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第四章 指數函數、對數函數與冪函數 章末題型大總結
題型01指數、對數、冪的運算
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用分數指數冪的性質運算；（2）利用對數的性質運算
【詳解】（1）原式
；
（2）原式
.
【變式1】（24-25高一上·湖南長沙·開學考試）《孫子算經》中記載：“凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億日兆．”說明了大數之間的關系：1億萬1萬，1兆萬萬億．若1兆，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【分析】由指數冪的運算性質即可求解.
【詳解】1萬=，所以1億=，
所以1兆=，
所以.
【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據對數的換底公式及對數的運算法則求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以．
．
【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習）的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根據條件，利用對數的換底公式和運算性質，即可求解.
【詳解】因為，
.
【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，結合指數冪與對數的運算法則及運算性質，逐項計算，即可求解.
【詳解】對于A中，由，所以A正確；
對于B中，由，所以B錯誤；
對于C中，由，所以C錯誤；
對于D中，由，所以D錯誤．
題型02冪指對函數的定義域
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數的定義域；
【答案】.
【分析】（1）根據給定的函數有意義，列出不等式，再解指數、對數不等式即得.
【詳解】依題意，，解得，因此或，
所以原函數的定義域為.
【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數的定義域為 .
【答案】
【分析】根據偶次根式被開方數大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.
【詳解】由題意可知，解得且，
故函數的定義域為．
故答案為：.
【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數 的定義域為 .
【答案】
【分析】由函數有意義的條件，求函數定義域.
【詳解】函數有意義，則有，解得，
所以函數的定義域為.
故答案為：
【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對數函數的真數大于0，然后解不等式得出答案.
【詳解】由題意知，，即，
所以或.
.
題型03冪指對函數的值域
【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數，．
(1)當時，求函數的值域；
(2)設函數，若對任意，存在，使得，求實數m的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令，根據二次函數的性質求解即可；
（2）對任意，存在，使得，則，即，在上恒不成立，再利用分離參數法求解即可.
【詳解】（1）當時，，，
令，因為，則，
所以，其中，
則時，，時，，即，
所以的值域為；
（2）由，，
設，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而函數為增函數，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，
因為對任意，存在，使得，則，
所以，在上恒不成立，
令，因為，則，即在上恒不成立，
則在上恒不成立，因為函數在上單調遞增，
故，所以，即．
【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】，設，，計算得到答案.
【詳解】，
設，則，
故函數的值域為.
【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）函數的值域為 .
【答案】
【分析】根據二次函數的性質以及對數函數的單調性即可求解.
【詳解】由于，
所以，
所以原函數的值域為
故答案為：
【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數在的最小值是 ．
【答案】/
【分析】令，然后利用配方法可得答案.
【詳解】令，則，
則，
所以當時，有最小值.
故答案為：.
【變式4】（23-24高一上·全國·期末）如果函數 且在區間上的最大值是，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】A
【分析】利用換元法，令，轉化為二次函數，根據單調性及在區間上的最大值是，求出的值即可.
【詳解】令，則．
當時，因為，所以，
又因為函數在上單調遞增，
所以，解得（舍去）．
當時，因為，所以，
又函數在上單調遞增，
則，
解得（舍去）．
綜上知或．
.
題型04指對型函數的單調性
【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習）已知定義域為的函數是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)判斷函數的單調性，并用定義加以證明；
(3)若對任意的，不等式不成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；(2)在定義域內單調遞增，證明見解析；(3).
【分析】（1）利用奇函數性質求出，再利用定義驗證即得.
（2）利用函數單調性定義，結合指數函數單調性判斷推理即得.
（3）利用奇函數性質及單調性質脫去法則。分離參數，借助基本不等式求解即得.
【詳解】（1）定義在R上的函數為奇函數，得，解得，
此時，則，
即函數是奇函數，所以.
（2）由（1）知，
函數在定義域內單調遞增，證明如下：
設，則，
由，得，則，所以函數在R上單調遞增.
（3）依題意，對任意的，不成立，
則，即在上恒不成立，而，
當且僅當時取等號，因此，
所以實數的取值范圍是.
【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據復合函數同增異減的原則，判定內外函數的單調性即可得到答案.
【詳解】內函數，其在上單調遞增，
而外函數在上單調遞減，
則根據復合函數單調性“同增異減”的原則知的單調遞減區間為，
.
【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知函數，則函數的減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據復合函數單調性的規則來解答.
【詳解】因為函數在定義域上單調遞減，
故函數的減區間即為函數的增區間，
所以，解得，
即函數的減區間是.
.
