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第04講 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念. 知道對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a≠1)互為反函數(shù). 3.了解并掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，圖象及性質(zhì)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決求函數(shù)的定義域、值域、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，會(huì)解對(duì)數(shù)方程及對(duì)數(shù)不等式，能處理與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)綜合問題.
知識(shí)點(diǎn)01 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y= (a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+
).
(2)判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)：
①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域?yàn)?0,+).
(3)特別地,我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作;稱以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作.
【即學(xué)即練1】
1.（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為（ ）
A． B．
C． D．
知識(shí)點(diǎn)02 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
圖象和性質(zhì) a>1 0圖象
性質(zhì) (1)定義域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0
(4)當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)01時(shí),y<0;當(dāng)00
(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù) 當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大; 當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大 (5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù) 當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大; 當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)（且）恒過定點(diǎn) ．
題型01對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
【典例1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的有 ．
①；②；③；④．
【變式1】（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一上·上海·階段練習(xí)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，則其解析式為 ．
【變式3】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a .
題型02對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域
【典例2】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【變式1】函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式3】函數(shù)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4】（23-24高一上·四川樂山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【變式5】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
題型03 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
【典例3】函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）如圖所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第 象限.
【變式4】函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
題型04 圖象過定點(diǎn)問題
【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【變式1】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn) .
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知常數(shù)且，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求此點(diǎn)的坐標(biāo)．
題型05對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例05】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【變式1】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知，若在上單調(diào)，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
題型06 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典題06】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）求的定義域和值域.
【變式1】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的值域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是 ．
【變式3】設(shè)且，函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求的值及函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
題型07 已知最值求參數(shù)
【典例07】（23-24高一上·江西撫州·期末）若函數(shù)且在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【變式1】（22-23高一上·上海奉賢·期末）已知對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則 ．
【變式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)椋瑒t（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
題型08 比較大小
【典例08】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學(xué)考試）已知，，，則（）
A． B． C． D．
【變式1】已知，則（　　）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若a， b， c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3】（23-24高一下·陜西安康·期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
題型09 對(duì)數(shù)不等式的解法
【典例09】（23-24高一·上海·課堂例題）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）不等式的解集為
【變式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 .
【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)（且）；
(3)（且）．
【變式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．
題型10 對(duì)數(shù)函數(shù)中恒不成立（有解）問題
【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)求函數(shù)的值域；
(3)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒不成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為 .
【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【變式3】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若對(duì)于恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式4】（2023高一上·江蘇蘇州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；
(2)若不等式在上有解，求的取值范圍.
題型11 對(duì)數(shù)函數(shù)中的新定義問題
【典例11】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）若定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意的，總有；
②；
③若，，，則有，就稱為“A函數(shù)”.
下列定義在[0，1]上的函數(shù)中，是“A函數(shù)”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式1】對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為 ，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【變式2】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則 ；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為 .
【變式3】（23-24高一下·廣東潮州·開學(xué)考試）對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式不成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．
(1)若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；
(2)現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間．
①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；
②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”．
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
3．（24-25高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，則是的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個(gè)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．若函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)定義域?yàn)?B．時(shí)，
C．的解集為 D．
10．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù)則下列說法正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．函數(shù)有最小值
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镽
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
11．（23-24高一下·陜西安康·期末）已知函數(shù)且，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．
三、填空題
12．（23-24高一下·河北·期末）已知函數(shù)則 ．
13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1570-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對(duì)運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對(duì)數(shù)，為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
14．（23-24高一上·上海長(zhǎng)寧·期末）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
15．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并用定義證明你的結(jié)論.
16．（23-24高一下·陜西咸陽·期末）已知函數(shù)且．
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；
(3)若在區(qū)間上恒不成立，求的取值范圍．
18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
19．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，若，求x的值:
(2)若是偶函數(shù)，求出m的值:
(3)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù).并說明理由.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第04講 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖象
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念. 知道對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0且a≠1)與指數(shù)函數(shù)yax(a>0且a≠1)互為反函數(shù). 3.了解并掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)． 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，圖象及性質(zhì)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決求函數(shù)的定義域、值域、利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，會(huì)解對(duì)數(shù)方程及對(duì)數(shù)不等式，能處理與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)綜合問題.
知識(shí)點(diǎn)01 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y= (a>0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+
).
