資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.3解二元一次方程組十大題型（一課一講）
（內容:解二元一次方程組及綜合）
【浙教版】
題型一：帶入消元法解二元一次方程組
【經典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）用代入法解下列方程組：
(1) (2) (3)
【變式訓練1-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）解下列方程組：
(1) (2)
【變式訓練1-2】（24-25七年級上·遼寧丹東·期末）解方程組：．
【變式訓練1-3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）解下列方程組：
(1) (2)
【變式訓練1-4】（24-25七年級上·黑龍江大慶·期末）解方程組：
(1) (2)
【變式訓練1-5】（24-25七年級上·山西晉中·期末）解二元一次方程組：．
題型二：加減消元法解二元一次方程組
【經典例題2】（24-25七年級下·全國·單元測試）（教材母題變式）用加減法解下列方程組：
(1) (2)．
【變式訓練2-1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）解下列方程組：
(1) (2) (3)
【變式訓練2-2】（24-25七年級上·福建漳州·期末）解方程組：
【變式訓練2-3】解下列方程組：
(1)； (2)．
【變式訓練2-4】（2025七年級下·全國·專題練習）解方程組：
【變式訓練2-5】（2025七年級下·全國·專題練習）解下列方程組：
(1) (2) (3) (4)
題型三：二元一次方程組中看錯問題
【經典例題3】（2023·廣東惠州·二模）小麗和小明同時解一道關于的方程組，其中為常數．在解方程組的過程中，小麗看錯常數“”，解得；小明看錯常數“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程組正確的解．
【變式訓練3-1】（23-24七年級下·四川眉山·期中）甲、乙兩人同時解方程組，甲解題看錯了①中的m，解得，乙解題時看錯②中的n，解得．
(1)求m，n的值；
(2)求原方程組的解．
【變式訓練3-2】（23-24七年級上·江西景德鎮·期末）甲、乙兩人同時解方程組甲解題看錯了①中的m，解得，乙解題時看錯②中的n，解得，試求原方程組的解．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·湖北·期中）甲、乙兩人同解方程組時，甲看錯方程①中的，解得，乙看錯了②中的，解得，試求的值 .
【變式訓練3-4】（24-25七年級上·甘肅張掖·期末）在解方程組時，小聰正確的解得，小虎因看錯a而解得，若兩人的計算過程均沒錯誤，求a，b，c的值．
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）解方程組時，一學生把a看錯后得到，而正確的解為，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
題型四：判斷解題過程是否正確
【經典例題4】（24-25八年級上·山西·階段練習）小華在解方程組時，具體解法如下：
解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 將代入①得，．……（第三步） 所以這個方程組的解是．
任務：
(1)這種求解二元一次方程組的解法叫做________（填“代入消元法”或“加減消元法”），以上求解步驟中，第一步的依據是________________________；
(2)以上解答過程從第________步開始出現錯誤，具體錯誤是________________；
(3)請直接寫出該二元一次方程組的正確解________________________．
【變式訓練4-1】（24-25七年級下·全國·期中）下面是兩名同學解方程組時的不完整的解題過程：
甲同學：，得， ． 乙同學：由①，得，③ 將③代入②，得， .
