資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第八章 一元二次方程
6 一元二次方程的應(yīng)用
列清單·劃重點(diǎn)
知識點(diǎn)1 列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟
列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟可以歸納為：審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.其具體過程是：
(1)審題：閱讀題目，明確已知量與未知量；
(2)找 ：尋找已知量和未知量之間的聯(lián)系，用運(yùn)算符號和等號連接；
(3)設(shè) ：一是直接設(shè)所求的量為x，二是間接設(shè)與所求的量緊密相關(guān)且起著關(guān)鍵性作用的量為x，注意設(shè)未知數(shù)要帶單位；
(4)列 ：用含有x的代數(shù)式把等量關(guān)系中的各個量表示出來，列出方程；
(5)解 ：選擇合適的方法解方程；
(6) ：檢驗(yàn)兩個解是否符合題意，舍去不符合題意的解；
(7)寫 .
知識點(diǎn)2 列一元二次方程解應(yīng)用題的常見類型
1.面積問題.
2.平均增長率(降低率)問題：
變化前的基數(shù)(a)，增長率或降低率(x)，變化的次數(shù)(n)，變化后的基數(shù)(b)，這四者之間的關(guān)系可用公式 a(1±x) =b表示.
3.利潤問題：
單利潤= .
總利潤=總售價(jià)-總進(jìn)價(jià)= .
4.與幾何圖形結(jié)合.
5.動點(diǎn)問題：
這類問題的特點(diǎn)是圖形中的某個元素，按照某種規(guī)律在運(yùn)動，但不管是點(diǎn)在運(yùn)動，還是線在運(yùn)動，或圖形在運(yùn)動，解題時(shí)不要被“動”所迷惑，而應(yīng)在動中求靜，尋求確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑.
明考點(diǎn)·識方法
考點(diǎn)1 幾何圖形問題
典例1 某校為了美化校園，準(zhǔn)備在一塊長32米、寬20米的長方形場地上修筑若干條等寬道路，余下部分作草坪，使草坪面積為540平方米，并請全校同學(xué)參與設(shè)計(jì)，現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案(如圖)，請你根據(jù)兩種設(shè)計(jì)方案各列出方程，求圖1圖2中道路的寬分別是多少
思路導(dǎo)析 圖1：設(shè)道路的寬為x米.草坪長應(yīng)該為(32-2x)米,寬應(yīng)該為(20-2x)米;那么根據(jù)草坪的面積為540平方米，即可得出方程，求解即可；圖2：如果設(shè)路寬為x 米，草坪的長應(yīng)該為(32-x)米,寬應(yīng)該為(20-x)米;那么根據(jù)草坪的面積為540平方米，即可得出方程，求解即可.
變式 如圖，老李想用長為70 m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈 ABCD，并在邊 BC上留一個2m 寬的門(建在EF 處，另用其他材料).
(1)當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個面積為640 m 的羊圈
(2)羊圈的面積能達(dá)到650 m 嗎 如果能，請你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請說明理由.
考點(diǎn)2 平均增長 (降低)率問題
典例2 為建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū).某市 2021年投入資金1000 萬元,2023 年投入資金 1440 萬元.現(xiàn)假定每年投入的資金年增長率相同.
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
(2)2023 年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個小區(qū)96萬元，2024年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費(fèi)用增加50%.如果投入資金的年平均增長率保持不變，那么該市在2024年最多可以改造多少個老舊小區(qū)
思路導(dǎo)析 (1)設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，列出方程 1440,解答即可;
(2)設(shè)該市在2024年可以改造y個老舊小區(qū)，列出不等式96×(1+50%)y≤1440×(1+20%),解答即可.
變式 為了減輕老百姓醫(yī)療負(fù)擔(dān)，某制藥廠將一種藥劑價(jià)格逐年降低.2022 年這種藥劑價(jià)格為 400 元，2024年該藥劑價(jià)格為196元.
(1)求2022年到2024年這種藥劑價(jià)格的年平均下降率；
(2)該制藥廠計(jì)劃 2025年對此藥劑繼續(xù)降價(jià)，并要求此種藥劑的價(jià)格不低于 147元，則此次價(jià)格的下降率最多是多少
考點(diǎn)3 營銷利潤問題
典例3 某特產(chǎn)專賣店銷售某種特產(chǎn)，其進(jìn)價(jià)為每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100千克，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克.專賣店銷售這種特產(chǎn)若想要平均每天獲利2240元，且銷售量盡可能大，則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)為多少元
(1)解：方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，由題意，得方程為 ;
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降低后定價(jià)為x元，由題意，得方程為______________________.
(2)請你選擇一種方法，寫出完整的解答過程.
