資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2二元一次方程組和它的解六大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程組的定義和解）
【浙教版】
題型一：判斷是否為二元一次方程組
【經(jīng)典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）下列方程組中屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】（24-25七年級上·陜西西安·期末）下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）下列方程組中是二元一次方程組的是 ．（填寫序號）
①②③④
【變式訓練1-4】（22-23七年級下·江蘇徐州·期末）觀察所給的4個方程組：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程組定義的是 （寫出所有正確的序號）．
【變式訓練1-5】（23-24七年級下·江蘇·周測）下列方程組，其中是二元一次方程組的有 （填序號）
①② ③ ④．
題型二：已知二元一次方程組的定義求參數(shù)
【經(jīng)典例題2】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若是關于，的二元一次方程組，則 ， ， ．
【變式訓練2-1】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若方程組是二元一次方程組，則a的值為 ．
【變式訓練2-2】（24-25七年級上·重慶長壽·階段練習）若方程組 是二元一次方程組，則a 的值為 ．
【變式訓練2-3】（2025七年級上·全國·專題練習）已知方程組 ，則的值是 ．
【變式訓練2-4】（2023七年級下·全國·專題練習）若方程組是關于x，y的二元一次方程組，則 ．
題型三：判定是否為二元一次方程組的解
【經(jīng)典例題3】（2024七年級下·全國·專題練習）寫出一個解為的二元一次方程組，可以是 ．
【變式訓練3-1】（2024·江蘇無錫·一模）請寫出一個解為的二元一次方程組 ．
【變式訓練3-2】（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習） 方程組的解（填“是”或“不是”）．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·階段練習）寫出一個以為解的二元一次方程組 ．
【變式訓練3-4】（23-24七年級下·福建泉州·期中）判斷 （填“是”或“不是”）方程組的解．
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·北京昌平·期末）已知方程的三個解為方程的三個解為則方程組的解為 ．
題型四：已知二元一次方程組的解求參數(shù)
【經(jīng)典例題4】（24-25七年級上·湖南益陽·期末）若是關于，的二元一次方程的解，則 ．
【變式訓練4-1】（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）已知關于x、y的方程組的解x，y的和為6，則k的值為 。
【變式訓練4-2】（23-24七年級下·河北承德·期末）已知是關于，的方程的一組解，那么的值是 ．
【變式訓練4-3】（24-25八年級上·陜西西安·期中）方程組的解中與互為相反數(shù)，則 ．
【變式訓練4-4】（23-24七年級下·云南大理·期末）已知關于，的二元一次方程的一組解為，則的值為 ．
【變式訓練4-5】（23-24七年級下·黑龍江牡丹江·期末）若關于x，y的方程組的解滿足，則 ．
【變式訓練4-6】（23-24七年級上·湖南常德·期中）當 時，方程組的解為．
題型五：已知二元一次方程組的解求代數(shù)值
【經(jīng)典例題5】（23-24七年級下·吉林·期中）已知方程組的解為由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數(shù)●和▲，則 ．
【變式訓練5-1】（23-24七年級下·湖北荊門·期末）若是方程組的解，則的值為 ．
【變式訓練5-2】（23-24七年級上·全國·單元測試）若方程組的解是，則 ．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·遼寧大連·期末）關于x、y的方程組的解為，則的平方根是
【變式訓練5-4】（23-24七年級下·陜西延安·期末）已知是二元一次方程組的解，則的值是 ．
【變式訓練5-5】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程組的解，則的值為 ．
【變式訓練5-6】（23-24七年級下·重慶江津·期末）小亮解方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水剛好遮住了兩個數(shù)●和★，請你幫他找回●這個數(shù)，●＝ ．
題型六：二元一次方程組的綜合
【經(jīng)典例題6】（23-24七年級上·廣東廣州·期中）對于任意實數(shù)，，，，定義有序?qū)崝?shù)對與之間的運算“”為：．如果對于任意實數(shù)，都有，那么為(　　)
A． B． C． D．
