資源簡介

§3　空間點、直線、平面之間的位置關系
3.1　空間圖形基本位置關系的認識
學習目標
1.了解空間點、直線、平面之間的位置關系并會用圖形語言、符號語言表示位置關系,提升直觀想象、數學抽象的核心素養.
2.掌握利用定義判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系,培養數學抽象的核心素養.
知識探究
問題1:空間圖形由點、線、面構成.點動成線,線動成面,面動成體.可見點是空間圖形最基本的元素,線和面都是點的集合.元素與集合的關系有幾種 元素a和集合A的關系如何用符號表示
提示:兩種;a是集合A的元素記為a∈A,a不是集合A的元素記為
a A.
知識點1　點與直線、點與平面的位置關系
(1)點與直線的位置關系有兩種:點在直線上和點在直線外.
位置關系 圖形表示 符號表示
點B在直線a上, 點A在直線a外 B∈a, A a
(2)點與平面的位置關系有兩種:點在平面內和點在平面外.
位置關系 圖形表示 符號表示
點A在平面α內, 點B在平面α外 A∈α, B α
問題2:在同一平面內,直線與直線的位置關系有哪幾種
提示:有相交和不相交兩種.
知識點2　直線與直線、直線與平面的位置關系
(1)直線與直線的位置關系有兩種:直線與直線相交和直線與直線不相交.
位置關系 圖形表示 符號表示
直線a和直線b相交 a∩b=O
直線a和直線b 不相交 或 a∩b=
(2)直線與平面的位置關系有三種:直線在平面內、直線與平面相交和直線與平面平行.
位置關系 圖形表示 符號表示
直線a在平面α內(直線a上的每個點都在平面α內) a α
直線a與平面α相交(直線a和平面α只有一個公共點) a∩α=A
直線a與平面α平行(直線a和平面α沒有公共點) a∥α (a∩α= )
[思考] 空間中,兩條直線不相交,一定平行嗎
提示:不一定.
問題3:兩條直線可以只有一個公共點,直線和平面也可以只有一個公共點,兩個平面是否可以只有一個公共點呢
提示:不可以.
知識點3　平面與平面的位置關系
平面與平面的位置關系有兩種:平面與平面不相交和平面與平面相交.
位置關系 圖形表示 符號表示
平面α與平面β不相交,則稱這兩個平面平行 α∥β (α∩β= )
平面α與平面β相交 α∩β=a
探究點一　點與直線、點與平面的位置關系
[例1] 如圖,O是長方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1的中點,判斷點A與直線AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD、平面BCC1B1的位置關系,并用符號表示.
解:點A在直線AB上,在直線BC,CC1外,在直線C1O上,在平面ABCD內,在平面BCC1B1外;
符號表示分別是A∈AB,A BC,A CC1,A∈C1O,A∈平面ABCD,
A 平面BCC1B1.
判斷點是否在直線上和是否在平面內時,要注意利用直線是無限延伸的、平面是無限延展的,同時要注意利用題目的隱含條件,例如平行四邊形的對角線互相平分、棱臺的棱延長后交于一點.
[針對訓練] 如圖,點O是棱臺ABCDA1B1C1D1的兩條側棱 BB1,CC1的延長線的交點,判斷點O與直線BB1,BC,AA1,平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置關系,并用符號表示.
解:點O在直線BB1上,在直線BC外,在直線AA1上,在平面BCC1B1內,在平面ABCD外,在平面ADD1A1內;符號表示分別是O∈BB1,O BC,O∈AA1,O∈平面BCC1B1,O 平面ABCD,O∈平面ADD1A1.
探究點二　直線與直線、直線與平面的位置關系
[例2] 在長方體ABCDA1B1C1D1中,判斷直線AB與直線BC,CD,C1D1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置關系,并用符號表示.
解:直線AB與BC相交于點B,與CD不相交,與C1D1不相交,在平面ABCD內,與平面BCC1B1相交于點B,與平面A1B1C1D1平行.
