資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題2.4二元一次方程組的應(yīng)用十一大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：列二元一次方程組
【經(jīng)典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）某工廠有26名工人，一個工人每天可加800個螺栓或1000個螺帽，1個螺栓與2個螺帽配套．現(xiàn)要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且沒有剩余．若設(shè)安排個工人加工螺栓，個工人加工螺帽，則列出正確的二元一次方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】長江江豚因其珍貴稀有，被譽(yù)為“水中大熊貓”，對維護(hù)長江生物多樣性和生態(tài)安全意義重大．長江某文創(chuàng)店出售不同規(guī)格的江豚玩具，已知3個大號玩具和1個小號玩具共需110元：1個大號玩具和2個小號玩具共需70元，求大號玩具、小號玩具各需多少錢？設(shè)1個大號玩具x元，1個小號玩具y元．則可列出方程組為
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】（24-25七年級·山西太原·期末）某工廠去年的總利潤為200萬元，今年的總收入比去年增加了，總交出比去年減少了，今年的總利潤為780萬元．小明列出二元一次方程組刻畫這一情境中的等量關(guān)系，則方程組中的x，y表示的未知量分別為（）
A．今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元
B．今年的總支出為x萬元，總收入為y萬元
C．去年的總收入為x萬元，總支出為y萬元
D．去年的總支出為x萬元，總收入為y萬元
【變式訓(xùn)練1-3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）為積極響應(yīng)國家“雙碳”目標(biāo)，進(jìn)一步加強(qiáng)勞動及美育教育，某班組織學(xué)生參加植樹活動，男生植樹數(shù)量比女生植樹數(shù)量的2倍多8棵，女生植樹數(shù)量比男生植樹數(shù)量少24棵，設(shè)女生植樹x棵，男生植樹y棵，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】（24-25七年級上·四川成都·期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，第七章“盈不足”盈虧問題，記錄這樣一道問題：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價(jià)幾何？譯文為：有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，還差4元，設(shè)共有x人，物品單價(jià)y元，則下面方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-5】（24-25七年級下·全國·單元測試）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，按照從右到左的順序滿六進(jìn)一，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖是一名婦女和兒童在繩子上打結(jié)記錄的采集總數(shù)量，圖是婦女比兒童多采集的數(shù)量．設(shè)婦女采集的數(shù)量為，兒童采集的數(shù)量為，下面所列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：二元一次方程組的應(yīng)用之幾何圖形
【經(jīng)典例題2】（2024七年級上·云南·專題練習(xí)）現(xiàn)有1張大長方形和3張相同的小長方形卡片，按如圖所示兩種方式擺放，則小長方形的長與寬的差是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）如圖所示，塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，若其中每一個小長方形的長為，寬為，則依據(jù)題意可得二元一次方程組為（　　）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，寬為的矩形圖案是由10個形狀和大小完全一樣的小長方形拼成，則一個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-3】（23-24七年級下·河南南陽·期中）如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，則每塊墻磚的長是 ．
【變式訓(xùn)練2-4】（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，放入個形狀、大小都相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？
(2)求陰影部分的面積.
【變式訓(xùn)練2-5】（23-24七年級·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，長方形由7個正方形組成，已知正方形A的邊長為，正方形B的邊長為，求此長方形的面積．（只能用二元一次方程組解答）
題型三：二元一次方程組的應(yīng)用之方案問題
【經(jīng)典例題3】（24-25七年級上·陜西銅川·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出產(chǎn)于陜西省銅川市耀州區(qū)，以瓷質(zhì)細(xì)膩，色澤青翠晶瑩、線條明快流暢、造型端莊渾樸著稱于世．某瓷器超市有、兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器按定價(jià)銷售，已知3件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和2件種規(guī)格的倒裝壺瓷器總售價(jià)為1700元，4件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和1件種規(guī)格的倒裝壺瓷器總售價(jià)為1600元．
(1)分別求出每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)；
(2)旅游旺季期間，某天該瓷器超市通過銷售這兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器共獲得3600元，且兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器都有銷售，請你計(jì)算該超市這天所有可能的銷售方案（即每種規(guī)格的倒裝壺瓷器各銷售了多少件）．
【變式訓(xùn)練3-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）某運(yùn)動品牌生產(chǎn)廠開發(fā)了一款新式的運(yùn)動器材，計(jì)劃15天生產(chǎn)安裝360臺.由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式運(yùn)動器材的安裝，工廠決定招聘一些新工人.他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行新式運(yùn)動器材的安裝，生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)，2名熟練工和1名新工人每天可安裝10臺新式運(yùn)動器材，3名熟練工和2名新工人每天可安裝16臺新式運(yùn)動器材.
(1)每名熟練工和新工人每天分別可以安裝多少臺新式運(yùn)動器材？
(2)如果工廠抽調(diào)名熟練工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽調(diào)的熟練工剛好能完成原計(jì)劃15天的生產(chǎn)任務(wù)，那么工廠有幾種新工人的招聘方案？
【變式訓(xùn)練3-2】（24-25七年級上·廣西桂林·期末）某校準(zhǔn)備組織七年級師生去紅軍長征湘江戰(zhàn)役紀(jì)念館參觀學(xué)習(xí)，學(xué)校聯(lián)系某客運(yùn)公司有60座和45座兩種客車可供租用．學(xué)校如果全部租用45座的客車，那么七年級師生全部有座，且還剩余15個空座位；如果全部租用60座的客車，則可少租3輛，且正好坐滿．
(1)求七年級師生的總?cè)藬?shù)；
(2)已知客運(yùn)公司60座的客車每輛每天的租金是900元，45座的客車每輛每天的租金是700元．若學(xué)校從該客運(yùn)公司租用客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車都恰好坐滿，求出滿足條件的所有租車方案，并說明哪一種租車方案最省錢？
【變式訓(xùn)練3-3】（24-25七年級上·安徽六安·期末）某商店分兩次購進(jìn)A，B型兩種臺燈進(jìn)行銷售，兩次購進(jìn)的數(shù)量及費(fèi)用如下表所示，由于物價(jià)上漲，第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進(jìn)價(jià)分別上漲，．
購進(jìn)的臺數(shù) 購進(jìn)所需要的費(fèi)用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次購進(jìn)A，B型兩種臺燈每臺進(jìn)價(jià)分別是多少元？
(2)A，B型兩種臺燈銷售單價(jià)不變，第一次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．
①求A，B型兩種臺燈每臺售價(jià)分別是多少元？
②若按照第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈的價(jià)格再購進(jìn)一次，將再次購進(jìn)的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為740元，求有哪幾種購進(jìn)方案？
【變式訓(xùn)練3-4】（24-25七年級·福建三明·期末）“我在閩江源頭有棵樹”，某市黃花梨果大皮薄、果肉潔白、質(zhì)地細(xì)膩、汁多味甜、富含維生素，現(xiàn)欲將一批黃花梨運(yùn)往外地銷售，若用1輛型車和2輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)走11噸；用2輛型車和1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)走13噸．現(xiàn)有黃花梨32噸，計(jì)劃同時租用型、型車，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿黃花梨．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)1輛型車和1輛型車載滿黃花梨一次可分別運(yùn)送多少噸？
(2)若1輛型車的租金為200元/次，1輛型車的租金為150元/次，請問有幾種租車方案？選出費(fèi)用最少的租車方案，并求出最少的租車費(fèi)．
【變式訓(xùn)練3-5】（24-25七年級·黑龍江大慶·期末）為開設(shè)藝體素養(yǎng)提升課程，志遠(yuǎn)學(xué)校從商店購買籃球和足球，若購買12個籃球和10個足球共需1220元；購買6個籃球和14個足球共需1060元．
(1)籃球和足球的單價(jià)分別是多少元；
(2)學(xué)校去商店購買時，恰逢商店打八折促銷，購買這兩種球共花費(fèi)960元，該學(xué)校有哪幾種購買方案？
題型四：二元一次方程組的應(yīng)用之銷售利潤問題
【經(jīng)典例題4】（24-25七年級下·全國·單元測試）某服裝店用元購進(jìn)兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤元（毛利潤售價(jià)-進(jìn)價(jià)），這兩種服裝的進(jìn)價(jià)，標(biāo)價(jià)如表所示．
類型價(jià)格 A B
進(jìn)價(jià)（元／件）
標(biāo)價(jià)（元／件）
(1)請利用二元一次方程組求A，B兩種新式服裝各購進(jìn)的件數(shù)；
(2)如果A種服裝按標(biāo)價(jià)的9折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入多少元？
【變式訓(xùn)練4-1】（24-25七年級·江西九江·期末）小明想購買一副羽毛球拍與5盒羽毛球，他發(fā)現(xiàn)、兩商場的每副羽毛球拍與每盒羽毛球的標(biāo)價(jià)均相同，這兩項(xiàng)合計(jì)為300元，但他們的售賣方案不同．
商場的售賣方案是：顧客每購買一副羽毛球拍贈送一盒羽毛球，另外購買的羽毛球則按原價(jià)出售．
商場的售賣方案是：顧客購買的羽毛球拍與羽毛球均按原價(jià)的9折出售．
小明發(fā)現(xiàn)，他要購買的羽毛球拍與羽毛球在這兩家商場應(yīng)付的錢一樣多，問：羽毛球拍與羽毛球的單價(jià)分別是多少？
【變式訓(xùn)練4-2】（24-25七年級·陜西榆林·期末）我國清代算書《御制數(shù)理精蘊(yùn)》中有這樣一題：“設(shè)如硯七方比筆三支價(jià)多四百八十文，又硯三方比筆九支價(jià)少一百八十文，問筆硯價(jià)各若干？”其大意為假設(shè)七方硯臺的價(jià)格比三支筆的價(jià)格多出四百八十文錢，而三方硯臺的價(jià)格則比九支筆的價(jià)格少了一百八十文錢，請問筆和硯臺的單價(jià)分別是多少？
(1)求筆和硯臺的單價(jià)．
(2)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，某校開設(shè)了書法課程，需購買硯臺和筆若干，已知筆的數(shù)量是硯臺數(shù)量的2倍，學(xué)校共花費(fèi)3420元．問該?？梢再徺I硯臺和筆各多少？（1文約等于1.2元）
【變式訓(xùn)練4-3】（24-25七年級·陜西寶雞·期末）為貫徹落實(shí)黨中央、國務(wù)院決策部署，陜西省推動“消費(fèi)品以舊換新”行動，對購買一、二級能效綠色智能家電的消費(fèi)者予以一定置換補(bǔ)貼．補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為產(chǎn)品最終銷售價(jià)格的，對購買級及以上能效或水校的產(chǎn)品，額外再給予產(chǎn)品最終銷售價(jià)格的的補(bǔ)貼．某學(xué)校分兩次更新部分電腦和空調(diào)（二級能效），第一次購買臺電腦和臺空調(diào)，補(bǔ)貼前需花費(fèi)元；第二次購買臺電腦和臺空調(diào)，補(bǔ)貼前需花費(fèi)元．
(1)補(bǔ)貼前．學(xué)校購買一臺電腦和一臺空調(diào)所需的資金分別是多少元？