思路導(dǎo)析 (1)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元，則銷售量為(100+10x),每件利潤為(60-x-40)元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程即可；
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，則銷售量為[100+10(60-x)]亻件,每件利潤為(x-40)元，利用銷售量×每件利潤=2240元列出方程即可.
(2)利用(1)中所列方程求出答案.
變式 某商店銷售某種商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低0.5元，平均每天可多售出2件.
(1)若降價(jià) 3 元，則平均每天銷售數(shù)量為 件;
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤為2100元
考點(diǎn)4 動態(tài)幾何問題
典例 4 如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,動點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)沿邊 AB 向點(diǎn) B以2cm/s的速度移動，同時(shí)動點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊 BC 向點(diǎn) C 以 4 cm/s的速度移動，當(dāng)P 運(yùn)動到 B 點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 ts.
(1)BP= cm;BQ= cm;.(用含 t的代數(shù)式表示)
(2)D 是AC 的中點(diǎn),連接 PD,QD,t 為何值時(shí)△PDQ的面積為40 cm
思路導(dǎo)析 (1)根據(jù)速度×?xí)r間=路程列出代數(shù)式即可；
(2)過點(diǎn) D 作DH⊥BC 于點(diǎn) H,利用三角形中位線定理求得DH的長度；然后根據(jù)題意和三角形的面積列出方程，求出方程的解即可.
變式 如圖，已知矩形ABCD 的邊長AB=3c m,BC=6 cm,某一時(shí)刻，動點(diǎn) M 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AB 方向以1 cm/s的速度向點(diǎn) B 勻速運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)N 從點(diǎn) D 出發(fā)沿 DA 方向以 2cm /s的速度向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn) M 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，問：
(1)經(jīng)過多長時(shí)間，MN的長為
(2)經(jīng)過多長時(shí)間，△AMN 的面積等于矩形ABCD 面積的 ？
當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)
1.為了改善居民生活環(huán)境，云寧小區(qū)對一塊矩形空地進(jìn)行綠化，這塊空地的長比寬多6米，面積為720平方米，設(shè)矩形空地的長為x 米，根據(jù)題意，所列方程正確的是 ( )
2.眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從 2021年的 670 千克增長到了2023年的780 千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為x，則可列方程為 ( )
3.如圖所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8cm ,點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)開始沿 AB 向 B 點(diǎn)以l cm/s的速度移動,點(diǎn) Q 從 B 點(diǎn)開始沿BC 邊向C 點(diǎn)以 2cm /s的速度移動.如果點(diǎn) P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn) C 時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，那么 秒后,線段 PQ將△ABC分成面積1：2的兩部分.
4.為增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，提高學(xué)生籃球運(yùn)動競技水平，揚(yáng)州市開展“市長杯”籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式(每兩隊(duì)之間賽一場).現(xiàn)計(jì)劃賽程3天，每天安排5場比賽，則應(yīng)邀請 個球隊(duì)參賽.
5.在過去的 2023年,直播電商一詞，我們并不陌生.原本以內(nèi)容為主的視頻平臺在入局電商后，大力開拓直播帶貨模式，并實(shí)現(xiàn)高速增長.某電商對一款成本價(jià)為 40 元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件 60 元銷售，每天可賣出 20 件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低 5元，日銷售量增加10件.若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為 元.
6.一村民在 2021 年承包種植橙子樹 200 畝，由于第一年收成不錯，該村民每年都增加種植面積，到2023年,共種植288畝.
(1)求該村民這兩年種植橙子畝數(shù)的年平均增長率；
(2)某水果批發(fā)店銷售該種橙子，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)橙子售價(jià)為18 元/千克時(shí)，每天能售出 120 千克，售價(jià)每降低 2元，每天可多售出 30千克，為了減少庫存，該店決定降價(jià)促銷，已知該橙子的平均成本價(jià)為8元/千克，若使銷售該種橙子每天獲利840元，則售價(jià)應(yīng)降低多少元
參考答案
【列清單·劃重點(diǎn)】
知識點(diǎn)1 (2)等量關(guān)系 (3)未知數(shù) (4)方程 (5)方程 (6)檢驗(yàn) (7)答
知識點(diǎn)2 3.售價(jià)一進(jìn)價(jià) 單利潤×數(shù)量
【明考點(diǎn)·識方法】
典例1
解：圖1：設(shè)道路的寬為x米.依題意得(32-2x)(20-2x)=540,
整理得 即(x-1)(x-25)=0,
解得 (不合題意舍去).
答：道路寬為1米；
圖2：設(shè)道路的寬為x米.依題意得(32-x)(20-x)=540,
整理得 即((x-2)(x-50)=0,
解得 (不合題意舍去).
答：道路寬為2米.
變式
解:(1)設(shè)矩形ABCD的邊AB= xm,則邊BC=70-2x+2=(72-2x)m.
