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第八章 一元二次方程
5 一元二次方程的根與系數的關系
列清單·劃重點
知識點1 一元二次方程的根與系數的關系
一元二次方程 的兩根分別為x 和 x ，則方程的根與系數間的關系是 .此關系也稱韋達定理.
注意
一元二次方程 的根與系數的關系成立的前提條件：判別式
知識點2 一元二次方程的根與系數的關系的知識拓展
有關根與系數的關系的三個重要推論：
1.以x ，x 為實數根的一元二次方程(二次項系數為1)的表達式是 x+ =0.
2.如果方程的兩個實數根是x ,x ,那么
3.與兩根有關的幾個代數式的變形：
①兩根倒數和：
②兩根平方和：
③兩根差的平方：
④兩根平方的倒數的和：
明考點·識方法
考點1 不解方程，求方程的兩根之和與兩根之積
典例1 利用根與系數的關系，求下列方程兩根的和與兩根的積：
思路導析 先整理成一般形式確定a，b，c，再利用 和 求兩根之和與兩根之積.
變式 若是一元二次方程 6=0的兩個根，則
.
考點2 利用一元二次方程根與系數的關系求代數式的值
典例2 設x ,x 是方程 的兩個根，利用根與系數的關系求下列各式的值：
思路導析 根據一元二次方程根與系數的關系， 可以求得方程兩根的和與兩根的積，把要求的各式子都整理成兩根的和與兩根的積的形式，再把兩根的和與兩根的積的值代入即可求解.
變式1 已知x ,x 是方程 的兩個實數根，則代數式 的值為 .
變式2 已知實數a,b滿足 則 的值為 .
考點3 利用一元二次方程根與系數的關系求方程的根及參數
典例3 已知關于x的一元二次方程.若該方程有一根為1，求m 的值和該方程的另一個根.
思路導析 設一元二次方程 另一個根為α，根據一元二次方程根與系數的關系列出方程，即可解得答案.
變式 已知關于x的一元二次方程.
(1)求證：無論 m 取何值，方程都有兩個不相等的實數根；
(2)如果方程的兩個實數根為x ，x ，且 求m的值.
當堂測·夯基礎
1.一元二次方程 1=0的兩根為x ,x ,則 的值為( )
A. B. -3 C. 3
2.已知關于x的方程 的兩實數根為x ，x ，若 則m的值為 ( )
A. -3 B. -1 C. -3或1 D. -1或3
3.已知方程 的一個根為-2，則方程的另一個根為 .
4.若一元二次方程 4x-1=0的兩根為m,n,則 n 的值為 .
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點
知識點2 2.
【明考點·識方法】
典例1
解：
∴方程有兩個相等的實數根.
整理，得
∵a=2,b=3,c=0,
∴方程有兩個不相等的實數根.
變式 5 6
典例2
解：由題意，得
(1)原式 (-2)+1=-2.5;
(2) 原式
(3) 原式
變式1 4049
變式2 或2
典例3
解:把x=1代入原方程得.∴原方程就是
設方程的另一個根為α，由根與系數的關系得1+α=4，∴α=3,
答：m的值是2，該方程的另一個根為3.
變式
解:(1)證明: 這里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數根；
(2)設方程x -(m+2)x+m-1=0的兩個實數根為x ,x ,
則
即
整理，得
∴,解得 ∴m的值為-2或1.
【當堂測·夯基礎】
1. C 2. A 3. 4 4. 6
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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