資源簡介

第02講 指數函數的性質與圖象
課程標準 學習目標
1.理解指數函數的概念與意義,掌握指數函數的定義域、值域的求法; 2.能畫出具體指數函數的圖象,并能根據指數函數的圖象說明指數函數的性質; 3.掌握指數函數的性質并會應用,能利用指數函數的單調性比較冪的大小。 1.通過理解指數函數的概念和意義,了解指數函數的實際背景,掌握指數函數的性質與圖象,發展數學抽象的核心素養. 2.通過指數函數的實際應用,初步學會運用指數函數來解決問題,提升數學建模的核心素養. 3.通過例題熟練掌握指數函數的圖象、性質.進一步深入理解指數函數的單調性及其應用,提升邏輯推理、數學運算及數學抽象的核心素養.
知識點01 指數函數的概念
　　一般地,函數y=ax稱為指數函數,其中a是常數,a>0且a≠1。
【即學即練1】
1．下列函數中是指數函數的是　　　　。(填序號)
①y=2×()x;②y=2x-1;③y=。
【答案】　③
【詳解】　①中指數式()x的系數不為1,故不是指數函數;②中y=2x-1=×2x,指數式2x的系數不為1,故不是指數函數;③是指數函數。
知識點02 指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性 質 定義域 R
值域 (0,+∞)
過定點 (0,1),即當x=0時,y=　1　
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
【即學即練2】
2．指數函數yax與ybx的圖象如圖所示，則(　　)
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0【答案】D　
【詳解】函數yax的圖象是下降的，所以01．
知識點03比較指數冪的大小
比較冪的大小的常用方法：
（1）對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；
（2）對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；
（3）對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．
【即學即練3】
3.已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據冪函數、指數函數的單調性判定大小即可.
【詳解】易知，
又定義域上單調遞減，，所以，
易知單調遞增，，
則，
綜上.
.
知識點04簡單指數不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的單調性求解；
2、形如的不等式，可將化為為底數的指數冪的形式，再借助的單調性求解；
3、形如的不等式，可借助兩函數，的圖象求解。
【即學即練4】
4.求不等式的解集.
【答案】.
【詳解】因為函數在上單調遞增，
所以，即，
，
解得，
所以不等式的解集為.
題型01 指數函數的概念及應用
【典例1】若函數是指數函數，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】根據指數函數的概念可得且且，解之可得，進而求解.
【詳解】函數是指數函數，
且且，解得，
，.
．
【變式1】下列各函數中，是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據指數函數概念判定.
【詳解】形如的函數為指數函數.
故是指數函數，其他選項函數都不是指數函數.
.
【變式2】已知指數函數圖象過點，則等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】D
【分析】先求得的解析式，進而求得.
【詳解】設且，
將代入得，
解得，所以，
所以.
【變式3】若函數是指數函數，則有（ ）
A． B．
C．或 D．，且
【答案】A
【分析】根據指數函數定義求參.
【詳解】因為是指數函數，
所以，且
所以.
.
【變式4】若函數（是自變量）是指數函數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由指數函數的定義即可求解.
【詳解】因為函數（是自變量）是指數函數，所以，解得：且；
題型02 指數型函數的定義域
【典例2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據指數函數的單調性，結合分母不為零、交集思想進行求解即可.
【詳解】函數的定義域滿足，解得且．
則函數定義域為，
【變式1】設函數，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的定義域后可求的定義域，
【詳解】因為，所以，故，
故的定義域為，
令，則，故的定義域為.
.
【變式2】函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】函數的定義域滿足，解得答案.
【詳解】函數的定義域滿足：，解得且.
故答案為：
【變式3】函數（且）的定義域為，則 ．
【答案】/
【分析】根據函數的定義域列不等式，結合指數函數和對數運算等知識求得正確答案.
【詳解】依題意，，
當時，，與已知矛盾.
當時，，
函數的定義域為，
所以，，兩邊平方得.
故答案為：
【變式4】求下列函數的定義域：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根據二次根式與指數函數性質求解；
（2）利用指數函數性質結合分式的定義求解；
【詳解】（1）由題意，，，所以定義域為；
（2）由題意，即，所以定義域為；
（3）由題意，即，，，所以定義域為．
題型03 指數型函數的值域
【典例3】函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，求出的范圍，根據指數函數的單調性即可求解.