用符號表示分別為AB∩BC=B,AB∩CD= ,AB∩C1D1= ,AB 平面ABCD,
AB∩平面BCC1B1=B,AB∥平面A1B1C1D1.
直線與直線的位置關系分為兩種,事實上,兩條直線不相交還可以再分為兩種情況,將在后面學習;直線和平面的位置關系分為三種,其中直線和平面相交、直線和平面平行這兩種情況可以統稱為直線在
平面外.
[針對訓練] 如圖,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,判斷直線AA1與直線AB,CD,BB1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置關系,并用符號表示.
解:如圖,設棱臺側棱所在直線交點為E,
直線AA1與直線AB相交于點A,與直線CD不相交,與直線BB1相交于點E,與平面ABCD相交于點A,與平面BCC1B1相交于點E,在平面ADD1A1內.
用符號表示分別為AA1∩AB=A,AA1∩CD= ,
AA1∩BB1=E,AA1∩平面ABCD=A,AA1∩平面BCC1B1=E,AA1 平面ADD1A1.
探究點三　平面與平面的位置關系
[例3] 三個平面α,β,γ,平面α,β互相平行,平面α與平面γ交于直線m,平面β與平面γ交于直線n,畫出上述語句對應的圖形并用符號語言表示.
解:圖形如圖所示.
用符號語言表示為α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n.
[變式探究] 用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.
三個平面α,β,γ交于一點P,且平面α與平面β交于PA,平面α與平面γ交于PB,平面β與平面γ交于PC.
解:用符號語言表示為α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.圖形表示如圖所示.
用大寫字母表示平面時,例如平面ABCD,“平面”兩個字一般不能省略,用希臘字母α,β等表示平面時,“平面”兩個字可以省略.
當堂檢測
1.能正確表示點A在直線l上且直線l在平面α內的是(　C　)
A　 B
　
C D
解析:選項A只表示點A在直線l上;選項D表示直線l與平面α相交于點A;選項B中點A不在直線l上.故選C.
2.如圖所示,用符號語言可表述為(　A　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,直線B1D1與長方體的六個面之間有　　　　種位置關系.
解析:直線B1D1在平面A1B1C1D1內,直線B1D1與平面BCC1B1、平面ABB1A1、平面ADD1A1、平面CC1D1D都相交,直線B1D1與平面ABCD平
行.故直線B1D1與長方體的六個面之間有3種位置關系.
答案:3
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
空間圖形的基本位置關系的理解 1,2,3
空間圖形位置關系的符號表示 4,5,8,12,13,14
空間圖形位置關系的應用 6,7,9,10,11,15
基礎鞏固
1.三棱臺的一條側棱所在直線與其對面所在的平面之間的關系是(　A　)
A.相交 B.平行
C.直線在平面內 D.平行或直線在平面內
解析:由棱臺延長各側棱交于一點恢復成棱錐的形狀可知,三棱臺的一條側棱所在直線與其對面所在的平面相交.故選A.
2.已知平面α∥平面β,直線m α,直線n β,則直線m,n(　C　)
A.平行或相交 B.相交
C.不相交 D.相交或不相交
解析:平面α∥平面β,直線m α,直線n β,則直線m,n沒有公共點.故選C.
3.下列各圖符合立體幾何作圖規范要求的是(　D　)
A.直線在平面內　　B.平面與平面相交
C.直線與平面相交　　D.兩直線不相交
解析:若直線在平面內,應將直線畫在平面內,A錯誤;平面與平面相交時,兩個平面相交于直線,而不是點,B錯誤;直線與平面相交,看不到的部分應當畫虛線,C錯誤;兩直線不相交滿足作圖規范,D正確.
故選D.
4.下列符號語言與文字語言轉化不正確的是(　C　)
A.點A在平面α內,但不在平面β內 A∈α,A β
B.直線a經過平面α外一點M M∈a,M α
C.直線l與平面α有公共點 l α
D.直線l既在平面α內,又在平面β內(即平面α和平面β相交于直線l) α∩β=l
解析:直線l與平面α有公共點時l α或l與平面α相交,因此C不正確.故選C.
