資源簡介

重難點提升01 指數(shù)、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用； 2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 掌握與指對數(shù)復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域、單調(diào)性、值域、奇偶性、零點、不等式等問題的基本解法，突破函數(shù)學(xué)習(xí)中的這一難點.
知識點01 復(fù)合函數(shù)的概念
如果函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，值域為，則當(dāng)時，函數(shù)為與在上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做內(nèi)層函數(shù)，叫做外層函數(shù)．
知識點02 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”
若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；
若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．
2、具體判斷步驟
（1）求出原函數(shù)的定義域；
（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；
（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；
（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論．
知識點03復(fù)合函數(shù)的值域求解
1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法
（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．
（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．
2、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法
（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域．
（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．
題型01 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【典例1】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．R B．
C． D．且
【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)的定義域為 ．
【變式3】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)的定義域為 .
【變式4】（24-25高一上·上海·單元測試）函數(shù)（且）的定義域為，則 ．
【變式5】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有意義，求的取值范圍.
題型02 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例2】（23-24高一上·河北石家莊·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·廣東佛山·月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（22-23高一上·廣東·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【典例3】（24-25高三上·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是( ).
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高二下·天津河?xùn)|·期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【變式3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（23-24高一上·山東濟寧·月考）已知在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5】已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 .
【典例4】（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知x，，且，則下列不等式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（24-25高三上·上海金山·階段練習(xí)）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【典例5】（24-25高三上·江蘇·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則使得不成立的的解集是 ．
【變式1】（23-24高一上·天津·期末）若不等式對任意的恒不成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).當(dāng)時，求不等式的解集.
題型03 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典例6】（1）（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的值域是 .
（2）（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù) 在時的值域是 ．
【變式1】求函數(shù)，在上的值域.
【變式2】（24-25廣東省六校10月聯(lián)考）函數(shù)（）的最大值為 .
【變式3】（對選）（23-24高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)的值域為
C．
D．函數(shù)為減函數(shù)
【變式4】（23-24高一上·廣東深圳·期末）將函數(shù)的值域為 .
【典例7】（23-24高一上·甘肅威武·月考）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【變式1】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（22-23高一下·青海西寧·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍是 .
【變式3】（23-24高一上·上海·期末）已知，設(shè).
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)已知，若函數(shù)的最大值為，求的值；
(3)已知，若存在兩個不同的正實數(shù)、，使得當(dāng)函數(shù)的定義域為時，其值域為，求的取值范圍.
【變式4】設(shè)函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，是定義域為R的奇函數(shù)，且.
(1)求與的解析式；
(2)若在上的最小值為，求的值.
【變式5】設(shè)，且，函數(shù)在上的最大值為，則實數(shù)的值為 .
題型05 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
【典例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．1
【變式1】（23-24高一上·遼寧·月考）設(shè)且，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為：（ ）.
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【變式4】（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
題型05 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【典例9】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)全集，， ，則=（ ）
A． B． C． D．
【變式2】函數(shù)的定義域是
【變式3】（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為 ．
【變式4】（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的定義域：
(1)；
(2)（常數(shù)且）．
題型06 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例10】（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【典例11】（23-24高一上·山東臨沂·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍 .
【變式1】（24-25高三上·山東濟南·開學(xué)考試）已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高一上·湖北·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5】若（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【典例12】（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)（且）的圖象過點．
(1)求a的值及的定義域；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，比較與的大小．
【變式1】（23-24高二下·寧夏銀川·期末）已知函數(shù)，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
(1)求實數(shù)的值
(2)比較與的大小，并請說明理由.
【典例13】（23-24高一下·湖北·期中）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍;
(2)若，解不等式.
【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍．
【變式2】（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【變式3】（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）若，則的取值范圍是 .
【變式4】（23-24高一上·湖南·期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【變式5】已知函數(shù)f(x)loga（x+1），g(x)loga（1﹣x），a＞0且a≠1
(1)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域且判斷奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
題型07 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典例14】（23-24高一上·浙江杭州·月考）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是 ．
【變式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是 .
【變式4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1．
(1)求的值；
(2)若，求函數(shù)的最小值．
【變式5】（24-25高一上·上海·課堂例題）設(shè)且，函數(shù)的圖像過點．
(1)求的值及函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【典例15】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·山西長治·期末）已知函數(shù)的最大值為2，則 ．
【變式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值之差為1，求的值．
【變式3】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，（，且）．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
題型08 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
【典例16】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）函數(shù)（a為常數(shù)）的奇偶性為（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．都不是
【變式1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 ．
【變式2】（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）若為偶函數(shù)，則 .
【變式3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
題型09 指、對復(fù)合函數(shù)中恒不成立與有解問題
【典例17】（23-24高一下·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)若，求的取值范圍.
【變式1】（23-24高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對，均有不成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
【變式2】（22-23高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)，（），對，使不成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．
【變式4】（22-23高一上·河北邢臺·期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性；
(3)若對任意，，恒不成立，求實數(shù)的取值范圍.
題型11 指、對復(fù)合函數(shù)中零點問題
【典例18】（多選）（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點、、，且，則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的增區(qū)間為
D．的最小值為
【變式1】（24-25高三上·山東濟南·階段練習(xí)）已知且，函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【變式3】（24-25高三上·湖南常德·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
【變式4】（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)方程
(1)有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
題型12 指、對復(fù)合函數(shù)中的新定義問題
【典例19】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則 ；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為 .
