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有理數 歸納練 2025年中考數學一輪復習備考
一、單選題
1．《九章算術》記載的余和不足等概念體現了中國是最早采用正負數表示相反意義量的國家，若收入10元記作元，則支出136元記作（ ）
A．元 B．元 C．0元 D．元
2．下列各數中，屬于有理數的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列選項中，比小的數是（ ）
A． B．0 C． D．
4．方程組的解x，y的值互為相反數，則a的值是（ ）
A．1 B． C． D．2
5．數軸上點A表示的數是-2，將點A在數軸上移動6個單位長度得到點B，則點B表示的數是（　　）
A．4 B．-4或8 C．-8 D．4或-8
6．下列各數中，最小的數是（ ）
A． B．0 C． D．
7．有理數a，b在數軸上對應點如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列說法中，正確的是（　　）
A．“順次連接任意四邊形各邊中點的四邊形是平行四邊形”是必然事件
B．“在數軸上任取一點，則這點表示的數是有理數”是必然事件
C．“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是不可能事件
D．可能性是的事件，是指在兩次試驗中一定有一次會發生
9．如圖，O為數軸原點，A，B兩點分別對應、3，作腰長為4的等腰，連接，以O為圓心，長為半徑畫弧交數軸于點M，則點M對應的實數為（　　）
A． B．4 C． D．2.5
10．點M，N在數軸上的位置如圖所示，點M，N表示的有理數為a，b．如果，那么下列描述數軸原點的位置說法正確的是（ ）
A．原點O在點M左側 B．原點O在點N的右側
C．原點O在點M、N之間，且 D．原點O在點M、N之間，且
11．請你用描點法畫出的圖象，給出下列結論：①當時，y隨x的增大而減小；②此函數有最大值，最大值為7；③不等式的解集為或；④若二次函數與y的圖象至多有一個交點，則．其中正確的個數是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．有一臺特殊功能計算器，對任意兩個整數只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數，只顯示不運算，接著再輸入整數后則顯示的結果．比如依次輸入1，2，則輸出的結果是；此后每輸入一個整數都是與前次顯示的結果進行求差后再取絕對值的運算．有如下結論：①依次輸入1，2，3，4，則最后輸出的結果是2；②若將1，2，3，4這4個整數任意地一個一個輸入，全部輸入完畢后顯示的結果的最大值是4；③若將1，2，3，4這4個整數任意地一個一個地輸入，全部輸入完畢后顯示的結果的最小值是0；④若隨意地一個一個地輸入三個互不相等的正整數2，a，b，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為k，若k的最大值為10，那么k的最小值是6．上述結論中，正確的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
13．計算 ．
14．如果，那么 ．
15．在中，若，則∠C的度數是
16．高斯被認為是歷史上最杰出的數學家之一，享有“數學王子”之稱．現有一種高斯定義的計算式，已知表示不超過的最大整數，例如，．現定義，例如，則 ．
17．已知方程，既有正根又有負根，則的取值范圍是 ．
18．若與互為相反數，則 ．
三、解答題
19．計算：．
20．計算：．
21．計算：
22．在平面直角坐標系中，點且m，n滿足，，