【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復合函數的單調性法則，結合二次函數的單調性列式求解即可.
【詳解】函數在上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，
因此，解得，所以實數的取值范圍是.
【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】設，由復合函數的單調性可知，函數在上單調遞減，且，再根據二次函數的性質即可求解.
【詳解】設，
由題意可知，函數在上單調遞減，且，
函數的對稱軸為，
所以，解得.
故選：.
【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為
B．的遞減區間是
C．的圖象關于成中心對稱
D．函數在上單調遞增，則a的取值范圍是
【答案】AC
【分析】
由指數函數的單調性可判斷A正確；由復合函數的單調性和對數函數的性質可判斷B錯誤；對函數變形后，利用反比例函數的對稱性和函數圖像的變換規律可得C正確；由復合函數的單調性可判斷D錯誤.
【詳解】A：因為，所以，故A正確；
B：設，因為在定義域上為增函數，則由復合函數的單調性和對數函數有意義可知，減區間為，故B錯誤；
C：，對稱中心為，故C正確；
D：函數的對稱軸為，因為函數在上單調遞增，所以，即，故D錯誤；
C.
題型05冪指對函數的圖象
【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】分、討論，結合圖象可得答案.
【詳解】當時，是單調遞增函數，圖象恒過點，
是單調遞減函數，圖象恒過點；
當時，是單調遞減函數，圖象恒過點，
是單調遞增函數，圖象恒過點；
所以滿足條件的圖象為D.
.
【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數，對數函數的圖象如圖所示，則下列關系不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由指數函數以及對數函數的單調性即可得到的范圍，從而得到結果.
【詳解】由圖象可得，指數函數為減函數，
對數函數為增函數，
所以，
即.
【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應的函數不屬于中的一個是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】由函數解析式確定其圖象所過的定點，結合單調性確定對應的圖形即可.
【詳解】依題意，函數的圖象分別過定點，
它們分別對應圖③②①，因此④不屬于給定的三個函數之一.
【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）函數（且）的圖象所過的定點為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用對數函數的性質即可得解.
【詳解】因為函數（且），
令，解得，則，
所以的圖象所過的定點為.
.
【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）已知函數，且的圖象不經過第一象限，則函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據指數函數圖象性質可得，再由對數函數圖象性質可判斷出結論.
【詳解】當時，函數單調遞增，圖象經過第一象限，不合題意；
當時，函數單調遞減，圖象不經過第一象限，合題意；
顯然此時，則函數為單調遞增，又恒過點，
因此函數的圖象不過第四象限.
題型06比較大小問題
【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據冪函數,指數函數單調性，引入中間值，比較，根據指數,對數函數單調性，引入中間值，比較即可.
【詳解】根據函數在單調遞增，知道，
根據函數在單調遞減，知道，
根據函數在單調遞減，知道，
綜上所得，.
.
【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關系（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取中間值，根據指數函數、對數函數以及冪函數的單調性分析判斷.
【詳解】因為在定義域內單調遞減，
可得，即；
且在定義域內單調遞增，
可得，即；
又因為，即；
所以.
【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用冪函數，指數函數，對數函數的單調性求出的范圍，從而判斷大小.
【詳解】由在上單調遞增，又，所以，
由在R上單調遞減，又，所以，
由是上的減函數，又，所以.
所以.
.
【變式3】（23-24高一下·上海·開學考試）若，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據不等式的基本性質和冪函數和對數函數的性質即可判斷．
【詳解】，，函數在上為增函數，，A錯誤；
由，則函數在上為增函數，
所以，即，B正確；
由，C錯誤；
，
函數為上為增函數，則，
所以，即，D錯誤.
故選：．
題型07冪指對函數中的函數與方程問題
【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區間上，則（ ）
A． B．2 C．或2 D．1
【答案】D
【分析】根據方程的根與函數零點的關系轉化為函數的零點來求解，畫出函數圖象觀察交點范圍，再用零點存在性定理證明即可.
【詳解】方程化為，
分別做出方程左右兩邊的圖象，
從圖象可知，方程，
方程有兩個分別在和之間的根，
下面證明：方程在和之間各有一個實根，
設，
根據函數性質得在區間上是增函數，
又，，
則，
由零點存在性定理知，
在區間上僅有一個零點，
即方程區間上僅有一個實根，
同理可得方程區間上僅有一個實根，
結合題意可知，或，
.
【變式1】（23-24高一下·內蒙古赤峰·期末）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．已知方程的解在內，則
B．函數的零點是
C．函數有兩個不同的零點
D．用二分法求函數在區間內零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區間上
【答案】AD
【分析】對A，構造函數，利用零點存在性定理和單調性可得；對B，根據零點定義可知；對C，作出的圖象，觀察其交點個數可得；對D，根據零點存在性定理可得.