(1)甲、乙兩名同學的解題過程正確嗎？若不正確，請找出錯誤的地方及原因．
(2)請你改正并完善兩名同學的解題過程．
【變式訓練4-2】（24-25七年級下·全國·單元測試）解方程組兩位同學的解法如下：
解法一： ①＋②，解得．
解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得．
(1)檢查兩位同學的解題過程是否正確？若有錯誤，請在錯誤的步驟后打上“×”；
(2)請選擇一種你喜歡的方法完成解答．
【變式訓練4-3】（24-25七年級上·河北張家口·期末）嘉琪同學解方程組的過程如下：
解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以這個方程組的解是
你認為他的解法是否正確？若正確，請寫出每一步的依據；若錯誤，請寫出正確的解題過程．
【變式訓練4-4】（2024七年級上·全國·專題練習）在《二元一次方程組》的小節復習時，李老師給出方程組，請同學們用自己喜歡的方法解這個方程組．小麗和小華解方程組的部分過程如下表：
小麗：，得
小華．由②得③，把①代入③，得
(1)小麗和小華解方程組的過程是否正確：小麗的過程___________，小華的過程___________；（填“正確”或“不正確”）
(2)請你用喜歡的方法解二元一次方程組．
【變式訓練4-5】（24-25七年級上·山西太原·階段練習）小華在解方程組時，具體解法如下：
解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 將代入①得，．………………（第三步） 所以這個方程組的解是．
任務：
(1)這種求解二元一次方程組的解法叫做 （填“代入消元法”或“加減消元法”），以上求解步驟中，第一步的依據是 ；
(2)以上解答過程從第 步開始出現錯誤，具體錯誤是 ；
(3)請直接寫出該二元一次方程組的正確解 ．
題型五：二元一次方程組中同解問題
【經典例題5】（23-24七年級上·陜西西安·期末）已知關于、的方程組和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式訓練5-1】（24-25八年級上·四川成都·階段練習）已知關于、的方程組 和 有相同的解，則的值為 ．
【變式訓練5-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知關于x，y的方程組 與 的解相同，試求a，b的值．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·期中）已知方程組和方程組的解相同．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式訓練5-4】（23-24七年級下·廣東江門·期中）關于的方程組與的解相同，
(1)求這個相同解．
(2)求的平方根．
【變式訓練5-5】（23-24七年級下·河南周口·階段練習）已知關于x，y的方程組與方程組的解相同，求的值．
題型六：已知二元一次方程組的解求參數
【經典例題6】（23-24七年級下·陜西渭南·期末）已知關于x，y的二元一次方程組的解x，y互為相反數，求a的值．
【變式訓練6-1】（24-25七年級上·河南平頂山·階段練習）已知關于、的二元一次方程組 的解為
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【變式訓練6-2】（24-25七年級上·四川達州·階段練習）解答下列各題
(1)已知關于，的二元一次方程組的解，的值相等，求的值．
(2)已知關于，的二元一次方程組的解互為相反數，求的值．
【變式訓練6-3】（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于的方程組的解滿足其中．若均為正整數，求所有符合條件的整數．
【變式訓練6-4】（23-24八年級上·陜西咸陽·階段練習）已知關于x，y的方程組的解滿足，求a的值．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·廣西貴港·期中）已知關于的二元一次方程組的解滿足方程，求m的值．
題型七：構造二元一次方程組求解
【經典例題7】（24-25八年級上·陜西銅川·期末）對于任意實數、，定義新運算：，其中、為常數，等號右邊為通常的加法、減法和乘法運算，例如．若，．求的值．
【變式訓練7-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）對實數，定義一種新運算，規定（其中，均為常數），例如：，．
(1)求，的值；
(2)求關于，的方程的正整數解．
【變式訓練7-2】（2025七年級下·全國·專題練習）當，，，，0，1，3，23，124，1000時，等式可以得到10個關于和的二元一次方程，問：這10個方程有無公共解？若有，求出公共解；若沒有，求出其中兩個方程的公共解．
【變式訓練7-3】（24-25八年級上·全國·期末）對于任意實數a，b，定義關于“”的一種運算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【變式訓練7-4】（23-24七年級下·浙江湖州·階段練習）對于實數、，定義關于“”的一種運算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求和的值．
【變式訓練7-5】（24-25七年級上·江蘇蘇州·階段練習）定義：關于的方程與方程（a、b均為不等于0的常數）稱互為“反對方程”，例如：方程與方程互為“反對方程”．
(1)若關于的方程與方程互為“反對方程”，則______；
(2)若關于的方程與方程互為“反對方程”，求、的值；
(3)若關于的方程與其“反對方程”的解都是整數，求整數的值．
題型八：二元一次方程組的特殊解法-選擇題
【經典例題8】（24-25七年級下·全國·單元測試）若關于x， y的方程組（其中是常數）的解為則關于x， y的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-1】（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）若方程組的解是，則方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-2】（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）若關于、的二元一次方程組的解是，則關于，的二元一次方程組的解是（ ）
A． B． C．． D．
