資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.5三元一次方程組及其解法七大題型（一課一講）
（內容:三元一次方程組及其實際應用）
【浙教版】
題型一：判斷是否為三元一次方程組
【經典例題1】下列方程中，屬于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、只含有2個未知數，不是三元一次方程，不符合題意；
B、含未知數的項的最高次冪為2次，不是三元一次方程，不符合題意；
C、是三元一次方程，符合題意；
D、方程化簡為：，只含有2個未知數，不是三元一次方程，不符合題意；
故選C．
【變式訓練1-1】下列是三元一次方程組的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A、方程組中含有三個未知數，但含未知數的項的最高次數是3，不是三元一次方程組，本選項不符合題意；
B、方程組中只含有兩個未知數，不是三元一次方程組，本選項不符合題意；
C、方程組中只含有兩個未知數，不是三元一次方程組，本選項不符合題意；
D、方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，是三元一次方程組，本選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-2】下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：對于A選項，第二個方程中未知數x的次數是2，
故A選項中方程組不是三元一次方程組；
對于B選項，第一個方程中分母含有未知數，
故B選項中方程組不是三元一次方程組；
對于C選項，第二個方程中每個未知數的次數都是1，但對于整個方程而言，次數是3，
故C選項中的方程組不是三元一次方程組；
對于D選項，方程組中含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是一次，
故D選項中的方程組是三元一次方程組．
故選：D．
【變式訓練1-3】下列方程組是三元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．第二個方程是二次方程，不是三元一次方程組，不符合題意；
B．只含有2個未知數，不是三元一次方程組，不符合題意；
C．方程組含有4個未知數，不是三元一次方程組，不符合題意；
D．是三元一次方程組，符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-4】下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、是三元一次方程組，則此項符合題意；
B、方程組中含有4個未知數，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；
C、方程組中含有2個未知數，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；
D、方程組的每個方程中含未知數的項的次數不都是1，不是三元一次方程組，則此項不符合題意；
故選：A．
【變式訓練1-5】（23-24七年級下·吉林通化·期末）下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：由三元一次方程組的定義得
是三元一次方程組，
故選：C．
題型二：三元一次方程組的解題過程
【經典例題2】（23-24七年級下·山東日照·期末）解三元一次方程組，若先消去z，組成關于x、y的方程組，則應對方程組進行的變形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：由題意知，得，，，
∴消去z，組成關于x、y的方程組為，
故選：C．
【變式訓練2-1】三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：
得，，
得：，
∴三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是，
故選A．
【變式訓練2-2】觀察方程組的系數特點，若要使求解簡便，消元時應該先消去（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【詳解】解：
方程①+②，②+③可直接消去未知數y，
即可得到一個關于x、z的二元一次方程組，
∴要使運算簡便，消元的方法應選取先消去y，
故選：B．
【變式訓練2-3】（23-24七年級下·山東煙臺·期中）三元一次方程組消去一個未知數后，所得二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
②③得：即，
③①得：，
∴，
故選A
【變式訓練2-4】（23-24七年級下·湖南婁底·期末）下列四組數值中，是方程組的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
得：
得：
把代入中
，
把，代入得：
，
方程組的解為，
故選：D．
【變式訓練2-5】（23-24七年級下·吉林長春·期末）解三元一次方程組，如果消掉未知數，則應對方程組變形為（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
【答案】C
【詳解】解：解三元一次方程組，
得：
得：
方程組變形為，剛好消去z，
故選：C．
題型三：利用三元一次方程組求代數式的值
【經典例題3】關于的方程組的解是，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：把 代入得，，
∴，
∴，
故選：．
【變式訓練3-1】已知，，，則代數式的值是（　　）
A．32 B．64 C．96 D．128
【答案】C
【詳解】解：，，
得：，
，
而，
得，
，
把代入得：，
．
故選：C．
【變式訓練3-2】（23-24七年級下·山東威海·期末）方程組的解使代數式的值為，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：，
