資源簡介

3.2　刻畫空間點、線、面位置關系的公理
第1課時　基本事實1,2,3及推論
學習目標
1.理解并掌握三個基本事實及推論,發展數學抽象的核心素養.
2.通過三個基本事實及其推論的應用,增強數學抽象與邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:最少幾個點確定一條直線 最少幾個點確定一個平面呢
提示:兩點確定一條直線.最少三個點確定一個平面.
問題2: 平行線是怎樣定義的
提示:在同一平面內不相交的兩條直線稱為平行線.
知識點1　基本事實1,2及其推論
(1)基本事實1、基本事實2.
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實1 過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面 若A,B,C三點不共線,則存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①確定一個平面的依據; ②判定點線共面
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,則l α 判定直線在平面內
(2)基本事實1、基本事實2的三個推論.
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 一條直線和該直線外一點確定一個平面 若A a,則存在唯一平面α,使A∈α,a α
推論2 兩條相交直線確定一個平面 若a∩b=P,則存在唯一平面α,使a α,b α
推論3 兩條平行直線確定一個平面 若a∥b,則存在唯一平面α,使a α,b α
[思考1] 基本事實1中的“有且只有一個”是什么意思
提示:其含義是“存在”并且“唯一”,它與“確定一個平面”的含義是等價的.
[思考2] 基本事實1中的“三點”,為什么強調是不在同一直線上的三點
提示:因為共線的三點是不能確定一個平面的.
知識點2　基本事實3
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l,其中l表示一條直線 ①判定兩個平面相交; ②判定點在直線上
[思考3] 基本事實3為什么要強調“不重合的兩個平面”
提示:因為兩個不重合的平面,只要它們有公共點,則兩個平面的交點構成的集合就是一條直線.
探究點一　點、線共面問題
[例1] 如圖所示,已知直線a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.
點、線共面問題是指證明一些點或直線在同一平面內的問題,主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論.
解決該類問題有以下兩個常用的方法.
(1)納入平面法:先由部分元素確定一個平面,再證其他元素也在該平面內.
(2)輔助平面法(平面重合法):先由有關的點、線確定平面α,再由其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.
[針對訓練] 如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求證:直線l1,l2,l3在同一平面內.
探究點二　點共線問題
[例2] 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,設線段A1C與平面ABC1D1交于點Q,求證:B,Q,D1三點共線.
點共線問題是證明三個或三個以上的點在同一條直線上,主要依據是基本事實3,解決此類問題常用的方法有:
(1)首先找出兩個平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據基本事實3知,這些點都在這兩個平面的交線上.
(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其他點也在這條直線上.
[針對訓練] 如圖,已知在四邊形ABCD中,AB∥CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面α相交于點E,G,H,F.
求證:E,F,G,H四點共線.
探究點三　線共點問題
[例3] 求證:三棱臺A1B1C1ABC三條側棱延長后相交于一點.
證明三線共點問題的基本方法:先確定待證的三線中的兩條相交于一點,再證明第三條直線也過該點.常結合基本事實3,證出該點在不重合的兩個平面內,故該點在它們的交線(第三條直線)上,從而證明三線共點.
[針對訓練] 如圖所示,已知E,F,G,H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點.求證:EF,HG,DC三線共點.
當堂檢測
1.當我們停放自行車時,只要將自行車旁的腳撐放下,自行車就穩了,這用到了(　　)
A.三點確定一個平面
B.不共線的三點確定一個平面
C.兩條相交直線確定一個平面
D.兩條平行直線確定一個平面
2.兩個平面重合的條件是它們的公共部分中有(　　)
A.三個點 B.一個點和一條直線
C.無數個點 D.兩條相交直線
3.空間四點A,B,C,D共面而不共線,那么這四點中(　　)
A.必有三點共線 B.必有三點不共線
C.至少有三點共線 D.不可能有三點共線
4.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.三角形一定是平面圖形
B.四邊形一定是平面圖形
C.梯形一定是平面圖形
D.平面α和平面β一定有交線
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
基本事實及推論的理解 1,2,3,4,9,10
基本事實及推論的應用 5,6,7,8, 11,12,13
基礎鞏固
1.設α,β表示兩個平面,l表示直線,A,B,C表示三個不同的點,則下列命題正確的個數是(　　)
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,則l α;
②若A∈l,A∈α,則l α;
③若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線,則α與β重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.空間四個點中,三點共線是這四個點共面的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.一條直線和這條直線外不共線的三點,最多可確定(　　)
A.三個平面 B.四個平面
C.五個平面 D.六個平面
4.(多選題)以下四個命題正確的是(　)
A.圓一定是平面圖形
B.若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面
C.空間中,相交于同一點的三條直線在同一平面內
D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
5.如圖所示,在四面體中,若直線EF和GH相交,則它們的交點一定(　　)
A.在直線BD上 B.在直線AB上
C.在直線CB上 D.都不對
6.下列命題不正確的有　　 　　.(填序號)
①依次首尾相接的四條線段必共面;
②空間中有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形;
③若α∩β=l,直線a 平面α,直線b 平面β,且a∩b=P,則P∈l;
④若n條直線中任意兩條共面,則它們共面.