(2)若該校兩次購買的所有電腦和空調(diào)均參加以舊換新活動，則一共能獲得多少元的國家補(bǔ)貼？
【變式訓(xùn)練4-4】（24-25七年級·湖南岳陽·期末）為更好地滿足本地市民和外地游客的消費(fèi)需求，岳陽某超市在“春節(jié)”黃金周前投入11220元資金購進(jìn)甲、乙兩種水果共400箱，這兩種水果的成本價(jià)和標(biāo)價(jià)如下表所示：
類別/單價(jià) 成本價(jià) 標(biāo)價(jià)（元/箱）
甲 24
乙 33 50
(1)該超市購進(jìn)甲、乙兩種水果各多少箱？
(2)為了促銷，該超市將甲種水果按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)銷售；乙種水果以標(biāo)價(jià)的8折銷售．若這400箱水果在“春節(jié)”黃金周結(jié)束后全部售完，則該超市可獲得利潤多少元？
【變式訓(xùn)練4-5】我國航天事業(yè)已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了載人航天、月球探測、火星探測、空間站建設(shè)等多個重大項(xiàng)目，擁有自主的運(yùn)載火箭、衛(wèi)星、航天器等核心技術(shù)，具備獨(dú)立的發(fā)射和控制能力．某校為了培養(yǎng)學(xué)生科技創(chuàng)新意識，開設(shè)了航模興趣社團(tuán)，計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種航模進(jìn)行科創(chuàng)實(shí)驗(yàn)，據(jù)了解，2件A種航模和3件B種航模共需1800元；3件A種航模和1件B種航模共需1300元．求A，B兩種航模每件分別為多少元
題型五：二元一次方程組的應(yīng)用之行程問題
【經(jīng)典例題5】（24-25七年級下·全國·單元測試）從甲地到乙地有一段上坡與一段平路．如果保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需，從乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李將這個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，設(shè)上坡有，平路有，已經(jīng)列出一個方程，則另一個方程是 ．
【變式訓(xùn)練5-1】甲、乙兩地之間的路段由若干段坡路組成，小明爸爸開車從甲地去往乙地辦事，從甲地到乙地用了小時，返回時用了小時．已知汽車在上坡時速度為28千米/小時，下坡時速度為42千米/小時，則從甲地到乙地的總路程是 千米．
【變式訓(xùn)練5-2】（24-25七年級·浙江寧波·階段練習(xí)）自行車輪胎安裝在后輪上只能行駛就要報(bào)廢，安轉(zhuǎn)在前輪上，則可以行駛才報(bào)廢．為使一對輪胎能夠行駛盡可能多的路程后報(bào)廢，在自行車行駛一段路程后，將前后輪胎進(jìn)行調(diào)換，這樣安轉(zhuǎn)在自行車上的一對輪胎最多可以行駛多少 千米．
【變式訓(xùn)練5-3】、兩地相距36千米，若甲、乙兩人都從地去地，乙比甲先出發(fā)2小時，甲出發(fā)4小時后追上乙；若甲、乙分別從、兩地出發(fā)，相向而行，乙比甲早出發(fā)小時，兩人在甲出發(fā)后3小時相遇．求甲、乙兩人的速度．
【變式訓(xùn)練5-4】（24-25七年級·廣西貴港·期末）小貴、小港兩人從相距的兩地相向而行．
(1)若小貴比小港先走，則他們在小港出發(fā)后相遇；若小港比小貴先走，則他們在小貴出發(fā)后相遇，求小貴、小港兩人每小時各走多少千米？
(2)如果他們同時出發(fā)，并保持（1）中的速度，那么后兩人還相距多少千米？
【變式訓(xùn)練5-5】（24-25七年級·湖南懷化·期末）甲、乙兩地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽車從甲地下午1點(diǎn)出發(fā)到乙地是下午3點(diǎn)30分，停留30分鐘后從乙地出發(fā)，6點(diǎn)48分返回甲地．已知汽車在上坡路每小時行駛20千米，平路每小時行駛30千米，下坡每小時行駛40千米，求甲地到乙地的行駛過程中平路、上坡、下坡分別是多少千米？
題型六：二元一次方程組的應(yīng)用之工程問題
【經(jīng)典例題6】端午臨中夏，時清日復(fù)長．臨近端午節(jié)時，一網(wǎng)紅門店接到一份粽子訂單，立即決定由甲、乙兩組加工完成．已知甲、乙兩組加工一天共加工350袋粽子，甲組加工2天比乙組加工1天多加工250袋粽子．
(1)求甲、乙兩組每天各加工多少袋粽子；
(2)已知這份粽子訂單為袋，若甲、乙兩組共用10天加工完成（甲、乙兩組不同時加工），則甲組需要加工多少天？
【變式訓(xùn)練6-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）為打造集休閑娛樂、健身運(yùn)動、觀光旅游、體驗(yàn)自然等于一體的多功能活動區(qū)域．深圳灣公園海濱步道現(xiàn)有一段長350米的河邊道路需整治，任務(wù)由，兩個工程隊(duì)先后接力完成，工程隊(duì)每天整治15米，工程隊(duì)每天整治10米，共用時30天．
根據(jù)題意，甲、乙兩位同學(xué)分別列出了如下不完整的方程組：
甲：乙：
從甲、乙兩位同學(xué)所列方程組中任選一組，補(bǔ)全以下解題過程，并利用此方程組求出，兩個工程隊(duì)分別整治河邊道路多少米．
解：選擇的方程組為____________（填“甲”或“乙”） 設(shè)為_______________________； 為_________________________．
【變式訓(xùn)練6-2】近年來，城市更新行動速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群眾獲得感、幸福感、安全感不斷提升．某社區(qū)在改造中，恢復(fù)重現(xiàn)了居民記憶深處的電影院坡坡、戲水河溝、游園壩壩等，新設(shè)計(jì)了系列文化景觀，構(gòu)建起一個“文化生態(tài)”空間．第一期的改造工程面積為88平方米，由甲、乙兩人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙兩人分別工作了多少天．
【變式訓(xùn)練6-3】一家工廠里2個男工和4個女工一天可加工全部零件的8個男工和10個女工一天內(nèi)可加工完全部零件．如果把單獨(dú)讓男工加工和單獨(dú)讓女工加工進(jìn)行比較，要在一天內(nèi)完成任務(wù)，女工要比男工多多少人？
【變式訓(xùn)練6-4】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方，原計(jì)劃由公司的甲、乙兩個工程隊(duì)從公路的兩端同時相向施工150天完成．由于特殊情況，公司抽調(diào)甲隊(duì)外援施工，由乙隊(duì)先單獨(dú)施工40天后甲隊(duì)返回，兩隊(duì)又共同施工了110天，這時甲、乙兩隊(duì)共完成土方量103.2萬立方．甲、乙兩隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方？
【變式訓(xùn)練6-5】（22-23七年級下·湖北十堰·期末）穿越青海境內(nèi)的蘭新高速鐵路正在加緊施工．某工程隊(duì)承包了一段全長1957米的隧道工程，甲、乙兩個班組分別從南北兩端同時掘進(jìn)，已知甲組比乙組每天多掘進(jìn)米，經(jīng)過6天施工，甲、乙兩組共掘進(jìn)57米．
(1)求甲乙兩班組平均每天各掘進(jìn)多少米？
(2)為加快工程進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進(jìn)米，乙組平均每天比原來多掘進(jìn)米．按此施工進(jìn)度，還需要多少天完成任務(wù)？
題型七：二元一次方程組的應(yīng)用之?dāng)?shù)字問題
【經(jīng)典例題7】若兩數(shù)之和是36，兩數(shù)之差是12，則這兩數(shù)之積是（ ）
A．266 B．288 C． D．
【變式訓(xùn)練7-1】（24-25七年級·安徽淮南·期末）“九宮圖”傳說是遠(yuǎn)古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國古代數(shù)學(xué)史上經(jīng)常研究這一神話．?dāng)?shù)學(xué)上的“九宮圖”所體現(xiàn)的是一個表格，一行的三個數(shù)，列的三個數(shù)，斜對角的三個數(shù)之和都相等，也稱為三階幻方，如圖是一個滿足條件的三階幻方的一部分，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練7-2】（23-24七年級·山東青島·階段練習(xí)）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上數(shù)字和是8，將十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多10，則原來的兩位數(shù)是 ．
【變式訓(xùn)練7-3】某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)字之和為11，這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)位上的數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．
【變式訓(xùn)練7-4】（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)之和為11．這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．
(1)列一元一次方程求解．
(2)設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，列二元一次方程組求解．
【變式訓(xùn)練7-5】（23-24七年級下·山東東營·期中）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9．求這個兩位數(shù)？
題型八：二元一次方程組的應(yīng)用之年齡問題
【經(jīng)典例題8】甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙15歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲30歲，那么（ ）
A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲
C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲
【變式訓(xùn)練8-1】（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（ ）
A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲
【變式訓(xùn)練8-2】小強(qiáng)問他的數(shù)學(xué)老師今年多少歲了，數(shù)學(xué)老師說：“我像你這么大時，你才1歲．你到我這么大時，我就40歲了．”那么數(shù)學(xué)老師今年的歲數(shù)是 歲．
【變式訓(xùn)練8-3】一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同接受采訪，下面是兩個孩子與記者的對話：
根據(jù)對話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是 ．
【變式訓(xùn)練8-4】（23-24七年級上·廣東江門·開學(xué)考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的歲數(shù)的一半；當(dāng)你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為 歲， 乙的年齡為 歲．
【變式訓(xùn)練8-5】（23-24七年級下·福建三明·期中）在我國傳統(tǒng)文化中，“喜壽”、“米壽”、“白壽”分別是歲、歲、歲的雅稱．小花在她年齡是她媽媽年齡的時，曾為奶奶賀喜壽，她在年齡為媽媽年齡的時，又為奶奶賀米壽，則小花在 歲時，將為奶奶賀白壽．
題型九：二元一次方程組的應(yīng)用之配套問題
【經(jīng)典例題9】（23-24七年級下·山西呂梁·期末）七年級上冊《實(shí)際問題與一元一次方程》中，有如下例題：某車間有名工人，每人每天可以生產(chǎn)個螺柱或個螺母．個螺柱需要配個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺柱和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺柱和螺母的工人各多少名？學(xué)習(xí)了二元一次方程組后，可以用二元一次方程組解答此問題，設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺柱， 名工人生產(chǎn)螺母，則可列二元一次方程組為 ．
【變式訓(xùn)練9-1】某車間共30名工人，每人每天平均能生產(chǎn)8張桌子或16把椅子，要求1張桌子配4把椅子，為了使每天生產(chǎn)的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人數(shù)分別為（ ）
A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人
【變式訓(xùn)練9-2】1張方桌由1個桌面和4條腿組成，如果木料可以做50個桌面或300條桌腿，現(xiàn)有木料，應(yīng)用多少木料做桌面、多少術(shù)料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少張方桌？
【變式訓(xùn)練9-3】某工廠加工螺栓、螺母，已知每塊金屬原料可以加工成3個螺栓或4個螺母（每塊金屬原料無法同時既加工螺栓又加工螺母），已知1個螺栓和2個螺母組成一個零件．若把26塊相同的金屬原料全部加工完，則加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，請求出加工螺栓和螺母各需要的金屬原料的塊數(shù)；若不存在恰好配套，請說明理由．
【變式訓(xùn)練9-4】（24-25七年級上·廣東湛江·期末）列一元一次方程解應(yīng)用題：
某家具加工車間準(zhǔn)備組裝一批雙人桌椅，即張桌子配把椅子，為提前完成任務(wù)，在原有名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的倍少人．
(1)求調(diào)入多少名工人；
(2)在（1）的條件下，若每名工人每天可以組裝張桌子或把椅子，為使每天組裝的桌椅剛好配套，應(yīng)該安排組裝桌子和椅子的工人各多少名？
【變式訓(xùn)練9-5】（23-24七年級下·河南南陽·期末）某眼鏡生產(chǎn)車間有18名工人，若每名工人每天可以生產(chǎn)100副鏡框或250片鏡片，1副鏡框需要配2片鏡片．為使每天生產(chǎn)的鏡框和鏡片剛好配套，生產(chǎn)車間應(yīng)該安排生產(chǎn)鏡框和鏡片的工人各多少名？