∴原方程組的解為，
把代入得：，
解得：．
故選：C．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·湖北武漢·期末）三個整數a，b，c滿足，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故選C．
【變式訓練3-4】已知是方程組的解，則的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．無法確定
【答案】A
【詳解】解：由題意將代入方程組得：
，
得：，
即，
∴．
故選：．
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·浙江杭州·期中）實數x，y，z滿足，則x、z之間具有哪個等量關系（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
得，．
故選A．
題型四：三元一次方程組特殊解法
【經典例題4】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知，，都不為零，且，則式子的值為（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】A
【詳解】解：，
得：，
∴，
把代入②得：，
∴，
∴；
故選A
【變式訓練4-1】（23-24七年級下·江蘇南京·期末）已知，則 ．
【答案】1
【詳解】解：，
得：，即，
得：，即，
∴，
故答案為：1．
【變式訓練4-2】（24-25八年級上·四川成都·期中）已知x，y，z滿足，則 ．
【答案】
【詳解】解：原方程組變為，
由得，
把代入得，
所以．
故答案為：．
【變式訓練4-3】（2023·浙江·模擬預測）實數滿足．則 ．
【答案】
【詳解】解：，
由得：，
∴，
由得：，
∴，
∴，
∴．
故答案為：
【變式訓練4-4】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知關于，，的方程組，則的算術平方根為 ．
【答案】
【詳解】，
由①設，
∴，，，
代入②得：，

，
，
，，，
方程組的解為．
，則算術平方根為，
故答案為：．
【變式訓練4-5】已知，且，求的值．
【答案】
【詳解】解：把z看作常數，解關于x、y的方程組
，得
所以原式
．
題型五：解三元一次方程組
【經典例題5】解方程組：．
【詳解】解：，
把①代入②，可得，整理可得，
④×2，可得，
③+⑤，可得，解得，
把代入①，可得，
把代入③，可得，解得，
∴原方程組的解為．
【變式訓練5-1】解下列方程組：
(1) (2)
【詳解】（1）解：，得④
，得
，得
，得
原方程組的解為；
（2）把①代入②，得．④
由④和③組成方程組
解得
把代入①，得，
原方程組的解為
【變式訓練5-2】（23-24七年級下·陜西西安·期末）解方程組：
(1)； (2)．
【詳解】（1）解：，
整理可得，
由，可得，
解得，
將代入②，可得，
解得，
所以，該方程組的解為；
（2）解：，
由，可得 ④，
由，可得 ⑤，
由，可得 ，解得 ，
將代入④，可得，解得，
將，代入②，可得，
解得，
所以，該方程組的解為．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·上海嘉定·期末）解方程組：．
【詳解】解：
得
，
解得：
得
將代入④得
解得：，
將，代入①得
，
解得：，
原方程組的解為．
【變式訓練5-4】解方程組：
(1) (2)
【詳解】（1）解：，
得：，
得：，
把代入得：，
把，代入得，
方程組的解為：；
（2）解：
由，得：．
由，得：，
解得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程組的解集是．
【變式訓練5-5】解方程組：
(1) (2)
【詳解】（1）解：，
把代入得，
聯立方程組得，
由得，
解得，
把分別代入得，，
原方程組的解為；
（2）解：，
由，得：
由，得：，
把代入，得：，
把代入，得：，
原方程組的解集是：．
題型六：構建三元一次方程組求解
【經典例題6】已知，則代數式的值為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得，解得，
故．
故答案為：．
【變式訓練6-1】對于，，定義新運算：，其中、、是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算已知，，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，，，
∴
得：，
∴，
故答案為：．
【變式訓練6-2】（23-24七年級下·四川眉山·期中）在等式中，當時，；當時，；當時，．則這個等式為
【答案】
【詳解】解：由題可得：，
解得，
∴等式為，
故答案為：．
【變式訓練6-3】（23-24七年級下·貴州黔南·期末）在等式中，當時，當時；當時，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意可得，，
解得，
∴，
故答案為：．
【變式訓練6-4】（24-25八年級上·四川瀘州·期中）已知三角形的周長為30，三邊長分別是a、b、c，且，，求三角形的三邊長．
【答案】8，9，13
【詳解】解：∵三角形的周長為30，三邊長分別是a、b、c，
∴，
∴，
①②得：④，
把③代入④得：⑤，
①②得：⑥，
⑥3得：⑦，
⑤⑦得：，
把代入③得：，
把，代入①得：，
∴方程組的解為：，
∴三角形的三邊長分別為8，9，13．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·四川眉山·期中）已知等式，且當時，；當時，；當時，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)當 時，y 的值又是多少？
【答案】(1).
(2)15．
【詳解】（1）由已知得
解得
即.
（2）由(1)得.
當時，.
