2)另一種藥物注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時10%的速度減少.如果同時給兩位患者分別注射藥品和藥品，請你計算注射后幾個小時兩位患者體內兩種藥品的殘余量恰好相等.（第（2）問計算結果保留2位小數）
參考值：，.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，列出方程代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，列出方程，結合對數的運算代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由題意可得，注射藥品兩小時后藥品的殘存量為，
所以，解得，即注射了藥品，的值為.
（2）設藥物注射量為，則小時后殘余量為，
設藥物注射量為，則小時后殘余量為，
又題可知，藥物注射量為，藥物注射量為，
設小時后殘余量相同，則，
即，兩邊取對數可得，即，
即，即，
即，即，
解得，所以注射小時后兩位患者體內兩種藥品的殘余量恰好相等.
18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函數為冪函數，且在單調遞減．
(1)求實數的值；
(2)若函數，且，
（ⅰ）寫出函數的單調性，無需證明；
（ⅱ）求使不等式不成立的實數的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)（ⅰ）在區間單調遞增；（ⅱ）
【分析】（1）根據冪函數的定義求出的值再由題設條件取舍；
（2）（ⅰ）根據單調性相同的兩函數在公共區間上具有相同的單調性性質即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的結論求解抽象不等式即得.
【詳解】（1）由題意知，解得：或，
當時，冪函數，此時冪函數在上單調遞減，符合題意；
當時，冪函數，此時冪函數在上單調遞增，不符合題意；
所以實數的值為1．
（2）（ⅰ），在區間單調遞增.證明如下：
任取，則，
由可得：，，則，即，
故在區間單調遞增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，在區間單調遞增，又由可得：
則，解得.
19．（17分）（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知函數，.
(1)求函數的最大值；
(2)設不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根據對數運算化簡為二次函數的復合函數，結合二次函數的值域求出最值即可；
（2）先換元把指數函數復合函數轉化為二次函數，再分段分類討論求出最值，再根據已知等式求值即可.
【詳解】（1）
，
，，
當，即時，，當，即時，，
當時，的最大值為2.
（2）由，得，
即，，
設，則當，，，
，
設，
由題意，是當時，函數的值域的子集.
①當，即時，函數在上單調遞增，
則解得.
②當，即時，函數在上單調遞減，
則不等式組無解.
③當，即時，函數在上單調遞減，上單調遞增，
則函數的最大值是與的較大者.
令，得，
令，得，均不合題意.
綜上所述，實數的值為.
【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵是，利用換元法將問題轉化為是的值域的子集，從而得解.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)指數函數、對數函數與冪函數章末測試
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：170分）
注意事項：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．寫在本試卷上無效．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共80分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知是冪函數，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（23-24高一上·湖南湘西·期末）若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·江西·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一個坐標系中，函數，，的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的零點個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一上·北京通州·期末）設函數，，，，則下列結論正確的是（ ）
A．函數和的圖象有且只有兩個公共點
B．，當時，使得恒不成立
C．，使得不成立
D．當時，方程有解
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（23-24高一上·浙江金華·期末）已知（）（ ）
A．當時，的值域為 B．當時，
C．當時，是偶函數 D．當時，是奇函數
10．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函數是定義在上的偶函數，當時，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，
B．
C．存在，使得
D．函數的零點個數為
11．（23-24高一上·山東日照·期末）對，表示不超過的最大整數，如，，，通常把，叫做取整函數，也稱之為高斯（Gaussian）函數．下列說法正確的是（ ）
A．，
B．，
C．，若，則
D．，使不成立
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（23-24高一上·天津·期末）函數（且）無論取何值，函數圖像恒過一個定點，則定點坐標為 .
13．（23-24高一上·安徽·期末）已知實數m，n滿足，則 .
14．（23-24高一上·天津·期末）已知函數若函數有三個零點，則實數的取值范圍 .
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·期中）計算：
(1)；
(2).
16．（15分）（23-24高一上·廣西賀州·期末）已知函數，（其中且）．
(1)若函數定義域為R ，求實數的取值范圍；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由．
17．（15分）（23-24高一上·北京東城·期末）當藥品注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時25%的速度減少.
(1)按照醫囑，護士給患者甲注射了藥品兩小時后，患者甲血液中藥品的殘存量為，求的值；
(2)另一種藥物注射到人體內，它在血液中的殘余量會以每小時10%的速度減少.如果同時給兩位患者分別注射藥品和藥品，請你計算注射后幾個小時兩位患者體內兩種藥品的殘余量恰好相等.（第（2）問計算結果保留2位小數）
參考值：，.
18．（17分）（23-24高一上·天津·期末）若函數為冪函數，且在單調遞減．
(1)求實數的值；
(2)若函數，且，
（ⅰ）寫出函數的單調性，無需證明；
（ⅱ）求使不等式不成立的實數的取值范圍．
19．（17分）（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知函數，.
(1)求函數的最大值；
(2)設不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數的值.
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