資源簡介

第05講 指數函數與對數函數的關系
課程標準 學習目標
1．知道對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數(a＞0且a≠1) 2．能利用反函數與原函數圖像、單調性等性質的關系解決相關的問題． 1．了解反函數的概念，知道指數函數和對數函數互為反函數，了解它們的圖像間的對稱關系． 2．利用圖像比較指數函數、對數函數增長的差異． 3．利用指數、對數函數的圖像性質解決一些簡單問題．
知識點01 反函數的概念
一般地，如果在函數yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為yf(x)的反函數．此時，稱yf(x)存在反函數．而且，如果函數的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數yf(x)的反函數的表達式，可以通過對調yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．
【即學即練1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數沒有反函數的是（　　）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
知識點02 反函數的性質
一般地，函數yf(x)的反函數記作yf－1(x)．則
(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．
(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關于直線yx對稱．
(3)單調函數的反函數一定存在，且互為反函數的兩個函數的單調性相同．
【即學即練2】函數ylog3 x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
知識點03求反函數的步驟
(1)求值域：由函數yf(x)求y的范圍．
(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據條件中x的范圍決定取舍，只取一個．
(3)得反函數：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數．
提醒：求反函數時，若原函數yf(x)的定義域有限制條件，其反函數的定義域只能是根據原函數的值域來求．
【即學即練3】函數yx＋3的反函數為__________．
知識點04指數函數與對數函數的關系
(1)指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數．
(2)指數函數yax與對數函數ylogax的圖像關于直線yx對稱．
【即學即練4】已知a>0，且a≠1，則函數yax與ylogax的圖像只能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
題型01 反函數存在的條件
【典例01】判斷下列函數是否有反函數．
(1)f(x)；(2)g(x)x2－2x.
【變式1】下列各圖象表示的函數中，存在反函數的只能是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】若函數在上存在反函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3】設是定義在上的奇函數，當時，，若存在反函數，則的取值范圍是 ．
【變式4】判斷下列函數是否存在反函數．
(1)y－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
題型02 求反函數的解析式
【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數函數經過點，則它的反函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數y的反函數是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數的反函數為，則的解析式為 ．
【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數與互為反函數，則 .
【變式4】（23-24高一上·上海·期末）函數的反函數為 .
題型03 反函數過定點問題
【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數（且）的反函數過定點 ．
【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學考試）已知函數的圖象過點，其反函數的圖象過點，則的表達式是 .
【變式2】已知函數存在反函數．若函數的圖像經過點（1，1），則函數的圖像必經過點______．
【變式3】已知函數為函數的反函數，且函數的圖象經過點，則函數的圖象一定經過點___________.
題型04 根據反函數求參數
【典例4】（24-25高一上·上海·隨堂練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么a、b的值分別是 、 ．
【變式1】在同一平面直角坐標系中，函數的圖象與的圖象關于直線對稱，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2】已知函數的圖象關于直線對稱，則實數m的值為
題型05 反函數的定義域問題
【典例5】（24-25高一上·全國·課前預習）函數的反函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）函數，的反函數的定義域是（ ）．
A． B．
C． D．
【變式2】函數的反函數的定義域為 ．
【變式3】函數與函數互為反函數，若且，則函數的定義域為（ ）
A． B．R C． D．
【變式4】（多選）已知函數和，以下結論正確的有（ ）
A．它們互為反函數 B．它們的定義域與值域正好互換
C．它們的單調性相反 D．它們的圖像關于直線對稱
題型06 反函數的圖像
【典例6】（2023·遼寧·高一校聯考期末）如圖，已知函數，則它的反函數的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023·高一課時練習）函數的圖像經過第二、第三象限，則的圖像經過（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數 與函數 的圖象關于直線 對稱，則 的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
題型07 單調性問題
【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【變式2】若函數，函數與函數圖象關于對稱，則的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
題型08反函數與零點問題
【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習）若，分別是方程，的根，則（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型09 指數函數與對數函數的綜合應用
【典例9】　已知f(x)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函數；
(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【變式1】已知指數函數的反函數為．
(1)求函數的解析式；
(2)已知函數，求不等式的解集．
【變式2】設函數（其中且）．
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，，如果當時，恒不成立，求a的取值范圍．
【變式3】已知，
(1)求的反函數；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
一、單選題
1．下列命題組真命題的個數為（ ）
①存在反函數的函數一定是單調函數
②偶函數存在反函數
③奇函數必存在反函數
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函數是與函數的圖象（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱
C．關于原點對稱 D．關于直線對稱
3．若函數是函數（且）的反函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知函數的反函數為，則的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數過點，若的反函數為，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
6．函數的反函數的解析表達式為（ ）
A． B． C． D．
7．若函數的反函數為，則必有（ ）
A．，為任意實數； B．，為任意實數；
C．，； D．，或，為任意實數．
8．已知函數的反函數圖像的對稱中心是，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．設且，函數，下列說法正確的是（ ）
A．與在各自的定義域內有相同的單調性
B．與兩者的圖象關于直線對稱
C．與兩者都既不是奇函數，又不是偶函數
D．與有相同的定義域和值域
10．設分別是方程與的實數解，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，則關于函數說法正確的是（ ）
A．函數的圖象關于原點對稱 B．函數的圖象關于軸對稱
C．函數的最小值為 D．函數在上為減函數
三、填空題
12．已知函數是函數的反函數，則過定點 .