【變式訓練8-3】（24-25七年級上·安徽蕪湖·期中）已知當時，且，則當時，（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-4】（24-25八年級上·河北張家口·期中）若關于x、y的二元一次方程組的解為，則關于x、y的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練8-5】（23-24七年級下·全國·單元測試）若關于x，y的方程組的解為則關于x，y的方程組的解為（　 ?。?br/>A． B． C． D．
題型九：二元一次方程組的特殊解法---整體換元法
【經典例題9】（24-25七年級上·湖南湘潭·階段練習）數學方法：
解方程組：，若設，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)直接填空：已知關于的二元一次方程組，的解為，那么關于的二元一次方程組的解為： ．
(2)知識遷移：請用這種方法解方程組 ．
(3)拓展應用：已知關于的二元一次方程組的解為，
求關于的方程組的解．
【變式訓練9-1】（2023七年級上·全國·專題練習）數學思想·整體思想 綜合與實踐
【問題情境】小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：
解方程組：．
【觀察發現】
（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設，則原方程組可化為_____，解關于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得_____；
【探索猜想】
（2）運用上述方法解下列方程
組：．
【變式訓練9-2】（2025七年級下·全國·專題練習）解方程組：
(1) (2)
【變式訓練9-3】（2024七年級上·全國·專題練習）利用換元法解下列方程組：
(1) (2)
【變式訓練9-4】（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析，發現問題的整體結構特征，用“整體”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，進行有目的、有意識的整體處理整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面都有廣泛的應用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基礎上，求方程組的解．
【變式訓練9-5】（23-24七年級下·河南駐馬店·階段練習）數學方法：解方程組，若設，，則原方程組可變形為，解方程組得，所以，解方程組得．我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)請用這種方法解方程組；
(2)已知關于x、y的二元一次方程組的解為，則關于m、n的二元一次方程組的解為______．
題型十：二元一次方程組的特殊解法---化繁為簡
【經典例題10】（24-25七年級下·全國·單元測試）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題．
解方程組
解：由①②，得，即，③
③14，得，④
②④，得，從而可得，
方程組的解是
(1)請你仿上面的解法解方程組
(2)猜測關于的方程組的解是什么，并利用方程組的解加以驗證．
【變式訓練10-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）先閱讀，再解方程組．
解方程組：
解：設，，
則原方程組變為
整理，得 解得
解得
請用這種方法解方程組：
【變式訓練10-2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知關于x，y的方程組的解是，求關于x，y的方程組的解．
【變式訓練10-3】（23-24七年級下·廣東湛江·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后回答并解決有關問題：
解方程組時，如果我們直接考慮消元，那會很麻煩，而采用下面的解法求解會更方便．
解：得，，所以③，將③，得④，
，得，從而可得，所以原方程組的解為．
(1)請你用上述方法解方程組．
(2)猜想：關于、的方程組（是常數，）的解，并說明理由．
【變式訓練10-4】（24-25八年級上·陜西西安·期中）先閱讀下列材料，解方程組時，如果我們直接消元，那么會很麻煩，但若用下面的解法，則要簡便得多．
解方程組
解：，得，③
，得，④
，得，
將代入③得，
所以原方程組的解是，
根據上述材料，解答問題：
(1)解方程組；
(2)在（1）的條件下，求式子的平方根．
【變式訓練10-5】（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習）[閱讀理解]在解方程組或求代數式的值時，可用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．
（1）解方程組
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程組的解為
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[類比遷移]
（1）求方程組的解．
（2）已知 ，求的值．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.3解二元一次方程組十大題型（一課一講）
（內容:解二元一次方程組及綜合）
【浙教版】
題型一：帶入消元法解二元一次方程組
【經典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）用代入法解下列方程組：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
將代入③，得
方程組的解為．
（2）解：
把②代入①，得
解得：
把代入②，得
方程組的解為．
（3）解：
由①，得③
把③代入②，得
解得：
把代入③，得
方程組的解為．
【變式訓練1-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）解下列方程組：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）
由①得．③
把③代入②，得，
解得．
把代入③，得，
故原方程組的解是；
（2）
，得，解得．
把代入①，得，
解得，
故原方程組的解是．
【變式訓練1-2】（24-25七年級上·遼寧丹東·期末）解方程組：．
【答案】
【詳解】解：
由②得③
把③代入①得
，
解得，
把代入③中，得
，
∴方程組的解為．
【變式訓練1-3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）解下列方程組：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
由②，得．③
