資源簡介

第03講 對數及其運算
課程標準 學習目標
1．理解對數的概念，掌握對數的基本性質； 2．掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方程； 3．理解對數的運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數； 4．會運用運算性質進行一些簡單的化簡與證明. 1.了解對數的概念，會進行指數式與對數式的互化，會求簡單的對數值； 2.掌握積、商、冪的對數運算性質，并能正確利用對數運算的性質進行對數運算； 3.掌握換底公式及其推論； 4.掌握常用對數、自然對數的概念與記法.
知識點01 對數的概念與性質
1、對數的概念：如果（且），那么數x叫做以a為底N的對數，記作，
其中a叫作對數的底數，N叫作真數．
2、常用對數與自然對數
名稱 定義 記法
常用對數 以10為底的對數叫做常用對數
自然對數 以無理數為底的對數稱為自然對數
3、對數的性質
（1）當，且時，；
（2）負數和0沒有對數，即；
（3）特殊值：1的對數是0，即0（，且）；
底數的對數是1，即（，且）；
（4）對數恒等式：；
（5）．
【即學即練1】
1.指數式與對數式互化.
(1) (2) .
【答案】
【分析】根據指數式和對數式互化的規定：底數不變，指數變對數，冪值變真數進行變換即得.
【詳解】(1)由可得：；由可得.
故答案為：；
2.已知，則( )
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據對數運算分析求解.
【詳解】因為，可得，
且，解得.
.
知識點02 對數的運算性質及應用
1、運算性質：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、換底公式
（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
（2）可用換底公式證明以下結論：
①； ②； ③；
④； ⑤.
【即學即練2】( )
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】利用對數的運算法則求解即可.
【詳解】.
.
知識點03 對數運算常用方法技巧
1、對數混合運算的一般原則
（1）將真數和底數化成指數冪形式，使真數和底數最簡，用公式化簡合并；
（2）利用換底公式將不同底的對數式轉化為同底的對數式；
（3）將同底對數的和、差、倍運算轉化為同底對數真數的積、商、冪；
（4）如果對數的真數可以寫成幾個因數或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數相加減的形式，然后進行化簡合并；
（5）對數真數中的小數一般要化成分數，分數一般寫成對數相減的形式．
2、對數運算中的幾個運算技巧
（1）的應用技巧：在對數運算中如果出現和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現，再應用公式進行化簡；
（2）的應用技巧：對數運算過程中如果出現兩個對數相乘且兩個對數的底數與真數位置顛倒，則可用公式化簡；
（3）指對互化的轉化技巧：對于將指數恒等式作為已知條件，求函數的值的問題，通常設，則，，，將值帶入函數求解．
【即學即練3】計算：=
【答案】1
【詳解】由.
題型01對數的概念及辨析
【典例1】（23-24高一上·全國·專題練習）（多選）下列選項中錯誤的是（ ）
A．零和負數沒有對數
B．任何一個指數式都可以化成對數式
C．以10為底的對數叫做自然對數
D．以e為底的對數叫做常用對數
【答案】CCD
【解析】對于A：由對數的定義可知：零和負數沒有對數.故A正確；
對于B：只有符合，且，才有，故B錯誤；
對于C：以10為底的對數叫做常用對數，故C錯誤；
對于D：以e為底的對數叫做自然對數，故D錯誤.CD.
【變式1】（23-24高一上·貴州貴陽·月考）使式子有意義的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．，
【答案】D
【解析】由式子有意義，則滿足，解得且..
【變式2】對數中的實數的取值范圍與下列哪個不等式的解相同（ ）.
A．且 B．
C． D．且
【答案】A
【分析】首先根據對數中的實數a和b的取值要求求出a和b取值范圍，再解不等式分析下面選項中的a和b取值范圍，看是否一致即可.
【詳解】對數中的實數a的取值要求為：且，，
A：本選項顯然不符合題意；
B：或，
顯然不符合題意；
C：或，
顯然不符合題意；
D：且且，
所以有且，，顯然符合題意，
.
題型02對數式與指數式的互換
【典例2】已知，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【答案】A
【分析】根據對數式和指數式的互化，利用指數的運算即可求得答案.