【變式1】（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）定義，不超過的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，為的小數(shù)部分，記作，這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所用，因此稱為高斯函數(shù)，稱為小數(shù)函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A． B．函數(shù)所有零點和為0
C．的值域為 D．是的充要條件
【變式2】（23-24高一上·重慶·期末）定義：表示的解集中整數(shù)的個數(shù).若，，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，不等式的解集是
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，若，則實數(shù)的取值范圍是
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．函數(shù)，的值域是( )
A． B． C． D．
3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為R．則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知，則使不成立的實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．當(dāng)時，不等式恒不成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·北京順義·期末）懸鏈線指的是一種曲線，如鐵塔之間懸垂的電線，橫跨深澗的觀光索道的電纜等等，這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài)，這些曲線在數(shù)學(xué)上被稱為懸鏈線，懸鏈線的方程為，其中c為參數(shù)，當(dāng)時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．函數(shù)的值域
C．，恒不成立 D．方程有且只有一個實根
二、多選題
9．（23-24高一下·江西·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)的值域為
C．函數(shù)是定義域上的奇函數(shù) D．函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)
10．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A． B．函數(shù)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
C． D．函數(shù)所有零點之和大于零
11．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（ ）
A． B．
C． D．為偶函數(shù)
三、填空題
12．（23-24高一下·廣東揭陽·期末）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為 .
13．（23-24高一上·浙江麗水·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 ．
14．（23-24高一上·湖南婁底·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域為，那么就稱是定義域為D的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域為R的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是 .
四、解答題
15．（23-24高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知（且）是偶函數(shù).
(1)求的值；
(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.
16．（23-24高一下·貴州黔西·期末）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)，且是偶函數(shù)．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并求不等式的解集．
17．（22-23高一上·山東淄博·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求數(shù)k的值；
(2)設(shè)，證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性，無需證明；若在上只有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.
18．（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)求函數(shù)的值域；
(3)若不等式對任意實數(shù)恒不成立，試求實數(shù)的取值范圍．
19．（23-24高一上·安徽·期末）對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，②存在區(qū)間，使在上的值域為.則我們把稱為閉函數(shù)，且區(qū)間稱為的一個“好區(qū)間”，其中.
(1)若是函數(shù)的好區(qū)間，求實數(shù)m，n的值；
(2)若函數(shù)為閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點提升01 指數(shù)、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用； 2.對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 掌握與指對數(shù)復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域、單調(diào)性、值域、奇偶性、零點、不等式等問題的基本解法，突破函數(shù)學(xué)習(xí)中的這一難點.
知識點01 復(fù)合函數(shù)的概念
如果函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，值域為，則當(dāng)時，函數(shù)為與在上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做內(nèi)層函數(shù)，叫做外層函數(shù)．
知識點02 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”
若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；
若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．
2、具體判斷步驟
（1）求出原函數(shù)的定義域；
（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；
（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；
（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論．
知識點03復(fù)合函數(shù)的值域求解
1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法
（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．
（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．
2、對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法
（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域．
（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．
題型01 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【典例1】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，運算求解即可得函數(shù)的定義域.
【詳解】令，解得且，
所以函數(shù)的定義域為.
.
【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域是（ ）
A．R B．
C． D．且
【答案】D
【分析】由題意可知：要有意義，進而可得定義域.
【詳解】由題意可知：要有意義，可得，
所以函數(shù)的定義域是.
.
【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【分析】利用分母不為0即可求解.
【詳解】由，解得：，所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
【變式3】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)的定義域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.
【詳解】由題意可知，解得且，
故函數(shù)的定義域為．
故答案為：.
【變式4】（24-25高一上·上海·單元測試）函數(shù)（且）的定義域為，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域列不等式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)運算等知識求得正確答案.
【詳解】依題意，，
當(dāng)時，，與已知矛盾.
當(dāng)時，，
函數(shù)的定義域為，
所以，，兩邊平方得.
故答案為：
【變式5】（23-24高一上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有意義，求的取值范圍.
【答案】.
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒不成立，然后參變分離，利用單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上有意義，
所以，不等式在區(qū)間上恒不成立，
∵，∴，∴.
記，
∵與是上的減函數(shù)，
∴函數(shù)在上的單調(diào)遞增.
∴時，恒不成立.
∴，即的取值范圍是.
題型02 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例2】（23-24高一上·河北石家莊·月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
【變式1】（23-24高一上·廣東佛山·月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，則t在上遞減，在上遞增，
又在R上遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，
【變式2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又函數(shù)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.
.
【變式3】（22-23高一上·廣東·期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【答案】
【解析】設(shè)，則，
對稱軸為，當(dāng)，即，即，即時，
為減函數(shù)，函數(shù)為增函數(shù)，
則為減函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)，即，即，即時，為減函數(shù)，
函數(shù)為減函數(shù)，則為增函數(shù)，
即函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為.
故答案為：
【典例3】（24-25高三上·黑龍江佳木斯·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論底數(shù)計算即可.
【詳解】若，在上單調(diào)遞增，
要滿足題意，則要在上單調(diào)遞減，故，即；
若，在上單調(diào)遞減，
要滿足題意，則要在上單調(diào)遞增，故，
即，不滿足
綜上所述：的取值范圍是.
.
【變式1】（23-24高二下·天津河?xùn)|·期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，而函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
則，即，解得，所以a的取值范圍是.
【變式2】（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
函數(shù)在單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故.
故答案為：.
【變式3】（23-24高一上·遼寧沈陽·月考）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，
在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的同增異減性，
可知需為R上的增函數(shù)，
故，∴，∴或，.
【變式4】（23-24高一上·山東濟寧·月考）已知在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，
因為在上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，
函數(shù)與的單調(diào)性相反；
又因為單調(diào)遞減，所以需在上單調(diào)遞增.
函數(shù)的對稱軸為，所以只需要，故選:A.
【變式5】已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，
又，解得．
．
【變式6】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】依題意，在上單調(diào)遞增，
令，因為，則，故，
又在上單調(diào)遞減；
而的開口向上，對稱軸為，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【典例4】（24-25高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知x，，且，則下列不等式正確的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并探討單調(diào)性，利用單調(diào)性可得，再逐項判斷即得.