【詳解】依題意，
令，則，
因為單調遞減，且
所以，
所以.
.
【變式1】函數 的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據指數函數的單調性來得到值域.
【詳解】因為， 那么可知 ，
而函數在上是增函數，故有：，
所以: ，故C項正確
.
【變式2】函數的定義域為．則其值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得，結合指數函數單調性即可求解.
【詳解】由題意，所以，.
.
【變式3】函數的值域是 ．
【答案】
【解析】
令則，
由于在單調遞減,單調遞增，
所以，故的值域為.
【變式4】已知函數的值域為，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當時，，而函數在上單調遞增，
又是增函數，
因此函數在上單調遞增，
，即函數在上的值域為，
當時，函數的值域為，而函數的值域為，
因此，而當時，，
必有，解得，
所以a的取值范圍是.
題型04 指數型函數的單調性
【典例4】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數是實數集上的減函數，
因為二次函數的開口向下，對稱軸為，
所以二次函數在時單調遞增，在時單調遞減，
由復合函數的單調性，可得函數的單調遞增區間是，
【變式1】函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，由復合函數的單調性，代入計算，即可得到結果.
【詳解】令，則，單調遞減，
，單調遞增，且在上單調遞增，
由復合函數的單調性可知，函數的單調遞增區間為.
【變式2】設函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復合函數的單調性，結合二次函數的單調性列式求解即可.
【詳解】因為函數在上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，
因此，解得，所以實數的取值范圍是.
.
【變式3】已知指數函數單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據指數函數的性質，列式求解.
【詳解】指數函數單調遞減，則，得，
所以實數的取值范圍是.
【變式4】若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意得：在上單調遞增，根據二次函數的性質列不等式即可.
【詳解】由題意得：在上單調遞增，
所以對稱軸，所以.
.
題型05 指數函數的圖象問題
【典例5】已知函數的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根據函數的定義域、符號性逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：的定義域為，
對于選項A：因為的定義域為，不合題意，故A錯誤；
對于選項B：因為，不合題意，故B錯誤；
對于選項C：當x趨近于時，趨近于0，不合題意，故C錯誤；
.
【變式1】函數圖象的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】結合指數函數單調性以及特殊點即可判斷.
【詳解】由題意，
所以當時，單調遞增，且，
當時，單調遞減，且，
且當從左邊趨于0時，趨于，當從右邊趨于0時，趨于1.
.
【變式2】函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先分析題意，根據指數函數性質進行判斷即可.
【詳解】，故為偶函數，圖象關于y軸對稱.觀察可知函數在為增函數，增長方式上應與指數函數相似.
..
【變式3】已知函數的定義域為，值域為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據題意畫出函數圖象，結合指數函數圖象相關性質和對數的運算法則進行計算即可.
【詳解】由題意得，，
作出函數圖象如圖所示，

令，解得或，
則當，時，取得最大值，
此時.
【變式4】若函數的圖象如圖所示，且，則實數，的值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】依據函數的圖象的單調性，先確定出，在結合，得到，即可求解.
【詳解】由函數的圖象，可得函數為單調遞增函數，所以，
又由，可得，可得，
結合選項，只有C項適合.
.
【變式5】若函數的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】觀察到函數是一個指數型的函數，不妨作出其圖象，從圖象上看出其是一個減函數，并且是由某個指數函數向下平移而得到的，故可得出結論．
【詳解】解：如圖所示，圖象與軸的交點在軸的負半軸上（縱截距小于零），即，且，
，且．
故選：．
題型06 指數型函數過定點問題
【典例6】已知函數的圖象經過定點，則 ．
【答案】9
【解析】因為函數的圖象經過定點，
則，解得，
可知，所以．
【變式1】已知函數（且），則必過的定點M的坐標為 ．
【答案】
【解析】不論（且）為何值，當時，，
所以函數必過的定點的坐標為.
【變式2】函數（且）無論取何值，函數圖象恒過一個定點，則定點坐標為 .