把③代入①，得．
把代入③，得，
原方程組的解為
（2）
，得，
解得．
把代入①，得，
原方程組的解為
【變式訓練1-4】（24-25七年級上·黑龍江大慶·期末）解方程組：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：，
將②代入①可得，解得：，
將代入①可得，
故方程組的解為．
（2）解：，
得，
將代入①可得，
故方程組的解為．
【變式訓練1-5】（24-25七年級上·山西晉中·期末）解二元一次方程組：．
【答案】
【詳解】解：，
由①，得③，
將③代入②，得，
解得，
將代入③，得，
原方程組的解是．
題型二：加減消元法解二元一次方程組
【經典例題2】（24-25七年級下·全國·單元測試）（教材母題變式）用加減法解下列方程組：
(1) (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
整理，得
①-②，得，解得．
把代入②，得，解得，
所以原方程組的解是
（2）
①+②，得，解得．
②-①，得，解得，
所以原方程組的解是
【變式訓練2-1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習）解下列方程組：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）
②－①，得，解得．
把代入①，得，解得．
所以方程組的解是
（2）
①＋②，得，解得．
把代入②，得，解得．
所以方程組的解為．
（3）
①＋②，得，解得．
①－②，得，解得．
所以方程組的解為
【變式訓練2-2】（24-25七年級上·福建漳州·期末）解方程組：
【答案】
【詳解】解：方法一：①+②，得，
解得，，
將代入①，得，
解得，，
所以原方程組的解是；
方法二：由①，得③，
將③代入②，得，
解得，，
將代入③，得，
解得，，
所以原方程組的解是．
【變式訓練2-3】解下列方程組：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：由①得③，
將③代入②中，得，解得，
將代入③中，得，
∴原方程組的解為：；
（2）解：原方程組整理，得，
得，解得，
將代入③中，得，
∴原方程組的解為：．
【變式訓練2-4】（2025七年級下·全國·專題練習）解方程組：
【答案】
【詳解】解：，
①②得：，
解得，
將代入①得：，
解得，
所以方程組的解為．
【變式訓練2-5】（2025七年級下·全國·專題練習）解下列方程組：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：，得，
．
將代入①，得．
原方程組的解為；
（2）解：把①代入②，得，
解得．
把代入①，得．
原方程組的解為；
（3）解：，得．
解得．
把代入①，得．
解得．
原方程組的解為；
（4）解：，得，
把代入①，得，
解得，
∴原方程組的解為．
題型三：二元一次方程組中看錯問題
【經典例題3】（2023·廣東惠州·二模）小麗和小明同時解一道關于的方程組，其中為常數．在解方程組的過程中，小麗看錯常數“”，解得；小明看錯常數“”，解得．
(1)求的值；
(2)求出原方程組正確的解．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：在解方程組的過程中，小麗看錯常數“”，解得，
，解得；
在解方程組的過程中，小明看錯常數“”，解得，
，解得；
；；
（2）解：由（1）知，
由①②得，解得，
將代入①得，
原方程組的解為．
【變式訓練3-1】（23-24七年級下·四川眉山·期中）甲、乙兩人同時解方程組，甲解題看錯了①中的m，解得，乙解題時看錯②中的n，解得．
(1)求m，n的值；
(2)求原方程組的解．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴，；
（2）解：把，代入方程組得：，
得：，即，
把代入①得：，
則方程組的解為．
【變式訓練3-2】（23-24七年級上·江西景德鎮·期末）甲、乙兩人同時解方程組甲解題看錯了①中的m，解得，乙解題時看錯②中的n，解得，試求原方程組的解．
【答案】
【詳解】解：把代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
把，代入方程組得：，
得：，即，
把代入①得：，
則方程組的解為．
【變式訓練3-3】（23-24七年級下·湖北·期中）甲、乙兩人同解方程組時，甲看錯方程①中的，解得，乙看錯了②中的，解得，試求的值 .
【答案】0．
【詳解】把代入方程②，得4×（-3）-b×（-1）=-11，
解得b=1，
把代入方程①，得5a+5×4=15，解得a=－1，
所以==1+（－1）=0．
【變式訓練3-4】（24-25七年級上·甘肅張掖·期末）在解方程組時，小聰正確的解得，小虎因看錯a而解得，若兩人的計算過程均沒錯誤，求a，b，c的值．
【答案】a=-3，b=1，c=-2
【詳解】將代入，得，
將代入bx-cy=5中，得7b+c=5，
解方程組，解得，
∴a=-3，b=1，c=-2．
【變式訓練3-5】（23-24七年級下·湖南長沙·階段練習）解方程組時，一學生把a看錯后得到，而正確的解為，
(1)求a，b，c的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，，(2)2
【詳解】（1）解：將；分別代入得： ，
解得：，
將代入中得：，
解得：，
則，，；
（2）解：把，，代入得，
8的立方根是2，
的立方根為2．
題型四：判斷解題過程是否正確
【經典例題4】（24-25八年級上·山西·階段練習）小華在解方程組時，具體解法如下：
解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 將代入①得，．……（第三步） 所以這個方程組的解是．
任務：
(1)這種求解二元一次方程組的解法叫做________（填“代入消元法”或“加減消元法”），以上求解步驟中，第一步的依據是________________________；
(2)以上解答過程從第________步開始出現錯誤，具體錯誤是________________；
(3)請直接寫出該二元一次方程組的正確解________________________．
【答案】(1)加減消元法，等式的性質(2)二，合并常數項時計算錯誤(3)
【詳解】（1）解：這種求解二元一次方程組的解法叫做加減消元法，第一步的依據是等式的性質；
故答案為：加減消元法，等式的性質；
（2）第二步出現錯誤，原因是，合并常數項計算出錯；
（3）解：得，③，
得，，
所以，，
將代入①得，．
所以這個方程組的解是．
【變式訓練4-1】（24-25七年級下·全國·期中）下面是兩名同學解方程組時的不完整的解題過程：
甲同學：，得， ． 乙同學：由①，得，③ 將③代入②，得， .