(2)判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)：
①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域?yàn)?0,+).
(3)特別地,我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作;稱以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作.
【即學(xué)即練1】
1.（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)概念可判斷.
【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)概念，且.結(jié)合選項(xiàng)知道為對(duì)數(shù)函數(shù).
.
知識(shí)點(diǎn)02 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
圖象和性質(zhì) a>1 0圖象
性質(zhì) (1)定義域:(0,+∞)
(2)值域:R
(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0
(4)當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)01時(shí),y<0;當(dāng)00
(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù) 當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大; 當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大 (5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù) 當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大; 當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大
【即學(xué)即練2】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)（且）恒過定點(diǎn) ．
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，運(yùn)算即可.
【詳解】令，得，此時(shí)，
所以函數(shù)（且）恒過定點(diǎn).
故答案為：.
題型01對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
【典例1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：形如（且）的形式，則函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，只有②符合.
故答案為：②.
【變式1】（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義直接判斷即可.
【詳解】形如的函數(shù)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是，
對(duì)于A，滿足，故A正確；
對(duì)于B，C，D，形式均不正確，均錯(cuò)誤.
【變式2】（23-24高一上·上海·階段練習(xí)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，則其解析式為 ．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)出函數(shù)解析式，把點(diǎn)代入求解即可.
【詳解】設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式為（，且），
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)過點(diǎn)，
所以，解得，
所以對(duì)數(shù)函數(shù)解析式為.
故答案為：
【變式3】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a .
【答案】1
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知，，解出的值，驗(yàn)證底數(shù)即可.
【詳解】由題意得，
解得或1，
又且，
所以
故答案為：1
題型02對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域
【典例2】（23-24高二下·天津紅橋·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)開偶次方根被開方數(shù)非負(fù)及對(duì)數(shù)真數(shù)大于零確定函數(shù)定義域.
【詳解】由 得 ，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選: B
【變式1】函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域即可求解.
【詳解】，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>【變式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后解不等式得出答案.
【詳解】由題意知，，即，
所以或.
.
【變式3】函數(shù)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義列式求解即可.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，且，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
.
【變式4】（23-24高一上·四川樂山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.
【詳解】由函數(shù)有意義，則滿足，即，
解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?
.
【變式5】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】或．
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，轉(zhuǎn)化為不等式恒不成立進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵的定義域?yàn)镽，
∴恒不成立，
當(dāng)，即或，
若，不等式等價(jià)為，此時(shí)，不恒不成立，不滿足條件．
若，不等式等價(jià)為，恒不成立，滿足條件．
當(dāng)時(shí)，要使不等式恒不成立，
則，
即或，
解得或，
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是或．
故答案為：或．
題型03 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象
【典例3】函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】對(duì)比選項(xiàng)中的圖象，再分別計(jì)算和時(shí)，的取值情況，即可作出選擇．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B和C；
當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)D符合題意.
【變式1】（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習(xí)）已知且，則函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知結(jié)合兩函數(shù)的單調(diào)性及恒過的定點(diǎn)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【詳解】結(jié)合與可知，兩函數(shù)單調(diào)性一定相反，排除選項(xiàng)A；
因?yàn)楹氵^定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，排除選項(xiàng)B，D．
．
【變式2】（23-24高二下·天津?yàn)I海新·期末）如圖所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】舉反例說明A錯(cuò)誤，利用奇偶性并綜合排除法判斷BCD即可得解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)趨于0時(shí)，趨于，對(duì)比題圖可知，A不符合題意；
對(duì)于B，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，與題圖不符，B不符合題意；
對(duì)于D，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，與題圖不符，D不符合題意；
對(duì)于C，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，
所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與題圖相符，經(jīng)檢驗(yàn)，C符合題意.
.
【變式3】（23-24高一上·江西南昌·階段練習(xí)）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過第 象限.
【答案】四
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象變換、單調(diào)性等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由于，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，
所以函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限.
故答案為：四
【變式4】函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋蔅D錯(cuò)誤；
又，故C錯(cuò)誤；故A正確.
題型04 圖象過定點(diǎn)問題
【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，令即可求解.
【詳解】因?yàn)榍遥?br/>所以在函數(shù)中，
令，則，，
所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn).
.
【變式1】函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn) .
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可令求解.