【答案】
【分析】根據題意，令，求得和，即可求解.
【詳解】由函數（且），
令，解得，則，所以函數恒經過定點.
故答案為：.
【變式3】對于任意且 ，函數 的圖象恒過定點 . 若 的圖象也過點，則 .
【答案】
【分析】由題意首先得，然后代入得，由此即可得解.
【詳解】因為函數 的圖象恒過定點，所以，所以，
所以，
又的圖象也過點，
所以，又，解得，
所以.
故答案為：.
題型07 比較指數冪的大小
【典例7】已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指數函數的圖象性質比較大小即得.
【詳解】依題意，結合指數函數圖象以及單調性，知，所以.
【變式1】已知是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由可得，然后結合不等式的性質和充分條件與必要條件的定義分析判斷.
【詳解】因為在上遞增，且，
所以，所以，
所以，即，
當時，可能，可能，也可能，
所以“”是“”的充分不必要條件.
【變式2】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用指數函數的單調性有，再利用函數和的單調性比較三個數的大小.
【詳解】若，且，
函數在R上為減函數，，則，
函數在R上為減函數，有，
函數在上為增函數，，
可得.
.
【變式3】若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據指數函數的單調性知，，
而，故，
【變式4】已知，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為在上單調遞減，且，
可得，即，
又因為在上單調遞增，且，可得，
所以..
題型08 指數型函數不等式問題
【典例08】（23-24高一上·天津·期末）若不等式對任意的恒不成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化成同底數指數冪，然后參變分離，可知的取值范圍.
【詳解】因為，所以，
，即
，
當時，有最小值，
，
【變式1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，利用指數函數的性質，轉化為或，進而求得不等式的解集.
【詳解】由不等式等價于，可得，
所以或，解得或，
所以不等式的解集為．
.
【變式2】函數的定義域為 ．
【答案】
【分析】根據根式的性質得到不等式，解二次不等式，得到定義域.
【詳解】令，解得，故定義域為.
故答案為：
【變式3】已知，則的取值范圍 ．
【答案】
【分析】根據指數函數的單調性解不等式即可.
【詳解】原不等式等價于,
因為指數函數在R上單調遞增，
所以,
解得,
所以原不等式的解集為.
故答案為：
【變式4】設，若，求實數x的取值范圍.
【答案】
【分析】利用指數函數的單調性得到關于的不等式，解之即可得解.
【詳解】因為指數函數在上單調遞增，
又，所以，
整理得，解得或，
可得實數的范圍為.
題型09 指數型函數的奇偶性問題
【典例09】函數是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數
【答案】C
【分析】根據函數奇偶性的定義即可判斷.
【詳解】解：函數的定義域為R，
因為，
所以函數是偶函數，
.
【變式1】已知偶函數和奇函數的定義域均為，且，則（ ）
A． B．
C．的最小值為2 D．是減函數
【答案】CC
【分析】根據函數的奇偶性構造方程求出函數解析式，據此判斷AB，再由均值不等式及單調性判斷CD.
【詳解】由，
得，兩式相加得，
則，
所以，，A錯誤，B正確．
因為，所以（當且僅當時，等號不成立），
因為均是上的增函數，是上的增函數，C正確，D錯誤．
C
【變式2】函數為奇函數.
(1)求的值;
(2)判斷的增減性，并證明.
【答案】(1)1
(2)增函數，證明見解析
【分析】（1）根據奇函數性質解得，并代入檢驗即可；
（2）根據函數單調性的定義結合指數函數性質分析證明即可.
【詳解】（1）因為函數的定義域為，且為奇函數，
則，解得；
若，則，
可得，
即，可知為奇函數；
綜上所述：.
（2）是增函數，理由如下：
任取，令，
則，
因為，則，可得，
則，即，
所以為定義在上的增函數.
【變式3】已知函數是定義在R上的奇函數．
(1)求的解析式；
(2)求當時，函數的值域．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用奇函數定義及性質，列式計算求出a，b作答.
（2）由（1）的結論，求出函數的解析式，結合二次函數求出值域..
