資源簡介

第01講 實數指數冪及其運算
課程標準 學習目標
①有理指數冪含義及運算 ②實數指數冪 1.理解有理數指數冪的含義,會用冪的運算法則進行有關計算. 2.通過具體實例了解實數指數冪的意義. 3.通過本節的學習,體會“用有理數逼近無理數”的思想,可利用計算器或計算機實際操作,感受“逼近”的過程.
知識點01 n次方根的定義及表示
(1)定義
給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得__ __，則__ _稱為__ __的n次方根．
(2)表示
①0的任意正整數次方根均為___，記為__ __；
②正數a的偶數次方根有__ __個，它們互為__ __數，其中正的方根稱為a的n次____根，記為____，負的方根記為____；負數的偶數次方根在實數范圍內不存在，即當a＜0且n為偶數時，沒有意義；
③任意實數的奇數次方根都有且只有一個，記為____．而且正數的奇數次方根是一個____數，負數的奇數次方根是一個____數．
【即學即練1】
1．若＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
知識點02 根式的定義和性質
(1)定義
當 有意義時， 稱為根式，n稱為____，a稱為_ _．
(2)性質
①____；
②當n為奇數時，____；當n為偶數時，____．
【即學即練2】
2．（ ）
A．0 B． C．1 D．2
知識點03有理數指數冪
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既約分數，那么當有意義時，規定：____，a____．
（2）有理數指數冪的運算法則
asat__ __，(as)t__ __，(ab)s__ _．
【即學即練3】
3．（多選）下列表達式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
知識點04實數指數冪的運算律
（1）aras__ __(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s__ __(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r__ __(a>0，b>0，r∈__R__).
【即學即練4】
4．的值是(　　)
A．3 B．3 C．9 D．81
題型01 根式的性質與運算
【典例1】下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【變式2】 .
【變式3】已知，化簡： ．
【變式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)（其中）．
題型02 根式與分數指數冪的互化
【典例2】（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化簡：.
【變式1】化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（多選）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式3】化簡：= .
【變式4】（1）求值：
（2）用分數指數冪表示
題型03 指數冪的運算與化簡
【典例3】計算：．
【變式1】．若，，則的值是（ ）
A．0.9 B．1.08 C．2 D．4
【變式2】已知，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式3】（多選）下列運算不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】化簡： .
【變式5】計算： .
題型03 條件求值問題
【典例4】已知，求下列各式的值：
①；
②.
【變式1】已知實數滿足，則的值為（ ）
A．14 B．16 C．12 D．18
【變式2】已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
【變式3】已知，則的值為 .
【變式4】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
一、單選題
1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．化簡的結果為（ ）
A．5 B． C． D．
5．已知且，則有（ ）
A． B． C． D．
6．若，則（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知，則的值( )
A． B． C． D．
8．已知，則的值是（　?。?br/>A． B． C．24 D．
9．當有意義時，化簡的結果是（ ）．
A． B． C． D．
10．已知，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
11．下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
13．若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
三、填空題
14．計算 ．
15．化簡： .
16．借助信息技術計算的值，我們發現當時的底數越來越小，而指數越來越大，隨著越來越大，會無限趨近于（是自然對數的底數）.根據以上知識判斷，當越來越大時，會趨近于 .
四、解答題
17．化簡求值:
(1)；
(2)．
18．計算．
(1)；
(2)．
19．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 實數指數冪及其運算
課程標準 學習目標
①有理指數冪含義及運算 ②實數指數冪 1.理解有理數指數冪的含義,會用冪的運算法則進行有關計算. 2.通過具體實例了解實數指數冪的意義. 3.通過本節的學習,體會“用有理數逼近無理數”的思想,可利用計算器或計算機實際操作,感受“逼近”的過程.
知識點01 n次方根的定義及表示
(1)定義
給定大于1的正整數n和實數a，如果存在實數x，使得__xna__，則__x__稱為__a__的n次方根．
(2)表示
①0的任意正整數次方根均為__0__，記為____；
②正數a的偶數次方根有__兩__個，它們互為__相反__數，其中正的方根稱為a的n次__算術__根，記為____，負的方根記為__－__；負數的偶數次方根在實數范圍內不存在，即當a＜0且n為偶數時，沒有意義；
③任意實數的奇數次方根都有且只有一個，記為____．而且正數的奇數次方根是一個__正__數，負數的奇數次方根是一個__負__數．
【即學即練1】
1．若＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
【答案】C
【解析】要使原式有意義，需滿足解得2≤a<4或a>4.