【詳解】由，得，
故，
【變式1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由對數的運算求出，再結合對數和指數的運算化簡即可.
【詳解】由題得，
所以.
.
【變式2】若（且），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對數的定義將指數化為對數.
【詳解】因為（且），所以.
.
【變式3】若，，則的值為 ．
【答案】/
【分析】將對數化為指數，結合指數冪運算求解.
【詳解】因為，，則，，
所以．
故答案為：.
【變式4】已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】將對數式轉化為指數式，再結合指數運算公式，即可求解.
【詳解】，則，則．
故答案為：
【變式5】將下列指數式與對數式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化.
【詳解】（1），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
（2），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
（3），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
（4），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
（5），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
（6），運用指數對數互化規則“底不變，其他換”，可轉化為.
題型03 利用對數運算性質化簡
【典例1】（24-25高三上·廣東梅州·開學考試）化簡的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據對數的性質及換底公式可求代數式的值.
【詳解】原式.
【變式1】已知，則 ．
【答案】
【分析】運用對數運算性質化簡即可.
【詳解】由于，則，則.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一上·江蘇常州·期中） .
【答案】
【分析】根據對數的運算性質和換底公式求解即可
【詳解】
.
故答案為：3
【變式3】（1）化簡求值：；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）2；（2）4
【分析】（1）由對數的運算性質化簡即可；
（2）由對數的運算性質化簡后再結合定義域解方程即可；
【詳解】（1）原式
；
（2）由已知可得，
因為，
所以，化簡可得，
解得（舍去），或，
所以
【變式4】（24-25高一·上海·課堂例題）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】根據對數以及指數運算法則計算即可得到結果；
【詳解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
【變式5】（24-25高一上·全國·課前預習）計算．
【答案】
【分析】運用換底公式及對數的運算性質計算即可.
【詳解】原式
．
題型04 用已知對數表示其他對數
【典例04】（23-24高一上·天津·階段練習），，試用a，b表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用對數換底公式，結合對數運算法則算計即得.
【詳解】由，，則.
【變式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，，則可以用a、b表示為 .
【答案】
【分析】利用指數、對數互化關系及對數換底公式求解即得.
【詳解】由，得，而，
所以.
故答案為：
【變式2】（23-24高一上·湖北荊州·階段練習）已知，，則 .（結果用，表示）
【答案】
【分析】應用指對互化及對數的運算律及換底公式即可.
【詳解】，則，，則，
則，
故答案為：
題型05利用換底公式化簡求值
【典例05】（23-24高一上·山東淄博·期末）設a，b，c都是正數，且，那么下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，，，
，，，則，
根據可知，.
【變式1】（23-24高一上·云南保山·階段練習）若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由已知表示出，再由換底公式化簡可求.
【詳解】∵，∴，
∴
.
．
【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）（多選）設都是正數，且，下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】連等式一般可以先設為，分別求值后再逐個驗證判斷即可.
【詳解】令，則，
所以，
對于A：兩邊同除等價于，
由上可知，，所以，A正確；
對于B：兩邊同除等價于，
由上可知，，所以，B錯誤；
對于C：兩邊同除等價于，
由上可知，，所以，C錯誤；
對于D：兩邊同除等價于，
由上可知，，所以，D錯誤，
CD
【變式3】（23-24高一上·吉林·期中）若，，，則下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根據題意求出、和，再根據對數的運算性質判斷選項中的命題是否正確．
【詳解】若，，，
則，，，
所以，選項A正確；
，選項B錯誤；
由，當且僅當時取等號，又，，
所以等號不不成立，即，選項C錯誤；
由，選項D正確．
D
【變式4】已知，則 ．
【答案】1
【分析】利用指數式與對數式的互化和換底公式即可求值．
【詳解】，則，，
．
故答案為：．
題型06 實際問題中的對數運算
【典題06】 (2024·貴州遵義·一模)近年來，中國成為外來物種入侵最嚴重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣性、農牧業生產等構成巨大威脅．某地的一種外來動物數量快速增長，不加控制情況下總數量每經過7個月就增長1倍．假設不加控制，則該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要)( )
A．8年 B．10年 C．12年 D．20年
【答案】D
【分析】設經過個月動物數量由入侵的100只增長到1億，可得，兩邊同時取對數可求出答案.