(1)甲、乙兩名同學的解題過程正確嗎？若不正確，請找出錯誤的地方及原因．
(2)請你改正并完善兩名同學的解題過程．
【答案】(1)甲同學的解題過程錯誤，時未給②中等號前面的式子添括號致錯；乙同學的解題過程錯誤，將③代入②時未給③中的式子添括號致錯(2)見解析
【詳解】（1）解：甲同學的解題過程錯誤，時未給②中等號前面的式子添括號致錯；
乙同學的解題過程錯誤，將③代入②時未給③中的式子添括號致錯．
（2）甲同學：，得，
解得.
將代入①，得，
解得.
原方程組的解為
乙同學：由①，得，③
將③代入②，得，
解得.
將代入①，得，
解得.
原方程組的解為
【變式訓練4-2】（24-25七年級下·全國·單元測試）解方程組兩位同學的解法如下：
解法一： ①＋②，解得．
解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得．
(1)檢查兩位同學的解題過程是否正確？若有錯誤，請在錯誤的步驟后打上“×”；
(2)請選擇一種你喜歡的方法完成解答．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）解：如圖．
解法一： ①＋②，得．
解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．×
（2）解：選擇解法一：①＋②，得，解得．
把代入①，得，解得，
該方程組的解為
選擇解法二：由②，得 ③．
把③代入①，得，解得．
把代入①，得，
該方程組的解為
【變式訓練4-3】（24-25七年級上·河北張家口·期末）嘉琪同學解方程組的過程如下：
解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以這個方程組的解是
你認為他的解法是否正確？若正確，請寫出每一步的依據；若錯誤，請寫出正確的解題過程．
【答案】錯誤，過程見解析
【詳解】解：錯誤．
正解如下：
，得
，得
解得：
把代入②，得
所以這個方程組的解是．
【變式訓練4-4】（2024七年級上·全國·專題練習）在《二元一次方程組》的小節復習時，李老師給出方程組，請同學們用自己喜歡的方法解這個方程組．小麗和小華解方程組的部分過程如下表：
小麗：，得
小華．由②得③，把①代入③，得
(1)小麗和小華解方程組的過程是否正確：小麗的過程___________，小華的過程___________；（填“正確”或“不正確”）
(2)請你用喜歡的方法解二元一次方程組．
【答案】(1)正確，不正確(2)
（2）由②得，把①代入，得，求解即可．
【詳解】（1）解：小麗：，得，正確；
小華．由②得③，把①代入③，得，故不正確；
（2）解：，
由②，得，
把①代入，得，
解得，
把代入①得，，
所以方程組的解是．
【變式訓練4-5】（24-25七年級上·山西太原·階段練習）小華在解方程組時，具體解法如下：
解：①×2得，③，…………………（第一步） ③－②得，，……………………（第二步） 所以，， 將代入①得，．………………（第三步） 所以這個方程組的解是．
任務：
(1)這種求解二元一次方程組的解法叫做 （填“代入消元法”或“加減消元法”），以上求解步驟中，第一步的依據是 ；
(2)以上解答過程從第 步開始出現錯誤，具體錯誤是 ；
(3)請直接寫出該二元一次方程組的正確解 ．
【答案】(1)加減消元法，等式的性質(2)二，合并常數項時計算錯誤(3)
【詳解】（1）解：這種求解二元一次方程組的解法叫做加減消元法，第一步的依據是等式的性質；
故答案為：加減消元法，等式的性質；
（2）第二步出現錯誤，原因是，合并常數項計算出錯；
（3）解：得，③，
③－②得，，
所以，，
將代入①得，．
所以這個方程組的解是．
題型五：二元一次方程組中同解問題
【經典例題5】（23-24七年級上·陜西西安·期末）已知關于、的方程組和有相同的解，那么值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【詳解】解：由題意，得，
解得，
因為兩方程有相同的解，
所以將代入，
得，
解得，
所以．
故選：B．
【變式訓練5-1】（24-25八年級上·四川成都·階段練習）已知關于、的方程組 和 有相同的解，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：解方程組得，
把代入方程組得，
解得：，則
∴，
故答案為：．
【變式訓練5-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）已知關于x，y的方程組 與 的解相同，試求a，b的值．
【答案】
【詳解】解：由題意可得：，
解得：，
將代入，得，
解得：．
【變式訓練5-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·期中）已知方程組和方程組的解相同．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵方程組和方程組的解相同，
∴方程和方程有相同的解，
聯立，解得，
∴；
（2）解：由（1）可知方程組，
解得，
∴．
【變式訓練5-4】（23-24七年級下·廣東江門·期中）關于的方程組與的解相同，
(1)求這個相同解．
(2)求的平方根．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由方程組，解得，