(1)直接寫出m，n的值；
(2)求三角形的面積；
(3)若點P從點A出發在射線上運動（點P不與點A點B重合），
①過點P作射線軸，且點E在點P的右側，請直接寫出的數量關系_______；
②若點P的速度為每秒3個單位，在點P運動的同時，點Q從點O出發，以每秒2個單位的速度沿x負半軸運動，連接是否存在某一時刻t，使的面積是的面積的2倍．若存在，請求出t值，并寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
23．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（0，a）、B（﹣b，0）且a、b滿足+|a﹣2b+2|＝0
(1)求證：∠OAB＝∠OBA；
(2)如圖1，若BE⊥AE，求∠AEO的度數；
(3)如圖2，若D是AO的中點，DEBO，F在AB的延長線上，∠EOF＝45°，連接EF，試探究OE和EF的數量和位置關系．
參考答案
1．B
此題考查了正數與負數．根據正數和負數表示相反意義的量，收入記為正，可得支出的表示方法．
解：收入10元記作元，則支出136元應記作元，
故選：B．
2．D
此題主要考查了實數概念，正確掌握相關定義是解題關鍵．
直接利用有理數以及無理數的定義分別分析即可得出答案．
解：A、屬于無理數，故A選項不符合題意；
B、屬于無理數，故B選項不符合題意；
C、屬于無理數，故C選項不符合題意；
D、屬于有理數，故D選項符合題意；
故選：D．
3．D
本題考查了有理數的大小比較，掌握0大于負數，負數比較大小絕對值大的反而小是解題的關鍵．
根據0大于負數，負數比較大小絕對值大的反而小，即可解答．
解：，
比小的數是，
故選：D．
4．D
本題考查二元一次方程組的解及其解法，先解二元一次方程組得到，再根據二元一次方程組的解以及相反數的性質得到，進而得到關于a的方程求解即可．
解：方程組
①+②得：，即，
∵x，y|的值互為相反數，
∴，
∴，解得．
故選：D．
5．D
根據數軸上點的移動：左減右加，從而可以解答本題．
解：數軸上的點A表示的數是一2，
當向右移動6個單位長度時，點B表示的數是：；
當向左移動6個單位長度時，點B表示的數是：；
故選：D．
6．C
先求出，，再根據有理數的大小比較方法比較即可．
本題考查求一個數的絕對值，有理數的大小比較．解題關鍵是熟練掌握有理數的大小比較方法：正數負數；兩個負數相比較時，絕對值大的反而小．
解：，
∴，
∴最小的是．
故選C．
7．D
本題主要考查了根據數軸上點的位置判斷式子符號，根據數軸可得，據此可得推出，，，進一步可得，，據此可得答案．
解：由題意得，，
∴，，，
∴，，
∴四個選項中只有D選項中結論正確，符合題意，
故選D．
8．A
本題考查了中點四邊形，隨機事件，平行四邊形的判定，數軸，概率的意義，根據中點四邊形，隨機事件，平行四邊形的判定，數軸，概率的意義，逐一判斷即可解答，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．
解：A、“順次連接任意四邊形各邊中點的四邊形是平行四邊形”是必然事件，故選項符合題意；
B、“在數軸上任取一點，則這點表示的數是有理數”是隨機事件，故選項不符合題意；
C、“從一副撲克牌（含大小王）中抽一張，恰好是紅心A”是隨機事件，故選項不符合題意；
D、可能性是的事件，是指這個事件發生的可能性是，故選項不符合題意；
故選：A．
9．A
先利用數軸的性質，得到，再根據等腰三角形的性質得到，，由勾股定理得到，最后利用畫法得到，即可得到答案．
解：為數軸原點，A，B兩點分別對應、3，
，
是腰長為4的等腰三角形，
，，
，
以O為圓心，長為半徑畫弧交數軸于點M，
，
點M對應的實數為，
故選A．
10．D
由可知，原點在之間，根據， ，進行判斷即可．
解：∵點M，N表示的有理數為a，b ，，
∴異號，
∴原點O在點M、N之間，
∵，
∴，
故選D．
11．A
根據題意，先令得出x的值，然后得出分段函數，畫出圖象，根據一元二次方程根的判別式，絕對值的化簡，結合圖象解答即可．
本題考查了分段函數，函數的圖象，用解析式表示函數，一元二次方程根的判別式，絕對值的化簡，熟練掌握函數的表示方法，絕對值的化簡方法，一元二次方程根的判別式，分段函數的畫法是解題的關鍵．
解：令則
令則
∴，
作出|的圖象，如圖所示：
①觀察圖象可知，當時，y隨x的增大而減小，故①符合題意；
②觀察圖象可知，函數有最大值，最大值是7，故②符合題意；
，
由解得：故③符合題意；
∵則判斷出
，
解得：故④符合題意，
綜上所述，正確的個數有共4個，
故選：A．
12．D
根據輸入數據與輸出結果的規則進行計算，判斷①②③；只有三個數字時，當最后輸入最大數時得到的結果取最大值，當最先輸入最大數時得到的結果取最小值，由此通過計算判斷④．
解：根據題意，依次輸入1，2，3，4時，
，
，
，故①正確；
按照1，3，4，2的順序輸入時，
，
，
，為最小值，故③正確；
按照1，3，2，4的順序輸入時，
，
，
，為最大值，故②正確；
若隨意地一個一個地輸入三個互不相等的正整數2，a，b，全部輸入完畢后顯示的最后結果設為k， k的最大值為10，
設b為較大數字，當時，
，
解得，
故此時任意輸入后得到的最小數是：
，
設b為較大數字，當時，
，
則，即
故此時任意輸入后得到的最小數是：
，
綜上可知，k的最小值是6，故④正確；
故選D．
13．6
分別根據有理數的乘方和有理數的絕對值計算每一項，進一步即可求出結果．
解：．
故答案為：6．
14．3
本題考查絕對值、算術平方根、平方的非負性，以及已知字母的值求代數式的值，根據絕對值、算術平方根、平方的非負數的性質得出a，b，c的值，代入代數式求解即可．
解：由題意得：，，
得，，，
則，
故答案為：3．
15．/度
根據非負性，求出，進而求出，根據三角形內角和，求出即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
16．
根據題目中的新定義列出計算式解答即可．
根據題意得：，，
∴．
故答案為：．
17．
本題考查了解一元一次方程，正負數的實際應用，絕對值．分類討論是解題的關鍵．
由題意知，分當時，，解得，，則，計算求解即可；當時，，解得，，則，計算求解即可，最后作答即可．
解：由題意知，當時，，
解得，，
∴，
解得，；
當時，，
解得，，
∴，
解得，；
的取值范圍是，
故答案為：．
18．
本題考查相反數的性質，絕對值和平方的非負性．
由相反數的性質可得，再由非負性即可求得a，b的值，代入即可解答．
∵與互為相反數，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案為：
19．
先計算零次冪，化簡絕對值，化簡二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．
解：
．
20．2
根據乘方的法則、絕對值的性質、零指數冪的運算法則計算即可求解．
解：
．
21．
根據有理數的乘方，立方根，特殊角的三角函數值，絕對值，負整數指數冪，實數的運算法則計算即可．
解：
．
22．(1)
(2)
(3)①；②存在，值為或，點坐標為或．
（1）根據非負數的性質：兩個非負數的和為零，每一個非負數都為零求解即可；
（2）結合圖形，根據點得坐標，結合三角形面積公式計算即可；
（3）①根據平行線的性質和三角形內角和直接得到結論；
②過點作于，利用的面積可求出的長，分點在線段上和延長線上兩種情況，根據點、點的速度用表示出、的長，根據列方程求出值即可得答案．
（1）
（2）過點B作交x軸于點H，

