資源簡介

第2課時　基本事實4、等角定理、異面直線的夾角
學習目標
1.理解并掌握基本事實4及等角定理,發展邏輯推理的核心素養.
2.了解異面直線的定義、畫法及判斷方法,發展直觀想象的核心素養.
3.掌握異面直線所成的角的概念、求法,發展邏輯推理、數學抽象、數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:在平面幾何中,我們學習過“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”,觀察一個棱柱的三條側棱,它們所在的三條直線確定了幾個平面 它們所在的直線都互相平行嗎
提示:三條直線確定三個平面,這三條直線互相平行.
知識點1　基本事實4
平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
[思考1] 如何用符號語言表示基本事實4
提示: a∥c.
問題2:空間兩條平行直線和兩條相交直線都在同一個平面內(即共面),空間內還有這樣的兩條直線,它們不能處在同一個平面內,以長方體ABCDA1B1C1D1為例,找出這樣的兩組直線.
提示:直線AB與直線CC1,直線AB與直線A1D1(答案不唯一).
知識點2　異面直線
(1)異面直線:不同在任何一個平面內(不共面)的兩條直線稱為異面直線.
(2)空間兩條直線的位置關系有且只有三種:
(3)異面直線的畫法.
畫異面直線時,為了表示異面直線a,b不共面的特點,通常用一個或兩個平面襯托,明顯地體現出異面直線既不相交也不平行的特點,如圖(a)(b)(c)所示.
[思考2] “異面直線就是不同在一個平面內的直線”這種說法對嗎
提示:不對.不能把異面直線誤認為分別在不同平面內的兩條直線,如圖,雖然有a α,b β,即a,b分別在兩個不同的平面內,但是因為a∩b=O,所以a與b不是異面直線.
知識點3　等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或
互補.
[思考3] 一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行時,兩個角相等或互補的條件是什么
提示:若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反,那么這兩個角相等;若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,其中一組對應邊方向相同,另一組對應邊方向相反,那么這兩個角互補.
問題3:平面內兩條直線相交成4個角,它們之間有什么關系
提示:所成的對頂角相等,鄰補角互補.
知識點4　 兩條直線的夾角
(1)平面內兩條直線相交成4個角,其中不大于90°的角稱為它們的夾角.夾角刻畫了一條直線相對于另一條直線的位置關系.
(2)異面直線的夾角.
①已知兩條異面直線a,b,過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b,這時a′,b′共面,我們把a′與b′所成的不大于90°的角稱為異面直線a,b的夾角.
②若兩條異面直線a,b的夾角是直角,則稱這兩條直線互相垂直,記作:a⊥b.
③當兩條直線a,b相互平行時,我們規定它們的夾角為0°,所以空間兩條直線的夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
探究點一　基本事實4及等角定理
[例1] 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,
B1C1,C1D1的中點.求證:
(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
證明:(1)如圖,
連接BD,B1D1,
在△ABD中,
因為E,F分別為AB,AD的中點,
所以EFBD.
同理,E1F1B1D1.
在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1DD1,
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形,
所以BDB1D1.
又EFBD,E1F1B1D1,
所以EFE1F1.
(2)如圖,取A1B1的中點M,連接F1M,BM,
則MF1B1C1.
又B1C1BC,
所以MF1BC,
所以四邊形BMF1C為平行四邊形,
所以BM∥CF1.
因為A1M=A1B1,BE=AB,
且A1B1AB,
所以A1MBE,
所以四邊形BMA1E為平行四邊形,
所以BM∥A1E,
所以CF1∥A1E.
同理可證A1F∥CE1.
因為∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應平行,且方向都相反,
所以∠EA1F=∠E1CF1.
(1)空間兩條直線平行的證明:
一是定義法,即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點.
二是利用平面圖形的有關平行的性質,如三角形中位線、梯形、平行四邊形等關于平行的性質.
三是利用基本事實4,找到一條直線使所證的直線都與這條直線平行.
(2)證明角相等的方法:若已知條件中涉及角的邊的平行問題,常借助等角定理證明,使用等角定理時要注意說明角的兩邊的方向.
[針對訓練] 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.
(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形.
(2)求證:∠BMC=∠B1M1C1.