【詳解】令，解得，所以，
故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，
故答案為：
【變式2】（23-24高一·上海·課堂例題）已知常數(shù)且，假設(shè)無論a取何值，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求此點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】
【分析】利用（且）恒不成立，求函數(shù)過定點(diǎn).
【詳解】當(dāng)時(shí)，（且），
所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn)：
題型05對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
【典例05】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【答案】
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，或，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，則有，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
【變式1】（24-25高三上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】函數(shù)，因?yàn)椋獾茫?br/>所以函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br/>因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，
在區(qū)間,上單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增，
在區(qū)間,上單調(diào)遞減,
【變式2】已知，若在上單調(diào)，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】令函數(shù)，
該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)，則在上單調(diào)，
且時(shí)，，故，解得或.
【變式3】（23-24高二下·江西贛州·期末）“”是“函數(shù)在單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.
【詳解】由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：
要滿足函數(shù)在單調(diào)遞增，
需要，
因?yàn)椋浴啊笔恰昂瘮?shù)在單調(diào)遞增”的必要不充分條件．
．
題型06 對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域
【典題06】（23-24高一下·遼寧撫順·開學(xué)考試）求的定義域和值域.
【答案】定義域?yàn)镽，.
【分析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，可求函數(shù)的定義域；利用函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的值域.
【詳解】
設(shè)，則.
因?yàn)楹悴怀闪ⅲ院瘮?shù)的定義域?yàn)镽.
因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)，所以是[3，+∞）上的增函數(shù)
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【變式1】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的值域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，采用換元法求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>由，可得，
所以的定義域?yàn)椋?br/>所以，
又，
設(shè)，
將原問題轉(zhuǎn)化為求的值域，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以.
.
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)的最小值是 ．
【答案】2
【分析】利用整體換元，將復(fù)合函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)的最值求解即可.
【詳解】令，則，.
又在上單調(diào)遞增，
所以，此時(shí).
故答案為：
【變式3】設(shè)且，函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求的值及函數(shù)的定義域；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】(1)2；
(2)2
【分析】（1）代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域；
（2）依題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）由函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
得，即，所以，解得或（舍），
所以，
由，解得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>（2）由（1）知，
又，所以當(dāng)時(shí)取得最大值4，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
題型07 已知最值求參數(shù)
【典例07】（23-24高一上·江西撫州·期末）若函數(shù)且在區(qū)間上的最大值比最小值多2，則（ ）
A．4或 B．4或
C．2或 D．2或
【答案】A
【分析】對(duì)參數(shù)的取值分類討論，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求得最值，結(jié)合題意，即可求得參數(shù)值.
【詳解】由題意解得或（舍去），
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，
則由題意得，
所以即，解得或（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
則由題意得，
所以即，解得；
綜上可得：或．
.
【變式1】（22-23高一上·上海奉賢·期末）已知對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，則 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
又對(duì)數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，
所以，，解得.
故答案為：2.
【變式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋闹涤驗(yàn)椋瑒t（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】由已知可得函數(shù)的值域?yàn)椋瑥亩傻玫闹担淖钚≈禐?，從而可得的值，即可得解．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br/>所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>所以，解得，
因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，
所以的最小值為9，所以，
解得，
所以．
．
題型08 比較大小
【典例08】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學(xué)考試）已知，，，則（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較a,b,c的大小.
【詳解】因?yàn)?
,
又,
所以.
.
【變式1】已知，則（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，再利用換底公式和作差法得到，比較出大小關(guān)系.
【詳解】，
其中，，所以，
故，所以.
.
【變式2】（23-24高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）若a， b， c滿足，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出a，b，c的大致范圍，結(jié)合中間數(shù)比較大小．
【詳解】，
，則，
，則，
所以.
.
【變式3】（23-24高一下·陜西安康·期中）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.
【詳解】依題意，，，，
因此.
【變式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>即，，
所以.
題型09 對(duì)數(shù)不等式的解法
【典例09】（23-24高一·上海·課堂例題）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把含對(duì)數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式不等式求解，過程中注意函數(shù)的定義域即可.
【詳解】因?yàn)椋詫?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減；
又，
所以
.
故實(shí)數(shù)的取值范圍為：
【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）不等式的解集為
【答案】
【分析】對(duì)原不等式整理可得，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因?yàn)椋遥?br/>若，即，
則，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【變式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 .