題型十：二元一次方程組的應(yīng)用之圖表信息問題
【經(jīng)典例題10】某山區(qū)有23名中小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用a元，資助一名小學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用b元，某校學(xué)生積極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與用其恰好能幫助的貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：
七年級 八年級 九年級
捐款數(shù)額（元） 4000 4200 7400
捐助貧困中學(xué)生（名） 2 3
捐助貧困小學(xué)生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年級學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請將九年級學(xué)生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)直接填入上表中（不需要寫出計(jì)算過程）．
【變式訓(xùn)練10-1】（24-25七年級·上?！て谥校┰诘姆礁裰校啃小⒚苛屑皩蔷€上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”．如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等于15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
圖1 圖2
圖3 圖4
(1)在圖2的“等和格”方格圖中，可得__________（用含的代數(shù)式表示）；
(2)在圖3的“等和格”方格圖中，可得__________，__________；
(3)在圖4的“等和格”方格圖中，可得__________．
【變式訓(xùn)練10-2】（24-25八年級上·山西太原·階段練習(xí)）太原五中計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小琪在某文體用品店購買完畢回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖所示．
貨物或應(yīng)稅勞務(wù)、服務(wù)名稱 籃球 鋼筆 筆記本 合計(jì) 規(guī)格型號 單位 個 支 本 數(shù)量 6 46 單價(jià) 100.00 15.00 5.00 金額 600.00 900.0 稅率 稅額
價(jià)稅合計(jì)（大寫） 玖佰元整 （小寫）900.00
請根據(jù)發(fā)票中現(xiàn)有的信息，幫助小琪復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額．
【變式訓(xùn)練10-3】（23-24七年級下·河北唐山·期中）某班數(shù)學(xué)課上采用小組積分制記錄同學(xué)們回答問題情況，上課前每組有20分的基本分，積分規(guī)則如下：①答錯一次減x分；②答對一次加y分．下表是某堂課上記錄的兩個組得分情況：
第一組 第二組
答錯次數(shù) 1 2
答對次數(shù) 7 9
最終分?jǐn)?shù) 40 45
(1)求x，y的值；
(2)如果第三組答錯3次，最終分?jǐn)?shù)是41，求出第三組答對多少次？
【變式訓(xùn)練10-4】（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）某山區(qū)有若干名中學(xué)生、小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元．某校學(xué)生積極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：
捐款數(shù)額/元 資助貧困中學(xué)生人數(shù)/名 資助貧困小學(xué)生人數(shù)/名
七年級 4000 2 4
八年級 4200 3 3
九年級 4000
(1)求a，b的值；
(2)當(dāng)?shù)卣逻_(dá)新政策給予補(bǔ)貼，秉持九年級學(xué)生捐多少補(bǔ)多少原則幫助貧困學(xué)生，與九年級學(xué)生的捐款總額恰好解決了剩余貧困中、小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用（中小學(xué)生均要資助），請求出政府和九年級學(xué)生的捐款總額可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)的所有方案．
【變式訓(xùn)練10-5】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某果農(nóng)現(xiàn)有一批水蜜桃要運(yùn)往水果市場，果農(nóng)準(zhǔn)備租用汽車公司的甲乙兩種貨車，已知以往租用這兩種貨車的記錄情況如表：
甲種貨車（輛） 乙種貨車（輛） 總量（噸）
第1次 3 2 14
第2次 4 5
(1)甲、乙兩種貨車每輛可裝多少噸水蜜桃？
(2)若果農(nóng)需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車，剛好一次運(yùn)完水蜜桃，如果每噸付60元運(yùn)費(fèi)，求果農(nóng)應(yīng)付運(yùn)費(fèi)總共多少元？
題型十一：二元一次方程組的應(yīng)用之古代問題
【經(jīng)典例題11】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有這樣一個記載：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后．甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？若丙袋中有4枚黃金和4枚白銀，請求出丙袋的重量．
【變式訓(xùn)練11-1】（24-25七年級上·湖南婁底·期末）《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首詩：
巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧，三百六十四只碗，恰合用盡不差爭．
三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹，請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧．
請用一元一次方程或者二元一次方程組求解上述問題．
【變式訓(xùn)練11-2】（24-25八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？
【變式訓(xùn)練11-3】（23-24八年級上·陜西咸陽·期中）程大位是珠算發(fā)明家，他隨時留心數(shù)學(xué)，遍訪名師，于60歲完成其杰作《算法統(tǒng)家》．該書中記載著一首飲酒數(shù)學(xué)詩：“肆中飲客亂紛紛，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多酶酒幾多醇？”這首詩的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人總共飲下了19瓶酒，且都醉倒了，問他們醇酒、薄酒分別飲了多少瓶？（列二元一次方程組解答）
【變式訓(xùn)練11-4】《九章算術(shù)》中記載“今有牛五、羊二，置金十兩；牛二、羊五，直金八兩，問牛、羊各直金幾何？”譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩，問：牛、羊每頭各值金多少兩．
【變式訓(xùn)練11-5】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，書中記載：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，問大小器各容幾何？”譯文：“今有大容器6個、小容器1個，總?cè)萘繛?斛；大容器1個、小容器6個，總?cè)萘繛?斛．問大小容器的容積各是多少斛？”中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題2.4二元一次方程組的應(yīng)用十一大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：列二元一次方程組
【經(jīng)典例題1】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）某工廠有26名工人，一個工人每天可加800個螺栓或1000個螺帽，1個螺栓與2個螺帽配套．現(xiàn)要求工人每天加工的螺栓和螺帽完整配套且沒有剩余．若設(shè)安排個工人加工螺栓，個工人加工螺帽，則列出正確的二元一次方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)安排個工人加工螺栓，個工人加工螺帽，
根據(jù)“工廠現(xiàn)有26個工人”可得：，
根據(jù)“1個螺栓與2個螺帽配套，每天做的螺桿和螺母完整配套且沒有剩余”可得：，即，
因此列二元一次方程組為：．
故選A．
【變式訓(xùn)練1-1】長江江豚因其珍貴稀有，被譽(yù)為“水中大熊貓”，對維護(hù)長江生物多樣性和生態(tài)安全意義重大．長江某文創(chuàng)店出售不同規(guī)格的江豚玩具，已知3個大號玩具和1個小號玩具共需110元：1個大號玩具和2個小號玩具共需70元，求大號玩具、小號玩具各需多少錢？設(shè)1個大號玩具x元，1個小號玩具y元．則可列出方程組為
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由于1個大號玩具x元，1個小號玩具y元，
由題意得：；
故選：A．
【變式訓(xùn)練1-2】（24-25七年級·山西太原·期末）某工廠去年的總利潤為200萬元，今年的總收入比去年增加了，總交出比去年減少了，今年的總利潤為780萬元．小明列出二元一次方程組刻畫這一情境中的等量關(guān)系，則方程組中的x，y表示的未知量分別為（）
A．今年的總收入為x萬元，總支出為y萬元
B．今年的總支出為x萬元，總收入為y萬元
C．去年的總收入為x萬元，總支出為y萬元
D．去年的總支出為x萬元，總收入為y萬元
【答案】C
【詳解】解：設(shè)去年的總收入為萬元、總支出為萬元，
由題意得，，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）為積極響應(yīng)國家“雙碳”目標(biāo)，進(jìn)一步加強(qiáng)勞動及美育教育，某班組織學(xué)生參加植樹活動，男生植樹數(shù)量比女生植樹數(shù)量的2倍多8棵，女生植樹數(shù)量比男生植樹數(shù)量少24棵，設(shè)女生植樹x棵，男生植樹y棵，則可列方程組為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)女生植樹x棵，男生植樹y棵，根據(jù)題意得：
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-4】（24-25七年級上·四川成都·期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，第七章“盈不足”盈虧問題，記錄這樣一道問題：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價(jià)幾何？譯文為：有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，還差4元，設(shè)共有x人，物品單價(jià)y元，則下面方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：依題意，得：
．
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-5】（24-25七年級下·全國·單元測試）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時期人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，按照從右到左的順序滿六進(jìn)一，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖是一名婦女和兒童在繩子上打結(jié)記錄的采集總數(shù)量，圖是婦女比兒童多采集的數(shù)量．設(shè)婦女采集的數(shù)量為，兒童采集的數(shù)量為，下面所列方程組正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由圖可知采集的總數(shù)量為，
由圖可知婦女比兒童多采集的數(shù)量為，
設(shè)婦女采集的數(shù)量為，兒童采集的數(shù)量為，
則可列方程組．
故選： D．
題型二：二元一次方程組的應(yīng)用之幾何圖形
【經(jīng)典例題2】（2024七年級上·云南·專題練習(xí)）現(xiàn)有1張大長方形和3張相同的小長方形卡片，按如圖所示兩種方式擺放，則小長方形的長與寬的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設(shè)小長方形的長為、寬為，大長方形的長為，
則，，
∴，
∴
，
∴，
∴．
故選C．
【變式訓(xùn)練2-1】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）如圖所示，塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，若其中每一個小長方形的長為，寬為，則依據(jù)題意可得二元一次方程組為（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意，得：．
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，寬為的矩形圖案是由10個形狀和大小完全一樣的小長方形拼成，則一個小長方形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)小長方形的寬為，長為，
根據(jù)題意得， ，
解得，
一個小長方形的面積為．
故選：A．
【變式訓(xùn)練2-3】（23-24七年級下·河南南陽·期中）如圖是由截面為同一種長方形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低，則每塊墻磚的長是 ．
【答案】/35厘米
【詳解】解：設(shè)每塊墻磚的長為，寬為，根據(jù)題意得：
解得：，
．
【變式訓(xùn)練2-4】（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，放入個形狀、大小都相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？
(2)求陰影部分的面積.