【詳解】設經過個月動物數量由入侵的100只增長到1億，
所以，所以，
兩邊同時取對數可得：，
所以，所以，
而，
所以該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要12年.
.
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海，”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步值”是“退步值”的5倍時，大約經過（ ）（參考數據：）
A．70天 B．80天 C．90天 D．100天
【答案】C
【分析】先根據天后的“進步值”是“退步值”的5倍列方程，應用指對轉化求值.
【詳解】設天后的“進步值”是“退步值”的5倍，則，即，兩邊同時取對數得，
化簡得，
所以．
故當“進步值”是“退步值”的5倍時，大約經過80天．
故選:B．
【變式2】（23-24高一上·新疆·期末）把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經過（取：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題中定義的公式，代入相關數值，再列出不等式求解即可.
【詳解】的物塊經過后的溫度，
的物塊經過后的溫度.
要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則，
即，解得.
.
【變式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）通過科學研究發現：地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.已知2011年甲地發生里氏9級地震，2019年乙地發生里氏7級地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則
【答案】1000
【分析】首先根據題意得到，再作差即可得到答案.
【詳解】由題知：.
故答案為：1000
一、單選題
1．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知，則（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據對數運算分析求解.
【詳解】因為，可得，
且，解得.
.
2．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．，
【答案】D
【分析】根據題意，結合對數式的定義，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由式子有意義，則滿足，解得且.
.
3．（23-24高一上·山東濟南·階段練習）下列計算結果為2的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數、對數運算逐一計算即可.
【詳解】，A錯誤；
，B正確；
，C錯誤；
，D錯誤.
4．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習）里氏震級M的計算公式：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_______倍．（ ）
A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，10000
【答案】D
【分析】根據題中的震級計算公式及對數運算可得結果．
【詳解】根據題意，假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，
此時標準地震的振幅為0.001，則；
設9級地震的最大的振幅是x，5級地震最大振幅是y，
則有，解得，
所以，
.
5．（23-24高一上·四川涼山·期末）計算的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據對數運算法則、換底公式、對數恒等式運算即可.
【詳解】
.
.
6．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據對數的運算性質即可結合換底公式求解.
【詳解】，
故選:B.
7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由換底公式將表示為，再將代入計算即可.
【詳解】由題知，，
.
.
8．（23-24高一上·吉林長春·期中）設，且，則（ ）
A． B．10 C．100 D．1000
【答案】D
【分析】利用指數與對數運算法則可得，再由換底公式即可得，計算可得.
【詳解】根據題意由可得，
所以，
即可得，即.
二、多選題
9．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習）下列運算正確的是（ ）
A． 且
B．且
C．且
D．且
【答案】CCD
【分析】根據對數的運算性質和換底公式判斷即可得到答案.
【詳解】對于選項A，，故選項A錯誤；
對于選項B，根據對數的運算性質可以判斷選項B正確；
對于選項C，由換底公式可以判斷選項C正確；
對于選項D，，故選項D正確.
CD
10．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知，則下列等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根據可推出，依此并結合對數運算，一一判斷各選項，即可得答案.
【詳解】由，得，且，
即，而此時不總是不成立，則C錯誤；
由于，即，結合以上分析可知A錯誤；
由于，即為，故B正確；
又，D正確，
D
11．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知正實數a，b滿足，且，則的值可以為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】DD
【分析】指數式化為對數式得到，利用對數運算法則和換底公式得到，從而求出可得答案.
【詳解】由得到，則，即，
整理得，解得或，
當時，，，則；
當時，，，則．
D．
三、填空題
12．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）若，則 .
【答案】
【分析】由對數的運算性質求解．
【詳解】因為，
則
.
故答案為：.
13．（23-24高一上·北京·期中）計算 ．
【答案】0
【分析】利用指數運算和對數運算法則求出答案.
【詳解】.