即y 的值是15．
題型七：三元一次方程組的應用
【經典例題7】某社區為了打造“書香社區”，豐富小區居民的業余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
【答案】C
【詳解】解：設采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中，且均為整數，
根據題意得，，
整理得，，
①當時，，
∴
∵且均為整數，
∴當時，，
∴；
當時，，
∴；
當時，，
∴；
②當時，，
∴
∵，且均為整數，
∴當時，，
∴；
當時，，
∴；
當時，，
∴；
綜上，此次共有6種采購方案，
故選：C．
【變式訓練7-1】（24-25七年級上·安徽滁州·期末）如圖，邊長為的兩個正方形靠邊各放置兩個鄰邊長為，的長方形，然后分別以，為邊長構成兩個大正方形．根據圖中數據可求得的值為（ ）
A．65 B．70 C．72 D．75
【答案】D
【詳解】解：由圖可知，，
①②得：，
則，
解得，
故選：D．
【變式訓練7-2】[傳統文化]《孫子算經》中有這么一個問題：今有甲乙丙三人持錢．甲語乙、丙：“各將公等所持錢半以益我，錢成九十．”乙復語甲、丙：“各將公等所持錢，半以益我，錢成七十．”丙復語甲、乙：“各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六．”若設甲、乙手中的錢數分別為x，y，則根據乙說的話，丙手中的錢數可以表示為 ．
【答案】或或
【詳解】解：設丙的錢數為z，
根據丙語得：整理得，
根據甲語得：整理得，
根據乙語得：整理得，
故答案為：或或．
【變式訓練7-3】一個三位數各位上的數字之和為17，百位上的數字與十位上的數字的和比個位上的數字大3，如果把百位上的數字與個位上的數字對調，那么所得的數比原數大495．求原三位數．
【答案】原來的三位數為287．
【詳解】解：設原數的個位、十位、百位上的數字分別為x，y，z，
由題意，得，
解得，
答：原來的三位數為287．
【變式訓練7-4】今有三部自動換幣機，其中甲機總是將一枚硬幣換成2枚其他硬幣；乙機總是將一枚硬幣換成4枚其他硬幣；丙機總是將一枚硬幣換成10枚其他硬幣．某人共進行了12次換幣，便將一枚硬幣換成了81枚．試問他在三個換幣機上各換了多少次？
【答案】他在甲換幣機上換了2次，乙換幣機上換了2次，丙換幣機上換了8次
【詳解】解：設他在甲換幣機上換了次，乙換幣機上換了次，丙換幣機上換了次，
由題意得：，
整理得：，
又，且、、均為正整數，
∴當時，，不符合題意；當時，，此時；當時，，此時，不符合題意；
，
答：他在甲換幣機上換了2次，乙換幣機上換了2次，丙換幣機上換了8次．
【變式訓練7-5】（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）一方有難八方支援，某市政府籌集了防疫必需物資138噸打算運往重疫區，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如表所示：（假設每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運載量（噸/輛） 6 9 10
汽車運費（元/輛） 500 600 600
(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費10000元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
(2)為了節約運費，該市政府可以調用甲、乙、丙三種車型參與運送，已知它們的總輛數為18輛，要求三種車同時參與運貨，請求出幾種車型的輛數，并判斷哪種方案運費最省．
【答案】(1)需要甲車8輛，乙車10輛
(2)①甲9輛，乙6輛，丙3輛；②甲10輛，乙2輛，丙6輛；方案②最省
【詳解】（1）解：設需要甲車x輛，需要乙車y輛．
根據題意可得：，
解得：．
答：需要甲車8輛，乙車10輛．
（2）解：設三種車同時參與時，需要甲車x輛，乙車y輛，丙車z輛．
根據題意得：，
消去z可得：，即：．
由于x、y、z均是正整數，且三種車共18輛要求同時參與
∴x與y都不能大于16，
解得或．
∴共有兩種方案：①甲車9輛，乙車6輛，丙車3輛；②甲車10輛，乙車2輛，丙車6輛；
兩種方案的運費分別是：
①（元）；②（元）；
∵，
∴方案②最省．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.5三元一次方程組及其解法七大題型（一課一講）
（內容:三元一次方程組及其實際應用）
【浙教版】
題型一：判斷是否為三元一次方程組
【經典例題1】下列方程中，屬于三元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】下列是三元一次方程組的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】下列方程組是三元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-4】下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-5】（23-24七年級下·吉林通化·期末）下列方程組中，是三元一次方程組的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：三元一次方程組的解題過程
【經典例題2】（23-24七年級下·山東日照·期末）解三元一次方程組，若先消去z，組成關于x、y的方程組，則應對方程組進行的變形是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-1】三元一次方程組消去未知數后，得到的二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】觀察方程組的系數特點，若要使求解簡便，消元時應該先消去（ ）
A． B． C． D．或