證明:(1)因為四棱柱ABCDA1B1C1D1為正方體,
所以AD=A1D1,且AD∥A1D1.
又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點,
所以AM=A1M1,且AM∥A1M1,
所以四邊形AMM1A1為平行四邊形,
所以M1M=AA1,且M1M∥AA1.
又AA1=BB1,且AA1∥BB1,
所以MM1=BB1,且MM1∥BB1,
所以四邊形BB1M1M為平行四邊形.
(2)法一　由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,
所以B1M1∥BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,
所以C1M1∥CM.
因為∠BMC和∠B1M1C1的兩邊分別對應平行,且方向都相同,
所以由等角定理可知,∠BMC=∠B1M1C1.
法二　由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,
所以B1M1=BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,
所以C1M1=CM.
又因為B1C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M1,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
探究點二　異面直線的定義
[例2] 如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1為正方體,證明:直線BC1與直線A1C是異面直線.
證明:法一(反證法)　假設直線BC1與直線A1C不是異面直線,則直線BC1與直線A1C共面.
設直線BC1與直線A1C所在的平面為α,
則B,C,C1,A1∈α,
因為B,C,C1三點確定的平面為平面BCC1,
即平面BCC1B1,
所以平面BCC1B1為α,所以A1∈平面BCC1B1.
這與事實相矛盾,故假設不成立.
所以直線BC1與直線A1C是異面直線.
法二　因為A1 平面BCC1B1,
C∈平面BCC1B1,C∈直線A1C,
又因為BC1 平面BCC1B1,且C BC1,
所以直線BC1與直線A1C是異面直線.
判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.
(2)連接平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.
(3)反證法:假設兩條直線不是異面直線,由此推出一個矛盾的結論.
[針對訓練] (1)在三棱錐SABC中,與SA是異面直線的是(　　)
A.SB B.SC C.BC D.AB
(2)若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關系是(　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交或異面
解析:(1)在三棱錐SABC中,SB,SC,AB,AC都與SA相交,只有BC與SA為異面直線.故選C.
(2)可借助長方體來判斷.
如圖,在長方體ABCDA′B′C′D′中,設A′D′所在直線為a,AB所在直線為b,已知a和b是異面直線,b和c是異面直線,則c可以是長方體 ABCDA′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.
故a和c可以平行、相交或異面.故選D.
探究點三　異面直線的夾角
[例3] 如圖所示,在正方體ABCDEFGH中,O為側面ADHE的中心,求:
(1)異面直線BE與CG的夾角;
(2)異面直線FO與BD的夾角.
解:(1)由題圖知,因為CG∥BF,
所以∠EBF為異面直線BE與CG的夾角,
又在等腰直角三角形BEF中,
∠EBF=45°,
所以異面直線BE與CG的夾角為45°.
(2)連接FH,
因為HD∥EA,EA∥FB,
所以HD∥FB.
又HD=FB,
所以四邊形HFBD為平行四邊形.
所以HF∥BD,
所以∠HFO為異面直線FO與BD的夾角.
連接HA,AF,易得FH=HA=AF,
所以△AFH為等邊三角形,所以∠HFA=60°.
又因為O為AH的中點,
所以FO是∠HFA的平分線,
所以∠HFO=30°,
即異面直線FO與BD的夾角為30°.
[變式探究1] 在本例中,若P是平面EFGH的中心,其他條件不變,求異面直線OP與CD的夾角.
解:如圖,連接EG,HF,
則P為HF的中點,
連接AF,AH,
則OP∥AF.
又CD∥AB,
所以∠BAF為異面直線OP與CD的夾角,
由于△ABF是等腰直角三角形,
所以∠BAF=45°,
故異面直線OP與CD的夾角為45°.
[變式探究2] 在本例正方體中,若M,N分別是BF,CG的中點,且AG與BN的夾角約為39.2°,求異面直線AM與BN的夾角.
解:如圖,連接MG,
因為四邊形BCGF是正方形,
所以BFCG.
因為M,N分別是BF,CG的中點,
所以BMNG,
所以四邊形BNGM是平行四邊形,
所以BN∥MG,
所以∠AGM是AG與BN的夾角,
∠AMG(或其補角)是AM與BN的夾角.