【變式訓練6-1】（23-24七年級下·浙江紹興·期末）已知關于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知關于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔細觀察表中數(shù)據(jù)，直接寫出關于，二元一次方程組的解為 ．
（2）關于，的二元一次方程組的解為 ．
【變式訓練6-2】（23-24七年級下·湖南永州·期末）無論m為何值，關于x，y的方程組都有解，則 ．
【變式訓練6-3】（23-24七年級下·浙江嘉興·階段練習）三個同學對問題“若方程組的解是，求方程組的解”提出各自的想法．甲說：“這個題目好像條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，這可以試試”；丙說：“能不能通過換元替代的方法來解決”，參照他們的討論，你認為這個題目的解應該是 ．
【變式訓練6-4】（23-24七年級下·福建廈門·期中）已知關于的方程組，下列說法正確的有
①若是第一個方程的解，則一定是第二個方程的解；
②若是方程組的解，則一定是第二個方程的解；
③若是方程組的解，且，則；
④若是方程組的解，且，則．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·北京懷柔·期末）我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數(shù)和常數(shù)項有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項經(jīng)過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學的高等代數(shù)學科將系數(shù)和常數(shù)項排成一個表的形式，規(guī)定：關于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．
(1)填空：將寫成矩陣形式為： ；
(2)若矩陣所對應的方程組的解為，求a與b的值．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2二元一次方程組和它的解六大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程組的定義和解）
【浙教版】
題型一：判斷是否為二元一次方程組
【經(jīng)典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A．方程組是二元一次方程組，與要求不符；
B．方程組是二元一次方程組，與要求不符；
C．方程組中，含有未知數(shù)的項最高次數(shù)不是1，不是二元一次方程組，符合要求；
D．方程組是二元一次方程組，與要求不符．
故選：C．
【變式訓練1-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）下列方程組中屬于二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】解：由二元一次方程組的定義可知，四個選項中只有C選項中的方程組是二元一次方程組，
故選：C．
【變式訓練1-2】（24-25七年級上·陜西西安·期末）下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：、含有三個未知數(shù)，不符合題意；
、符合二元一次方程組的定義，符合題意；
、未知數(shù)項的次數(shù)是，不符合題意；
、未知數(shù)在分母上，不是整式方程，不符合題意；
故選：．
【變式訓練1-3】（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）下列方程組中是二元一次方程組的是 ．（填寫序號）
①②③④
【答案】④
【詳解】解：只含有兩個未知數(shù)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且由兩個方程組成的方程組是二元一次方程組，符合定義的是④．
故答案為：④．
【變式訓練1-4】（22-23七年級下·江蘇徐州·期末）觀察所給的4個方程組：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程組定義的是 （寫出所有正確的序號）．
【答案】①②④
【詳解】解：① ，符合二元一次方程組定義；
② ，符合二元一次方程組定義；
③ ，未知數(shù)x的最高次數(shù)是2，不符合二元一次方程組定義；
④ ，符合二元一次方程組定義；
所以符合二元一次方程組定義的是①②④．
故答案為：①②④．
【變式訓練1-5】（23-24七年級下·江蘇·周測）下列方程組，其中是二元一次方程組的有 （填序號）
①② ③ ④．
【答案】①③/③①
【詳解】解：二元一次方程組有①③．
故答案為：①③
題型二：已知二元一次方程組的定義求參數(shù)
【經(jīng)典例題2】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若是關于，的二元一次方程組，則 ， ， ．
【答案】 3或2
【詳解】解：是關于，的二元一次方程組，
，或0，，
解得：或2，，，
答案：3或2，，
【變式訓練2-1】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）若方程組是二元一次方程組，則a的值為 ．
【答案】0
【詳解】因為是二元一次方程組，所以此方程組中只含有未知數(shù)x、y，所以a＝0.
故答案為：0.