【答案】(1)小長方形的長為，寬為；(2)．
【詳解】（1）設(shè)小長方形的長為，寬為，
根據(jù)圖形可知：，
解得：，
答：小長方形的長為，寬為；
（2）由（）得：小長方形的長為，寬為，
∴長方形的寬為，
則陰影部分的面積大長方形的面積個小長方形的面積，
，
，
答：陰影部分的面積為．
【變式訓(xùn)練2-5】（23-24七年級·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，長方形由7個正方形組成，已知正方形A的邊長為，正方形B的邊長為，求此長方形的面積．（只能用二元一次方程組解答）
【答案】
【詳解】解：設(shè)正方形的邊長分別為，
由圖可知：，解得：，
∴長方形的長為：，寬為：，
∴長方形的面積為：．
題型三：二元一次方程組的應(yīng)用之方案問題
【經(jīng)典例題3】（24-25七年級上·陜西銅川·期末）耀州瓷是北方青瓷的代表，出產(chǎn)于陜西省銅川市耀州區(qū)，以瓷質(zhì)細(xì)膩，色澤青翠晶瑩、線條明快流暢、造型端莊渾樸著稱于世．某瓷器超市有、兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器按定價(jià)銷售，已知3件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和2件種規(guī)格的倒裝壺瓷器總售價(jià)為1700元，4件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和1件種規(guī)格的倒裝壺瓷器總售價(jià)為1600元．
(1)分別求出每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器和每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)；
(2)旅游旺季期間，某天該瓷器超市通過銷售這兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器共獲得3600元，且兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器都有銷售，請你計(jì)算該超市這天所有可能的銷售方案（即每種規(guī)格的倒裝壺瓷器各銷售了多少件）．
【答案】(1)每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為300元，每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為400元
(2)該超市這天共有兩種銷售方案：①種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了4件，種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了6件；②種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了8件，種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了3件．
【詳解】（1）解：設(shè)每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為元，每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為元．
根據(jù)題意，得，解得
每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為300元，每件種規(guī)格的倒裝壺瓷器的定價(jià)為400元．
（2）設(shè)該超市這天銷售了件種規(guī)格的倒裝壺瓷器、件種規(guī)格的倒裝壺瓷器．
根據(jù)題意，得，
化簡，得．
該超市這天兩種規(guī)格的倒裝壺瓷器都有銷售，
、均為正整數(shù)，
有和兩種情況，
即該超市這天共有兩種銷售方案：
①種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了4件，種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了6件；
②種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了8件，種規(guī)格的倒裝壺瓷器銷售了3件．
【變式訓(xùn)練3-1】（24-25七年級下·全國·單元測試）某運(yùn)動品牌生產(chǎn)廠開發(fā)了一款新式的運(yùn)動器材，計(jì)劃15天生產(chǎn)安裝360臺.由于抽調(diào)不出足夠的熟練工來完成新式運(yùn)動器材的安裝，工廠決定招聘一些新工人.他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨(dú)立進(jìn)行新式運(yùn)動器材的安裝，生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)，2名熟練工和1名新工人每天可安裝10臺新式運(yùn)動器材，3名熟練工和2名新工人每天可安裝16臺新式運(yùn)動器材.
(1)每名熟練工和新工人每天分別可以安裝多少臺新式運(yùn)動器材？
(2)如果工廠抽調(diào)名熟練工，使得招聘的新工人（至少招聘一人）和抽調(diào)的熟練工剛好能完成原計(jì)劃15天的生產(chǎn)任務(wù)，那么工廠有幾種新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟練工每天可以安裝4臺新式運(yùn)動器材，每名新工人每天可以安裝2臺新式運(yùn)動器材
(2)3種
【詳解】（1）解：設(shè)每名熟練工每天可以安裝x臺新式運(yùn)動器材，每名新工人每天可以安裝y臺新式運(yùn)動器材，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：每名熟練工每天可以安裝4臺新式運(yùn)動器材，每名新工人每天可以安裝2臺新式運(yùn)動器材．
（2）解：設(shè)招聘m名新工人，
根據(jù)題意，得，
，
又，n均為正整數(shù)，且，
或或
工廠有3種新工人的招聘方案．
【變式訓(xùn)練3-2】（24-25七年級上·廣西桂林·期末）某校準(zhǔn)備組織七年級師生去紅軍長征湘江戰(zhàn)役紀(jì)念館參觀學(xué)習(xí)，學(xué)校聯(lián)系某客運(yùn)公司有60座和45座兩種客車可供租用．學(xué)校如果全部租用45座的客車，那么七年級師生全部有座，且還剩余15個空座位；如果全部租用60座的客車，則可少租3輛，且正好坐滿．
(1)求七年級師生的總?cè)藬?shù)；
(2)已知客運(yùn)公司60座的客車每輛每天的租金是900元，45座的客車每輛每天的租金是700元．若學(xué)校從該客運(yùn)公司租用客車，要使每位師生都有座位，且每輛客車都恰好坐滿，求出滿足條件的所有租車方案，并說明哪一種租車方案最省錢？
【答案】(1)480人
(2)方案一：租用60座客車8輛，45座客車0輛；方案二：租用60座客車5輛，45座客車4輛；方案三：租用60座客車2輛，45座客車8輛；租用60座客車8輛，45座客車0輛最省錢
【詳解】（1）解：設(shè)七年級師生的總?cè)藬?shù)為x人，根據(jù)題意得：
，
解得：，
答：七年級師生的總?cè)藬?shù)為480人．
（2）解：設(shè)租用60座的客車x輛，45座的客車y輛，根據(jù)題意得：
，
∵x、y為非負(fù)整數(shù)，
∴或或，
滿足條件的所有租車方案有：
方案一：租用60座客車8輛，45座客車0輛；
方案二：租用60座客車5輛，45座客車4輛；
方案三：租用60座客車2輛，45座客車8輛；
方案一費(fèi)用：（元），
方案二費(fèi)用：（元），
方案三費(fèi)用：（元），
∵，
∴租用60座客車8輛，45座客車0輛最省錢．
【變式訓(xùn)練3-3】（24-25七年級上·安徽六安·期末）某商店分兩次購進(jìn)A，B型兩種臺燈進(jìn)行銷售，兩次購進(jìn)的數(shù)量及費(fèi)用如下表所示，由于物價(jià)上漲，第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進(jìn)價(jià)分別上漲，．
購進(jìn)的臺數(shù) 購進(jìn)所需要的費(fèi)用（元）
A型 B型
第一次 10 20 3000
第二次 15 10 4500
(1)求第一次購進(jìn)A，B型兩種臺燈每臺進(jìn)價(jià)分別是多少元？
(2)A，B型兩種臺燈銷售單價(jià)不變，第一次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進(jìn)的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．
①求A，B型兩種臺燈每臺售價(jià)分別是多少元？
②若按照第二次購進(jìn)A，B型兩種臺燈的價(jià)格再購進(jìn)一次，將再次購進(jìn)的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為740元，求有哪幾種購進(jìn)方案？
【答案】(1)第一次購進(jìn)A型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為200元，B型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為50元
(2)①A型臺燈每臺售價(jià)為340元，B型臺燈每臺售價(jià)為120元；②有3種購進(jìn)方案：購進(jìn)A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進(jìn)A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進(jìn)A型臺燈7臺，B型臺燈3臺
【詳解】（1）解：設(shè)第一次購進(jìn)A型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為x元，B型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為y元，
由題意得：，
解得：，
答：第一次購進(jìn)A型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為200元，B型臺燈每臺進(jìn)價(jià)為50元．
（2）解：①設(shè)A型臺燈每臺售價(jià)為m元，B型臺燈每臺售價(jià)為n元，
由題意得：，
解得，，
答：A型臺燈每臺售價(jià)為340元，B型臺燈每臺售價(jià)為120元；
②第二次購進(jìn)的A型臺燈的價(jià)格為：（元），B型臺燈的價(jià)格為：（元），
設(shè)購進(jìn)A型臺燈a臺，B型臺燈臺，
由題意得：，
整理得：，
∴
a、b為自然數(shù)，
或或，
有3種購進(jìn)方案：
購進(jìn)A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進(jìn)A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進(jìn)A型臺燈7臺，B型臺燈3臺；