根據(jù)題意,得x(72-2x)=640,化簡，得
解得
當(dāng)x=16時(shí),72-2x=72-32=40(m),
當(dāng)x=20時(shí),72-2x=72-40=32(m).
答：當(dāng)羊圈的長為40 m，寬為16 m或長為32m，寬為 20 m時(shí)，能圍成一個面積為640 m 的羊圈;
(2)不能,
理由:由題意,得x(72-2x)=650,化簡，得
∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.
∴羊圈的面積不能達(dá)到 650 m .
典例2
解：(1)設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，
依題意得1000(1+x) =1440,解得x =0.2=20%,x =-2.2(不符合題意，舍去).
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%;
(2)設(shè)該市在 2024年可以改造 y個老舊小區(qū)，
依題意得 96×(1+50%)y≤1 440×(1+20%),解得 y≤12,
∴y的最大值為12.
答：該市在2024年最多可以改造12個老舊小區(qū).
變式
解:(1)設(shè)2022年到 2024年這種藥劑價(jià)格的年平均下降率為x，
根據(jù)題意得解得(不符合題意，舍去)，
答：2022年到 2024年這種藥劑價(jià)格的年平均下降率為30%；
(2)設(shè)此次價(jià)格的下降率是 y，
根據(jù)題意得196(1-y)≥147,解得 y≤0.25,∴y的最大值是0.25=25%.
答：此次價(jià)格的下降率最多是25%.
典例3
解：(1)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元.根據(jù)題意，得
(60-x-40)(100+10x)=2240.
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，
由題意，得(x-40)[100+10(60-x)]=2240,
故答案為:(60-x-40)(100+10x)=2 240,(x-40)[100+10(60-x)]=2 240;
(2)方法1：設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價(jià)x元.
根據(jù)題意，得(60-x-40)(100+10x)=2240,解得
要讓銷售量盡可能大，只能取x=6，60-6=54(元),
答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià) 54元.
方法2：設(shè)每千克特產(chǎn)降價(jià)后定價(jià)為x元，
由題意，得(x-40)[100+10(60-x)]=2240,解得
要讓銷售量盡可能大，只能取x=54，答：每千克特產(chǎn)應(yīng)定價(jià)54元.
變式
解：(1)根據(jù)題意得 2=30+12=42(件),
∴平均每天銷售數(shù)量為42件.
故答案為：42；
(2)設(shè)每件商品降價(jià)x元，則每件的銷售利潤為(40-x)元，平均每天的銷售量為30+ 件，根據(jù)題意得(40-x)(30+4x)=2100,
整理得 解得
當(dāng)x=10時(shí),40-x=40-10=30>25,符合題意；
當(dāng) 時(shí)： 不符合題意，舍去.
答：每件商品應(yīng)降價(jià) 10元.
典例4
解:(1)根據(jù)題意得AP=2tcm,BQ=4tcm,所以 BP=(12-2t) cm,
故答案為:(12-2t);4t;
(2)如圖,過點(diǎn) D作DH⊥BC于點(diǎn) H,
∵∠B=90°,即AB⊥BC.∴AB∥DH.
又∵D是AC的中點(diǎn)，DH是△ABC的中位線.
根據(jù)題意，得
整理，得t -6t+8=0.解得
即當(dāng) t = 2 或 4 時(shí),△PDQ 的面 積是40 cm .
變式
解:(1)設(shè)經(jīng)過 ts后,則 DN=2tcm,AN=(6 - 2t)cm, AM=tcm,MN的長為
根據(jù)題意，由勾股定理得AN +AM =MN ,即
解得
答:經(jīng)過 2 s 或 s 之后,MN 的長為2 cm;
(2)設(shè)經(jīng)過x秒，△AMN 的面積等于矩形ABCD 面積的
由題意得 DN=2x cm,AN=(6-2x) cm,AM= xcm,
∵矩形 ABCD中,AB=3cm,BC=6cm,
∴矩形 ABCD 的面積為AB·BC=3×6=18(cm ),
∴△AMN的面積
整理得 解得
答：經(jīng)過1秒或2秒，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的
【當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)】
1. A 2. B 3. 2或4 4. 6 5. 50
6.解：(1)設(shè)該村民這兩年種植橙子畝數(shù)的年平均增長率為x，
根據(jù)題意，得
解得x =0.2=20%,x =-2.2(不符合題意，舍去).
答：該村民這兩年種植橙子畝數(shù)的年平均增長率為20%；
(2)設(shè)售價(jià)應(yīng)降價(jià) y元，則每千克的銷售利潤為(18-y-8)元,每天能售出 千克，
根據(jù)題意，得 840,
整理得 解得y =6,y =-4(不符合題意,舍去).
答：售價(jià)應(yīng)降低6元.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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