【詳解】令函數(shù)，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，因此在R上遞增
由，得，即有，因此，
對于AC，，，AC正確；
對于BD，取，滿足，而，選項D中表達(dá)式無意義，BD錯誤.
C
【變式1】（24-25高三上·上海金山·階段練習(xí)）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對于ACD通過反例即可判斷，對于B可通過的單調(diào)性判斷.
【詳解】對于A：取，滿足，而，故錯誤；
對于C：取滿足，而，故錯誤；
對于D：取，滿足，而，故錯誤；
對于B：因為，所以，又函數(shù)單調(diào)遞增，所以，
即，故正確
【典例5】（24-25高三上·江蘇·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則使得不成立的的解集是 ．
【答案】
【分析】判斷函數(shù)的性質(zhì)，再利用性質(zhì)求解不等式.
【詳解】函數(shù)的定義域為R，，則為奇函數(shù)，
又函數(shù)分別為R上的增函數(shù)和減函數(shù)，于是是R上的增函數(shù)，
不等式化為，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
故答案為：
【變式1】（23-24高一上·天津·期末）若不等式對任意的恒不成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化成同底數(shù)指數(shù)冪，然后參變分離，可知的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
，即
，
當(dāng)時，有最小值，
，
【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).當(dāng)時，求不等式的解集.
【答案】
【分析】令，則，再由，解不等式即可；
【詳解】因為，
令，則，
當(dāng)時，，
即，即，
由，解得，
即，解得，
所以原不等式的解集為.
題型03 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典例6】（1）（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的值域是 .
【答案】
【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
因此，
所以函數(shù)的值域是.
故答案為：
（2）（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù) 在時的值域是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時，，函數(shù)，
顯然當(dāng)，即時，，當(dāng)，即時，，
所以所求值域是.
故答案為：
【變式1】求函數(shù)，在上的值域.
【解析】，
令，函數(shù) 在上是單調(diào)減函數(shù)，∴，
的對稱軸為，
∴當(dāng)時，，即
當(dāng)時，，即，
∴在上的值域為.
【變式2】（24-25廣東省六校10月聯(lián)考）函數(shù)（）的最大值為 .
【答案】/
【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．
【詳解】，
又，則，
所以，即時，，
故答案為：．
【變式3】（對選）（23-24高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)的值域為
C．
D．函數(shù)為減函數(shù)
【答案】CC
【分析】根據(jù)分母不為求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；再將函數(shù)解析式變形為，即可求出函數(shù)的值域，從而判斷B；根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷C，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷D.
【詳解】對于函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，故A錯誤；
因為，
又，當(dāng)時，則，
當(dāng)時，則，
所以函數(shù)的值域為，故B正確；
又，故C正確；
當(dāng)時，當(dāng)時，所以不是減函數(shù)，故D錯誤.
C
【變式4】（23-24高一上·廣東深圳·期末）將函數(shù)的值域為 .
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】由于，故且，
故函數(shù)的值域為，
故答案為：
【典例7】（23-24高一上·甘肅威武·月考）已知函數(shù)．
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間
(2)若有最大值3，求的值
(3)若的值域是，求的值
【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(2)1；(3)0.
【解析】（1）當(dāng)時，，
令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而在R上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）令，，
由于有最大值3，所以應(yīng)有最小值，
因此必有．解得，即有最大值3時，a為1．
（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域為，
應(yīng)使的值域為R，
因此只能（因為若，則為二次函數(shù)，其值域不可能為R），
故a的值為0．
【變式1】（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)的值域為．若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對實數(shù)分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的值域可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，，符合題意；
當(dāng)時，因為函數(shù)的值域為滿足，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，即二次函數(shù)的最小值小于或等于零；
若時，依題意有的最小值，即，
若時，不符合題意；
綜上：，
.
【變式2】（22-23高一下·青海西寧·開學(xué)考試）若函數(shù)的值域為，則a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】對分類討論可知，只有當(dāng)且函數(shù)的值域包含時滿足題意，由此即可列出不等式組求解.
【詳解】若，則，不滿足題意；
若，則，
當(dāng)，即時，的值域為，滿足題意.
故答案為：.
【變式3】（23-24高一上·上海·期末）已知，設(shè).
(1)若，求函數(shù)的值域；
(2)已知，若函數(shù)的最大值為，求的值；
(3)已知，若存在兩個不同的正實數(shù)、，使得當(dāng)函數(shù)的定義域為時，其值域為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解；
（2）令，可得的最大值為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解；
（3）令，由題意可知在內(nèi)有兩個零點，結(jié)合二次函數(shù)零點分布求解.
【詳解】（1）若，則，
因為，則，
所以函數(shù)的值域為.
（2）令，則，
因為，可知開口向下，對稱軸為，
當(dāng)，二次函數(shù)取到最大值，
整理得，解得或，
且，所以.
（3）令，則
因為，開口向上，對稱軸，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
且在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
由題意可知：至少有2個不同的正根，
即，整理得，
可得在內(nèi)有兩個零點，
且，則，解得，
所以的取值范圍.
【變式4】設(shè)函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，是定義域為R的奇函數(shù)，且.
(1)求與的解析式；
(2)若在上的最小值為，求的值.
【解析】（1）為偶函數(shù)，，
又為奇函數(shù)，，
，①
，，②
由得：，可得.
所以，.
（2），
所以，，
令，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，則，
設(shè)， 對稱軸，
①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
，解得：，不符合題意.
②當(dāng)時，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
則，
解得：或（舍）；
③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
，解得：，不符合題意.
綜上：.
【變式5】設(shè)，且，函數(shù)在上的最大值為，則實數(shù)的值為 .
【答案】或
【解析】令且，則，
且，，
函數(shù)是上的增函數(shù)；
當(dāng)，時，，，
即，解得：或（舍）；
當(dāng)，時，，，
即，解得：或（舍）；
綜上所述：實數(shù)的值為或.