5.已知點A,直線a,平面α,以下命題表述正確的個數是(　A　)
①A∈a,a α A α;②A∈a,a∈α A∈α;③A a,a α A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①不正確,如a∩α=A;②不正確,因為“a∈α”表述錯誤;③不正確,如圖所示,A a,a α,但A∈α.故選A.
6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,回答下列問題:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=　　　　　　;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=　 .
答案:(1)A1B1　(2)AC
7.已知平面α與平面β、平面γ都相交,則這三個平面可能的交線有
　　　　　　條.
解析:當β與γ相交時,若α過β與γ的交線,有1條交線;若α不過β與γ的交線,有3條交線;當β與γ平行時,有2條交線.
答案:1或2或3
8.把下列符號敘述所對應的圖形的字母編號填在題后橫線上.
　　　
A B
　　　
C D
①A α,a α:　　　　.
②α∩β=a,P α且P β:　　　　.
③a α,a∩α=A:　　　　.
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:　　　　.
解析:①A α,a α,表示點A在平面α外且直線a在平面α內,故C符合;
②α∩β=a,P α且P β,表示平面α,β相交于直線a,
點P在平面α外且點P在平面β外,故D符合;
③a α,a∩α=A,表示直線a在平面α外,直線a與平面α相交于點A,故A符合;
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O,
表示平面α,β相交于直線a,平面α,γ相交于直線c,平面β,γ相交于直線b,
直線a,b,c相交于點O,故B符合.
答案:①C　②D　③A　④B
能力提升
9.若直線a不平行于平面α,則下列結論成立的是(　D　)
A.α內的所有直線均與a平行
B.α內不存在與a平行的直線
C.α內的直線均與a相交
D.直線a與平面α有公共點
解析:直線a不平行于平面α,則直線a在α內或a與α相交,當a α時,A,B錯誤;當a與α相交時,α內存在直線與a不相交,C錯誤.
故選D.
10.平面α與平面β平行且a α,有下列說法:①a與β內的所有直線都平行;②a與β平行;③a與β內的無數條直線平行.其中正確的個數是(　C　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因為α∥β,a α,所以a與β無公共點,所以a∥β,但是不平行于β內的所有直線,①不正確,②正確;因為a與β內的所有直線都沒有公共點,所以a與β內的無數條直線平行,故③正確.故選C.
11.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AD,AA1的中點,則下列直線中與直線EF不相交的是(　ABC　)
A.A1B1 B.BB1
C.B1C1 D.A1D1
解析:直線A1B1,BB1,B1C1與EF不相交,直線A1D1與EF相交.故選ABC.
12.用符號語言表示點、直線、平面之間的位置關系:
(1)點A,B在直線 a上:　　　　　　　　　;
(2)直線a在平面α內:　　　　　　;
(3)點D在直線 b上,點C在平面α內:　 .
答案:(1)A∈a,B∈a　(2)a α　(3)D∈b,C∈α
13.用符號表示下列語句,并畫出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點A,B;
(2)點A,B在平面α內,直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.
解:(1)用符號表示為α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,圖形如圖所示.
(2)用符號表示為A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,圖形如圖所示.
14.根據下面圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系.
(1)點P與直線AB;
(2)點C與直線AB;
(3)點M與平面AC;
(4)點A1與平面AC;
(5)直線AB與直線BC;
(6)直線AB與平面AC;
(7)平面A1B與平面AC.
解:(1)點P∈直線AB.
(2)點C 直線AB.
(3)點M∈平面AC.
(4)點A1 平面AC.
(5)直線AB∩直線BC=B.
(6)直線AB 平面AC.
(7)平面A1B∩平面AC=直線AB.
應用創新
15.一個平面將空間分成兩部分,那么兩個平面呢 三個平面呢
解:(1)兩個平面有兩種情形.
當兩個平面平行時,將空間分成三部分[如圖(a)];
當兩個平面相交時,將空間分成四部分[如圖(b)].
(2)三個平面有五種情形.