因為AM=MG,
所以∠MAG=∠AGM≈39.2°,
所以∠AMG≈101.6°,
所以異面直線AM與BN的夾角約為78.4°.
求異面直線的夾角的步驟
(1)找出(或作出)適合題意的角——用平移法,若題中有中點,?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點,使異面直線轉化為相交直線.
(2)求——轉化為求一個三角形的內角,通過解三角形,求出所找
的角.
(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ即為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ即為所求.
當堂檢測
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,則∠PQR等于(　B　)
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上結論都不對
解析:∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行,但方向不能確定是否相同,
所以∠PQR=30°或150°.故選B.
2.如果兩條直線a和b沒有公共點,那么a與b的位置關系是(　D　)
A.共面 B.平行
C.異面 D.平行或異面
解析:由兩條直線的位置關系,可知a與b平行或異面.故選D.
3.(多選題)如圖是一個正方體的展開圖,則在原正方體中(　ABD　)
A.CD∥GH B.AB與EF異面
C.AD∥EF D.AB與CD相交
解析:把展開圖還原成正方體,如圖所示.由正方體的性質得CD∥GH,AB與EF異面,AD與EF異面,AB與CD相交.故選ABD.
4.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,
(1)AC和DD1的夾角是　　　　　　;
(2)AC和D1C1的夾角是　　　　　　;
(3)AC和B1D1的夾角是　　　　　　;
(4)AC和A1B的夾角是　　　　　　.
解析:(1)因為DD1∥A1A,∠A1AC=90°,故AC和DD1的夾角是90°.
(2)因為D1C1∥DC,所以∠ACD即為AC和D1C1的夾角,由正方體的性質得∠ACD=45°.
(3)連接BD(圖略),因為BD∥B1D1,BD⊥AC,所以B1D1⊥AC,即AC和B1D1的夾角是90°.
(4)連接AD1,D1C(圖略),因為A1B∥D1C,△ACD1是等邊三角形,所以AC和A1B的夾角是60°.
答案:(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
基本事實4、等角定理 1,2,3,5,11
異面直線的概念及夾角 4,6,7,8,9,10,12,13,14
基礎鞏固
1.在空間中,與直線l都平行的直線a,b的位置關系是(　C　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.平行、相交或異面
解析:由基本事實4得,在空間中,與直線l都平行的直線a,b的位置關系是平行.故選C.
2.已知空間兩個角α,β,且α與β的兩邊對應平行,α=60°,則β為(　D　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
解析:因為α與β的兩邊對應平行,所以α與β相等或互補,故β為60°或120°.故選D.
3.在長方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是BD和CD的中點,長方體的各棱中與EF平行的有(　D　)
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
解析:如圖所示,
因為E,F分別為BD,CD的中點,
所以EF∥BC.
又因為BC∥B1C1,
所以EF∥B1C1.
同理,EF∥A1D1,EF∥AD.故選D.
4.若直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c(　C　)
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線
D.不可能是相交直線
解析:由于a∥b,a,c異面,此時,b和c可能相交,即共面,如圖所示,b與c相交;b和c也可能異面,如圖所示,b′與c異面.綜上所述,b與c不可能是平行直線.故選C.
5.(多選題)如圖,在四面體ABCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,
AD,AC的中點,則下列說法正確的是(　ABC　)
A.M,N,P,Q四點共面
B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ
D.四邊形MNPQ為梯形
解析:由中位線定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.由基本事實4易得MQ∥NP,所以M,N,P,Q四點共面,故A正確;由等角定理,知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故B,C正確;由三角形的中位線定理知MQ∥BD,MQ=BD,NP∥BD,NP=BD,所以MQNP,所以四邊形MNPQ為平行四邊形,故D不正確.故選ABC.
6.在四棱錐PABCD中,各棱所在的直線互相異面的有　　　對.
解析:以底邊所在直線為準進行考查,因為四邊形ABCD是平面圖形,
4條邊在同一平面內,不可能組成異面直線,而每一邊所在直線能與
2條側棱組成2對異面直線,所以共有4×2=8(對)異面直線.
答案:8
7.如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有　　　　 　　.(填序號)
解析:如題圖①中,GH∥MN,因此,GH與MN共面.