【詳解】（1）由函數是上的奇函數，則有，解得，即，
，，
即，，解得，經驗證得，時，是奇函數，
所以.
（2）由（1）知，，
當時，，因此當時，，當時，，
所以所求值域為.
一、單選題
1．已知指數函數在上單調遞增，則的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】令系數為，解出的值，又函數在上單調遞增，可得答案．
【詳解】解得，
又函數在上單調遞增，則，
2．的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的單調性，即可求解函數的值域.
【詳解】函數單調遞減，所以函數的最大值為，
最小值為，所以函數的值域為.
3．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據指數函數的單調性及二次根式的意義可求得原函數的定義域.
【詳解】對于函數，有，可得，解得，
因此，函數的定義域為.
.
4．已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由，列出方程，求出的值，再檢驗定義域是否關于原點對稱即可.
【詳解】由得：，
解得，.
當時，，定義域為關于原點對稱，
故符合題意，
.
5．已知函數，則函數的增區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據復合函數的單調性結合指數函數單調性分析判斷.
【詳解】令，可得，
可知在內單調遞減，在內單調遞增，
且在定義域內單調遞增，
則在內單調遞減，在內單調遞增，
所以函數的單調遞增區間是.
.
6．函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數的奇偶性及零點個數即可判斷得解.
【詳解】函數的定義域為R，，函數是奇函數，圖象關于原點對稱，BD錯誤；
由，得，因此函數有唯一零點，的圖象與x軸僅只一個交點，C錯誤，A滿足.
7．已知，那么大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數單調性，結合中間值比較大小.
【詳解】，故.
8．若函數有最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，將轉化為關于的函數，討論開口方向與對稱軸判斷即可.
【詳解】設，則，，有最小值.
當時，二次函數開口向下，無最小值；
當時，無最小值；
當時，若在上有最小值，則對稱軸，解得.
二、多選題
9．已知指數函數在上的最大值與最小值之差為2，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】分和兩種情況，根據題意列方程求解即可.
【詳解】當時，單調遞減，
所以，，即，解得（負根已舍棄）；
當時，單調遞增，
所以，，即，解得（不符合條件的根已舍棄）.
綜上，實數的值為或.
D
10．已知函數，則下列結論正確的有（ ）
A．的圖象關于坐標原點對稱 B．的圖象關于軸對稱
C．的最大值為1 D．在定義域上單調遞減
【答案】AD
【分析】根據函數的奇偶性可判斷AB；分離常數求出值域可判斷C；分離常數后判斷單調性可判斷D.
【詳解】因為，所以為奇函數，圖象關于坐標原點對稱，故A正確；
因為，，，所以不是偶函數，圖象不關于軸對稱，故不B正確；
因為，又，所以，所以，
所以，故C不正確；
因為，且為增函數，所以在定義域上單調遞減，故D正確.
D
11．已知函數的圖象過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（ ）
A． B．
C．是偶函數 D．在上單調遞增
【答案】AC
【分析】由已知結合指數函數的性質及函數圖象的平移可求，進而可求函數解析式，根據解析式分析相關的性質.
【詳解】函數的圖象過原點，則，即，
函數的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，故是圖象的一條漸近線，
則， ，A選項正確，B選項錯誤；
函數，定義域為R，
，是偶函數，C選項正確；
時，，所以在上單調遞減，D選項錯誤；
C
三、填空題
12．若函數（且）經過的定點是P，則P點的坐標是 ．
【答案】
【分析】根據的圖象過點可得答案.
【詳解】的圖象過點，
圖象由的圖象右移3個單位、上移7個單位得到，
故過定點．
故答案為：．
13．已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據二次函數、指數函數的單調性，結合復合函數單調性判斷的區間單調性，結合已知單調區間求參數范圍.
【詳解】令，則在上遞減，在上遞增，而在定義域上為增函數，
所以在上遞減，在上遞增，
又在上單調遞減，故，則.
故答案為：
14．已知函數，若對于任意的，總存在，使得不成立，則實數m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】若對意，存在，使得不成立，只需 ，分別利用單調性求出兩個函數的最小值即得．
【詳解】因為，對當 單調遞減，當單調遞增，故，所以存在使得不成立．
令，，
則存在使得不成立，即不成立
所以．
又因為，所以
所以．
故答案為：
四、解答題
15．求函數的單調區間與值域.