7.在長方體ABCDA1B1C1D1的所有棱中,既與AB共面,又與CC1共面的棱有　　　　　條.
8.若直線l與平面α相交于點O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關系是　　 　.
能力提升
9.(多選題)下列說法,不正確的有(　　)
A.如果一條直線與另兩條直線都相交,那么這三條直線必共面
B.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c一定共面
C.如果三條直線相互平行,那么這三條直線在同一個平面內
D.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個
平面
10.(1)空間任意4點,沒有任何3點共線,它們最多可以確定　　　個平面;
(2)空間5點,其中有4點共面,它們沒有任何 3點共線,這5個點最多可以確定　　　個平面.
11.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求證:AB,CD,l共點(相交于一點).
12.如圖,已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,E,F分別是BC,
PC的中點,點G在PD上,且PG=PD.證明:點A,E,F,G四點共面.
應用創新
13.如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形,AA1=
3,E,F分別是AB,BC的中點,過點D1,E,F的平面記為α,則平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1所得截面的面積為　　　　. 3.2　刻畫空間點、線、面位置關系的公理
第1課時　基本事實1,2,3及推論
學習目標
1.理解并掌握三個基本事實及推論,發展數學抽象的核心素養.
2.通過三個基本事實及其推論的應用,增強數學抽象與邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:最少幾個點確定一條直線 最少幾個點確定一個平面呢
提示:兩點確定一條直線.最少三個點確定一個平面.
問題2: 平行線是怎樣定義的
提示:在同一平面內不相交的兩條直線稱為平行線.
知識點1　基本事實1,2及其推論
(1)基本事實1、基本事實2.
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實1 過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面 若A,B,C三點不共線,則存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①確定一個平面的依據; ②判定點線共面
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內 若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,則l α 判定直線在平面內
(2)基本事實1、基本事實2的三個推論.
推論 文字語言 圖形語言 符號語言
推論1 一條直線和該直線外一點確定一個平面 若A a,則存在唯一平面α,使A∈α,a α
推論2 兩條相交直線確定一個平面 若a∩b=P,則存在唯一平面α,使a α,b α
推論3 兩條平行直線確定一個平面 若a∥b,則存在唯一平面α,使a α,b α
[思考1] 基本事實1中的“有且只有一個”是什么意思
提示:其含義是“存在”并且“唯一”,它與“確定一個平面”的含義是等價的.
[思考2] 基本事實1中的“三點”,為什么強調是不在同一直線上的三點
提示:因為共線的三點是不能確定一個平面的.
知識點2　基本事實3
基本事實 文字語言 圖形語言 符號語言 作用
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 P∈α,P∈β α∩β=l,且P∈l,其中l表示一條直線 ①判定兩個平面相交; ②判定點在直線上
[思考3] 基本事實3為什么要強調“不重合的兩個平面”
提示:因為兩個不重合的平面,只要它們有公共點,則兩個平面的交點構成的集合就是一條直線.
探究點一　點、線共面問題
[例1] 如圖所示,已知直線a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求證:直線a,b,c和l共面.
證明:法一　因為a∥b,所以a,b確定一個平面α.
因為A∈a,B∈b,所以A∈α,B∈α.又A∈l,B∈l,
則a,b,l都在平面α內,即b在a,l確定的平面內.