13．已知函數，，則 .
14．定義在上的函數不存在反函數，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
15．函數與互為反函數，若（x<0）．求函數的解析式，定義域，值域．
16．已知
(1)求，并指出其在定義域內的單調性，無需寫出證明過程；
(2)已知為的反函數，解不等式．
17．已知
(1)求的反函數；
(2)若 ，求a的值.
(3)如何作出滿足（2）中條件的的圖像
18．我們知道與（且）互為反函數，它們具有以下性質：①圖象關于直線對稱；②的定義域是的值域，的值域是的定義域，反之亦然；③若點在函數的圖象上，則點一定在函數的圖象上.
(1)若函數與互為反函數，求實數a，b的值；
(2)運用（1）題中得到的函數，若對，使得不成立，求實數a的取值范圍.
19．已知函數，且的反函數為.
(1)求的值；
(2)若函數，問：是否存在零點，若存在，請求出零點及相應實數的取值范圍：若不存在，請說明理由
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第05講 指數函數與對數函數的關系
課程標準 學習目標
1．知道對數函數ylogax與指數函數yax互為反函數(a＞0且a≠1) 2．能利用反函數與原函數圖像、單調性等性質的關系解決相關的問題． 1．了解反函數的概念，知道指數函數和對數函數互為反函數，了解它們的圖像間的對稱關系． 2．利用圖像比較指數函數、對數函數增長的差異． 3．利用指數、對數函數的圖像性質解決一些簡單問題．
知識點01 反函數的概念
一般地，如果在函數yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應，那么x是y的函數，這個函數稱為yf(x)的反函數．此時，稱yf(x)存在反函數．而且，如果函數的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數yf(x)的反函數的表達式，可以通過對調yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．
【即學即練1】（24-25高一上·上海·課堂例題）下列函數沒有反函數的是（　　）
①；②；③；④
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】根據與之間是否一一對應逐個分析判斷即可.
【詳解】對于①，當時，，所以沒有反函數；
對于②，當時，，所以沒有反函數；
對于③，與一一對應，所以有反函數；
對于④，當時，或，所以沒有反函數．
知識點02 反函數的性質
一般地，函數yf(x)的反函數記作yf－1(x)．則
(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．
(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關于直線yx對稱．
(3)單調函數的反函數一定存在，且互為反函數的兩個函數的單調性相同．
【即學即練2】函數ylog3 x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
【答案】A　
【詳解】由原函數與反函數間的關系知，反函數的值域為原函數的定義域，故選A．
知識點03求反函數的步驟
(1)求值域：由函數yf(x)求y的范圍．
(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據條件中x的范圍決定取舍，只取一個．
(3)得反函數：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數．
提醒：求反函數時，若原函數yf(x)的定義域有限制條件，其反函數的定義域只能是根據原函數的值域來求．
【即學即練3】函數yx＋3的反函數為__________．
【答案】yx－3(x∈R)　
【詳解】由yx＋3，得xy－3，x，y互換得yx－3，所以原函數的反函數為yx－3(x∈R)．
知識點04指數函數與對數函數的關系
(1)指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數．
(2)指數函數yax與對數函數ylogax的圖像關于直線yx對稱．
【即學即練4】已知a>0，且a≠1，則函數yax與ylogax的圖像只能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　D
【答案】A
【詳解】因為a>1時，是減函數，恒過(0,1)點，ylogax為增函數，恒過(1,0)點，故選A．
題型01 反函數存在的條件
【典例01】判斷下列函數是否有反函數．
(1)f(x)；(2)g(x)x2－2x.