故答案為：0
14．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）若，則的值為
【答案】/
【分析】利用對數的運算法則與指對數互化求得，進而得到的值，從而得解.
【詳解】因為，則，所以，則，
所以.
故答案為：.
四、解答題
15．（23-24高一上·江西宜春·期末）計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據指數冪運算以及對數的定義運算求解；
（2）根據對數的定義和運算求解.
【詳解】（1）原式；
（2）原式．
16．（23-24高一上·吉林長春·期中）（1）計算：
（2）求下列式中的的值：；
【答案】（1）5；（2）.
【分析】（1）利用指數運算、對數運算計算得解.
（2）利用對數的意義，列式求解即得.
【詳解】（1）原式.
（2）由，得，解得，
所以.
17．（23-24高一上·青海海東·階段練習）（1）求值：；
（2）設，，試用，表示.
【答案】（1）101；（2）．
【分析】（1）利用對數運算性質和指數冪的運算化簡計算即可；
（2）利用換底公式和對數運算性質求解即可.
【詳解】（1）
.
（2）.
18．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示.
（2）設，為方程的兩個根，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據對數的換底公式和對數的運算性質即可用，表示出；
（2）根據韋達定理得出，然后根據立方差和平方差公式化簡分式，并代值求解．
【詳解】（1）已知，，
則，故
（2）設，為方程的兩個根，則，易知，
.
19．（23-24高一上·廣東·期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是70℃．
(1)求k的值；
(2)經驗表明，當室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至80℃時飲用，可以產生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1；參考值：，）
【答案】(1)
(2)2.7分鐘
【分析】（1）由所給函數模型結合已知條件列方程得，由指對互換即可求解.
（2）由所給函數模型結合已知條件列方程得，由指對互換以及對數的運算性質即可求解.
【詳解】（1）依題意，，．
則
化簡得，，
，
即：．（寫也正確）
（2）由（1）得
令，
即．得，
；
得．
所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達到最佳飲用口感．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 對數及其運算
課程標準 學習目標
1．理解對數的概念，掌握對數的基本性質； 2．掌握指數式與對數式的互化，能應用對數的定義和性質解方程； 3．理解對數的運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數； 4．會運用運算性質進行一些簡單的化簡與證明. 1.了解對數的概念，會進行指數式與對數式的互化，會求簡單的對數值； 2.掌握積、商、冪的對數運算性質，并能正確利用對數運算的性質進行對數運算； 3.掌握換底公式及其推論； 4.掌握常用對數、自然對數的概念與記法.
知識點01 對數的概念與性質
1、對數的概念：如果（且），那么數x叫做以a為底N的對數，記作，
其中a叫作對數的底數，N叫作真數．
2、常用對數與自然對數
名稱 定義 記法
常用對數 以10為底的對數叫做常用對數
自然對數 以無理數為底的對數稱為自然對數
3、對數的性質
（1）當，且時，；
（2）負數和0沒有對數，即；
（3）特殊值：1的對數是0，即0（，且）；
底數的對數是1，即（，且）；
（4）對數恒等式：；
（5）．
【即學即練1】
1.指數式與對數式互化.
(1) (2) .
2.已知，則( )
A．2 B． C．3 D．4
知識點02 對數的運算性質及應用
1、運算性質：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、換底公式
（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
（2）可用換底公式證明以下結論：
①； ②； ③；
④； ⑤.
【即學即練2】( )
A．4 B． C．5 D．
知識點03 對數運算常用方法技巧
1、對數混合運算的一般原則
（1）將真數和底數化成指數冪形式，使真數和底數最簡，用公式化簡合并；
（2）利用換底公式將不同底的對數式轉化為同底的對數式；
（3）將同底對數的和、差、倍運算轉化為同底對數真數的積、商、冪；
（4）如果對數的真數可以寫成幾個因數或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數相加減的形式，然后進行化簡合并；
（5）對數真數中的小數一般要化成分數，分數一般寫成對數相減的形式．
2、對數運算中的幾個運算技巧
（1）的應用技巧：在對數運算中如果出現和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現，再應用公式進行化簡；
（2）的應用技巧：對數運算過程中如果出現兩個對數相乘且兩個對數的底數與真數位置顛倒，則可用公式化簡；
（3）指對互化的轉化技巧：對于將指數恒等式作為已知條件，求函數的值的問題，通常設，則，，，將值帶入函數求解．
【即學即練3】計算：=
題型01對數的概念及辨析
【典例1】（23-24高一上·全國·專題練習）（多選）下列選項中錯誤的是（ ）
A．零和負數沒有對數
B．任何一個指數式都可以化成對數式
C．以10為底的對數叫做自然對數
D．以e為底的對數叫做常用對數
【變式1】（23-24高一上·貴州貴陽·月考）使式子有意義的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．，
【變式2】對數中的實數的取值范圍與下列哪個不等式的解相同（ ）.