【答案】單調減區間是，單調增區間是；值域是
【分析】單調性根據復合函數的單調性同增異減得出，值域根據換元法得出.
【詳解】函數，
設.
，
當時，，
，即.
函數在上的值域是.
又原函數是由和兩個函數復合而成，
第一個函數是單調減函數，第二個函數在區間上是單調增函數，在區間上是單調減函數
函數的單調減區間是，單調增區間是.
16．已知指數函數（且）的圖象過點．
(1)求函數的解析式；
(2)求函數在上的值域
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將代入即可求解，
（2）利用換元法，結合指數函數以及二次函數的單調性即可求解.
【詳解】（1）因為函數（且）的圖象過點，則，
解得，因此，．
（2），令，因為，則，
令，
當時，函數單調遞減，此時，，
當時，函數單調遞增，此時，，
故當時，，
又因為，故，
所以，函數在上的值域為．
17．已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)若的最大值為9，求a的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據二次函數、指數函數單調性求復合函數的值域；
（2）令，由指數函數單調性得，結合二次函數性質列方程求參數.
【詳解】（1）由題設，若，則，
在上遞減，在上遞增，則，
在定義域上遞增，則，
所以的值域為.
（2）令，則，
又在定義域上遞增，而的最大值為9，即，
則開口向下且對稱軸為，，
所以.
18．已知定義域為的函數是奇函數．
(1)求a，b的值；
(2)求該函數的值域：
(3)若對于任意，不等式恒不成立，求k的范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據題意，結合和，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得到，得出為遞減函數，結合指數函數的性質，進而求得函數的值域；
（3）根據題意，轉化為，得到恒不成立，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：因為定義域為的函數是奇函數，
所以，解得，即
又由，可得，解得，所以，
經檢驗，符合題意，所以.
（2）解：由（1）知，，可得函數為單調遞減函數，
又因為，可得，所以，所以，
所以函數的值域為.
（3）解：對于任意，不等式恒不成立，
因為函數為奇函數，可得，
又因為函數為單調遞減函數，可得，即恒不成立，
又由，所以，
所以實數的取值范圍為.
19．已知函數（且）在上的最大值與最小值之和為20，記．
(1)求a的值及函數的值域；
(2)證明：為定值；并求的值．
【答案】(1)，的值域為
(2)證明見解析；100
【分析】（1）根據指數函數的單調性即可根據最值求解，理由分離常數即可結合不等式的性質求解值域，
（2）代入即可根據指數冪的運算化簡即可求解，進而可求解.
【詳解】（1）由題意有，解得或（舍去），
則，
∵，∴，，，
∴，函數的值域為.
（2），
.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 指數函數的性質與圖象
課程標準 學習目標
1.理解指數函數的概念與意義,掌握指數函數的定義域、值域的求法; 2.能畫出具體指數函數的圖象,并能根據指數函數的圖象說明指數函數的性質; 3.掌握指數函數的性質并會應用,能利用指數函數的單調性比較冪的大小。 1.通過理解指數函數的概念和意義,了解指數函數的實際背景,掌握指數函數的性質與圖象,發展數學抽象的核心素養. 2.通過指數函數的實際應用,初步學會運用指數函數來解決問題,提升數學建模的核心素養. 3.通過例題熟練掌握指數函數的圖象、性質.進一步深入理解指數函數的單調性及其應用,提升邏輯推理、數學運算及數學抽象的核心素養.
知識點01 指數函數的概念
　　一般地,函數y=ax稱為指數函數,其中a是常數,a>0且a≠1。
【即學即練1】
1．下列函數中是指數函數的是　　　　。(填序號)
①y=2×()x;②y=2x-1;③y=。
知識點02 指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
性 質 定義域 R
值域 (0,+∞)
過定點 (0,1),即當x=0時,y=　1　
單調性 在R上是增函數 在R上是減函數
奇偶性 非奇非偶函數
【即學即練2】
2．指數函數yax與ybx的圖象如圖所示，則(　　)
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0知識點03比較指數冪的大小
比較冪的大小的常用方法：
（1）對于底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；
（2）對于底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；
（3）對于底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，可先化為同底的兩個冪，或者通過中間值來比較．
【即學即練3】
3.已知，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
知識點04簡單指數不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的單調性求解；
2、形如的不等式，可將化為為底數的指數冪的形式，再借助的單調性求解；
3、形如的不等式，可借助兩函數，的圖象求解。
【即學即練4】
4.求不等式的解集.