【分析】由反函數的定義判斷，當函數沒有反函數時，可取值說明．
【詳解】　(1)令yf(x)，因為y1＋，是由反比例函數y向右平移一個單位，向上平移一個單位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x與之對應，所以f(x)存在反函數．
(2)令g(x)3，即x2－2x－30，
解得x－1或x3，
即對應的x不唯一，因此g(x)的反函數不存在．
【變式1】下列各圖象表示的函數中，存在反函數的只能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據反函數的定義，存在反函數的函數應滿足一個y至多對應一個x.
對于A，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，A錯；
對于B，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，B錯；
對于C，當y為正數時，一個y對應兩個x，不滿足反函數的定義，C錯；
對于D，滿足反函數的定義，D對.
【變式2】若函數在上存在反函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函數在上存在反函數，
則函數在上單調即可，
又因為函數在上遞減，在上遞增，
所以，所以..
【變式3】設是定義在上的奇函數，當時，，若存在反函數，則的取值范圍是 ．
【答案】或.
【解析】當時，，，是定義在上的奇函數，
所以，即時，，
所以，
若存在反函數，則在每段單調且各段值域無重合，
當，，；
所以或
所以或.
【變式4】判斷下列函數是否存在反函數．
(1)y－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．
【解析】　(1)y－2是由函數y向左平移1個單位，向下平移2個單位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應，所以函數存在反函數．
(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，對稱軸為x1，在(1，＋∞)上是減函數，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應，所以函數存在反函數．
題型02 求反函數的解析式
【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數函數經過點，則它的反函數的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指數函數的定義，結合反函數的概念即可求解.
【詳解】設指數函數且，點在的圖象上，
所以，解得.
所以，故反函數.
【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數y的反函數是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據反函數定義求解即可.
【詳解】解：∵y，∴，
∴，即，∴，
將x，y調換可得，，
故函數y的反函數是．
．
【變式2】（24-25高一上·上海·隨堂練習）若函數的反函數為，則的解析式為 ．
【答案】
【分析】根據反函數的定義求解即可.
【詳解】由，
得，
將互換得，，
且函數的值域為R，
因此，函數，
故答案為：．
【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數與互為反函數，則 .
【答案】9
【分析】由指數函數與對數函數互為反函數可得答案.
【詳解】由對數函數的反函數為相應的指數函數可得，
故.
故答案為：9.
【變式4】（23-24高一上·上海·期末）函數的反函數為 .
【答案】
【分析】利用反函數的定義求解即可.
【詳解】因為的反函數為，
所以，則.
故答案為：.
題型03 反函數過定點問題
【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數（且）的反函數過定點 ．
【答案】
【分析】根據指數函數的性質及反函數的性質計算得到.
【詳解】對于函數（且），令，即，所以，
即函數（且）恒過點，
所以函數（且）的反函數恒過點.
故答案為：
【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學考試）已知函數的圖象過點，其反函數的圖象過點，則的表達式是 .
【答案】.
【分析】利用互為反函數的兩函數圖象對稱性可得函數也過，代入點的坐標待定系數可得.
【詳解】由函數的圖象與其反函數的圖象關于對稱，
又其反函數的圖象過點，則函數的圖象過點.
則，解得.
又函數的圖象過點，
則，解得.
故.
故答案為：.
【變式2】已知函數存在反函數．若函數的圖像經過點（1，1），則函數的圖像必經過點______．
【答案】
【分析】由已知可得，再由反函數的性質可得，從而可得，進而可得答案
【詳解】因為函數的圖像經過點（1，1），所以，得，
所以由反函數的性質可得，所以，所以函數的圖像必經過點，故答案為：
【變式3】已知函數為函數的反函數，且函數的圖象經過點，則函數的圖象一定經過點___________.
【答案】
【分析】先求出函數的的圖象經過點的坐標，再由函數與函數的圖象關于對稱即可求解.
【詳解】因為函數的圖象經過點，所以函數的的圖象經過點，因為函數與函數的圖象關于對稱，所以函數的圖象一定經過點，故答案為：.