故答案為：或.
題型05 指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
【典例8】（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知是奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由函數(shù)，可得，
因為是奇函數(shù)，所以，
即，解得..
【變式1】（23-24高一上·遼寧·月考）設(shè)且，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，
故，即，
故，即，
因為，故，
【變式2】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）函數(shù)為偶函數(shù)，則的值為：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函數(shù)的奇偶性列式化簡即可求值.
【詳解】，，
由函數(shù)為偶函數(shù)，則 ，
即，解得：.
.
【變式3】（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以，
解得，經(jīng)檢驗滿足題意，
.
【變式4】（24-25高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義列出方程求解即可.
【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以，
所以，即恒不成立，
所以，
題型05 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域
【典例9】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)開偶次方根被開方數(shù)非負(fù)及對數(shù)真數(shù)大于零確定函數(shù)定義域.
【詳解】由 得 ，所以函數(shù)的定義域為.
故選: B
【變式1】（2024高一上·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)全集，， ，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通過函數(shù)的定義域求出集合A，然后求出A的補集，通過函數(shù)的值域求出集合B，接著根據(jù)集合的交集定義即可求解.
【詳解】由，時，
所以；，
所以，
所以.
.
【變式2】函數(shù)的定義域是
【答案】
【分析】對數(shù)的真數(shù)大于零，然后建立不等式求解即可.
【詳解】由題可知，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：
【變式3】（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為 ．
【答案】.
【分析】由條件求出函數(shù)解析式中的范圍，列出使得有意義的不等式，解不等式可得結(jié)論.
【詳解】因為函數(shù)的定義域是，
所以，故，
因為有意義，
所以，所以，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
【變式4】（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的定義域：
(1)；
(2)（常數(shù)且）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，解出即可.
（2）令，解出即可.
【詳解】（1）由已知，令，即，
解得，
則函數(shù)的定義域為.
（2）由已知，令，解得，
則函數(shù)的定義域為.
題型06 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例10】（23-24高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.
【詳解】令，
由，解得，
又的圖象的對稱軸為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，則函數(shù)為減函數(shù)，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故答案為：.
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】逐項判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可得答案.
【詳解】對于A，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于B，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，
當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，故B正確；
對于C，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，
當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，故C正確；
對于D，，定義域關(guān)于原點對稱，，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.
BC.
【變式2】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】函數(shù)，因為，解得．
所以函數(shù)的定義域為，且，．
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減,
【變式3】（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】由，或，
二次函數(shù)的對稱軸為，
因為函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，
所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，則有，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
【變式3】（2024高一·全國·專題練習(xí)）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【分析】利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為．
令，則．
因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
且當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
【典例11】（23-24高一上·山東臨沂·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍 .
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參.
【詳解】令，
因為單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，故,
又因為，
所以，所以.
故答案為：.
【變式1】（24-25高三上·山東濟南·開學(xué)考試）已知函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在上恒大于0，且單調(diào)遞增，可求的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，所以.
且在恒大于0，所以或.
綜上可知：.
【變式2】（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義可知對任意的恒不成立，解得且；再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性分析求解.
【詳解】因為在上單調(diào)遞減，
則對任意的恒不成立，可得且；
且開口向下，對稱軸，
當(dāng)時，則對稱軸，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，解得；
綜上所述：的取值范圍是.
.
【變式3】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)的定義域計算即可.
【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減且恒為正，
所以且，所以.
.
【變式4】（23-24高一上·湖北·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，解之得，即的定義域為，
又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，
可得：，解得．
【變式5】若（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，
當(dāng)時，是增函數(shù)，
因為（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上恒不成立，
則，且，解得；
當(dāng)時，是減函數(shù)，
因為（，且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上恒不成立，
則，且，無解，
綜上：，
故答案為：
【典例12】（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)（且）的圖象過點．
(1)求a的值及的定義域；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)若，比較與的大小．
【答案】(1)，
(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
(3)
【分析】（1）由求得，由對數(shù)函數(shù)的定義得定義域；
（2）根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）指數(shù)式改寫為對數(shù)式，然后比較的大小，并由已知得出的范圍，在此范圍內(nèi)由的單調(diào)性得大小關(guān)系．
【詳解】（1）因為在函數(shù)的圖象上，
所以，
即，解得.
由，解得，
所以的定義域為.
（2）由，
令，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減，
又單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（3），，
，，
，，
所以，，則，，
因為，所以，，即，
，，
所以，，
由（2）知，在上是減函數(shù)，
所以．
【變式1】（23-24高二下·寧夏銀川·期末）已知函數(shù)，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡函數(shù)，推出，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即得.
【詳解】由可知，，
且在上單調(diào)遞減，故，即.
.
【變式2】（23-24高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱
(1)求實數(shù)的值
(2)比較與的大小，并請說明理由.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，由奇函數(shù)定義可求得滿足題意；
（2）利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論即可比較出與的大小.
【詳解】（1）∵，∴.
又函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
∴，∴，
∴，即，可得，
解得或.
驗證知不不成立，
所以
（2）據(jù)（1）求解知，，
因此，.
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴；
當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴；
綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，.
【典例13】（23-24高一下·湖北·期中）已知函數(shù).
(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍;
(2)若，解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在上單調(diào)遞減，所以，求出函數(shù)的定義域，則為其定義域的子集，求解即可.
（2）利用對數(shù)的加法運算化簡解析式，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】（1）依題意在上單調(diào)遞減，所以，
所以由， 解得，所以 ，
解得，即的取值范圍是.
（2）依題意，
即，從而有

解得或，
即不等式解集為.
【變式1】（23-24高一·上海·課堂例題）設(shè)，若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把含對數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為多項式不等式求解，過程中注意函數(shù)的定義域即可.
【詳解】因為，所以對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減；
又，
所以
.