【變式訓(xùn)練3-4】（24-25七年級·福建三明·期末）“我在閩江源頭有棵樹”，某市黃花梨果大皮薄、果肉潔白、質(zhì)地細(xì)膩、汁多味甜、富含維生素，現(xiàn)欲將一批黃花梨運(yùn)往外地銷售，若用1輛型車和2輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)走11噸；用2輛型車和1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)走13噸．現(xiàn)有黃花梨32噸，計(jì)劃同時租用型、型車，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都載滿黃花梨．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
(1)1輛型車和1輛型車載滿黃花梨一次可分別運(yùn)送多少噸？
(2)若1輛型車的租金為200元/次，1輛型車的租金為150元/次，請問有幾種租車方案？選出費(fèi)用最少的租車方案，并求出最少的租車費(fèi)．
【答案】(1)1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送5噸，1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送3噸
(2)一共有2種租車方案，方案一：租型車1輛，型車9輛；方案二：租型車4輛，型車4輛．最省錢的方案是：方案二：租型車4輛，型車4，最少租車費(fèi)為1400元
【詳解】（1）解：設(shè)1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送噸，1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送噸．
由題意，得：，
解得：，
答：1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送5噸，1輛型車載滿黃花梨一次可運(yùn)送3噸．
（2）解：由題意，設(shè)租用車輛，車輛，得：，
，都是正整數(shù)，
或，
一共有2種租車方案，方案一：租型車1輛，型車9輛；方案二：租型車4輛，型車4輛．
方案一的租金為：（元），
方案二的租金為：（元）．
最省錢的方案是：方案二：租型車4輛，型車4，最少租車費(fèi)為1400元．
【變式訓(xùn)練3-5】（24-25七年級·黑龍江大慶·期末）為開設(shè)藝體素養(yǎng)提升課程，志遠(yuǎn)學(xué)校從商店購買籃球和足球，若購買12個籃球和10個足球共需1220元；購買6個籃球和14個足球共需1060元．
(1)籃球和足球的單價(jià)分別是多少元；
(2)學(xué)校去商店購買時，恰逢商店打八折促銷，購買這兩種球共花費(fèi)960元，該學(xué)校有哪幾種購買方案？
【答案】(1)籃球的單價(jià)是60元，足球的單價(jià)是50元(2)見解析
【詳解】（1）解：設(shè)籃球的單價(jià)是x元，足球的單價(jià)是y元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：籃球的單價(jià)是60元，足球的單價(jià)是50元；
（2）解：設(shè)購買m個籃球，n個足球，
根據(jù)題意得：，
解得：，
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或，
∴該學(xué)校共有3種購買方案，
方案1：購買15個籃球，6個足球；
方案2：購買10個籃球，12個足球；
方案3：購買5個籃球，18個足球．
題型四：二元一次方程組的應(yīng)用之銷售利潤問題
【經(jīng)典例題4】（24-25七年級下·全國·單元測試）某服裝店用元購進(jìn)兩種新式服裝，按標(biāo)價(jià)售出后可獲得毛利潤元（毛利潤售價(jià)-進(jìn)價(jià)），這兩種服裝的進(jìn)價(jià)，標(biāo)價(jià)如表所示．
類型價(jià)格 A B
進(jìn)價(jià)（元／件）
標(biāo)價(jià)（元／件）
(1)請利用二元一次方程組求A，B兩種新式服裝各購進(jìn)的件數(shù)；
(2)如果A種服裝按標(biāo)價(jià)的9折出售，B種服裝按標(biāo)價(jià)的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入多少元？
【答案】(1)A種新式服裝購進(jìn)25件，B種新式服裝購進(jìn)30件
(2)服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入1210元
【詳解】（1）解：設(shè)A種新式服裝購進(jìn)件，B種新式服裝購進(jìn)件，
根據(jù)題意，得
解得
答：A種新式服裝購進(jìn)25件，B種新式服裝購進(jìn)30件．
（2）（元）．
答：這批服裝全部售完后，服裝店比按標(biāo)價(jià)出售少收入1210元．
【變式訓(xùn)練4-1】（24-25七年級·江西九江·期末）小明想購買一副羽毛球拍與5盒羽毛球，他發(fā)現(xiàn)、兩商場的每副羽毛球拍與每盒羽毛球的標(biāo)價(jià)均相同，這兩項(xiàng)合計(jì)為300元，但他們的售賣方案不同．
商場的售賣方案是：顧客每購買一副羽毛球拍贈送一盒羽毛球，另外購買的羽毛球則按原價(jià)出售．
商場的售賣方案是：顧客購買的羽毛球拍與羽毛球均按原價(jià)的9折出售．
小明發(fā)現(xiàn)，他要購買的羽毛球拍與羽毛球在這兩家商場應(yīng)付的錢一樣多，問：羽毛球拍與羽毛球的單價(jià)分別是多少？
【答案】一副羽毛球拍單價(jià)為元，每盒羽毛球的單價(jià)為元．
【詳解】解：設(shè)一副羽毛球拍單價(jià)為元，每盒羽毛球的單價(jià)為元，
根據(jù)題意得，
解得，
答：一副羽毛球拍單價(jià)為元，每盒羽毛球的單價(jià)為元．
【變式訓(xùn)練4-2】（24-25七年級·陜西榆林·期末）我國清代算書《御制數(shù)理精蘊(yùn)》中有這樣一題：“設(shè)如硯七方比筆三支價(jià)多四百八十文，又硯三方比筆九支價(jià)少一百八十文，問筆硯價(jià)各若干？”其大意為假設(shè)七方硯臺的價(jià)格比三支筆的價(jià)格多出四百八十文錢，而三方硯臺的價(jià)格則比九支筆的價(jià)格少了一百八十文錢，請問筆和硯臺的單價(jià)分別是多少？
(1)求筆和硯臺的單價(jià)．
(2)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，某校開設(shè)了書法課程，需購買硯臺和筆若干，已知筆的數(shù)量是硯臺數(shù)量的2倍，學(xué)校共花費(fèi)3420元．問該?？梢再徺I硯臺和筆各多少？（1文約等于1.2元）
【答案】(1)筆的單價(jià)為50文，硯臺的單價(jià)為90文(2)硯臺15方，筆30支
【詳解】（1）解：設(shè)筆的單價(jià)為x文，硯臺的單價(jià)為y文，
由題意可列方程，
解得
答：筆的單價(jià)為50文，硯臺的單價(jià)為90文．
（2）解：設(shè)該校購買硯臺的數(shù)量為m，則筆的數(shù)量為．
，
解得．
答：該校可以購買硯臺15方，筆30支．
【變式訓(xùn)練4-3】（24-25七年級·陜西寶雞·期末）為貫徹落實(shí)黨中央、國務(wù)院決策部署，陜西省推動“消費(fèi)品以舊換新”行動，對購買一、二級能效綠色智能家電的消費(fèi)者予以一定置換補(bǔ)貼．補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為產(chǎn)品最終銷售價(jià)格的，對購買級及以上能效或水校的產(chǎn)品，額外再給予產(chǎn)品最終銷售價(jià)格的的補(bǔ)貼．某學(xué)校分兩次更新部分電腦和空調(diào)（二級能效），第一次購買臺電腦和臺空調(diào)，補(bǔ)貼前需花費(fèi)元；第二次購買臺電腦和臺空調(diào)，補(bǔ)貼前需花費(fèi)元．
(1)補(bǔ)貼前．學(xué)校購買一臺電腦和一臺空調(diào)所需的資金分別是多少元？
(2)若該校兩次購買的所有電腦和空調(diào)均參加以舊換新活動，則一共能獲得多少元的國家補(bǔ)貼？
【答案】(1)補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為元，一臺空調(diào)所需資金為元
(2)一共能獲得元的國家補(bǔ)貼
【詳解】（1）解：設(shè)補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為元，一臺空調(diào)所需資金為元，
由題意得，，
解得，
答：補(bǔ)貼前學(xué)校購買一臺電腦所需資金為元，一臺空調(diào)所需資金為元；
（2）解：∵，，
∴電腦以舊換新每臺補(bǔ)貼為元，空調(diào)以舊換新每臺補(bǔ)貼為元，
∴元，
答：一共能獲得元的國家補(bǔ)貼．
【變式訓(xùn)練4-4】（24-25七年級·湖南岳陽·期末）為更好地滿足本地市民和外地游客的消費(fèi)需求，岳陽某超市在“春節(jié)”黃金周前投入11220元資金購進(jìn)甲、乙兩種水果共400箱，這兩種水果的成本價(jià)和標(biāo)價(jià)如下表所示：
類別/單價(jià) 成本價(jià) 標(biāo)價(jià)（元/箱）
甲 24
乙 33 50
(1)該超市購進(jìn)甲、乙兩種水果各多少箱？
(2)為了促銷，該超市將甲種水果按成本價(jià)提高50%后標(biāo)價(jià)銷售；乙種水果以標(biāo)價(jià)的8折銷售．若這400箱水果在“春節(jié)”黃金周結(jié)束后全部售完，則該超市可獲得利潤多少元？
【答案】(1)該商場購進(jìn)甲種水果220箱，乙種水果180箱
(2)該商場可獲得利潤3900元
【詳解】（1）解：設(shè)該商場購進(jìn)甲種水果箱，乙種水果箱，
根據(jù)題意得：
解得：
答：該商場購進(jìn)甲種水果220箱，乙種水果180箱；
（2）解：根據(jù)題意得
（元）．
答：該商場可獲得利潤3900元．
【變式訓(xùn)練4-5】我國航天事業(yè)已經(jīng)成功實(shí)現(xiàn)了載人航天、月球探測、火星探測、空間站建設(shè)等多個重大項(xiàng)目，擁有自主的運(yùn)載火箭、衛(wèi)星、航天器等核心技術(shù)，具備獨(dú)立的發(fā)射和控制能力．某校為了培養(yǎng)學(xué)生科技創(chuàng)新意識，開設(shè)了航模興趣社團(tuán)，計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種航模進(jìn)行科創(chuàng)實(shí)驗(yàn)，據(jù)了解，2件A種航模和3件B種航模共需1800元；3件A種航模和1件B種航模共需1300元．求A，B兩種航模每件分別為多少元
【答案】A種航模每件300元，B種航模每件400元
【詳解】解：設(shè)A種航模每件x元，B種航模每件y元，根據(jù)題意，得：
，
解得，
答：A種航模每件300元，B種航模每件400元．
題型五：二元一次方程組的應(yīng)用之行程問題
【經(jīng)典例題5】（24-25七年級下·全國·單元測試）從甲地到乙地有一段上坡與一段平路．如果保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需，從乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？小李將這個實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題，設(shè)上坡有，平路有，已經(jīng)列出一個方程，則另一個方程是 ．
【答案】
【詳解】解：∵從乙地到甲地需，
∴乙地到甲地需，
∵下坡有，下坡每小時走，
∴下坡時間為，
∵平路有，平路每小時走，
∴平坡時間為，
∴列方程為：，
故答案為：；