∵，
∴，
，
（3）（3）①，理由如下：
如圖：

∴，
，
．
②如圖，過點作于，
∵，，
∴，
解得：，

當點在線段上時，
∵點的速度為每秒3個單位，點的速度為每秒2個單位，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵點在軸負半軸上，
∴點坐標為，
如圖，當點在延長線上時，

∵點的速度為每秒3個單位，點的速度為每秒2個單位，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴點坐標為，
綜上所述：存在某一時刻t，使的面積是的面積的2倍，值為或，點坐標為或．
23．(1)見解析
(2)45°
(3)FE＝EO且FE⊥EO
（1）利用非負數的性質求出a、b即可解決問題；
（2）如圖1中，過點O作OK⊥OE交AE于點K，設OB交AE于J．證明△AOK≌△BOE（ASA），即可得到結論．
（3）過點F作FG⊥OF交OE的延長線于G，過點F作FH⊥FB交x軸于H，延長DE交HG于I，利用已知條件證明△HFG≌△BFO（SAS），得到GH＝OB＝OA，再證明△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，進而FE＝EO且FE⊥EO（三線合一）．
（1）解：∵+|a﹣2b+2|＝0，
又∵≥0，|a﹣2b+2|≥0，
∴，解得，
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°；
（2）解：如圖1中，過點O作OK⊥OE交AE于點K，設OB交AE于J．
∵AE⊥BE，
∴∠AOJ＝∠BEI＝90°，
∵∠AJO＝∠BJE，
∴∠EBO＝∠KAO，
∵∠AOB＝∠EOK＝90°，
∴∠AOK＝∠BOE，
∵OA＝OB，
∴△AOK≌△BOE（ASA），
∴OK＝OE，
∴∠AEO＝∠OKE＝45°．
（3）證明：過點F作FG⊥OF交OE的延長線于G，過點F作FH⊥FB交x軸于H，延長DE交HG于I，
∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB為等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO且FE⊥EO（三線合一）．
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