題圖②中,G,H,N三點共面,但M 平面GHN,因此直線GH與MN異面.
題圖③中,連接GM(圖略),GM∥HN,因此,GH與MN共面.
題圖④中,G,M,N三點共面,但H 平面GMN,因此GH與MN異面.
所以題圖②④中GH與MN異面.
答案:②④
8.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,若異面直線AD1與BB1的夾角為,則 AA1=　　　　.
解析:如圖,由長方體的性質可得DD1∥BB1,故∠AD1D即為異面直線AD1與BB1的夾角.
在Rt△AD1D中,由于AD=1,
故tan∠AD1D==.
由于∠AD1D=,
所以tan==,
解得DD1=,
即AA1=.
答案:
能力提升
9.若a,b為兩條異面直線,α,β為兩個平面,a α,b β,α∩β=l,則下列結論正確的是(　A　)
A.l至少與a,b中一條相交
B.l至多與a,b中一條相交
C.l至少與a,b中一條平行
D.l必與a,b中一條相交,與另一條平行
解析:假設l與a,b都不相交,由于a與l共面,b與l共面,
則a∥l,b∥l,因此a∥b,與a,b異面矛盾,故A正確.故選A.
10.(多選題)一個正四棱錐的平面展開圖如圖所示,其中E,F,M,N,Q分別為P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中點,關于該正四棱錐,現有下列四個結論,其中正確的結論為(　BCD　)
A.直線AF與直線BQ是異面直線
B.直線BE與直線MN是異面直線
C.直線BQ與直線MN共面
D.直線BE與直線AF是異面直線
解析:根據展開圖,復原幾何體,如圖所示.
對于A,因為F,M,N,Q分別為P1D,P4D,P4C,P3C的中點,
所以FN∥CD,又AB∥CD,則FN∥AB,故F,N,A,B四點共面,
故直線AF與直線BQ是共面直線,故A錯誤;
對于B,E在過F,N,A,B四點的平面外,B和MN都在過F,N,A,B四點的平面內,
故直線BE與直線MN是異面直線,故B正確;
對于C,N,Q重合,故直線BQ與直線MN共面,故C正確;
對于D,E在過F,N,A,B四點的平面外,B和AF都在過F,N,A,B四點的平面內,故直線BE與直線AF是異面直線,故D正確.
故選BCD.
11.如圖所示,在空間四邊形 ABCD中,E,H分別為AB,AD的中點,F,G分別是BC,CD上的點,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面積為
28 cm2,則平行線EH,FG間的距離為　　 　　cm.
解析:由題意得EH=3 cm,FG=6×=4(cm),設EH,FG間的距離為h,
由S梯形EFGH==28,
得h=8 cm.
答案:8
12.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,點E為正方形ABB1A1的中心,F為棱CC1的中點,求異面直線BF與CE所成角的正切值.
解:如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,取A1B1的中點G,連接FG,EG,BG,
由點E為正方形ABB1A1的中心,
得EG∥BB1,EG=BB1.
而BB1∥CC1,BB1=CC1,
于是EG∥CC1,EG=CC1,由F為棱CC1的中點,得EG∥CF,EG=CF.
則四邊形CFGE是平行四邊形,有FG∥CE,即∠BFG(或其補角)就是異面直線BF與CE所成的角.顯然正三棱柱ABCA1B1C1所有棱長都相等,不妨令棱長為2,
則BF==,FG==2,BG==,
等腰△BFG底邊FG上的高h==2,tan∠BFG==2,
所以異面直線BF與CE所成角的正切值為2.
答案:2
13.如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,
DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點,求異面直線BE與CD夾角的
余弦值.
解:如圖,取AC的中點F,連接EF,BF.
在△ACD中,E,F分別是AD,AC的中點,
所以EF∥CD,
所以∠BEF(或其補角)即為異面直線BE與CD的夾角.
在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,
所以AB=AC=1.
在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,
所以BE=.
在Rt△AEF中,AF=AC=,AE=,
所以EF=.
在Rt△ABF中,AB=1,AF=,
所以BF=.
在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,
所以異面直線BE與CD夾角的余弦值為.