【詳解】對A，記，易知都在單調遞增，
所以在上單調遞增，
又，
所以存在唯一零點，且，
即方程的唯一解在內，所以，A正確；
對B，令，解得或，
所以函數的零點是或，B錯誤；
對C，作出的圖象如圖：
當時，函數和的圖象顯然有一個交點，
又，所以函數和的圖象在處相交，
所以有三個不同的零點，C錯誤；
對D，因為，
所以由零點存在性定理可知，零點近似值在區間上，D正確.
D
【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數和的圖像如圖所示，給出下列四個結論，正確結論的是（ ）
A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有二個解
C．方程有且僅有五個解 D．方程有且僅有一個解
【答案】ACD
【分析】將內層函數看作一個變量，先由外層函數確定其解的個數情況，再根據內層函數的圖象即可確定復合函數的解的個數，由此一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】對于A，由題意可知時，或或，
故方程時，則或或，
，
又在上單調遞減，故都有唯一解，
即方程有且僅有三個解，故A正確；
對于B，當時，，
故時，即，而，
故由圖象可知有一個解，
即方程有且僅有一個解，故B錯誤；
對于C，時，或或，
故由可得或或，
而，
故和各有唯一一個解，有3個解，
故方程有且僅有五個解，故C正確；
對于D，時，，
故由可得，而，在上單調遞減，
故有唯一解，
故方程有且僅有一個解，故D正確，
CD
【變式3】函數的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】D
【解析】令,即,在同一平面直角坐標系下作出的圖像(圖略),易知兩圖像有2個交點,即函數有2個零點.故選C.
題型08冪指對函數模型的應用
【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續航，則最多使用（ ）個月就需要更換純硫酸（參考數據，）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】D
【分析】依題意建立通過月后性能指數y與之間的函數關系式，得到不等式，通過兩邊取對數，整理化簡即得.
【詳解】設最初該種電池的性能指數為k，通過月后性能指數變為，則．
由題意得，即，兩邊取常用對數，可得．
∵，∴．
又，故最多使用13個月就需要更換純硫酸．
.
【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實驗中，規定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么至少經過（ ）個小時才會“藥物失效”．（參考數據：）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數求出答案.
【詳解】物實驗中，血液中藥物含量為的濃度為，
設至少經過個小時才會“藥物失效”，根據題意
，兩邊取對數得，
可得.
所以至少經過個小時才會“藥物失效”.
.
【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設有機體生存吋碳14的含量為，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量滿足的關系為（其中m ，a都是非零實數）.若測得死亡5730年后的古生物樣品，體內碳14的含量為0.5，又測得死亡11480年后這類古生物樣品.體內碳14的含量為0.25.如果測得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測此古生物的死亡時間為（取）（ ）
A．10570年 B．7570年
C．8570年 D．9570年
【答案】A
【分析】根據已知指數函數模型列方程組求得，推測此古生物的死亡時間為年，再列方程求得（利用對數的運算）．
【詳解】由已知，解得，即，
推測此古生物的死亡時間為年，則，，
所以，．
．
【變式3】（23-24高一上·福建龍巖·期末）美國生物學家和人口統計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規律．若剛栽種時該植物的高為1米，經過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由題設有，即可求參數、的值，進而判斷的單調性且，即可判斷植物的高度超過至少需要多少年.
【詳解】依題意可得，則，解得，
∴，
因為在定義域上單調遞減，且，又在上單調遞減，
所以在上單調遞增，而，，
即，
∴該植物的高度超過，至少需要年.
.
題型09冪指對函數性質的綜合應用問題
【典例9】（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知函數，.
(1)求函數的最大值；
(2)設不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數的值.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根據對數運算化簡為二次函數的復合函數，結合二次函數的值域求出最值即可；
（2）先換元把指數函數復合函數轉化為二次函數，再分段分類討論求出最值，再根據已知等式求值即可.
【詳解】（1）
，
，，
當，即時，，當，即時，，
當時，的最大值為2.
（2）由，得，
即，，
設，則當，，，
，
設，
由題意，是當時，函數的值域的子集.
①當，即時，函數在上單調遞增，
則解得.
②當，即時，函數在上單調遞減，
則不等式組無解.
③當，即時，函數在上單調遞減，上單調遞增，
則函數的最大值是與的較大者.
令，得，
令，得，均不合題意.
綜上所述，實數的值為.
【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵是，利用換元法將問題轉化為是的值域的子集，從而得解.