【變式訓練2-2】（24-25七年級上·重慶長壽·階段練習）若方程組 是二元一次方程組，則a 的值為 ．
【答案】0
【詳解】解：∵方程組 是二元一次方程組，
∴，
故答案為：0．
【變式訓練2-3】（2025七年級上·全國·專題練習）已知方程組 ，則的值是 ．
【答案】34
【詳解】解：∵，
∴
，
故答案為：34．
【變式訓練2-4】（2023七年級下·全國·專題練習）若方程組是關于x，y的二元一次方程組，則 ．
【答案】1
【詳解】解：根據(jù)題意知，，
解得，，，
，，
，
故答案為：1．
題型三：判定是否為二元一次方程組的解
【經(jīng)典例題3】（2024七年級下·全國·專題練習）寫出一個解為的二元一次方程組，可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：解為的二元一次方程組可以是（答案不唯一）．
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓練3-1】（2024·江蘇無錫·一模）請寫出一個解為的二元一次方程組 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】
解：根據(jù)題意得：．
故答案為：（答案不唯一）
【變式訓練3-2】（23-24七年級下·上海浦東新·階段練習） 方程組的解（填“是”或“不是”）．
【答案】不是
【詳解】解：把代入原方程組中的中，
方程左邊右邊，所以不是原方程組的解．
故答案為：不是．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·階段練習）寫出一個以為解的二元一次方程組 ．
【答案】(答案不唯一)
【詳解】解：∵，
∴，
∴這個方程組可以是
故答案為： (答案不唯一)．
【變式訓練3-4】（23-24七年級下·福建泉州·期中）判斷 （填“是”或“不是”）方程組的解．
【答案】不是
【詳解】解：把分別代入到兩個方程中，看左、右兩邊的值是否相等即可，可發(fā)現(xiàn)它不是方程的解，不是方程的解，所以它不是這個方程組的解．
故答案為：不是．
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·北京昌平·期末）已知方程的三個解為方程的三個解為則方程組的解為 ．
【答案】
【詳解】解：根據(jù)方程組的解的定義，能夠同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解，
可知是這兩個方程中所有的解中能同時滿足兩個方程的解，
∴方程組的解為，
故答案為：．
題型四：已知二元一次方程組的解求參數(shù)
【經(jīng)典例題4】（24-25七年級上·湖南益陽·期末）若是關于，的二元一次方程的解，則 ．
【答案】1
【詳解】解：∵是關于x，y的二元一次方程的一個解，
∴，
解得：．
故答案為：1．
【變式訓練4-1】（24-25七年級上·河南駐馬店·期末）已知關于x、y的方程組的解x，y的和為6，則k的值為 。
【答案】
【詳解】解：兩式相加得：，
∴，
∵的和為，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練4-2】（23-24七年級下·河北承德·期末）已知是關于，的方程的一組解，那么的值是 ．
【答案】4
【詳解】解：是關于x，y的二元一次方程的一個解，
，
解得．
故答案為：4．
【變式訓練4-3】（24-25八年級上·陜西西安·期中）方程組的解中與互為相反數(shù)，則 ．
【答案】
【詳解】解：，
∵與互為相反數(shù)，
∴③，
把③代入②，得：，
把代入③，得：，
把，代入①，得：．
故答案為：．
【變式訓練4-4】（23-24七年級下·云南大理·期末）已知關于，的二元一次方程的一組解為，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：將代入原方程得：，
解得：．
故答案為：．
【變式訓練4-5】（23-24七年級下·黑龍江牡丹江·期末）若關于x，y的方程組的解滿足，則 ．
【答案】
【詳解】解：，
得：③，
把代入③得：，
解得：，
把代入得：，
把和代入②得：，
解得：，
故答案為：．
【變式訓練4-6】（23-24七年級上·湖南常德·期中）當 時，方程組的解為．
【答案】
【詳解】解：把代入方程得，，
∴，
故答案為：．
題型五：已知二元一次方程組的解求代數(shù)值
【經(jīng)典例題5】（23-24七年級下·吉林·期中）已知方程組的解為由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個數(shù)●和▲，則 ．
【答案】4
【詳解】解：把代入得，解得，
∴▲為．
再把代入，得，
∴●為6，
∴
故答案為：4．
【變式訓練5-1】（23-24七年級下·湖北荊門·期末）若是方程組的解，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵是方程組的解，
∴
由①②得：，
即，
∴，
由①②得：