知識點02 根式的定義和性質
(1)定義
當有意義時，稱為根式，n稱為__根指數__，a稱為__被開方數__．
(2)性質
①__a__；
②當n為奇數時，__a__；當n為偶數時，__|a|__．
【即學即練2】
2．（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根據指數冪運算計算即可.
【詳解】，.
知識點03有理數指數冪
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既約分數，那么當有意義時，規定：____，a____．
（2）有理數指數冪的運算法則
asat__as＋t__，(as)t__ast__，(ab)s__asbs__．
【即學即練3】
3．（多選）下列表達式不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】對于AB，根據指數冪的運算性質分析判斷，對于CD，根據根式的運算性質分析判斷.
【詳解】對于A，，所以A正確，
對于B，，所以B正確，
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D錯誤．
D．
知識點04實數指數冪的運算律
（1）aras__ar＋s__(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s__ars__(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r__arbr__(a>0，b>0，r∈__R__).
【即學即練4】
4．的值是(　　)
A．3 B．3 C．9 D．81
【答案】C
【解析】()×()[()2]3.
題型01 根式的性質與運算
【典例1】下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用根式的運算性質即可判斷出正誤.
【詳解】，，故A錯誤；
，故B錯誤；
∵，∴當為奇數時，；當為偶數時，，故C錯誤；
不成立，故D正確.
.
【變式1】（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．16的4次方根是 B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用根式的定義即可求解.
【詳解】對于A，16的4次方根有兩個，為，故A正確；
對于B，負數的3次方根是一個負數，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，是非負數，所以，故D正確．
D.
【變式2】 .
【答案】1
【分析】由根式的運算性質求解即可.
【詳解】.
故答案為：1
【變式3】已知，化簡： ．
【答案】
【分析】根據根式運算法則計算出結果.
【詳解】因為，所以.
故答案為：0
【變式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)（其中）．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據奇數次根式和偶次根式運算法則可得；
【詳解】（1）
（2）（其中）．
題型02 根式與分數指數冪的互化
【典例2】（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化簡：.
【答案】（1）2；（2）；（3）
【分析】將根式化為分數指數冪，根據分數指數冪的運算法則進行計算；
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）.
【變式1】化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據根式與分數指數冪之間的關系，結合指數冪運算求解.
【詳解】因為，
所以.
.
【變式2】（多選）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CCD
【分析】運用分數指數冪與根式轉化公式，結合指數冪性質求解即可.
【詳解】A項錯誤，,而；
B項正確，；
C項正確，；
D項正確，.
CD.
【變式3】化簡：= .
【答案】1
【分析】根據指數冪的運算法則計算即可.
【詳解】解:由題意可知，
所以.
故答案為：1
【變式4】（1）求值：
（2）用分數指數冪表示
【答案】
【分析】根據次方根及分數指數冪運算即可.
【詳解】（1）；
（2）.
故答案為：
題型03 指數冪的運算與化簡
【典例3】計算：．
【答案】
【分析】根據分數指數冪的運算法則計算即可得解.
【詳解】原式
．
【變式1】．若，，則的值是（ ）
A．0.9 B．1.08 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據題意結合指數冪運算求解.
【詳解】因為，，所以.
.
【變式2】已知，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用冪的運算，將已知等式進行變形，根據等式的性質可得，即可求出．
【詳解】因為，
所以，
所以，
則，即，則.
.
【變式3】（多選）下列運算不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】借助指數冪的運算逐項計算即可得.
【詳解】對A：和不是同類項，不能合并，故本選項不符合題意，故A錯誤；
對B：，故B錯誤；
對C：，故C正確；
對D：，故D錯誤.
BD.
【變式4】化簡： .
【答案】1
【分析】運用指數冪性質，結合平方差公式可解.
【詳解】原式.
故答案為：1．
【變式5】計算： .
【答案】
【分析】根據指數冪的運即可求解.
【詳解】,
故答案為：
題型03 條件求值問題
【典例4】已知，求下列各式的值：
①；
②.
【答案】①7；②
【分析】利用平方關系求解.