故實數(shù)的取值范圍為：
【變式2】（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得不等式，求解可得；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由不等式可化為，進而可得，求解可得.
【詳解】（1）由，解得，
所以的定義域為.
（2）.
不等式可化為.
因為是增函數(shù)，所以
解得，故.
故不等式的解集為.
【變式3】（24-25高三上·遼寧·開學(xué)考試）若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)的定義可得，根據(jù)對數(shù)單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因為，
可得且，可得且，可知，
且，可得，解得或（舍去），
若，則，則，
可得，整理可得，解得或（舍去），
所以的取值范圍是.
故答案為：.
【變式4】（23-24高一上·湖南·期末）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【詳解】，
令，由于，所以的定義域為，
又，
所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，則，
由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，
則，
于是，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：
【變式5】已知函數(shù)f(x)loga（x+1），g(x)loga（1﹣x），a＞0且a≠1
(1)求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域且判斷奇偶性；
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集．
【答案】(1)函數(shù)的定義域為，偶函數(shù)
(2)答案見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義即可判斷；
（2）需要分類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到不等式解得即可，注意定義域．
【詳解】（1）令F(x)f(x)+g(x)loga（x+1）+loga（1﹣x）loga（1﹣x2），
∵1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函數(shù)的定義域為，
，
∴F(x)為偶函數(shù)，即f(x)+g(x)為偶函數(shù)；
（2）∵f(x)≥g(x)，∴l(xiāng)oga（x+1）≥loga（1﹣x），
當(dāng)a＞1時，x+1≥1﹣x，解得0≤x＜1，
當(dāng)0＜a＜1時，x+1≤1﹣x，
解得﹣1＜x≤0，綜上所述，當(dāng)a＞1時，解集為[0，1），當(dāng)0＜a＜1時，解集為（﹣1，0]．
題型07 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典例14】（23-24高一上·浙江杭州·月考）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數(shù)的定義域為R，
令，則，
又在上單調(diào)遞增，則，
則函數(shù)的值域為
【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是 ．
【答案】2
【分析】利用整體換元，將復(fù)合函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)的最值求解即可.
【詳解】令，則，.
又在上單調(diào)遞增，
所以，此時.
故答案為：
【變式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
設(shè)，則，
故函數(shù)的值域為.
【變式3】（23-24高一上·廣東茂名·期中）函數(shù)的值域是 .
【答案】
【解析】令，則，
因為，則，且的對稱軸為，
可知，所以的值域是.
故答案為：.
【變式4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知，且，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1．
(1)求的值；
(2)若，求函數(shù)的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得，則在定義域內(nèi)為減函數(shù)，再根據(jù)已知條件列方程可求出的值；
（2）由得，對函數(shù)化簡后換元得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出其最小值.
【詳解】（1）因為，所以，
所以在上為嚴(yán)格減函數(shù)，
因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，
所以，即，解得．
（2）因為，所以，
所以，
令，則，，
所以當(dāng)，即時，取最小值為．
【變式5】（24-25高一上·上海·課堂例題）設(shè)且，函數(shù)的圖像過點．
(1)求的值及函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入點的坐標(biāo)求出的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域；
（2）依題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）由函數(shù)的圖像過點，
得，即，所以，解得或（舍），
所以，
由，解得，
所以，函數(shù)的定義域為．
（2）由（1）知，
又，所以當(dāng)時取得最大值4，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【典例15】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，
因為的值域為，所以，
又，，所以，
即，解得：且，
所以實數(shù)的取值范圍是..
【變式1】（23-24高一上·山西長治·期末）已知函數(shù)的最大值為2，則 ．
【答案】6
【解析】因為函數(shù)由與復(fù)合而成，
而在定義域上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)取最大值時，函數(shù)取得最大值，
由二次函數(shù)的性質(zhì)易知當(dāng)時，，此時，
所以，解得．
故答案為：
【變式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）設(shè)函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值之差為1，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由可求出a的值，即得函數(shù)解析式，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即得答案；
（2）由題意列方程求解，即可求得a的值.
【詳解】（1）由可得，解得，
即，則，即，
即，
故不等式的解集為；
（2）由于在上的最大值與最小值之差為1，
故，即或，
即的值為或.
【變式3】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）已知函數(shù)，（，且）．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上取得最大值2？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)存在，或
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（2）先令，并求值域，再分別對進行分類求的最大值，進而求的值.
【詳解】（1）由題意可得，即函數(shù)的定義域為.
當(dāng)時，，
令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增.
函數(shù)圖象的對稱軸為直線，
當(dāng)，函數(shù)在上遞增，在上遞減．
所以，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），（，且）.
令，由，得，
則的值域為.
（ⅰ）時，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上的最大值為，
則，，滿足題意.
（ⅱ）時，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，
則，滿足題意．
綜上所述：的值為或.
題型08 對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性
【典例16】（23-24高一上·廣東汕頭·期末）函數(shù)（a為常數(shù)）的奇偶性為（ ）
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．非奇非偶函數(shù) D．都不是
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，設(shè)，其定義域為，
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，．
【變式1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則 ．
【答案】
【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則對任意的實數(shù)恒不成立，
即，對任意實數(shù)恒不成立，
可得對任意實數(shù)恒不成立，可得，即
經(jīng)驗證，此時為上的奇函數(shù)，滿足題意．
故答案為：．
【變式2】（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）若為偶函數(shù)，則 .
【答案】
【解析】設(shè)，定義域為，
則，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又因為為偶函數(shù)
所以函數(shù)為奇函數(shù)，得.
故答案為：.
【變式3】（23-24高三上·福建莆田·月考）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】因為為偶函數(shù)，
，
則有，解得，
經(jīng)驗證時，符合條件，.
題型09 指、對復(fù)合函數(shù)中恒不成立與有解問題
【典例17】（23-24高一下·湖南·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)求的定義域；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零列不等式組求解即可；
（2）根據(jù)題意可知，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解，分類討論求解函數(shù)的最大值，列不等式求解即可.