【變式訓(xùn)練5-1】甲、乙兩地之間的路段由若干段坡路組成，小明爸爸開車從甲地去往乙地辦事，從甲地到乙地用了小時，返回時用了小時．已知汽車在上坡時速度為28千米/小時，下坡時速度為42千米/小時，則從甲地到乙地的總路程是 千米．
【答案】154
【詳解】解：設(shè)從甲地到乙地的上坡路程為千米，下坡路程為千米，則
，
整理得：，
解得：；
∴，
∴從甲地到乙地的總路程是154千米．
【變式訓(xùn)練5-2】（24-25七年級·浙江寧波·階段練習(xí)）自行車輪胎安裝在后輪上只能行駛就要報(bào)廢，安轉(zhuǎn)在前輪上，則可以行駛才報(bào)廢．為使一對輪胎能夠行駛盡可能多的路程后報(bào)廢，在自行車行駛一段路程后，將前后輪胎進(jìn)行調(diào)換，這樣安轉(zhuǎn)在自行車上的一對輪胎最多可以行駛多少 千米．
【答案】
【詳解】解：設(shè)每個新輪胎報(bào)廢時的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛的磨損量為，
又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了，交換位置后走了．分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程，有
，
兩式相加，得，
則，
∴安裝在自行車上的這對輪胎最多可行駛千米．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練5-3】、兩地相距36千米，若甲、乙兩人都從地去地，乙比甲先出發(fā)2小時，甲出發(fā)4小時后追上乙；若甲、乙分別從、兩地出發(fā)，相向而行，乙比甲早出發(fā)小時，兩人在甲出發(fā)后3小時相遇．求甲、乙兩人的速度．
【答案】甲的速度為6千米／時，乙的速度為4千米／時
【詳解】解：設(shè)甲的速度為x千米／時，乙的速度為y千米／時，
根據(jù)題意，得，
整理，得，
故，
解得，
答：甲的速度為6千米／時，乙的速度為4千米／時．
【變式訓(xùn)練5-4】（24-25七年級·廣西貴港·期末）小貴、小港兩人從相距的兩地相向而行．
(1)若小貴比小港先走，則他們在小港出發(fā)后相遇；若小港比小貴先走，則他們在小貴出發(fā)后相遇，求小貴、小港兩人每小時各走多少千米？
(2)如果他們同時出發(fā)，并保持（1）中的速度，那么后兩人還相距多少千米？
【答案】(1)小貴每小時走，小港每小時走
(2)后兩人相距
【詳解】（1）解：設(shè)小貴每小時走，小港每小時走，
依題意，得：，
解得：；
答：小貴每小時走，小港每小時走．
（2）解：，
答：后兩人相距．
【變式訓(xùn)練5-5】（24-25七年級·湖南懷化·期末）甲、乙兩地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽車從甲地下午1點(diǎn)出發(fā)到乙地是下午3點(diǎn)30分，停留30分鐘后從乙地出發(fā)，6點(diǎn)48分返回甲地．已知汽車在上坡路每小時行駛20千米，平路每小時行駛30千米，下坡每小時行駛40千米，求甲地到乙地的行駛過程中平路、上坡、下坡分別是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行駛過程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【詳解】解：從下午1點(diǎn)到下午3點(diǎn)30分共2.5小時，從下午4點(diǎn)到下午6點(diǎn)48分共2.8小時．
設(shè)甲地到乙地的行駛過程中平路是x千米，上坡路是y千米，則下坡路是千米，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，
∴．
答：甲地到乙地的行駛過程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
題型六：二元一次方程組的應(yīng)用之工程問題
【經(jīng)典例題6】端午臨中夏，時清日復(fù)長．臨近端午節(jié)時，一網(wǎng)紅門店接到一份粽子訂單，立即決定由甲、乙兩組加工完成．已知甲、乙兩組加工一天共加工350袋粽子，甲組加工2天比乙組加工1天多加工250袋粽子．
(1)求甲、乙兩組每天各加工多少袋粽子；
(2)已知這份粽子訂單為袋，若甲、乙兩組共用10天加工完成（甲、乙兩組不同時加工），則甲組需要加工多少天？
【答案】(1)甲組每天加工200袋粽子，乙組每天加工150袋粽子
(2)4天
【詳解】（1）解：設(shè)甲組每天加工袋粽子，乙組每天加工袋粽子，
根據(jù)題意，得
解得
答：甲組每天加工袋粽子，乙組每天加工袋粽子．
（2）設(shè)甲組需要加工天，則乙組加工天．
根據(jù)題意，得，
解得．
答：甲組需要加工4天．
【變式訓(xùn)練6-1】（24-25七年級·廣東深圳·期中）為打造集休閑娛樂、健身運(yùn)動、觀光旅游、體驗(yàn)自然等于一體的多功能活動區(qū)域．深圳灣公園海濱步道現(xiàn)有一段長350米的河邊道路需整治，任務(wù)由，兩個工程隊(duì)先后接力完成，工程隊(duì)每天整治15米，工程隊(duì)每天整治10米，共用時30天．
根據(jù)題意，甲、乙兩位同學(xué)分別列出了如下不完整的方程組：
甲：乙：
從甲、乙兩位同學(xué)所列方程組中任選一組，補(bǔ)全以下解題過程，并利用此方程組求出，兩個工程隊(duì)分別整治河邊道路多少米．
解：選擇的方程組為____________（填“甲”或“乙”） 設(shè)為_______________________； 為_________________________．
【答案】見解析
【詳解】解：選擇的方程組為甲，
設(shè)為工程隊(duì)工作的天數(shù)；
為工程隊(duì)工作的天數(shù)．
根據(jù)提意得，
解此方程組得，
，，
答：，兩個工程隊(duì)分別整治河邊道路150米和200米；
選擇的方程組為乙，
設(shè)為工程隊(duì)整治河邊道路長度；
為工程隊(duì)整治河邊道路長度．
根據(jù)提意得，
解此方程組得，
答：，兩個工程隊(duì)分別整治河邊道路150米和200米；
【變式訓(xùn)練6-2】近年來，城市更新行動速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群眾獲得感、幸福感、安全感不斷提升．某社區(qū)在改造中，恢復(fù)重現(xiàn)了居民記憶深處的電影院坡坡、戲水河溝、游園壩壩等，新設(shè)計(jì)了系列文化景觀，構(gòu)建起一個“文化生態(tài)”空間．第一期的改造工程面積為88平方米，由甲、乙兩人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙兩人分別工作了多少天．
【答案】甲工作了4天，乙工作了6天
【詳解】解：設(shè)甲工作了x天，乙工作了y天，
由題意得：
解得
答：甲工作了4天，乙工作了6天．
【變式訓(xùn)練6-3】一家工廠里2個男工和4個女工一天可加工全部零件的8個男工和10個女工一天內(nèi)可加工完全部零件．如果把單獨(dú)讓男工加工和單獨(dú)讓女工加工進(jìn)行比較，要在一天內(nèi)完成任務(wù)，女工要比男工多多少人？
【答案】女工要比男工多18人．
【詳解】設(shè)男工的工作效率為x，女工的工作效率為y，
根據(jù)題意得，，
解得，，
如果單獨(dú)讓男工加工或單獨(dú)讓女工加工，
需要女工（人），
需要男工（人），
女工比男工多（人）．
故女工比男工要多18人．
【變式訓(xùn)練6-4】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方，原計(jì)劃由公司的甲、乙兩個工程隊(duì)從公路的兩端同時相向施工150天完成．由于特殊情況，公司抽調(diào)甲隊(duì)外援施工，由乙隊(duì)先單獨(dú)施工40天后甲隊(duì)返回，兩隊(duì)又共同施工了110天，這時甲、乙兩隊(duì)共完成土方量103.2萬立方．甲、乙兩隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方？
【答案】甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.42萬立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.38萬立方．
【詳解】解：設(shè)甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為x萬立方，
乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為y萬立方，
根據(jù)題意，得
解得：
所以，甲隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.42萬立方，乙隊(duì)原計(jì)劃平均每天的施工土方量為0.38萬立方．
【變式訓(xùn)練6-5】（22-23七年級下·湖北十堰·期末）穿越青海境內(nèi)的蘭新高速鐵路正在加緊施工．某工程隊(duì)承包了一段全長1957米的隧道工程，甲、乙兩個班組分別從南北兩端同時掘進(jìn)，已知甲組比乙組每天多掘進(jìn)米，經(jīng)過6天施工，甲、乙兩組共掘進(jìn)57米．
(1)求甲乙兩班組平均每天各掘進(jìn)多少米？
(2)為加快工程進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進(jìn)米，乙組平均每天比原來多掘進(jìn)米．按此施工進(jìn)度，還需要多少天完成任務(wù)？
【答案】(1)甲乙兩個班組平均每天分別掘進(jìn)5米、4.5米；
(2)兩組還需要190天才能完成任務(wù)
【詳解】（1）設(shè)甲、乙兩個班組平均每天分別掘進(jìn)x米、y米，
由題意得，
解得
答：甲、乙兩個班組平均每天分別掘進(jìn)5米、米；
（2）按此施工進(jìn)度，還需要：（天），
答：按此施工進(jìn)度，兩組還需要190天完成任務(wù)．
題型七：二元一次方程組的應(yīng)用之?dāng)?shù)字問題
【經(jīng)典例題7】若兩數(shù)之和是36，兩數(shù)之差是12，則這兩數(shù)之積是（ ）
A．266 B．288 C． D．
【答案】B
【詳解】解：設(shè)這兩個數(shù)為x和y，
依題意得：，
解得，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練7-1】（24-25七年級·安徽淮南·期末）“九宮圖”傳說是遠(yuǎn)古時代洛河中的一個神龜背上的圖案，故又稱“龜背圖”，中國古代數(shù)學(xué)史上經(jīng)常研究這一神話．?dāng)?shù)學(xué)上的“九宮圖”所體現(xiàn)的是一個表格，一行的三個數(shù)，列的三個數(shù)，斜對角的三個數(shù)之和都相等，也稱為三階幻方，如圖是一個滿足條件的三階幻方的一部分，則的值為 ．
【答案】0
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：，
，
故答案為：0．
【變式訓(xùn)練7-2】（23-24七年級·山東青島·階段練習(xí)）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個位上數(shù)字和是8，將十位上數(shù)字與個位上數(shù)字對調(diào)，得到新數(shù)比原數(shù)的2倍多10，則原來的兩位數(shù)是 ．
【答案】
【詳解】設(shè)原來的兩位數(shù)的個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，兩位數(shù)可表示為，根據(jù)題意得：