【答案】
【分析】依題意可得，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求出不等式的解集.
【詳解】不等式，即，
令，，
因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，
則不等式的解集是.
故答案為：
【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）解下列關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)（且）；
(3)（且）．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解，
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分類討論即可求解，
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）由題意可得，解得．
所以原不等式的解集為．
（2）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得：．
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得：．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．
（3）當(dāng)時(shí)，，所以，無解；
當(dāng)時(shí)，，所以．
綜上，原不等式的解集為．
【變式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式求解集；
（2）討論、，根據(jù)對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求最值，結(jié)合已知求參數(shù)值.
【詳解】（1）由題設(shè)，則，可得，
所以，不等式解集為.
（2）令在上遞增，
當(dāng)，則在定義域上遞減，此時(shí)在上遞減，
則；
當(dāng)，則在定義域上遞增，此時(shí)在上遞增，
則；
所以或.
題型10 對(duì)數(shù)函數(shù)中恒不成立（有解）問題
【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函數(shù)，函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)求函數(shù)的值域；
(3)若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒不成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解指數(shù)不等式，得到解集；
（2）變形得到，結(jié)合，求出的值域；
（3）轉(zhuǎn)化為，求出，故，得到答案.
【詳解】（1）由，得
整理得
解得，
的解集為
（2），
，
，
即的值域?yàn)椋?br/>（3）不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒不成立
．
，
令，，，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，
，即，
，即，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【變式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】按和分類討論可得．
【詳解】當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，不成立.
當(dāng)時(shí)，若不成立，是減函數(shù)，是增函數(shù)，則，解得，所以.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：．
【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)若不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的求法列出不等式組，解之即可得解；
（2）只需結(jié)合換元法、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出的最大值即可得解.
【詳解】（1）函數(shù)有意義，須滿足，∴．
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>（2）∵不等式有解，∴小于的最大值．
．
令，由于，∴．
∴函數(shù)的最大值為，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【變式3】（23-24高一上·青海西寧·期末）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若對(duì)于恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式，換元后由一元二次不等式求解；
（2）分離參數(shù)后，求的最小值，對(duì)數(shù)的真數(shù)換元后求出取值范圍，即可由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求對(duì)數(shù)函數(shù)值域，即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，即.
令，則有，解得，所以，即.
所以不等式的解集為.
（2）由題意可知，即，
即.
又
令，
易知在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
因?yàn)椋?
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【變式4】（2023高一上·江蘇蘇州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；
(2)若不等式在上有解，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）換元令，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求值域；
（2）換元令，整理可得在上有解，根據(jù)存在性問題分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，，
令，，即可得，，
可知的開口向上，對(duì)稱軸為，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?
（2）當(dāng)時(shí)，可得，令，，
可得，即在上有解，
整理可得在上有解，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，
所以的取值范圍是.
題型11 對(duì)數(shù)函數(shù)中的新定義問題
【典例11】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）若定義域?yàn)閇0，1]的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意的，總有；
②；
③若，，，則有，就稱為“A函數(shù)”.
下列定義在[0，1]上的函數(shù)中，是“A函數(shù)”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】DD
【分析】根據(jù)“A函數(shù)”要滿足的3個(gè)條件，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】A中，，故不是“A函數(shù)”，故A錯(cuò)誤；
B中，若，，，
則
，不滿足③，
故不是A函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C中，顯然滿足①②，又，
所以是“A函數(shù)”，故C正確；
D中，顯然滿足①②，
因?yàn)椋?br/>所以，
又，所以，，
從而，因此，是“A函數(shù)”，故D正確.
D.
【變式1】對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”為 ，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)的新定義求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解答即可；
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，
令，
即，解得或（舍去），
所以，由函數(shù)新定義可得，
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>.
【變式2】（23-24高一下·貴州畢節(jié)·期末）定義：二階行列式；三階行列式的某一元素的余子式指的是在中劃去所在的行和列后所余下的元素按原來的順序組成的二階行列式.現(xiàn)有三階行列式，若元素1的余子式，則 ；記元素2的余子式為函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間為 .