∴這個相同解是．
（2）把代入與，
得，
解得，
∴，它的平方根是．
【變式訓練5-5】（23-24七年級下·河南周口·階段練習）已知關于x，y的方程組與方程組的解相同，求的值．
【答案】
【詳解】解：，
得：，
解得：，
將代入①得：，
方程組的解集為，
方程組與方程組的解相同，
，
解得：，
題型六：已知二元一次方程組的解求參數
【經典例題6】（23-24七年級下·陜西渭南·期末）已知關于x，y的二元一次方程組的解x，y互為相反數，求a的值．
【答案】
【詳解】解：，
，得，即．
把代入①，得．
由題意得，即，
解得．
【變式訓練6-1】（24-25七年級上·河南平頂山·階段練習）已知關于、的二元一次方程組 的解為
(1)求，的值；
(2)求的立方根．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：根據題意得：，
解得：，
，；
（2），，
，
的立方根為．
【變式訓練6-2】（24-25七年級上·四川達州·階段練習）解答下列各題
(1)已知關于，的二元一次方程組的解，的值相等，求的值．
(2)已知關于，的二元一次方程組的解互為相反數，求的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：
依題意，
由①可得，
解得：
∴，代入②得，
解得：
（2）解：
依題意，③
將③代入②得，，
解得：
∴
將代入①得，
解得：
【變式訓練6-3】（2025七年級下·全國·專題練習）已知關于的方程組的解滿足其中．若均為正整數，求所有符合條件的整數．
【答案】
【詳解】解：解方程組得
因為方程組的解滿足
所以，
整理，得．
因為，
所以，
整理，得．
因為均為正整數，所以當時，，
此時；
當時，，此時；
當時，，此時．
綜上所述，的值為．
【變式訓練6-4】（23-24八年級上·陜西咸陽·階段練習）已知關于x，y的方程組的解滿足，求a的值．
【答案】
【詳解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-5】（23-24七年級下·廣西貴港·期中）已知關于的二元一次方程組的解滿足方程，求m的值．
【答案】
【詳解】解： 由題意得：，
解得，
將，代入，
得：，
∴，
題型七：構造二元一次方程組求解
【經典例題7】（24-25八年級上·陜西銅川·期末）對于任意實數、，定義新運算：，其中、為常數，等號右邊為通常的加法、減法和乘法運算，例如．若，．求的值．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練7-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）對實數，定義一種新運算，規定（其中，均為常數），例如：，．
(1)求，的值；
(2)求關于，的方程的正整數解．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）解：根據題意可得：，
，
可得方程組:，
得：，
解得，
把代入得：，
解得：，
方程組的解為：，
的值為，的值為；
（2）解：把，代入，
可得：，
，
，
原方程可化為，
整理得：，
，
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，不符合題意，舍去；
當時，；
當時，為負數，不符合題意，舍去；
方程的正整數解為．
【變式訓練7-2】（2025七年級下·全國·專題練習）當，，，，0，1，3，23，124，1000時，等式可以得到10個關于和的二元一次方程，問：這10個方程有無公共解？若有，求出公共解；若沒有，求出其中兩個方程的公共解．
【答案】有公共解，
【詳解】解：設當，時，有，這兩個方程的公共解，
解得：，
把代入等式，得
左邊，
∴無論m取何值恒為0，
∴是原方程的解，
∴這 10 個方程有公共解，公共解為．
【變式訓練7-3】（24-25八年級上·全國·期末）對于任意實數a，b，定義關于“”的一種運算如下：，例如．
(1)求的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)0(2)．
【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：；
（2）解：∵，
∴①，
∵，
∴②，
得
∴．
【變式訓練7-4】（23-24七年級下·浙江湖州·階段練習）對于實數、，定義關于“”的一種運算：，例如．
(1)求的值；
(2)若，，求和的值．
【答案】(1)5 (2)，
【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：
；
（2）解：根據題中的新定義得：
，
，
根據題中的新定義化簡得：，
解得：．
【變式訓練7-5】（24-25七年級上·江蘇蘇州·階段練習）定義：關于的方程與方程（a、b均為不等于0的常數）稱互為“反對方程”，例如：方程與方程互為“反對方程”．
(1)若關于的方程與方程互為“反對方程”，則______；
(2)若關于的方程與方程互為“反對方程”，求、的值；
(3)若關于的方程與其“反對方程”的解都是整數，求整數的值．
【答案】(1)2(2)(3)
【詳解】（1）解：由題可知，與、均為不等于0的常數）稱互為“反對方程”，
與方程互為“反對方程”，