題型04 根據反函數求參數
【典例4】（24-25高一上·上海·隨堂練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么a、b的值分別是 、 ．
【答案】 －9
【分析】根據反函數的定義即可求解.
【詳解】因為直線與直線關于直線對稱，
所以函數與互為反函數，
又的反函數為，
所以，．
故答案為：；.
【變式1】在同一平面直角坐標系中，函數的圖象與的圖象關于直線對稱，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題得根據即得解.
【詳解】解：因為函數的圖象與的圖象關于直線對稱，所以因為，所以.
【變式2】已知函數的圖象關于直線對稱，則實數m的值為
【答案】1
【解析】由得，
即，即的反函數為，
因為函數的圖象關于直線對稱，
故與為同一函數，故.
題型05 反函數的定義域問題
【典例5】（24-25高一上·全國·課前預習）函數的反函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算函數的值域，可求出原函數的反函數的定義域.
【詳解】由對數函數的性質可得：函數的值域為，
則反函數的定義域為.
.
【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習）函數，的反函數的定義域是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據反函數的定義域就是原函數的值域求解即可.
【詳解】因為函數在單調遞增，
所以，
即，
因為反函數的定義域是原函數的值域，
所以反函數的定義域為，
．
【變式2】函數的反函數的定義域為 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴函數的值域為．
∵的定義域即函數的值域
∴的定義域為．
【變式3】函數與函數互為反函數，若且，則函數的定義域為（ ）
A． B．R C． D．
【答案】D
【解析】∵當時，，
∴函數，的值域為，
又與互為反函數互為反函數，
故的定義域為..
【變式4】（多選）已知函數和，以下結論正確的有（ ）
A．它們互為反函數 B．它們的定義域與值域正好互換
C．它們的單調性相反 D．它們的圖像關于直線對稱
【答案】ABD
【解析】A選項，注意到，則其與函數互為反函數，故A正確；
B選項，函數定義域為，值域為R.
函數定義域為R，值域為.故B正確；
C選項，當時，兩函數均在定義域內單調遞減.
當時，兩函數均在定義域內單調遞增.故C錯誤；
D選項，兩函數互為反函數，則函數圖像關于直線對稱，故D正確.
BD.
題型06 反函數的圖像
【典例6】（2023·遼寧·高一校聯考期末）如圖，已知函數，則它的反函數的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意得，函數的反函數是，
這是一個在上的單調遞增函數，且，
所以只有選項C的圖像符合..
【變式1】（2023·高一課時練習）函數的圖像經過第二、第三象限，則的圖像經過（ ）
A．第一、第二象限； B．第二、第三象限；
C．第三、第四象限； D．第一、第四象限．
【答案】D
【解析】∵的圖像與的圖像關于直線對稱，
若函數的圖像經過第二象限，
即的圖像上的任意點滿足，
則關于直線的對稱點在第四象限，
且在的圖像上，
∴的圖像經過第四象限；
同理可得：若函數的圖像經過第三象限，
則的圖像經過第三象限；
故的圖像經過第三、第四象限..
【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數 與函數 的圖象關于直線 對稱，則 的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意首先得，根據它的定義域、單調性以及它所過定點即可得解.
【詳解】由題意函數 與函數 互為反函數，
所以，解得，它在定義域內單調遞增，且過定點，
對比選項可知A符合題意.
.
【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習）如果直線與直線關于直線對稱，那么，的值分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】利用反函數的性質直接求解即可.
【詳解】因為直線與直線關于直線對稱，顯然，
所以函數與函數互為反函數，
又因為的反函數為，
所以，即，
題型07 單調性問題
【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數與的圖象關于直線對稱，且，則函數的單調遞減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用反函數知識求出，結合復合函數的單調性可判斷出的單調遞減區間.
【詳解】因為函數與的圖象關于直線對稱，
所以，
因為，所以，解得：.
所以，
由，可得的定義域為，
令，則在單調遞減，
而在定義域單調遞增，
由復合函數的單調性可知:在單調遞減.
.
【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，則函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意，函數與互為反函數，求得，然后根據復合函數單調性的性質得出答案.
【詳解】由題意，函數與互為反函數，則，
所以，
由，解得或，即函數的定義域為或，
令，
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
又在上單調遞增，
所以的單調遞增區間為.
.