【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，解得，
所以的定義域為；
（2）因為，所以，
，因為，所以，
所以當(dāng)時，，
對于函數(shù)，，
若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，則，
因為，所以，無解；
若，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
則，又，所解得；
綜上，的取值范圍為.
【點睛】結(jié)論點睛：一般地，已知函數(shù)，，
（1）若，，總有不成立，故；
（2）若，，有不成立，故；
（3）若，，有不成立，故；
【變式1】（23-24高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若對，均有不成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題設(shè)上，進而有，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)上，而，故，
而為增函數(shù)，
所以，即，故的取值范圍為.
【變式2】（22-23高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)，（），對，使不成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意可利用換元法構(gòu)造函數(shù)，分別求出兩函數(shù)值域再由邏輯語不成立得出值域的關(guān)系，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意可知時，；
令，構(gòu)造函數(shù)，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，，即；
也即時，；
又，所以在上單調(diào)遞增，即；
若對，使不成立，可知；
即，解得.
又，所以
故答案為：
【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由復(fù)合對數(shù)函數(shù)定義域的求法列出不等式組，解之即可得解；
（2）只需結(jié)合換元法、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出的最大值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)有意義，須滿足，∴．
∴函數(shù)的定義域為．
（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．
．
令，由于，∴．
∴函數(shù)的最大值為，
∴實數(shù)的取值范圍為．
【變式4】（22-23高一上·河北邢臺·期末）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性；
(3)若對任意，，恒不成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)奇函數(shù)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件，列出不等式即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)條件，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)條件，結(jié)合換元法，以及函數(shù)的單調(diào)，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）∵，∴，解得，∴的定義域為.
（2）∵定義域關(guān)于原點對稱，且，∴函數(shù)為奇函數(shù).
（3）設(shè)，，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，
∴在上的最大值為.
要使對任意，恒不成立，只需，即，
恒不成立.令，則，解得或，
故實數(shù)的取值范圍是.
題型11 指對復(fù)合函數(shù)中零點問題
【典例18】（多選）（23-24高一下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點、、，且，則（ ）
A．
B．
C．函數(shù)的增區(qū)間為
D．的最小值為
【答案】AD
【分析】作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；結(jié)合圖形可得出關(guān)于的不等式，解之可判斷B選項；由圖得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，進而可求出函數(shù)的增區(qū)間，可判斷C選項；利用二次函數(shù)的對稱性可得出，結(jié)合基本不等式可判斷D選項.
【詳解】由可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：
對于A：方程有三個解與直線有個交點，
由圖可知，，故A正確；
對于B選項，由圖可知，在函數(shù)的圖象上，
由可得，解得，故B錯誤；
對于C，函數(shù)的增區(qū)間為，
對于函數(shù)，由得，
所以的增區(qū)間為，故C錯誤；
對于D，二次函數(shù)的對稱軸為直線，
由圖可知，點、關(guān)于直線對稱，則，
，
由得或，由圖可知，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時不成立，故D正確.
D.
【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
【變式1】（24-25高三上·山東濟南·階段練習(xí)）已知且，函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】當(dāng)時，，方程有2個不相等的實數(shù)解，則當(dāng)時，，此時方程只有1個實數(shù)解，對分類討論，由的值域求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】方程，即或，
當(dāng)時，，由解得，由解得；
當(dāng)時，，此時方程只有1個實數(shù)解，
若，則在上單調(diào)遞減，，
此時和都有解，不合題意，
若，則在上單調(diào)遞增，，則.
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【變式3】（24-25高三上·湖南常德·開學(xué)考試）已知函數(shù).
(1)若，求不等式的解集；
(2)若方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過解對數(shù)、指數(shù)、一元二次不等式等知識求得不等式的解集.
（2）利用換元法，結(jié)合一元二次方程根的分布列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】（1），
，
恒不成立，
，
原不等式的解集為；
（2）方程有兩個不同的實數(shù)根，
有兩個不同的實數(shù)根，
令，則在有兩個不同的實數(shù)根，
令，
由已知得，解得.
【變式4】（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的指數(shù)函數(shù)方程
(1)有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）參變分離后借助基本不等式計算即可得；
（2）參變分離后借助對勾函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.
【詳解】（1）由題意可得有解，
由，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號不成立，
即，則，即；
（2）由題意可得在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解，
由時，則，
由對勾函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，
此時，
當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，
此時，
則有或，
解得或.
題型12 指對復(fù)合函數(shù)中的新定義問題
【典例19】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則 ；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為 .
【答案】 / /
【分析】由，根據(jù)余子式定義轉(zhuǎn)化為二階行列式列方程可解出；利用余子式定義將轉(zhuǎn)化為二階行列式經(jīng)過運算化簡得解析式，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求解減區(qū)間即可.
【詳解】由三階行列式根據(jù)題意得，
元素的余子式，
解得；
元素2的余子式
則函數(shù)
由解得，則定義域為，
令，
則當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減；
故單調(diào)減區(qū)間為.
故答案為：；（填也正確）.
【變式1】（24-25高三上·全國·階段練習(xí)）定義，不超過的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，為的小數(shù)部分，記作，這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所用，因此稱為高斯函數(shù)，稱為小數(shù)函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A． B．函數(shù)所有零點和為0
C．的值域為 D．是的充要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計算判斷A；由零點的意義構(gòu)造函數(shù)，作出圖象，結(jié)合對稱性求解判斷B；利用指數(shù)型函數(shù)的值域判斷C；舉例說明判斷D.