【答案】 / /
【分析】由，根據(jù)余子式定義轉(zhuǎn)化為二階行列式列方程可解出；利用余子式定義將轉(zhuǎn)化為二階行列式經(jīng)過運(yùn)算化簡(jiǎn)得解析式，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減求解減區(qū)間即可.
【詳解】由三階行列式根據(jù)題意得，
元素的余子式，
解得；
元素2的余子式
則函數(shù)
由解得，則定義域?yàn)椋?br/>令，
則當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，又單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，
所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞減；
故單調(diào)減區(qū)間為.
故答案為：；（填也正確）.
【變式3】（23-24高一下·廣東潮州·開學(xué)考試）對(duì)于定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)和，如果對(duì)任意的，均有不等式不成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的．
(1)若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；
(2)現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間．
①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；
②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”．
【答案】(1)與在區(qū)間上是“友好”的
(2)①；②答案見解析
【分析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒不成立；
（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.
【詳解】（1）由題意可得：，
因?yàn)闀r(shí)，則，可知恒不成立，
故與在區(qū)間上是“友好”的.
（2）①與在區(qū)間上都有意義，
可得，解得，
且且，所以的取值范圍為；
②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，
則，即，
因?yàn)椋瑒t，，所以在的右側(cè)，
可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，
從而，，
所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“友好”的；
當(dāng)時(shí)，與與在區(qū)間上是“不友好”的.
一、單選題
1．（23-24高一下·湖北咸寧·期末）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡(jiǎn)集合后由交集定義可得答案.
【詳解】集合表示函數(shù)的定義域，則，
集合表示函數(shù)的值域，則.
故.
.
2．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】D
【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義即可判斷.
【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，
其中x是自變量，a是常數(shù)，
易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對(duì)數(shù)的底數(shù)的位置，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；
③中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；④中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；
⑤⑥中函數(shù)顯然不是對(duì)數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對(duì)數(shù)函數(shù).
.
3．（24-25高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）函數(shù)，的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求出函數(shù)的值域.
【詳解】函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，且當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)，的值域是.
4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，則是的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，再根據(jù)包含關(guān)系分析充分、必要條件.
【詳解】對(duì)于，則，解得；
對(duì)于，則，解得；
因?yàn)槭堑恼孀蛹?br/>所以是的充分不必要條件.
.
5．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個(gè)是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】由函數(shù)解析式確定其圖象所過的定點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性確定對(duì)應(yīng)的圖形即可.
【詳解】依題意，函數(shù)的圖象分別過定點(diǎn)，
它們分別對(duì)應(yīng)圖③②①，因此④不屬于給定的三個(gè)函數(shù)之一.
6．已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】令，即可求解恒過定點(diǎn)，進(jìn)而求解.
【詳解】令，解得，此時(shí)，
所以恒過定點(diǎn)，則，
所以.
7．（23-24高一下·浙江杭州·期中）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值范圍，即求解.
【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，
所以.
.
8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判斷時(shí)，，無最大值，由判斷在時(shí)的單調(diào)性，可得單調(diào)性，確定最大值，結(jié)合題意列出不等式，即可求得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，無最大值；
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，
結(jié)合題意可得，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為，
二、多選題
9．若函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)定義域?yàn)?B．時(shí)，
C．的解集為 D．
【答案】CD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)得圖象性質(zhì)解決即可.
【詳解】由題知，，
對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，故B正確；
對(duì)于C，在上單調(diào)遞減，，即，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
D
10．（23-24高一下·遼寧葫蘆島·開學(xué)考試）已知函數(shù)則下列說法正確的有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?br/>B．函數(shù)有最小值
C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)镽
D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
【答案】AC
【分析】A項(xiàng)代入?yún)?shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域求法進(jìn)行求解；B項(xiàng)為最值問題，舉出反例即可；C項(xiàng)代入?yún)?shù)值即可求出函數(shù)的值域；D項(xiàng)為已知單調(diào)性求參數(shù)范圍，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求解即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，解得或，
則的定義域?yàn)椋蔄正確；
對(duì)于B、C，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽，無最小值，故B錯(cuò)誤，C正確；
對(duì)于D，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，則，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.
C
11．（23-24高一下·陜西安康·期末）已知函數(shù)且，則（ ）
A． B．
C．的最小值為 D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算判斷AB；變形給定的式子，借助對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性判斷CD.