【變式2】若函數，函數與函數圖象關于對稱，則的單調減區間是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用反函數的性質及復合函數單調性的性質求解即可.
【詳解】∵函數與的圖象關于直線對稱，
∴函數是的反函數，則，
∴，
由，解得，
所以的定義域為，
令，，
在上單調遞增，在上單調遞減，
又在上單調遞減，
∴的單調減區間為.
.
題型08反函數與零點問題
【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】對于A，用函數圖象的對稱性來判斷；對于B，利用零點存在定理來判斷；對于C，直接計算可得答案；對于D，作差判斷大小．
【詳解】對于A、C，方程與的根分別為，，
即與的交點橫坐標為，與的交點橫坐標為，
由題知，，
與的圖象關于對稱，
都與相交，可得點與點,關于對稱，
所以，即，故A，C正確；
設，顯然函數在R上單調遞增，
又，
對于B，由零點存在定理可知，根據對稱性可得，B正確；
對于D，由B選項知，，，
則，
所以，D錯誤，
．
【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習）若是函數的零點，是函數的零點，則的值為（ ）
A．1 B．2023 C． D．4046
【答案】C
【分析】利用指數函數與對數函數互為反函數，其圖象關于對稱，結合反比例函數的圖象也關于對稱，從而數形結合即可得解.
【詳解】因為是函數的一個零點，是函數的一個零點，
所以，，即，，
設函數與的交點為，則，，
設函數與的交點為，則，，
因為函數與函數互為反函數，
所以它們的圖象關于對稱，
而的圖象也關于對稱，
所以點關于對稱，即，
所以由得，即.
.
【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習）若，分別是方程，的根，則（ ）
A． B．2023 C． D．4046
【答案】A
【分析】由于的圖像與圖像關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，利用對稱性，結合數形結合，再利用中點坐標公式可求出的值.
【詳解】
由題意可得是函數的圖像與直線交點的橫坐標，是函數圖像與直線交點的橫坐標，
因為的圖像與圖像關于直線對稱，而直線也關于直線對稱，
所以線段的中點就是直線與的交點，
由，得，即線段的中點為，
所以.
【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】作出函數和的圖象以及直線的圖象，利用反函數的性質即可判斷
【詳解】作出函數和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，
由題意知，也即,
由于函數和互為反函數，
二者圖像關于直線對稱，
而為和的圖象與直線的交點,
故關于對稱，
故.
.
題型09 指數函數與對數函數的綜合應用
【典例9】　已知f(x)(a∈R)，f(0)0．
(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的反函數；
(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2．
【分析】(1)判斷奇偶性 奇偶性定義．
(2)求反函數 反解，改寫，標注定義域．
(3)對數不等式 構建不等式組 解不等式組 得出解集．
【詳解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)．
因為f(x)＋f(－x)＋＋0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)為奇函數．
(2)因為f(x)y1－，
所以2x(－1所以f－1(x)log2(－1(3)因為f－1(x)>log2，
即log2>log2，
所以所以
所以當0當k≥2時，原不等式的解集為{x|－1【變式1】已知指數函數的反函數為．
(1)求函數的解析式；
(2)已知函數，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據指數函數的定義可得，再根據指數函數的反函數是對數函數分析可解；
（2）根據奇偶性的定義以及復合函數單調性判斷的奇偶性和單調性，進而解不等式.
【詳解】（1）若為指數函數，
則，且，解得，即，
所以指數函數的反函數為.
（2）因為，可知的定義域為，
且，
可知為定義在上的偶函數，
又因為在上單調遞增，且在定義域內單調遞增，
所以在上單調遞增，且在內單調遞減，
對于不等式，可得，
整理得，解得，
所以等式的解集為.
【變式2】設函數（其中且）．
(1)求函數的解析式；
(2)設函數，，如果當時，恒不成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據求反函數的基本方法求出反函數即可；
（2）先求出的解析式，依題意，可得，根據，可轉化為二次函數的恒不成立問題，即可求出a的取值范圍．
【詳解】（1），．
（2），，
依題意，，即．
由，得，
解得，即，
設，其對稱軸，
所以函數在單調遞增．
由，
解得，又，
所以a的取值范圍是.
【變式3】已知，
(1)求的反函數；
(2)已知，若，使得，求的最大值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）易得，從而根據其單調性求得值域，然后再利用反函數的定義求解；
（2）易得，由，得到其定義域為，由在上單調遞增，其中．根據，由得到求解.