【詳解】對于A，，A錯誤；
對于B，由，得，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，

函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，令，
令，則，，，
于是，即函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱，
則函數(shù)與的圖象，除交點外，其他交點都關(guān)于點成中心對稱，
這些交點的橫坐標(biāo)和為0，所以函數(shù)所有零點和為，B錯誤；
對于C，，而，則，
，，函數(shù)的值域為，C正確；
對于D，當(dāng)時，取，而，D錯誤.
【變式2】（23-24高一上·重慶·期末）定義：表示的解集中整數(shù)的個數(shù).若，，則下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)時，不等式的解集是
C．當(dāng)時，
D．當(dāng)時，若，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】CD
【分析】由題意可知，即為滿足的整數(shù)的個數(shù)，數(shù)形結(jié)合可判斷A選項；當(dāng)時，解不等式，可判斷BC選項；數(shù)形結(jié)合可得出滿足不等式的等價條件，求出實數(shù)的取值范圍，可判斷D選項.
【詳解】根據(jù)題意，即為滿足的整數(shù)的個數(shù)．
當(dāng)時，如圖，數(shù)形結(jié)合得的解集中整數(shù)的個數(shù)有無數(shù)多個，故A錯誤；
當(dāng)時，，數(shù)形結(jié)合（如圖），
由，可得，解得，
所以在內(nèi)有個整數(shù)解，為、、，故B對和C錯；
當(dāng)時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，
若，即的整數(shù)解只有一個，
只需滿足，即，解得，
所以時，實數(shù)的取值范圍是，故D正確；
D．
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡集合后由交集定義可得答案.
【詳解】集合表示函數(shù)的定義域，則，
集合表示函數(shù)的值域，則.
故.
.
2．函數(shù)，的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，求出g(t)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求f(x)值域.
【詳解】令，
則，
則，
.
3．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0求得原函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)二次函數(shù)的增區(qū)間，則答案可求.
【詳解】由，得或，
則原函數(shù)的定義域為或，
令，其對稱軸方程為，該函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
.
4．（23-24高一上·天津·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為R．則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式求解即得.
【詳解】由函數(shù)的值域為R，得的取值包含所有正實數(shù)，
因此，解得或，
所以實數(shù)m的取值范圍是.
5．（24-25高三上·浙江·開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減列不等式，由此來求得的取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則，即.
6．（23-24高二下·浙江·期中）已知，則使不成立的實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，最后解一元二次不等式求解.
【詳解】因為,所以是單調(diào)遞增函數(shù)，
又因為，所以,
所以,
所以x的取值范圍為.
.
7．當(dāng)時，不等式恒不成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將時，不等式恒不成立，轉(zhuǎn)化為對一切恒不成立，再，求得其最小值即可.
【詳解】因為時，不等式恒不成立，
所以對一切恒不成立，
令，
所以，
解得.
【點睛】本題主要考查不等式恒不成立問題，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.
8．（23-24高一上·北京順義·期末）懸鏈線指的是一種曲線，如鐵塔之間懸垂的電線，橫跨深澗的觀光索道的電纜等等，這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài)，這些曲線在數(shù)學(xué)上被稱為懸鏈線，懸鏈線的方程為，其中c為參數(shù)，當(dāng)時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù)，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．函數(shù)的值域
C．，恒不成立 D．方程有且只有一個實根
【答案】D
【分析】直接計算即可判斷A；分離常數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；舉出反例即可判斷C；令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點的存在性定理即可判斷D.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，
因為，所以，所以，
所以，
所以函數(shù)的值域，故B正確；
對于C，因為，
即，故C錯誤；
對于D，，
令，函數(shù)為增函數(shù)，且，
而函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以函數(shù)是增函數(shù)，
令，
因為函數(shù)都是增函數(shù)，
所以函數(shù)是增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)有唯一零點，且在上，
即方程有且只有一個實根，故D正確.
.
【點睛】方法點睛：判定函數(shù)的零點個數(shù)的常用方法：
（1）直接法：直接求解函數(shù)對應(yīng)方程的根，得到方程的根，即可得出結(jié)果；
（2）數(shù)形結(jié)合法：先令，將函數(shù)的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程的根，進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，結(jié)合圖象，即可得出結(jié)果.
二、多選題
9．（23-24高一下·江西·期末）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域為 B．函數(shù)的值域為
C．函數(shù)是定義域上的奇函數(shù) D．函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)
【答案】AC
【分析】利用對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0建立方程判斷A，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得到的單調(diào)性，再求值域判斷B，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷C，D即可.
【詳解】對于函數(shù)，
令，解得，
函數(shù)的定義域為，故A正確；
因為在上單調(diào)遞減，在定義域上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，
同理可得在上單調(diào)遞增，
所以為上的增函數(shù)，
又，
其中，
因為，所以，所以，所以，
則，所以，即，又的值域為，
函數(shù)的值域為，故B錯誤；
又，
函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，C正確，D錯誤．
C．
10．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）
A． B．函數(shù)在定義域上是單調(diào)減函數(shù)
C． D．函數(shù)所有零點之和大于零
【答案】AC
【分析】根據(jù)求解可判斷A；取特值驗證可判斷B；通過觀察法求值域可判斷C；根據(jù)奇函數(shù)的對稱性即可判斷D.
【詳解】對A，由得的定義域為，
因為為奇函數(shù)，所以，解得，A正確；
對B，由上知，，
因為，
所以，顯然不滿足減函數(shù)定義，B錯誤；
對C，因為，所以，
所以，所以，
所以，C正確；
對D，因為函數(shù)和均為奇函數(shù)，
所以是定義在上的奇函數(shù)，
由對稱性可知，若是的一個零點，則也是的一個零點，
所以，的所有零點之和等于0，D錯誤.
C
11．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（ ）
A． B．
C． D．為偶函數(shù)
【答案】ABD
【分析】由題意可得可判斷A；由可得，列方程組，解出可判斷B；由函數(shù)的周期性、對稱性和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C；由得可判斷D.