，
解得：，
則原兩位數(shù)為．
故答案為：
【變式訓(xùn)練7-3】某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)字之和為11，這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)位上的數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．
【答案】38
【詳解】解：設(shè)原兩位數(shù)的十位上的數(shù)字為，個位上的數(shù)字為，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：原兩位數(shù)是38．
【變式訓(xùn)練7-4】（24-25八年級上·貴州畢節(jié)·期末）某兩位數(shù)，兩個數(shù)位上的數(shù)之和為11．這個兩位數(shù)加上45，得到的兩位數(shù)恰好等于原兩位數(shù)的兩個數(shù)字交換位置所表示的數(shù)，求原兩位數(shù)．
(1)列一元一次方程求解．
(2)設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，列二元一次方程組求解．
【答案】(1)38(2)38
【詳解】（1）解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，
依題意，得：，
解得：，
，
∴原兩位數(shù)為38；
（2）解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，
依題意，得：，
解得，
∴原兩位數(shù)為38．
【變式訓(xùn)練7-5】（23-24七年級下·山東東營·期中）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9．求這個兩位數(shù)？
【答案】72
【詳解】解：設(shè)原來的兩位數(shù)個位上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為．則
，
解得，，
∴原來的兩位數(shù)是72．
題型八：二元一次方程組的應(yīng)用之年齡問題
【經(jīng)典例題8】甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙15歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲30歲，那么（ ）
A．甲比乙大5歲 B．甲比乙大10歲
C．乙比甲大10歲 D．乙比甲大5歲
【答案】A
【詳解】解：設(shè)甲現(xiàn)在的年齡為歲，乙現(xiàn)在的年齡為歲，
依題意，得：，
解得：．
甲現(xiàn)在的年齡為25歲，乙現(xiàn)在的年齡為20歲，
甲比乙大5歲
故選：A．
【變式訓(xùn)練8-1】（23-24七年級下·江蘇宿遷·期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（ ）
A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲
【答案】C
【詳解】解：現(xiàn)在一家四口人的年齡之和應(yīng)該比十年前全家人年齡之和多40歲，
但實(shí)際上（歲），說明十年前妹妹沒出生，
則妹妹今年的年齡為（歲），我的年齡為（歲），
設(shè)媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，
由題意得：，
解得：，
即爸爸今年的年齡為40歲，
故選：C．
【變式訓(xùn)練8-2】小強(qiáng)問他的數(shù)學(xué)老師今年多少歲了，數(shù)學(xué)老師說：“我像你這么大時，你才1歲．你到我這么大時，我就40歲了．”那么數(shù)學(xué)老師今年的歲數(shù)是 歲．
【答案】27
【詳解】解：設(shè)數(shù)學(xué)老師今年歲，小強(qiáng)今年歲，由題意，得：
，解得：，
∴數(shù)學(xué)老師今年歲；
故答案為：27．
【變式訓(xùn)練8-3】一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同接受采訪，下面是兩個孩子與記者的對話：
根據(jù)對話內(nèi)容，哥哥和妹妹的年齡分別是 ．
【答案】10歲和6歲
【詳解】解：設(shè)妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，
依題意，得，
解得；
所以妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．
故答案為：10歲和6歲．
【變式訓(xùn)練8-4】（23-24七年級上·廣東江門·開學(xué)考試）甲對乙說：“我像你這樣大歲數(shù)的那年，你的歲數(shù)等于我今年的歲數(shù)的一半；當(dāng)你到我這樣大歲數(shù)的時候，我的歲數(shù)是你今年歲數(shù)的二倍少7歲．”則今年甲的年齡為 歲， 乙的年齡為 歲．
【答案】 28 21
【詳解】解：設(shè)今年甲的年齡為x歲，乙的年齡為y歲，則甲比乙大歲，
由題意得：，
解得：，
即今年甲的年齡為28歲，乙的年齡為21歲，
故答案為：28，21．
【變式訓(xùn)練8-5】（23-24七年級下·福建三明·期中）在我國傳統(tǒng)文化中，“喜壽”、“米壽”、“白壽”分別是歲、歲、歲的雅稱．小花在她年齡是她媽媽年齡的時，曾為奶奶賀喜壽，她在年齡為媽媽年齡的時，又為奶奶賀米壽，則小花在 歲時，將為奶奶賀白壽．
【答案】
【詳解】解：設(shè)小花為奶奶賀喜壽時年齡為歲，此時媽媽的年齡為歲，奶奶的年齡為歲，
根據(jù)題意得：
解得：
∴當(dāng)奶奶歲時，小花的年齡為，
∴小花歲時將為奶奶賀白壽，
故答案為：．
題型九：二元一次方程組的應(yīng)用之配套問題
【經(jīng)典例題9】（23-24七年級下·山西呂梁·期末）七年級上冊《實(shí)際問題與一元一次方程》中，有如下例題：某車間有名工人，每人每天可以生產(chǎn)個螺柱或個螺母．個螺柱需要配個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺柱和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺柱和螺母的工人各多少名？學(xué)習(xí)了二元一次方程組后，可以用二元一次方程組解答此問題，設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺柱， 名工人生產(chǎn)螺母，則可列二元一次方程組為 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺柱， 名工人生產(chǎn)螺母，
由題意可得，，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練9-1】某車間共30名工人，每人每天平均能生產(chǎn)8張桌子或16把椅子，要求1張桌子配4把椅子，為了使每天生產(chǎn)的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人數(shù)分別為（ ）
A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人
【答案】B
【詳解】解：設(shè)需要安排x人來制作桌子，y人來制作椅子，由題意可得
解得
則需要安排10人來制作桌子，20人來制作椅子．
故選：B．
【變式訓(xùn)練9-2】1張方桌由1個桌面和4條腿組成，如果木料可以做50個桌面或300條桌腿，現(xiàn)有木料，應(yīng)用多少木料做桌面、多少術(shù)料做桌腿恰好都能配成方桌？能配成多少張方桌？
【答案】應(yīng)用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150張方桌
【詳解】解：設(shè)用木料做桌面，用木料做桌腿，則恰好配成張方桌，
由題意得，
解得，
．
答：應(yīng)用木料做桌面，用木料做桌腿，恰好配成150張方桌．
【變式訓(xùn)練9-3】某工廠加工螺栓、螺母，已知每塊金屬原料可以加工成3個螺栓或4個螺母（每塊金屬原料無法同時既加工螺栓又加工螺母），已知1個螺栓和2個螺母組成一個零件．若把26塊相同的金屬原料全部加工完，則加工的螺栓和螺母是否存在恰好配套？若存在恰好配套，請求出加工螺栓和螺母各需要的金屬原料的塊數(shù)；若不存在恰好配套，請說明理由．
【答案】不存在恰好配套，理由見解析．
【詳解】解：設(shè)把x塊金屬原料加工成螺栓，y塊金屬原料加工成螺母恰好配套，
依題意，得，
解得：
因?yàn)榍蟪龅膞，y的值不是整數(shù)，
所以加工的螺栓和螺母不存在恰好配套．
【變式訓(xùn)練9-4】（24-25七年級上·廣東湛江·期末）列一元一次方程解應(yīng)用題：
某家具加工車間準(zhǔn)備組裝一批雙人桌椅，即張桌子配把椅子，為提前完成任務(wù)，在原有名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的倍少人．
(1)求調(diào)入多少名工人；
(2)在（1）的條件下，若每名工人每天可以組裝張桌子或把椅子，為使每天組裝的桌椅剛好配套，應(yīng)該安排組裝桌子和椅子的工人各多少名？
【答案】(1)名工人
(2)應(yīng)該安排組裝桌子和椅子的工人分別為人和人．
【詳解】（1）解：設(shè)調(diào)入名工人，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：調(diào)入名工人；
（2）解：由（1）知，調(diào)入名工人后，車間有工人（人），
設(shè)名工人生產(chǎn)桌子，則名工人生產(chǎn)椅子，
∵每天組裝的桌椅剛好配套，
∴，
解得：，
∴，
答：應(yīng)該安排組裝桌子和椅子的工人分別為人和人．
【變式訓(xùn)練9-5】（23-24七年級下·河南南陽·期末）某眼鏡生產(chǎn)車間有18名工人，若每名工人每天可以生產(chǎn)100副鏡框或250片鏡片，1副鏡框需要配2片鏡片．為使每天生產(chǎn)的鏡框和鏡片剛好配套，生產(chǎn)車間應(yīng)該安排生產(chǎn)鏡框和鏡片的工人各多少名？
【答案】安排生產(chǎn)鏡框的工人名，生產(chǎn)鏡片的工人名
【詳解】解：設(shè)安排生產(chǎn)鏡框的工人名，生產(chǎn)鏡片的工人名，由題意，得：
，
解得：；
答：安排生產(chǎn)鏡框的工人名，生產(chǎn)鏡片的工人名．
題型十：二元一次方程組的應(yīng)用之圖表信息問題
【經(jīng)典例題10】某山區(qū)有23名中小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用a元，資助一名小學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用b元，某校學(xué)生積極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與用其恰好能幫助的貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：
七年級 八年級 九年級
捐款數(shù)額（元） 4000 4200 7400
捐助貧困中學(xué)生（名） 2 3
捐助貧困小學(xué)生（名） 4 3
(1)求a、b的值；
(2)九年級學(xué)生的捐款解決了其余貧困中小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用，請將九年級學(xué)生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)直接填入上表中（不需要寫出計(jì)算過程）．