【變式訓練2-3】（23-24七年級下·山東煙臺·期中）三元一次方程組消去一個未知數后，所得二元一次方程組是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】（23-24七年級下·湖南婁底·期末）下列四組數值中，是方程組的解的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】（23-24七年級下·吉林長春·期末）解三元一次方程組，如果消掉未知數，則應對方程組變形為（　　）
A．①③，①② B．①③，③② C．②①，②③ D．①②，①③
題型三：利用三元一次方程組求代數式的值
【經典例題3】關于的方程組的解是，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-1】已知，，，則代數式的值是（　　）
A．32 B．64 C．96 D．128
【變式訓練3-2】（23-24七年級下·山東威海·期末）方程組的解使代數式的值為，則的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·湖北武漢·期末）三個整數a，b，c滿足，則a的值為（ ）
A．3 B．0 C． D．
【變式訓練3-4】已知是方程組的解，則的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．無法確定
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·浙江杭州·期中）實數x，y，z滿足，則x、z之間具有哪個等量關系（　　）
A． B． C． D．
題型四：三元一次方程組特殊解法
【經典例題4】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知，，都不為零，且，則式子的值為（ ）
A． B． C．- D．-
【變式訓練4-1】（23-24七年級下·江蘇南京·期末）已知，則 ．
【變式訓練4-2】（24-25八年級上·四川成都·期中）已知x，y，z滿足，則 ．
【變式訓練4-3】（2023·浙江·模擬預測）實數滿足．則 ．
【變式訓練4-4】（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知關于，，的方程組，則的算術平方根為 ．
【變式訓練4-5】已知，且，求的值．
題型五：解三元一次方程組
【經典例題5】解方程組：．
【變式訓練5-1】解下列方程組：
(1) (2)
【變式訓練5-2】（23-24七年級下·陜西西安·期末）解方程組：
(1)； (2)．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·上海嘉定·期末）解方程組：．
【變式訓練5-4】解方程組：
(1) (2)
【變式訓練5-5】解方程組：
(1) (2)
題型六：構建三元一次方程組求解
【經典例題6】已知，則代數式的值為 ．
【變式訓練6-1】對于，，定義新運算：，其中、、是常數，等式右邊是通常的加法和乘法運算已知，，則的值為 ．
【變式訓練6-2】（23-24七年級下·四川眉山·期中）在等式中，當時，；當時，；當時，．則這個等式為
【變式訓練6-3】（23-24七年級下·貴州黔南·期末）在等式中，當時，當時；當時，則的值為 ．
【變式訓練6-4】（24-25八年級上·四川瀘州·期中）已知三角形的周長為30，三邊長分別是a、b、c，且，，求三角形的三邊長．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·四川眉山·期中）已知等式，且當時，；當時，；當時，；
(1)求 a、b、c 的值；
(2)當 時，y 的值又是多少？
題型七：三元一次方程組的應用
【經典例題7】某社區為了打造“書香社區”，豐富小區居民的業余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）
A．4種 B．5種 C．6種 D．7種
【變式訓練7-1】（24-25七年級上·安徽滁州·期末）如圖，邊長為的兩個正方形靠邊各放置兩個鄰邊長為，的長方形，然后分別以，為邊長構成兩個大正方形．根據圖中數據可求得的值為（ ）
A．65 B．70 C．72 D．75
【變式訓練7-2】[傳統文化]《孫子算經》中有這么一個問題：今有甲乙丙三人持錢．甲語乙、丙：“各將公等所持錢半以益我，錢成九十．”乙復語甲、丙：“各將公等所持錢，半以益我，錢成七十．”丙復語甲、乙：“各將公等所持錢，半以益我，錢成五十六．”若設甲、乙手中的錢數分別為x，y，則根據乙說的話，丙手中的錢數可以表示為 ．
【變式訓練7-3】一個三位數各位上的數字之和為17，百位上的數字與十位上的數字的和比個位上的數字大3，如果把百位上的數字與個位上的數字對調，那么所得的數比原數大495．求原三位數．
【變式訓練7-4】今有三部自動換幣機，其中甲機總是將一枚硬幣換成2枚其他硬幣；乙機總是將一枚硬幣換成4枚其他硬幣；丙機總是將一枚硬幣換成10枚其他硬幣．某人共進行了12次換幣，便將一枚硬幣換成了81枚．試問他在三個換幣機上各換了多少次？
【變式訓練7-5】（23-24七年級下·江蘇揚州·階段練習）一方有難八方支援，某市政府籌集了防疫必需物資138噸打算運往重疫區，現有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如表所示：（假設每輛車均滿載）
車型 甲 乙 丙
汽車運載量（噸/輛） 6 9 10
汽車運費（元/輛） 500 600 600
(1)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費10000元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？
(2)為了節約運費，該市政府可以調用甲、乙、丙三種車型參與運送，已知它們的總輛數為18輛，要求三種車同時參與運貨，請求出幾種車型的輛數，并判斷哪種方案運費最省．

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