【詳解】①因為，所以，即，所以；
②因為，又因為，所以
【變式1】已知實數滿足，則的值為（ ）
A．14 B．16 C．12 D．18
【答案】A
【分析】由，變形代值即可.
【詳解】因為，
所以.
.
【變式2】已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】將所求式取平方，求出其值，再判斷其值為正即可求得.
【詳解】由，
因，故，
即得，.
.
【變式3】已知，則的值為 .
【答案】1或
【分析】根據題意，先求，即可得解.
【詳解】根據題意，，
所以，
則或.
故答案為：1或.
【變式4】已知，求下列各式的值：
① ；
②；
③.
【答案】①；②7；③
【詳解】①因為，所以，
又，所以.
②因為，所以，所以.
③因為，且，
所以，所以.
一、單選題
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數運算，可得答案.
【詳解】因為，所以，，
所以.
.
2．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】直接由必要條件、充分條件的定義以及分數指數冪的運算化簡即可判斷.
【詳解】由題意，即，
而“”是“”的必要而不充分條件，所以“”是“”的必要而不充分條件.
.
3．下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據指數冪的計算公式及根式與分數指數冪的互化計算即可.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.
.
4．化簡的結果為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根據指數冪的運算性質進行求解即可.
【詳解】，
5．已知且，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據根式運算性質，得到，即可求解.
【詳解】因為，可得，
又因為，解得.
.
6．若，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用根式與分數指數冪的互化與運算法則即可得解.
【詳解】因為，則，
所以.
.
7．已知，則的值( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據指數的運算性質即可求得.
【詳解】因為，所以.
.
8．已知，則的值是（　?。?br/>A． B． C．24 D．
【答案】C
【分析】根據指數冪的運算求出、的值，再代入計算可得.
【詳解】因為，，
所以，，
所以.
9．當有意義時，化簡的結果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據根式有意義求得的范圍，化簡所求根式即可.
【詳解】因為有意義，所以，則，
則
，
.
10．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據式子結構，對所求式子平方后即可求解.
【詳解】由，可得.
.
二、多選題
11．下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】利用根式的運算直接求解.
【詳解】當n為偶數時，故A，C選項中的式子不正確；
當n為奇數時，
則，
故B，D選項中的式子正確.
D.
12．下列運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】直接根據指數冪的運算法則依次計算即可.
【詳解】對選項A：，故，錯誤；
對選項B：，正確；
對選項C：，錯誤；
對選項D：，正確；
D
13．若實數滿足，則（ ）
A．且 B．的最大值為
C．的最小值為7 D．
【答案】ABD
【分析】對于AD，利用指數函數的性質即可判斷；對于BC，利用指數的運算法則與基本不等式的性質即可判斷.
【詳解】由，可得，所以且，故A正確；
由，可得，即，所以，
當且僅當，即時，等號不成立，所以的最大值為，故B正確；
，
當且僅當時，等號不成立，
所以的最小值為9，故C錯誤；
因為，則，
所以，故D正確.
BD.
三、填空題
14．計算 ．
【答案】19678
【分析】根據指數冪的運算，即可求得答案.
【詳解】，
故答案為：19678
15．化簡： .
【答案】
【分析】根據指數冪的運算法則，直接計算即可得出結果.
【詳解】
.
故答案為：
16．借助信息技術計算的值，我們發現當時的底數越來越小，而指數越來越大，隨著越來越大，會無限趨近于（是自然對數的底數）.根據以上知識判斷，當越來越大時，會趨近于 .
【答案】
【分析】由，結合題意可得，當越來越大時，會無限趨近于，會無限趨近于，即可得解.
【詳解】，
由越來越大時，會無限趨近于，
故越來越大時，會無限趨近于，則會無限趨近，
又越來越大時會無限趨近于，故會無限趨近于，
故會無限趨近于.
故答案為：.
四、解答題
17．化簡求值:
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）將根式化為分數指數冪，再根據指數冪的運算法則得到答案；
（2）利用分數指數冪的運算法則得到答案.
【詳解】（1）；
（2）
=
18．計算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)2
【分析】（1）利用分數指數冪的運算法則計算即可；
（2）先將根式轉化為指數冪，利用指數的運算法則計算即可.
【詳解】（1）
=；
（2）
.
19．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分數指數冪的運算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分數指數冪的運算即可得解.
【詳解】（1）由題意，所以.
（2）由題意，
所以.
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