．
（2）解：將寫成的形式，
∵關于的方程與方程互為“反對方程”，
∴
∴
（3）解：的“反對方程”為，
由得，，
當，得，
與的解均為整數，
與都為整數，
也為整數，
當時，，，都為整數，
當時，，，都為整數，
的值為．
題型八：二元一次方程組的特殊解法-選擇題
【經典例題8】（24-25七年級下·全國·單元測試）若關于x， y的方程組（其中是常數）的解為則關于x， y的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：關于方程組（其中是常數）的解為，
方程組的解為，
解得，，
故選：．
【變式訓練8-1】（24-25七年級上·安徽馬鞍山·期末）若方程組的解是，則方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵方程組的解是，
∴方程組的解為：，
解得，
故選：C．
【變式訓練8-2】（23-24七年級上·河南鄭州·階段練習）若關于、的二元一次方程組的解是，則關于，的二元一次方程組的解是（ ）
A． B． C．． D．
【答案】C
【詳解】解：∵二元一次方程組的解是，
∴方程組的解是，
解，
得，
故選：C．
【變式訓練8-3】（24-25七年級上·安徽蕪湖·期中）已知當時，且，則當時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵當時，，且，
∴，
得：③，
得：④，
得：，
當時，
，
故選：B．
【變式訓練8-4】（24-25八年級上·河北張家口·期中）若關于x、y的二元一次方程組的解為，則關于x、y的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：解法一：，
∴，
設，，
∴，
∵關于x、y的二元一次方程組的解為，
∴，，
解得：，
∴原方程組的解集為：；
解法二：把代入，得：，
∵，
∴，即：，
，得：，
∵方程組有解，
∴，
∴，
把代入①，得：，解得：；
∴方程組的解集為：；
故選：C．
【變式訓練8-5】（23-24七年級下·全國·單元測試）若關于x，y的方程組的解為則關于x，y的方程組的解為（　 ?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：已知關于，的方程組的解為，
那么將關于，的方程組變形得，
則，
解得：，
即該方程組的解為：，
故選：A．
題型九：二元一次方程組的特殊解法---整體換元法
【經典例題9】（24-25七年級上·湖南湘潭·階段練習）數學方法：
解方程組：，若設，，則原方程組可化為，解方程組得，所以，解方程組得，我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去替代它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)直接填空：已知關于的二元一次方程組，的解為，那么關于的二元一次方程組的解為： ．
(2)知識遷移：請用這種方法解方程組 ．
(3)拓展應用：已知關于的二元一次方程組的解為，
求關于的方程組的解．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：設，
則原方程組化為，
∵關于的二元一次方程組的解為，
∴，
解得：，
故答案為：；
（2）解：設，
則原方程組化為，
解得，
∴，
解得；
（3）解：設，
則原方程組化為，
整理得，
∵關于的二元一次方程組的解為，
∴，∴，∴．
【變式訓練9-1】（2023七年級上·全國·專題練習）數學思想·整體思想 綜合與實踐
【問題情境】小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：
解方程組：．
【觀察發現】
（1）如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．設，則原方程組可化為_____，解關于m，n的方程組，得，所以，解方程組，得_____；
【探索猜想】
（2）運用上述方法解下列方程
組：．
【答案】（1），；（2）
【詳解】解：（1）設，
則原方程組可化為，
解關于m，n的方程組，得，
∴，
解方程組，得，
故答案為：，；
（2）設，，
則原方程組可化為，
解關于m，n的方程組，得，
∴，
解方程組，得．
【變式訓練9-2】（2025七年級下·全國·專題練習）解方程組：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：設，則原方程組可變形為，
解得，
從而得方程組，
解得，
故原方程組的解為；
（2）解：設，則原方程組可變形為，
解得，
從而得方程組，
解得
故原方程組的解為
【變式訓練9-3】（2024七年級上·全國·專題練習）利用換元法解下列方程組：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：令，，
原方程組化為，
解得，
把代入，，
得，
解得，，
原方程組的解為；
（2）解：令，，
原方程組化為，
解得，
將代入，，
得，
解得，
原方程組的解為．