即，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓練5-2】（23-24七年級上·全國·單元測試）若方程組的解是，則 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得
，
①②得，
，
解得：，
故答案：．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·遼寧大連·期末）關于x、y的方程組的解為，則的平方根是
【答案】
【詳解】解：∵方程組的解為，
∴，解得：，
∴，
∴的平方根是．
故答案為：
【變式訓練5-4】（23-24七年級下·陜西延安·期末）已知是二元一次方程組的解，則的值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵是二元一次方程組的解，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：
【變式訓練5-5】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）已知，是二元一次方程組的解，則的值為 ．
【答案】9
【詳解】解：把代入方程組，得：，
解得：，
∴；
故答案為：9．
【變式訓練5-6】（23-24七年級下·重慶江津·期末）小亮解方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水剛好遮住了兩個數(shù)●和★，請你幫他找回●這個數(shù)，●＝ ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴整理為：，
∴將代入中得：，
∵，
∴，
故答案為：．
題型六：二元一次方程組的綜合
【經(jīng)典例題6】（23-24七年級上·廣東廣州·期中）對于任意實數(shù)，，，，定義有序?qū)崝?shù)對與之間的運算“”為：．如果對于任意實數(shù)，都有，那么為(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，
∴，
∵對于任意實數(shù)都成立，
∴，
∴為．
故選：B．
【變式訓練6-1】（23-24七年級下·浙江紹興·期末）已知關于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知關于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔細觀察表中數(shù)據(jù)，直接寫出關于，二元一次方程組的解為 ．
（2）關于，的二元一次方程組的解為 ．
【答案】
【詳解】解：（1）根據(jù)表格可知，當時，中，中，
∴關于，二元一次方程組的解為，
故答案為；
（2）∵關于，二元一次方程組的解為，
∴關于，的二元一次方程組的解為，
解得，
∴關于，的二元一次方程組的解為，
故答案為．
【變式訓練6-2】（23-24七年級下·湖南永州·期末）無論m為何值，關于x，y的方程組都有解，則 ．
【答案】6
【詳解】解：，
，得，
即
∴，
∵無論m為何值，方程組都有解，
∴，即，
且，
∴．
故答案為：6
【變式訓練6-3】（23-24七年級下·浙江嘉興·階段練習）三個同學對問題“若方程組的解是，求方程組的解”提出各自的想法．甲說：“這個題目好像條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，這可以試試”；丙說：“能不能通過換元替代的方法來解決”，參照他們的討論，你認為這個題目的解應該是 ．
【答案】
【詳解】，
方程組中兩個方程的兩邊都除以4，得，
∵方程組的解是，
∴，
∴，
故答案為.
【變式訓練6-4】（23-24七年級下·福建廈門·期中）已知關于的方程組，下列說法正確的有
①若是第一個方程的解，則一定是第二個方程的解；
②若是方程組的解，則一定是第二個方程的解；
③若是方程組的解，且，則；
④若是方程組的解，且，則．
【答案】②③
【詳解】解：若是第一個方程的解，則不一定是第二個方程的解，故說法①錯誤；
若是方程組的解，則一定是第二個方程的解，說法②正確；
若是方程組的解，則有，
將兩個方程相加，可得，整理可得，
又因為，即有，解得，
故說法③正確，說法④錯誤．
故答案為：②③．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·北京懷柔·期末）我們知道方程組的解與方程組中每個方程的系數(shù)和常數(shù)項有聯(lián)系，系數(shù)和常數(shù)項經(jīng)過一系列變形、運算就可以求出方程組的解．因此，在現(xiàn)代數(shù)學的高等代數(shù)學科將系數(shù)和常數(shù)項排成一個表的形式，規(guī)定：關于x，y的二元一次方程組可以寫成矩陣的形式．例如：可以寫成矩陣的形式．
(1)填空：將寫成矩陣形式為： ；
(2)若矩陣所對應的方程組的解為，求a與b的值．
【答案】(1)
(2)a，b的值分別是和1
【詳解】（1）解：將方程組變形為，
所以，將寫成矩陣形式為：，
故答案為：；
（2）解：矩陣所對應的關于x，y的二元一次方程組為，
∵此方程組的解為
∴將代入方程組得：
由①得；
由②得；
所以a，b的值分別是和1

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