應用創新
14.如圖,空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點,并且異面直線AC與BD的夾角為90°,則MN=　　 　.
解析:如圖,取AD的中點P,連接PM,PN,
則BD∥PM,AC∥PN,所以∠MPN即為異面直線AC與BD的夾角,
所以∠MPN=90°,
PN=AC=4,
PM=BD=3,
所以MN=5.
答案:5第2課時　基本事實4、等角定理、異面直線的夾角
學習目標
1.理解并掌握基本事實4及等角定理,發展邏輯推理的核心素養.
2.了解異面直線的定義、畫法及判斷方法,發展直觀想象的核心素養.
3.掌握異面直線所成的角的概念、求法,發展邏輯推理、數學抽象、數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:在平面幾何中,我們學習過“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”,觀察一個棱柱的三條側棱,它們所在的三條直線確定了幾個平面 它們所在的直線都互相平行嗎
提示:三條直線確定三個平面,這三條直線互相平行.
知識點1　基本事實4
平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
[思考1] 如何用符號語言表示基本事實4
提示: a∥c.
問題2:空間兩條平行直線和兩條相交直線都在同一個平面內(即共面),空間內還有這樣的兩條直線,它們不能處在同一個平面內,以長方體ABCDA1B1C1D1為例,找出這樣的兩組直線.
提示:直線AB與直線CC1,直線AB與直線A1D1(答案不唯一).
知識點2　異面直線
(1)異面直線:不同在任何一個平面內(不共面)的兩條直線稱為異面直線.
(2)空間兩條直線的位置關系有且只有三種:
(3)異面直線的畫法.
畫異面直線時,為了表示異面直線a,b不共面的特點,通常用一個或兩個平面襯托,明顯地體現出異面直線既不相交也不平行的特點,如圖(a)(b)(c)所示.
[思考2] “異面直線就是不同在一個平面內的直線”這種說法對嗎
提示:不對.不能把異面直線誤認為分別在不同平面內的兩條直線,如圖,雖然有a α,b β,即a,b分別在兩個不同的平面內,但是因為a∩b=O,所以a與b不是異面直線.
知識點3　等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或
互補.
[思考3] 一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行時,兩個角相等或互補的條件是什么
提示:若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行且方向都相同或相反,那么這兩個角相等;若一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,其中一組對應邊方向相同,另一組對應邊方向相反,那么這兩個角互補.
問題3:平面內兩條直線相交成4個角,它們之間有什么關系
提示:所成的對頂角相等,鄰補角互補.
知識點4　 兩條直線的夾角
(1)平面內兩條直線相交成4個角,其中不大于90°的角稱為它們的夾角.夾角刻畫了一條直線相對于另一條直線的位置關系.
(2)異面直線的夾角.
①已知兩條異面直線a,b,過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b,這時a′,b′共面,我們把a′與b′所成的不大于90°的角稱為異面直線a,b的夾角.
②若兩條異面直線a,b的夾角是直角,則稱這兩條直線互相垂直,記作:a⊥b.
③當兩條直線a,b相互平行時,我們規定它們的夾角為0°,所以空間兩條直線的夾角α的取值范圍是0°≤α≤90°.
探究點一　基本事實4及等角定理
[例1] 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,
B1C1,C1D1的中點.求證:
(1)EFE1F1.
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
(1)空間兩條直線平行的證明:
一是定義法,即證明兩條直線在同一個平面內且兩直線沒有公共點.
二是利用平面圖形的有關平行的性質,如三角形中位線、梯形、平行四邊形等關于平行的性質.
三是利用基本事實4,找到一條直線使所證的直線都與這條直線平行.
(2)證明角相等的方法:若已知條件中涉及角的邊的平行問題,常借助等角定理證明,使用等角定理時要注意說明角的兩邊的方向.
[針對訓練] 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.
(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形.
(2)求證:∠BMC=∠B1M1C1.
探究點二　異面直線的定義
[例2] 如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1為正方體,證明:直線BC1與直線A1C是異面直線.
判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法:由定義判斷兩直線不可能在同一平面內.
(2)連接平面內一點與平面外一點的直線,和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.
(3)反證法:假設兩條直線不是異面直線,由此推出一個矛盾的結論.