【詳解】（1）解：，
則其在上單調遞增，其值域為．
在中互換得，整理得，
，即反函數，定義域為．
（2）依題意，
其中，解得，即的定義域為，
則在上單調遞增，其中．
，
，
．
，
當且僅當，即時取得，此時不成立，
的最大值為．
一、單選題
1．下列命題組真命題的個數為（ ）
①存在反函數的函數一定是單調函數
②偶函數存在反函數
③奇函數必存在反函數
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】取特例結合反函數定義和性質判斷即可.
【詳解】對①，取函數，顯然存在反函數，但不單調，①錯誤；
對②，取偶函數函數，則，顯然函數不存在反函數，②錯誤；
對③，取奇函數函數，當時有和與之對應，
即從到的映射不滿足函數定義，故奇函數沒有反函數，③錯誤.
2．函數是與函數的圖象（ ）
A．關于軸對稱 B．關于軸對稱
C．關于原點對稱 D．關于直線對稱
【答案】A
【分析】根據指數函數與對數函數的關系判斷可得出結論.
【詳解】函數是與函數的圖象關于直線對稱.
.
3．若函數是函數（且）的反函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可得出，結合可得出的值，進而可求得函數的解析式.
【詳解】由于函數是函數（且）的反函數，則，
則，解得，因此，.
.
4．已知函數的反函數為，則的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先求出函數的反函數，進而得到，再利用單調性排除部分選項，再利用特殊值法求解.
【詳解】因為函數的反函數為，
所以，是R上的減函數，
排除AB，
又當時，，排除D,
.
5．已知函數過點，若的反函數為，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把點代入，求得解析式，可得反函數解析式，由，得的定義域為，可求值域.
【詳解】函數過點，則，解得，
∴，的反函數為，得，
由，∴的定義域為，當，有，則的值域為.
6．函數的反函數的解析表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將中的互換位置，再化簡得到.
【詳解】令，化簡得：，即.
7．若函數的反函數為，則必有（ ）
A．，為任意實數； B．，為任意實數；
C．，； D．，或，為任意實數．
【答案】A
【分析】根據題意結合反函數的概念運算求解.
【詳解】由，解得，
故函數的反函數為，
由題意可得：，解得或，
故A錯誤，B、C不一定不成立，D正確.
.
8．已知函數的反函數圖像的對稱中心是，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題可根據反函數性質得出函數的對稱中心是，然后通過即可得出結果.
【詳解】因為函數的反函數圖像的對稱中心是，
所以函數的對稱中心是，
則，即，解得，
.
二、多選題
9．設且，函數，下列說法正確的是（ ）
A．與在各自的定義域內有相同的單調性
B．與兩者的圖象關于直線對稱
C．與兩者都既不是奇函數，又不是偶函數
D．與有相同的定義域和值域
【答案】ABC
【分析】根據指對數的關系及指對數函數的性質判斷各項正誤.
【詳解】由指對數關系知：互為反函數，即關于直線對稱，B對；
由于相同，則在各自定義域上單調性相同，且都是非奇非偶函數，A、C對；
由定義域為R，值域為，定義域為，值域為R，
所以與的定義域和值域都不同，D錯.
BC
10．設分別是方程與的實數解，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用反函數性質結合圖像求解即可.
【詳解】方程與分別變形為：
因為和互為反函數，且關于對稱，
所以，故CD正確，
畫出和，的圖像，易知A正確；
又因為，結合圖像，易知，故B錯誤.
CD
11．已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，令，則關于函數說法正確的是（ ）
A．函數的圖象關于原點對稱 B．函數的圖象關于軸對稱
C．函數的最小值為 D．函數在上為減函數
【答案】CC
【分析】求出的解析式后可研究函數的奇偶性、單調性和最值等性質，從而可得正確的選項.
【詳解】因為函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，
所以，則，，
，
則函數為偶函數，圖象關于軸對稱，所以B正確，A錯誤；
函數在上單調遞減，在上單調遞增，
根據復合函數的單調性可得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，所以C正確，D錯誤.
C.
三、填空題
12．已知函數是函數的反函數，則過定點 .
【答案】
【分析】首先求出原函數過定點坐標，再根據反函數的性質得解
【詳解】函數是函數的反函數，
又函數過定點所以函數過定點.