當三個平面互相平行時,將空間分成四部分[如圖(c)];
當兩個平面平行,第三個平面與它們相交時,將空間分成六部分[如圖(d)];
當三個平面相交于同一條直線時,將空間分成六部分[如圖(e)];
當三個平面相交于三條直線,且三條交線相交于一點時,將空間分成八部分[如圖(f)];
當三個平面相交于三條直線,且三條交線相互平行時,將空間分成七部分[如圖(g)].§3　空間點、直線、平面之間的位置關系
3.1　空間圖形基本位置關系的認識
學習目標
1.了解空間點、直線、平面之間的位置關系并會用圖形語言、符號語言表示位置關系,提升直觀想象、數學抽象的核心素養.
2.掌握利用定義判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系,培養數學抽象的核心素養.
知識探究
問題1:空間圖形由點、線、面構成.點動成線,線動成面,面動成體.可見點是空間圖形最基本的元素,線和面都是點的集合.元素與集合的關系有幾種 元素a和集合A的關系如何用符號表示
提示:兩種;a是集合A的元素記為a∈A,a不是集合A的元素記為
a A.
知識點1　點與直線、點與平面的位置關系
(1)點與直線的位置關系有兩種:點在直線上和點在直線外.
位置關系 圖形表示 符號表示
點B在直線a上, 點A在直線a外 B∈a, A a
(2)點與平面的位置關系有兩種:點在平面內和點在平面外.
位置關系 圖形表示 符號表示
點A在平面α內, 點B在平面α外 A∈α, B α
問題2:在同一平面內,直線與直線的位置關系有哪幾種
提示:有相交和不相交兩種.
知識點2　直線與直線、直線與平面的位置關系
(1)直線與直線的位置關系有兩種:直線與直線相交和直線與直線不相交.
位置關系 圖形表示 符號表示
直線a和直線b相交 a∩b=O
直線a和直線b 不相交 或 a∩b=
(2)直線與平面的位置關系有三種:直線在平面內、直線與平面相交和直線與平面平行.
位置關系 圖形表示 符號表示
直線a在平面α內(直線a上的每個點都在平面α內) a α
直線a與平面α相交(直線a和平面α只有一個公共點) a∩α=A
直線a與平面α平行(直線a和平面α沒有公共點) a∥α (a∩α= )
[思考] 空間中,兩條直線不相交,一定平行嗎
提示:不一定.
問題3:兩條直線可以只有一個公共點,直線和平面也可以只有一個公共點,兩個平面是否可以只有一個公共點呢
提示:不可以.
知識點3　平面與平面的位置關系
平面與平面的位置關系有兩種:平面與平面不相交和平面與平面相交.
位置關系 圖形表示 符號表示
平面α與平面β不相交,則稱這兩個平面平行 α∥β (α∩β= )
平面α與平面β相交 α∩β=a
探究點一　點與直線、點與平面的位置關系
[例1] 如圖,O是長方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1的中點,判斷點A與直線AB,BC,CC1,C1O,平面ABCD、平面BCC1B1的位置關系,并用符號表示.
判斷點是否在直線上和是否在平面內時,要注意利用直線是無限延伸的、平面是無限延展的,同時要注意利用題目的隱含條件,例如平行四邊形的對角線互相平分、棱臺的棱延長后交于一點.
[針對訓練] 如圖,點O是棱臺ABCDA1B1C1D1的兩條側棱 BB1,CC1的延長線的交點,判斷點O與直線BB1,BC,AA1,平面BCC1B1、平面ABCD、平面ADD1A1的位置關系,并用符號表示.
探究點二　直線與直線、直線與平面的位置關系
[例2] 在長方體ABCDA1B1C1D1中,判斷直線AB與直線BC,CD,C1D1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面A1B1C1D1的位置關系,并用符號表示.
直線與直線的位置關系分為兩種,事實上,兩條直線不相交還可以再分為兩種情況,將在后面學習;直線和平面的位置關系分為三種,其中直線和平面相交、直線和平面平行這兩種情況可以統稱為直線在
平面外.