題型01 指數函數的概念及應用
【典例1】若函數是指數函數，則的值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【變式1】下列各函數中，是指數函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知指數函數圖象過點，則等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【變式3】若函數是指數函數，則有（ ）
A． B．
C．或 D．，且
【變式4】若函數（是自變量）是指數函數，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型02 指數型函數的定義域
【典例2】函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】設函數，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】函數的定義域為 ．
【變式3】函數（且）的定義域為，則 ．
【變式4】求下列函數的定義域：
(1)；
(2)；
(3)．
題型03 指數型函數的值域
【典例3】函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】函數 的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】函數的定義域為．則其值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】函數的值域是 ．
【變式4】已知函數的值域為，則a的取值范圍是 ．
題型04 指數型函數的單調性
【典例4】函數的單調遞增區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】設函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知指數函數單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】若函數在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型05 指數函數的圖象問題
【典例5】已知函數的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】函數圖象的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】已知函數的定義域為，值域為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．2
【變式4】若函數的圖象如圖所示，且，則實數，的值可能為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式5】若函數的圖象經過第二、三、四象限，則一定有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
題型06 指數型函數過定點問題
【典例6】已知函數的圖象經過定點，則 ．
【變式1】已知函數（且），則必過的定點M的坐標為 ．
【變式2】函數（且）無論取何值，函數圖象恒過一個定點，則定點坐標為 .
【變式3】對于任意且 ，函數 的圖象恒過定點 . 若 的圖象也過點，則 .
題型07 比較指數冪的大小
【典例7】已知，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】已知是實數，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】若，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】已知，則下列正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型08 指數型函數不等式問題
【典例08】（23-24高一上·天津·期末）若不等式對任意的恒不成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】函數的定義域為 ．
【變式3】已知，則的取值范圍 ．
【變式4】設，若，求實數x的取值范圍.
題型09 指數型函數的奇偶性問題
【典例09】函數是（ ）
A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數
【變式1】已知偶函數和奇函數的定義域均為，且，則（ ）
A． B．
C．的最小值為2 D．是減函數
【變式2】函數為奇函數.
(1)求的值;
(2)判斷的增減性，并證明.
【變式3】已知函數是定義在R上的奇函數．
(1)求的解析式；
(2)求當時，函數的值域．
一、單選題
1．已知指數函數在上單調遞增，則的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
4．已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知函數，則函數的增區間是（ ）
A． B．
C． D．
6．函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，那么大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
8．若函數有最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．已知指數函數在上的最大值與最小值之差為2，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
10．已知函數，則下列結論正確的有（ ）
A．的圖象關于坐標原點對稱 B．的圖象關于軸對稱
C．的最大值為1 D．在定義域上單調遞減
11．已知函數的圖象過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則（ ）
A． B．
C．是偶函數 D．在上單調遞增
三、填空題
12．若函數（且）經過的定點是P，則P點的坐標是 ．
13．已知函數在上單調遞減，則的取值范圍為 .
14．已知函數，若對于任意的，總存在，使得不成立，則實數m的取值范圍為 ．
四、解答題
15．求函數的單調區間與值域.
16．已知指數函數（且）的圖象過點．
(1)求函數的解析式；
(2)求函數在上的值域
17．已知函數．
(1)當時，求的值域；
(2)若的最大值為9，求a的值．
18．已知定義域為的函數是奇函數．
(1)求a，b的值；
(2)求該函數的值域：
(3)若對于任意，不等式恒不成立，求k的范圍．
19．已知函數（且）在上的最大值與最小值之和為20，記．
(1)求a的值及函數的值域；
(2)證明：為定值；并求的值．
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