【變式訓練9-4】（23-24八年級上·廣東佛山·階段練習）整體思想就是從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析，發現問題的整體結構特征，用“整體”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，進行有目的、有意識的整體處理整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何證明等方面都有廣泛的應用．
(1)解方程；
(2)在（1）的基礎上，求方程組的解．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：，
得，
，
，
將代入①得，
，
，
所以原方程組的解為；
（2）解：由題知，
將和看作一個整體，
則，
解得，
所以原方程組的解為．
【變式訓練9-5】（23-24七年級下·河南駐馬店·階段練習）數學方法：解方程組，若設，，則原方程組可變形為，解方程組得，所以，解方程組得．我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，這種解方程組的方法叫做換元法．
(1)請用這種方法解方程組；
(2)已知關于x、y的二元一次方程組的解為，則關于m、n的二元一次方程組的解為______．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：設，
∴原方程組變形得：，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
∴，
解得：．
（2）解：∵關于x、y的二元一次方程組的解為，
∴關于m、n的二元一次方程組中，
解方程組得：．
題型十：二元一次方程組的特殊解法---化繁為簡
【經典例題10】（24-25七年級下·全國·單元測試）閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題．
解方程組
解：由①②，得，即，③
③14，得，④
②④，得，從而可得，
方程組的解是
(1)請你仿上面的解法解方程組
(2)猜測關于的方程組的解是什么，并利用方程組的解加以驗證．
【答案】(1)(2)，驗證見解析
【詳解】（1）解：，
②①，得③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程組的解是；
（2）解：猜測方程組的解是；
，
①②，得，
，
③，
，得，解得，
把代入③，得，解得，
所以原方程組的解是．
【變式訓練10-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）先閱讀，再解方程組．
解方程組：
解：設，，
則原方程組變為
整理，得 解得
解得
請用這種方法解方程組：
【答案】
【詳解】解：設，，
則原方程組變為，
解得
，
解得
【變式訓練10-2】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知關于x，y的方程組的解是，求關于x，y的方程組的解．
【答案】
【詳解】解：∵，
，
關于x，y的方程組的解是，
由得，
把代入，
解得，
∴，
解得．
【變式訓練10-3】（23-24七年級下·廣東湛江·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后回答并解決有關問題：
解方程組時，如果我們直接考慮消元，那會很麻煩，而采用下面的解法求解會更方便．
解：得，，所以③，將③，得④，
，得，從而可得，所以原方程組的解為．
(1)請你用上述方法解方程組．
(2)猜想：關于、的方程組（是常數，）的解，并說明理由．
【答案】(1)(2)，理由見解析
【詳解】（1）解：，
，得
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程組的解是；
（2）解：猜想關于、的方程組的解為，
理由如下：
得，
③
，得④
，得
解得
把代入③，得，
解得，
原方程組的解是．
【變式訓練10-4】（24-25八年級上·陜西西安·期中）先閱讀下列材料，解方程組時，如果我們直接消元，那么會很麻煩，但若用下面的解法，則要簡便得多．
解方程組
解：，得，③
，得，④
，得，
將代入③得，
所以原方程組的解是，
根據上述材料，解答問題：
(1)解方程組；
(2)在（1）的條件下，求式子的平方根．
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）解：，
得：，
∴，
得：，
將代入得：，
∴方程組的解為：；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
【變式訓練10-5】（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習）[閱讀理解]在解方程組或求代數式的值時，可用整體代入或整體求值的方法，化繁為簡．
（1）解方程組
解：把②代入得①，，
解得，
把代入②得，
所以方程組的解為
（2）已知求的值．
解：，得，
，得．
[類比遷移]
（1）求方程組的解．
（2）已知 ，求的值．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）
把②代入①，
得，
解得．
把代入②，得，
∴方程組的解為；
（2），
得：，
得，．

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