[針對訓練] 如圖,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,判斷直線AA1與直線AB,CD,BB1,平面ABCD、平面BCC1B1、平面ADD1A1的位置關系,并用符號表示.
探究點三　平面與平面的位置關系
[例3] 三個平面α,β,γ,平面α,β互相平行,平面α與平面γ交于直線m,平面β與平面γ交于直線n,畫出上述語句對應的圖形并用符號語言表示.
[變式探究] 用符號語言表示下列語句,并畫出圖形.
三個平面α,β,γ交于一點P,且平面α與平面β交于PA,平面α與平面γ交于PB,平面β與平面γ交于PC.
用大寫字母表示平面時,例如平面ABCD,“平面”兩個字一般不能省略,用希臘字母α,β等表示平面時,“平面”兩個字可以省略.
當堂檢測
1.能正確表示點A在直線l上且直線l在平面α內的是(　　)
A　 B
　
C D
2.如圖所示,用符號語言可表述為(　　)
A.α∩β=m,n α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
3.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,直線B1D1與長方體的六個面之間有　　　　種位置關系.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
空間圖形的基本位置關系的理解 1,2,3
空間圖形位置關系的符號表示 4,5,8,12,13,14
空間圖形位置關系的應用 6,7,9,10,11,15
基礎鞏固
1.三棱臺的一條側棱所在直線與其對面所在的平面之間的關系是(　　)
A.相交 B.平行
C.直線在平面內 D.平行或直線在平面內
2.已知平面α∥平面β,直線m α,直線n β,則直線m,n(　　)
A.平行或相交 B.相交
C.不相交 D.相交或不相交
3.下列各圖符合立體幾何作圖規范要求的是(　　)
A.直線在平面內　　B.平面與平面相交
C.直線與平面相交　　D.兩直線不相交
4.下列符號語言與文字語言轉化不正確的是(　　)
A.點A在平面α內,但不在平面β內 A∈α,A β
B.直線a經過平面α外一點M M∈a,M α
C.直線l與平面α有公共點 l α
D.直線l既在平面α內,又在平面β內(即平面α和平面β相交于直線l) α∩β=l
5.已知點A,直線a,平面α,以下命題表述正確的個數是(　　)
①A∈a,a α A α;②A∈a,a∈α A∈α;③A a,a α A α.
A.0 B.1 C.2 D.3
6.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,回答下列問題:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=　　　　　　;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=　 .
7.已知平面α與平面β、平面γ都相交,則這三個平面可能的交線有
　　　　　　條.
8.把下列符號敘述所對應的圖形的字母編號填在題后橫線上.
　　　
A B
　　　
C D
①A α,a α:　　　　.
②α∩β=a,P α且P β:　　　　.
③a α,a∩α=A:　　　　.
④α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:　　　　.
能力提升
9.若直線a不平行于平面α,則下列結論成立的是(　　)
A.α內的所有直線均與a平行
B.α內不存在與a平行的直線
C.α內的直線均與a相交
D.直線a與平面α有公共點
10.平面α與平面β平行且a α,有下列說法:①a與β內的所有直線都平行;②a與β平行;③a與β內的無數條直線平行.其中正確的個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AD,AA1的中點,則下列直線中與直線EF不相交的是(　　)
A.A1B1 B.BB1
C.B1C1 D.A1D1
12.用符號語言表示點、直線、平面之間的位置關系:
(1)點A,B在直線 a上:　　　　　　　　　;
(2)直線a在平面α內:　　　　　　;
(3)點D在直線 b上,點C在平面α內:　 .
13.用符號表示下列語句,并畫出圖形.
(1)平面α與β相交于直線l,直線a與α,β分別相交于點A,B;
(2)點A,B在平面α內,直線a與平面α交于點C,點C不在直線AB上.
14.根據下面圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系.
(1)點P與直線AB;
(2)點C與直線AB;
(3)點M與平面AC;
(4)點A1與平面AC;
(5)直線AB與直線BC;
(6)直線AB與平面AC;
(7)平面A1B與平面AC.
應用創新
15.一個平面將空間分成兩部分,那么兩個平面呢 三個平面呢

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