故答案為：
13．已知函數，，則 .
【答案】3
【分析】求反函數的值的問題，只需利用原函數與反函數的內在聯系，使原函數的函數值取反函數的自變量的值，在原函數的定義域內求得自變量的值即反函數的對應函數值.
【詳解】根據原函數與其反函數的關系，要求的值，
只需使函數()的函數值取，即，解得，
因，故，即得：
故答案為：.
14．定義在上的函數不存在反函數，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由題意函數在上不存在反函數，即函數在區間上不是單調函數，由此得出的不等關系式，求解即可.
【詳解】由題意當時，，
若函數在上不存在反函數，
則，所以.
故答案為：.
四、解答題
15．函數與互為反函數，若（x<0）．求函數的解析式，定義域，值域．
【答案】，定義域為，值域為．
【分析】根據指數函數與對數函數互為反函數，可求的解析式，根據原函數與反函數定義域和值域的關系可求定義域和值域.
【詳解】是增函數，所以，
故的定義域為，值域為，
所以，，定義域為，值域為．
16．已知
(1)求，并指出其在定義域內的單調性，無需寫出證明過程；
(2)已知為的反函數，解不等式．
【答案】(1)，在上單調遞增
(2)
【分析】（1）取，，代入函數化簡得到解析式，根據解析式確定單調性即可.
（2）確定的值域為的定義域，的解集為，根據解得答案.
【詳解】（1）取，則，，，
即，定義域為，
設，，則，函數單調遞增，在上單調遞增，
故在上單調遞增．
（2）的值域為的定義域，在上單調遞增，
故時，的取值范圍為，故的解集為，
，可得，解集為．
17．已知
(1)求的反函數；
(2)若 ，求a的值.
(3)如何作出滿足（2）中條件的的圖像
【答案】(1)
(2)
(3)答案見解析
【分析】（1）用表示出即可求解反函數，
（2）根據，即可列方程求解，
（3）根據函數圖象的平移即可求解.
【詳解】（1）由得.
∴的反函數為
（2）若，即，化簡得，解得.
（3）當時，，
只需要將反比例函數圖像向右平移2個單位，再向上平移2個單位，即得圖象，故圖象如下：
18．我們知道與（且）互為反函數，它們具有以下性質：①圖象關于直線對稱；②的定義域是的值域，的值域是的定義域，反之亦然；③若點在函數的圖象上，則點一定在函數的圖象上.
(1)若函數與互為反函數，求實數a，b的值；
(2)運用（1）題中得到的函數，若對，使得不成立，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據互為反函數的定義，在已知函數圖像上取點，通過另一個函數計算求得參數值；
（2）理解題設命題的含義即：，分別求兩函數在給定區間上的最小值函數，最后通過解不等式即可求得參數范圍.
【詳解】（1）由題知，與互為反函數，所以，
又因為函數圖像過點，所以函數圖像過點，即，所以，
即.
（2）由（1）知，顯然在上單調遞增 ，所以 .
令則則，，其圖像對稱軸為直線，
則即
因，使得，即，
①當時，由得，故舍去；
②當時，由得，即或，故；
③當時，由，即，所以.
綜上可得：a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查互為反函數的兩函數的聯系和通過運用量詞“”連接的命題的真假求解參數范圍.
解題的關鍵是理解互為反函數的兩函數在結構和圖像上的點關于直線對稱的關系.對于用量詞“”連接的命題，若是其中含不等號，則是兩函數的最值間的大小關系；若是等式，則一般利用變量分離法轉化成參數與對應函數值域的包含關系來解決.
19．已知函數，且的反函數為.
(1)求的值；
(2)若函數，問：是否存在零點，若存在，請求出零點及相應實數的取值范圍：若不存在，請說明理由
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據反函數的概念求出函數的解析式，再利用對數的運算性質和對數恒等式可求得所求代數式的值；
（2）設，對判別式的符號分類討論，判斷函數的零點個數，結合二次方程以及對數與指數的互化可得出函數的零點.
【詳解】（1）由題意可得，
所以.
（2）因為，令，則，
設，則，
①當，即時，函數無零點；
②當，即時，令解得，
由解得，所以此時的零點為；
③當，即時，的根為，，
由可得或，解得或，
此時的零點為和；
綜上所述，當時，函數無零點；
當時，函數的零點為；
當時，函數的零點為和.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