【詳解】選項A：因為為奇函數(shù)，所以，
即關(guān)于對稱，又是定義在上的函數(shù)，則，故A正確；
選項B：由可得，則有，
故B正確；
選項C：因為，所以，即的周期為4；
因為，即，
所以；
因為關(guān)于對稱，所以，
則，故C錯誤；
選項D：由得，
即為偶函數(shù)，故D正確．
BD.
【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論
（1）關(guān)于軸對稱，
（2）關(guān)于中心對稱，
（3）的一個周期為，
（4）的一個周期為.
可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.
三、填空題
12．（23-24高一下·廣東揭陽·期末）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出時的值域，進而可知當(dāng)時，有恒不成立，最后結(jié)合指數(shù)的運算即可求解.
【詳解】當(dāng)時，，此時，
因為函數(shù)的值域為，
所以當(dāng)時，有恒不成立，
即在時恒不成立，
所以，解得.
故答案為：.
13．（23-24高一上·浙江麗水·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計算即可得.
【詳解】令，對稱軸為，
∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
∴在上單調(diào)遞增，且，
∴且，即且，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
14．（23-24高一上·湖南婁底·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足：①在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；②存在，使得在上的值域為，那么就稱是定義域為D的“成功函數(shù)”.若函數(shù)（且）是定義域為R的“成功函數(shù)”，則t的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得，然后根據(jù)“成功函數(shù)”的定義列方程，從而轉(zhuǎn)化為二次方程有兩正根的問題，利用二次函數(shù)根的分布列不等式求解即可.
【詳解】依題意，函數(shù)（且）在定義域R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則，
而時，不滿足條件，所以，
設(shè)存在，使得在上的值域為，
所以，即，
所以，n是方程的兩個不等的實根，設(shè)，則，
所以方程等價為的有兩個不等的正實根，
即，所以，解得.
故答案為：
四、解答題
15．（23-24高一上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知（且）是偶函數(shù).
(1)求的值；
(2)若在上的最大值比最小值大，求的值.
【答案】(1)0.
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，根據(jù)方程恒不成立得解；
（2）分和兩種情況討論，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解.
【詳解】（1）若為偶函數(shù)，則恒不成立，
所以，即恒不成立，解得.
故的值為0.
（2）由（1）可得（且）.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，解得.
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，解得.
故的值為或.
16．（23-24高一下·貴州黔西·期末）已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)，且是偶函數(shù)．
(1)求實數(shù)a的值；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明），并求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)定義利用可求得；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷得出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再利用偶函數(shù)性質(zhì)解一元二次不等式可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為是偶函數(shù)，所以，
即，可得，
也即，
又，不恒等于0，因此需滿足，解得；
經(jīng)檢驗當(dāng)時，為偶函數(shù)，滿足題意；
所以
（2）因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以只需判斷上單調(diào)性即可；
易知，當(dāng)時，
結(jié)合復(fù)合函數(shù)以及對勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，
由偶函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，
因此可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以對函數(shù)來說，距離其對稱軸軸越近，函數(shù)值越小，
因此不等式等價于，
也即，整理可得，
解得或；
所以不等式的解集為.
17．（22-23高一上·山東淄博·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求數(shù)k的值；
(2)設(shè)，證明：函數(shù)在上是減函數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)，判斷在上的單調(diào)性，無需證明；若在上只有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)證明見解析；
(3)單調(diào)遞增，.
【分析】(1)由于為奇函數(shù)，可得，即可得出；
(2)利用單調(diào)性的定義，通過作差即可證明；
(3)利用(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理即可得出m取值范圍．
【詳解】（1）為奇函數(shù)，
，
，即，
，整理得，
（時，不合題意而舍去）．
（2）由(1)，故，
設(shè)，
時，，，，
，即，
函數(shù)在上是減函數(shù)；
（3）由(2)知，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在單調(diào)遞增，
又在R上單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞增，
在區(qū)間上只有一個零點，
，
即，
解得.
【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值或范圍的方法
（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；
（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及有幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象在參數(shù)范圍不同時的交點個數(shù)；
（3）利用方程根的分布求解，轉(zhuǎn)化為不等式問題；
（4）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象交點問題，從而構(gòu)建不等式求解.
18．（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)求函數(shù)的值域；
(3)若不等式對任意實數(shù)恒不成立，試求實數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指數(shù)不等式，得到解集；
（2）變形得到，結(jié)合，求出的值域；
（3）轉(zhuǎn)化為，求出，故，得到答案.
【詳解】（1）由，得
整理得
解得，
的解集為
（2），
，
，
即的值域為．
（3）不等式對任意實數(shù)恒不成立
．
，
令，，，
設(shè)，，
當(dāng)時，取得最小值，即，
，即，
，即，解得，
實數(shù)的取值范圍為．
19．（23-24高一上·安徽·期末）對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，②存在區(qū)間，使在上的值域為.則我們把稱為閉函數(shù)，且區(qū)間稱為的一個“好區(qū)間”，其中.
(1)若是函數(shù)的好區(qū)間，求實數(shù)m，n的值；
(2)若函數(shù)為閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，分為增函數(shù)和減函數(shù)兩種情況討論，構(gòu)造關(guān)于、的方程組，解可得答案；（2）根據(jù)題意，分析的單調(diào)性，可得和是方程，即的兩根，利用換元法分析可得方程有兩個不等的正根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．
【詳解】（1）若是函數(shù)的好區(qū)間，
分2種情況討論：
若在上單調(diào)遞增．則，解可得，
此時 在上單調(diào)遞增，符合條件；
若在上單調(diào)遞減，則，解可得，
此時，符合題意，
綜合可得：或.
（2）函數(shù)為閉函數(shù)，易得在定義域上單調(diào)遞增，
則有，故和是方程，即的兩根，
令，原方程等價于，
則方程有兩個不等的正根，
則有，解可得，即的取值范圍為．
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