【答案】(1)的值是800，的值是600．
(2)九年級學(xué)生可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)分別是4，7．
【詳解】（1）資助一名中學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用元，資助一名小學(xué)生需要學(xué)習(xí)費(fèi)用元，
，解得：．
所以的值是800，的值是600．
（2）設(shè)初三年級學(xué)生可捐助貧困中學(xué)生人，小學(xué)生人，
依題意得：，
解得：．
∴九年級學(xué)生捐助貧困中學(xué)生人數(shù)為4名，捐助貧困小學(xué)生人數(shù)為7名．
【變式訓(xùn)練10-1】（24-25七年級·上?！て谥校┰诘姆礁裰?，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都相等，我們把這樣的方格圖叫做“等和格”．如圖1的“等和格”中，每行、每列及對角線上的3個代數(shù)式的和都等于15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
圖1 圖2
圖3 圖4
(1)在圖2的“等和格”方格圖中，可得__________（用含的代數(shù)式表示）；
(2)在圖3的“等和格”方格圖中，可得__________，__________；
(3)在圖4的“等和格”方格圖中，可得__________．
【答案】(1)(2)；2(3)
【詳解】（1）解：依題意得：，
．
故答案為：．
（2）依題意得：，
解得：．
故答案為：；2．
（3）依題意得：，
由①可得：③，
由②可得：④，
將③代入④中得：．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練10-2】（24-25八年級上·山西太原·階段練習(xí)）太原五中計(jì)劃購置籃球、鋼筆、筆記本作為期末獎品，采購員小琪在某文體用品店購買完畢回到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)發(fā)票被弄花了，有幾個數(shù)據(jù)變得不清楚，如圖所示．
貨物或應(yīng)稅勞務(wù)、服務(wù)名稱 籃球 鋼筆 筆記本 合計(jì) 規(guī)格型號 單位 個 支 本 數(shù)量 6 46 單價(jià) 100.00 15.00 5.00 金額 600.00 900.0 稅率 稅額
價(jià)稅合計(jì)（大寫） 玖佰元整 （小寫）900.00
請根據(jù)發(fā)票中現(xiàn)有的信息，幫助小琪復(fù)原弄花的數(shù)據(jù)，即分別求出購置鋼筆、筆記本的數(shù)量及對應(yīng)的金額．
【答案】鋼筆的數(shù)量為10支，金額為150元，筆記本的數(shù)量為30本，金額為150元
【詳解】解：設(shè)鋼筆購買了x支，筆記本購買了y本，
由題意得，
解得，
則（元），（元），
答：鋼筆的數(shù)量為10支，金額為150元，筆記本的數(shù)量為30本，金額為150元．
【變式訓(xùn)練10-3】（23-24七年級下·河北唐山·期中）某班數(shù)學(xué)課上采用小組積分制記錄同學(xué)們回答問題情況，上課前每組有20分的基本分，積分規(guī)則如下：①答錯一次減x分；②答對一次加y分．下表是某堂課上記錄的兩個組得分情況：
第一組 第二組
答錯次數(shù) 1 2
答對次數(shù) 7 9
最終分?jǐn)?shù) 40 45
(1)求x，y的值；
(2)如果第三組答錯3次，最終分?jǐn)?shù)是41，求出第三組答對多少次？
【答案】(1)，
(2)第三組答對8次
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得：，
解得：
（2）解：設(shè)第三組答對n次，根據(jù)題意，得
，
解得，
答：第三組答對8次．
【變式訓(xùn)練10-4】（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）某山區(qū)有若干名中學(xué)生、小學(xué)生因貧困失學(xué)需要捐助，資助一名中學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要a元，資助一名小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用需要b元．某校學(xué)生積極捐款，初中各年級學(xué)生捐款數(shù)額與其捐助貧困中學(xué)生和小學(xué)生人數(shù)的部分情況如下表：
捐款數(shù)額/元 資助貧困中學(xué)生人數(shù)/名 資助貧困小學(xué)生人數(shù)/名
七年級 4000 2 4
八年級 4200 3 3
九年級 4000
(1)求a，b的值；
(2)當(dāng)?shù)卣逻_(dá)新政策給予補(bǔ)貼，秉持九年級學(xué)生捐多少補(bǔ)多少原則幫助貧困學(xué)生，與九年級學(xué)生的捐款總額恰好解決了剩余貧困中、小學(xué)生的學(xué)習(xí)費(fèi)用（中小學(xué)生均要資助），請求出政府和九年級學(xué)生的捐款總額可捐助的貧困中、小學(xué)生人數(shù)的所有方案．
【答案】(1)a，b的值分別為800，600
(2)方案一：中學(xué)生7人，小學(xué)生4人；方案二：中學(xué)生4人，小學(xué)生8人；方案三：中學(xué)生1人，小學(xué)生12人
【詳解】（1）解：由題意得
解得：
∴a，b的值分別為800，600；
（2）由題意得捐款總額為：（元）
設(shè)九年級資助貧困的中學(xué)生人數(shù)為x，資助貧困的小學(xué)生人數(shù)為y；
可得：；整理得：，
即；
又∵x、y均為正整數(shù) ，
∴ ；
即方案一：中學(xué)生7人，小學(xué)生4人；
方案二：中學(xué)生4人，小學(xué)生8人；
方案三：中學(xué)生1人，小學(xué)生12人；
【變式訓(xùn)練10-5】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）某果農(nóng)現(xiàn)有一批水蜜桃要運(yùn)往水果市場，果農(nóng)準(zhǔn)備租用汽車公司的甲乙兩種貨車，已知以往租用這兩種貨車的記錄情況如表：
甲種貨車（輛） 乙種貨車（輛） 總量（噸）
第1次 3 2 14
第2次 4 5
(1)甲、乙兩種貨車每輛可裝多少噸水蜜桃？
(2)若果農(nóng)需租用5輛甲種貨車、2輛乙種貨車，剛好一次運(yùn)完水蜜桃，如果每噸付60元運(yùn)費(fèi)，求果農(nóng)應(yīng)付運(yùn)費(fèi)總共多少元？
【答案】(1)甲種貨車每輛可裝3噸水蜜桃，乙種貨車每輛可裝2.5噸水蜜桃
(2)果農(nóng)應(yīng)付總運(yùn)費(fèi)1200元
【詳解】（1）解：設(shè)甲種貨車每輛可裝噸水蜜桃，乙種貨車每輛可裝噸水蜜桃．
，解得：
答：甲種貨車每輛可裝3噸水蜜桃，乙種貨車每輛可裝2.5噸水蜜桃．
（2）（元）
答：果農(nóng)應(yīng)付總運(yùn)費(fèi)1200元；
題型十一：二元一次方程組的應(yīng)用之古代問題
【經(jīng)典例題11】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有這樣一個記載：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后．甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)），問黃金、白銀每枚各重多少兩？若丙袋中有4枚黃金和4枚白銀，請求出丙袋的重量．
【答案】黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，丙袋的重量為260兩
【詳解】解：設(shè)黃金每枚重x兩，白銀每枚重y兩，
根據(jù)題意，得
解得
∴丙袋的重量為（兩）．
答：黃金每枚重兩，白銀每枚重兩，丙袋的重量為260兩．
【變式訓(xùn)練11-1】（24-25七年級上·湖南婁底·期末）《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首詩：
巍巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧，三百六十四只碗，恰合用盡不差爭．
三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹，請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧．
請用一元一次方程或者二元一次方程組求解上述問題．
【答案】624個
【詳解】解：法1：設(shè)寺內(nèi)有x個和尚，根據(jù)題意，得，
解得：，
答：寺內(nèi)有624個和尚；
法2：設(shè)盛飯用了x只碗，盛羹用了y只碗，根據(jù)題意，得：
，解得，
所以
答：寺內(nèi)有624個和尚．
【變式訓(xùn)練11-2】（24-25八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？
【答案】合伙買羊的有21人，羊價(jià)為150錢．
【詳解】解：設(shè)合伙買羊的有人，羊價(jià)為錢，
依題意，得：，
解得：．
答：合伙買羊的有21人，羊價(jià)為150錢．
【變式訓(xùn)練11-3】（23-24八年級上·陜西咸陽·期中）程大位是珠算發(fā)明家，他隨時留心數(shù)學(xué)，遍訪名師，于60歲完成其杰作《算法統(tǒng)家》．該書中記載著一首飲酒數(shù)學(xué)詩：“肆中飲客亂紛紛，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多酶酒幾多醇？”這首詩的意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人總共飲下了19瓶酒，且都醉倒了，問他們醇酒、薄酒分別飲了多少瓶？（列二元一次方程組解答）
【答案】醇酒飲了10瓶，薄酒飲了9瓶
【詳解】解：設(shè)他們醇酒飲了瓶，薄酒飲了瓶．
根據(jù)題意，得
解得；
答：他們醇酒飲了10瓶，薄酒飲了9瓶．
【變式訓(xùn)練11-4】《九章算術(shù)》中記載“今有牛五、羊二，置金十兩；牛二、羊五，直金八兩，問牛、羊各直金幾何？”譯文：今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩，問：牛、羊每頭各值金多少兩．
【答案】牛、羊每頭各值金兩，兩
【詳解】解：設(shè)牛、羊每頭各值金兩，兩，由題意，得：
，解得：，
答：牛、羊每頭各值金兩，兩．
【變式訓(xùn)練11-5】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，書中記載：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，問大小器各容幾何？”譯文：“今有大容器6個、小容器1個，總?cè)萘繛?斛；大容器1個、小容器6個，總?cè)萘繛?斛．問大小容器的容積各是多少斛？”
【答案】大容器的容積是0.8斛，小容器的容積是0.2斛
【詳解】解：設(shè)大容器的容積是斛，小容器的容積是斛
根據(jù)題意得：
解得：
答：大容器的容積是0.8斛，小容器的容積是0.2斛．

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