[針對訓練] (1)在三棱錐SABC中,與SA是異面直線的是(　　)
A.SB B.SC C.BC D.AB
(2)若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關系是(　　)
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交或異面
探究點三　異面直線的夾角
[例3] 如圖所示,在正方體ABCDEFGH中,O為側面ADHE的中心,求:
(1)異面直線BE與CG的夾角;
(2)異面直線FO與BD的夾角.
[變式探究1] 在本例中,若P是平面EFGH的中心,其他條件不變,求異面直線OP與CD的夾角.
[變式探究2] 在本例正方體中,若M,N分別是BF,CG的中點,且AG與BN的夾角約為39.2°,求異面直線AM與BN的夾角.
求異面直線的夾角的步驟
(1)找出(或作出)適合題意的角——用平移法,若題中有中點,?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點,使異面直線轉化為相交直線.
(2)求——轉化為求一個三角形的內角,通過解三角形,求出所找
的角.
(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ即為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ即為所求.
當堂檢測
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,則∠PQR等于(　　)
A.30° B.30°或150°
C.150° D.以上結論都不對
2.如果兩條直線a和b沒有公共點,那么a與b的位置關系是(　　)
A.共面 B.平行
C.異面 D.平行或異面
3.(多選題)如圖是一個正方體的展開圖,則在原正方體中(　)
A.CD∥GH B.AB與EF異面
C.AD∥EF D.AB與CD相交
4.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,
(1)AC和DD1的夾角是　　　　　　;
(2)AC和D1C1的夾角是　　　　　　;
(3)AC和B1D1的夾角是　　　　　　;
(4)AC和A1B的夾角是　　　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
基本事實4、等角定理 1,2,3,5,11
異面直線的概念及夾角 4,6,7,8,9,10,12,13,14
基礎鞏固
1.在空間中,與直線l都平行的直線a,b的位置關系是(　　)
A.相交 B.異面
C.平行 D.平行、相交或異面
2.已知空間兩個角α,β,且α與β的兩邊對應平行,α=60°,則β為(　　)
A.60° B.120°
C.30° D.60°或120°
3.在長方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是BD和CD的中點,長方體的各棱中與EF平行的有(　　)
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
4.若直線a,b,c滿足a∥b,a,c異面,則b與c(　　)
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線
D.不可能是相交直線
5.(多選題)如圖,在四面體ABCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,
AD,AC的中點,則下列說法正確的是(　　)
A.M,N,P,Q四點共面
B.∠QME=∠DBC
C.△BCD∽△MEQ
D.四邊形MNPQ為梯形
6.在四棱錐PABCD中,各棱所在的直線互相異面的有　　　對.
7.如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有　　　　 　　.(填序號)
8.在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,若異面直線AD1與BB1的夾角為,則 AA1=　　　　.
能力提升
9.若a,b為兩條異面直線,α,β為兩個平面,a α,b β,α∩β=l,則下列結論正確的是(　　)
A.l至少與a,b中一條相交
B.l至多與a,b中一條相交
C.l至少與a,b中一條平行
D.l必與a,b中一條相交,與另一條平行
10.(多選題)一個正四棱錐的平面展開圖如圖所示,其中E,F,M,N,Q分別為P2A,P1D,P4D,P4C,P3C的中點,關于該正四棱錐,現有下列四個結論,其中正確的結論為(　)
A.直線AF與直線BQ是異面直線
B.直線BE與直線MN是異面直線
C.直線BQ與直線MN共面
D.直線BE與直線AF是異面直線
11.如圖所示,在空間四邊形 ABCD中,E,H分別為AB,AD的中點,F,G分別是BC,CD上的點,且==,若BD=6 cm,梯形EFGH的面積為
28 cm2,則平行線EH,FG間的距離為　　 　　cm.
12.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,點E為正方形ABB1A1的中心,F為棱CC1的中點,求異面直線BF與CE所成角的正切值.
13.如圖所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,
DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點,求異面直線BE與CD夾角的
余弦值.
應用創新
14.如圖,空間四邊形ABCD的對角線AC=8,BD=6,M,N分別為AB,CD的中點,并且異面直線AC與BD的夾角為90°,則MN=　　 　.

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