【變式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函數．
(1)討論函數的奇偶性；
(2)若函數在上為嚴格減函數，求a的取值范圍．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）分類討論：由奇偶性的定義分函數為奇函數和偶函數可得對應的a值，進而可得結論；
（2）由減函數可得對任意的，都有，變形可得恒不成立，又可得，可得．
【詳解】（1）令，則，
若，則；若，則.
所以當時，是偶函數；
當時，是奇函數；
當時，是非奇非偶函數.
（2）設，則，，
，
因為函數在上嚴格減函數，所以恒不成立，
所以，即，恒不成立，
又因為，，所以，，所以．
【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）已知函數為奇函數．
(1)求的值；
(2)若對任意的，關于的不等式恒不成立，求正實數的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用奇函數定義列式計算即得.
（2）由（1）的結論，結合指數函數的性質求出在上的值域，換元分離參數借助函數單調性求解即得.
【詳解】（1）由函數為奇函數，
得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，當時，，則，因此，
令，，不等式，
等價于，即，而，
因此，，而函數在上單調遞減，
即，從而恒不成立，則，
所以正實數的取值范圍是.
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題型01指數、對數、冪的運算
【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習）計算：
(1)；
(2)．
【變式1】（24-25高一上·湖南長沙·開學考試）《孫子算經》中記載：“凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億日兆．”說明了大數之間的關系：1億萬1萬，1兆萬萬億．若1兆，則m的值為（ ）
【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習）的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型02冪指對函數的定義域
【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數的定義域；
【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數的定義域為 .
【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數 的定義域為 .
【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
題型03冪指對函數的值域
【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數，．
(1)當時，求函數的值域；
(2)設函數，若對任意，存在，使得，求實數m的取值范圍．
【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）函數的值域為 .
【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數在的最小值是 ．
【變式4】（23-24高一上·全國·期末）如果函數 且在區間上的最大值是，則的值為（ ）
A．3 B． C． D．3或
題型04指對型函數的單調性
【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習）已知定義域為的函數是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)判斷函數的單調性，并用定義加以證明；
(3)若對任意的，不等式不成立，求實數的取值范圍.
【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數的單調遞減區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知函數，則函數的減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．的最小值為
B．的遞減區間是
C．的圖象關于成中心對稱
D．函數在上單調遞增，則a的取值范圍是
題型05冪指對函數的圖象
【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標系中，函數且的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數，對數函數的圖象如圖所示，則下列關系不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應的函數不屬于中的一個是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）函數（且）的圖象所過的定點為（　　）
A． B． C． D．
【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）已知函數，且的圖象不經過第一象限，則函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
題型06比較大小問題
【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關系（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高一下·上海·開學考試）若，，則（ ）
A． B．
C． D．
題型07冪指對函數中的函數與方程問題
【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區間上，則（ ）
A． B．2 C．或2 D．1
【變式1】（23-24高一下·內蒙古赤峰·期末）（多選）下列說法正確的是（ ）
A．已知方程的解在內，則
B．函數的零點是
C．函數有兩個不同的零點
D．用二分法求函數在區間內零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區間上
【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數和的圖像如圖所示，給出下列四個結論，正確結論的是（ ）
A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有二個解
C．方程有且僅有五個解 D．方程有且僅有一個解
【變式3】函數的零點個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
題型08冪指對函數模型的應用
【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續航，則最多使用（ ）個月就需要更換純硫酸（參考數據，）
A．11 B．12 C．13 D．14
【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實驗中，規定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么至少經過（ ）個小時才會“藥物失效”．（參考數據：）
A．4 B．5 C．6 D．7
【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設有機體生存吋碳14的含量為，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量滿足的關系為（其中m ，a都是非零實數）.若測得死亡5730年后的古生物樣品，體內碳14的含量為0.5，又測得死亡11480年后這類古生物樣品.體內碳14的含量為0.25.如果測得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測此古生物的死亡時間為（取）（ ）
A．10570年 B．7570年
C．8570年 D．9570年
【變式3】（23-24高一上·福建龍巖·期末）美國生物學家和人口統計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規律．若剛栽種時該植物的高為1米，經過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（ ）年．
A．3 B．4 C．5 D．6
題型09冪指對函數性質的綜合應用問題
【典例9】（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知函數，.
(1)求函數的最大值；
(2)設不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數的值.
【變式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函數．
(1)討論函數的奇偶性；
(2)若函數在上為嚴格減函數，求a的取值范圍．
【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）已知函數為奇函數．
(1)求的值；
(2)若對任意的，關于的不等式恒不成立，求正實數的取值范圍．
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