A．且 B．
C． D．且
題型02對數式與指數式的互換
【典例2】已知，，則（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
【變式1】若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】若（且），則（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】若，，則的值為 ．
【變式4】已知，則的值為 ．
【變式5】將下列指數式與對數式互化：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
題型03 利用對數運算性質化簡
【典例1】（24-25高三上·廣東梅州·開學考試）化簡的值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【變式1】已知，則 ．
【變式2】（23-24高一上·江蘇常州·期中） .
【變式3】（1）化簡求值：；
（2）已知，求的值.
【變式4】（24-25高一·上海·課堂例題）化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【變式5】（24-25高一上·全國·課前預習）計算．
題型04 用已知對數表示其他對數
【典例04】（23-24高一上·天津·階段練習），，試用a，b表示（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·上海·期末）已知，，則可以用a、b表示為 .
【變式2】（23-24高一上·湖北荊州·階段練習）已知，，則 .（結果用，表示）
題型05利用換底公式化簡求值
【典例05】（23-24高一上·山東淄博·期末）設a，b，c都是正數，且，那么下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·云南保山·階段練習）若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）（多選）設都是正數，且，下列結論不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一上·吉林·期中）若，，，則下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式4】已知，則 ．
題型06 實際問題中的對數運算
【典題06】 (2024·貴州遵義·一模)近年來，中國成為外來物種入侵最嚴重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣性、農牧業生產等構成巨大威脅．某地的一種外來動物數量快速增長，不加控制情況下總數量每經過7個月就增長1倍．假設不加控制，則該動物數量由入侵的100只增長到1億只大約需要)( )
A．8年 B．10年 C．12年 D．20年
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海，”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點．我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍．那么當“進步值”是“退步值”的5倍時，大約經過（ ）（參考數據：）
A．70天 B．80天 C．90天 D．100天
【變式2】（23-24高一上·新疆·期末）把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經過（取：）（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）通過科學研究發現：地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關系為.已知2011年甲地發生里氏9級地震，2019年乙地發生里氏7級地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則
一、單選題
1．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知，則（ ）
A．2 B． C．3 D．4
2．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習）使式子有意義的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．，
3．（23-24高一上·山東濟南·階段練習）下列計算結果為2的式子是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習）里氏震級M的計算公式：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_______倍．（ ）
A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，10000
5．（23-24高一上·四川涼山·期末）計算的值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·吉林長春·期中）設，且，則（ ）
A． B．10 C．100 D．1000
二、多選題
9．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習）下列運算正確的是（ ）
A． 且
B．且
C．且
D．且
10．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知，則下列等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
11．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知正實數a，b滿足，且，則的值可以為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
三、填空題
12．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）若，則 .
13．（23-24高一上·北京·期中）計算 ．
14．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）若，則的值為
四、解答題
15．（23-24高一上·江西宜春·期末）計算：
(1)；
(2)．
16．（23-24高一上·吉林長春·期中）（1）計算：
（2）求下列式中的的值：；
17．（23-24高一上·青海海東·階段練習）（1）求值：；
（2）設，，試用，表示.
18．（23-24高一上·上海·期中）（1）已知，，用a、b表示.
（2）設，為方程的兩個根，求的值.
19．（23-24高一上·廣東·期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是70℃．
(1)求k的值；
(2)經驗表明，當室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至80℃時飲用，可以產生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（結果精確到0.1；參考值：，）
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