【詳解】函數(shù)，由，得，
對(duì)于AB，，則，解得，A正確，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，在上單調(diào)遞增，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
而在上單調(diào)遞增，，因此，D正確.
D
三、填空題
12．（23-24高一下·河北·期末）已知函數(shù)則 ．
【答案】
【分析】利用分段函數(shù)的解析式求出，所以.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，所以，
故答案為：.
13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1570-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對(duì)運(yùn)算體系的多年研究后發(fā)明的對(duì)數(shù)，為當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計(jì)算大大縮短了時(shí)間.即就是任何一個(gè)正實(shí)數(shù)可以表示成，則，這樣我們可以知道的位數(shù)為.已知正整數(shù)，若是10位數(shù)，則的值為 .（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】或
【分析】依題意可得，兩邊取常用對(duì)數(shù)，即可得到，從而得解.
【詳解】依題意可得，兩邊取常用對(duì)數(shù)可得，
即，所以，即，
又為正整數(shù)，所以或.
故答案為：或
14．（23-24高一上·上海長(zhǎng)寧·期末）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】,
【分析】先將方程變形為變形為，再利用程在,上有解，可得的不等式，從而可確定實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】方程可變形為，由于方程在上有解，
而當(dāng),時(shí)，，所以，解得，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是,．
故答案為：,．
四、解答題
15．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并用定義證明你的結(jié)論.
【答案】（1）（2）是奇函數(shù)，證明見解析
【解析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．
【詳解】(1)由,解得,∴,∴函數(shù)的定義域.
(2)函數(shù)是奇函數(shù).
證明:由(1)知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù).
∵，
所以函數(shù)是奇函數(shù).
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域，奇偶性的判斷，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．
16．（23-24高一下·陜西咸陽·期末）已知函數(shù)且．
(1)若，求的值；
(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.
（2）結(jié)合題意，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解.
【詳解】（1），
，即，
解得或（舍）．
（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
則，
由題意得，，解得．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
則，
由題意得，，解得．
綜上，或．
17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，判斷在的單調(diào)性，并用定義法給出證明；
(3)若在區(qū)間上恒不成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)，得到方程，求出；
（2）先得到，定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取值，作差，判號(hào)，下結(jié)論；
（3）參變分離得到，構(gòu)造，換元后得到，根據(jù)單調(diào)性求出其最值，得到結(jié)論.
【詳解】（1）定義域?yàn)镽，
，
由于函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
即，即，
即恒不成立，
．
（2）已知函數(shù)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由第（1）問可得，因此
不妨設(shè)，，且
則
因?yàn)椋虼耍梢驗(yàn)椋虼耍?br/>所以，故，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．
（3）由題得在區(qū)間上恒不成立，即在區(qū)間上恒不成立，
因?yàn)椋裕栽趨^(qū)間上恒不成立，
令，令，
則，
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故．
．
對(duì)任意的恒不成立，且，
．
實(shí)數(shù)的取值范圍是．
18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）令，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將函數(shù)化為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解值域即可；
（2）換元法，設(shè)，，即可化為關(guān)于t的函數(shù)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可解出.
【詳解】（1）當(dāng)，令，所以，
則在上單調(diào)遞減，
所以，，故的取值范圍為；
（2）設(shè)，，因?yàn)椋裕矗?br/>則的兩根為，，整理得，
，，
所以，，所以，則，
所以，則，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
19．（23-24高一上·北京延慶·期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，若，求x的值:
(2)若是偶函數(shù)，求出m的值:
(3)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù).并說明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）利用偶函數(shù)的定義待定系數(shù)計(jì)算即可；
（3）先利用單調(diào)性定義判定函數(shù)單調(diào)性，再分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)奇偶性、單調(diào)性判定根的情況即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí), 若;
（2）若是偶函數(shù), 所以，
即: ，
所以；
（3）當(dāng)時(shí)，由（2）可知，
令，設(shè)，
則，
因?yàn)椋瑒t，
所以，
即 在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，
又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，
易知，所以為偶函數(shù)，，
則，
當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)時(shí)，方程，有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng) 時(shí)，取，則，
所以在上，且在上單調(diào)遞減，
由零點(diǎn)存在性定理可知在上，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
所以時(shí)，方程，有2個(gè)實(shí)數(shù)根.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；
當(dāng)時(shí)，方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng) 時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.
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