同理可證c在a,l確定的平面內.
因為過a與l只能確定一個平面,
所以直線a,b,c,l共面于a,l確定的平面.
法二　因為a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C,a∥b,
所以過a,b可以確定一個平面α.
因為A∈a,B∈b,a α,b α,
所以A∈α,B∈α,所以AB α,即l α.
又因為b∥c,所以過b,c可以確定一個平面β,同理可證l β.
因為α,β都過相交直線b,l,所以α與β重合.故直線a,b,c和l共面.
點、線共面問題是指證明一些點或直線在同一平面內的問題,主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論.
解決該類問題有以下兩個常用的方法.
(1)納入平面法:先由部分元素確定一個平面,再證其他元素也在該平面內.
(2)輔助平面法(平面重合法):先由有關的點、線確定平面α,再由其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.
[針對訓練] 如圖所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求證:直線l1,l2,l3在同一平面內.
證明:法一(納入平面法)
因為l1∩l2=A,所以l1和l2確定一個平面α.
因為l2∩l3=B,所以B∈l2.
又因為l2 α,所以B∈α.同理可證C∈α.
因為B∈l3,C∈l3,所以l3 α.
所以直線l1,l2,l3在同一平面內.
法二(輔助平面法)
因為l1∩l2=A,所以l1和l2確定一個平面α.
因為l2∩l3=B,所以l2和l3確定一個平面β.
因為A∈l2,l2 α,所以A∈α.
因為A∈l2,l2 β,所以A∈β.
同理可證B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共線的三個點A,B,C既在平面α內,又在平面β內,
所以平面α和β重合,即直線l1,l2,l3在同一平面內.
探究點二　點共線問題
[例2] 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,設線段A1C與平面ABC1D1交于點Q,求證:B,Q,D1三點共線.
證明:如圖所示,
連接A1B,CD1,
顯然B∈平面A1BCD1,
D1∈平面A1BCD1,
所以BD1 平面A1BCD1.
同理,BD1 平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1.
因為A1C∩平面ABC1D1=Q,
所以Q∈平面ABC1D1.
又因為A1C 平面A1BCD1,
所以Q∈平面A1BCD1.所以Q在平面A1BCD1與平面ABC1D1的交線上,
即Q∈BD1,
所以B,Q,D1三點共線.
點共線問題是證明三個或三個以上的點在同一條直線上,主要依據是基本事實3,解決此類問題常用的方法有:
(1)首先找出兩個平面,然后證明這些點都是這兩個平面的公共點,根據基本事實3知,這些點都在這兩個平面的交線上.
(2)選擇其中兩點確定一條直線,然后證明其他點也在這條直線上.
[針對訓練] 如圖,已知在四邊形ABCD中,AB∥CD,直線AB,BC,AD,DC分別與平面α相交于點E,G,H,F.
求證:E,F,G,H四點共線.
證明:因為AB∥CD,所以AB,CD確定一個平面β.
因為AB∩α=E,所以E∈AB,E∈α.
又AB β,所以E∈β,
所以E在α與β的交線l上.
同理可證F,G,H也在α與β的交線l上.
所以E,F,G,H四點共線.
探究點三　線共點問題
[例3] 求證:三棱臺A1B1C1ABC三條側棱延長后相交于一點.
證明:如圖,延長AA1,BB1,
設AA1∩BB1=P,又BB1 平面BCC1B1,所以P∈平面BCC1B1,
AA1 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,
所以P為平面BCC1B1和平面ACC1A1的公共點.
又因為平面BCC1B1∩平面ACC1A1=CC1,
所以P∈CC1,即AA1,BB1,CC1延長后交于一點P.
證明三線共點問題的基本方法:先確定待證的三線中的兩條相交于一點,再證明第三條直線也過該點.常結合基本事實3,證出該點在不重合的兩個平面內,故該點在它們的交線(第三條直線)上,從而證明三線共點.
[針對訓練] 如圖所示,已知E,F,G,H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中點.求證:EF,HG,DC三線共點.
證明:如圖所示,連接C1B,GF,HE,由題意知HC1∥EB,且HC1=EB,所以四邊形HC1BE是平行四邊形,所以HE∥C1B.
又C1G=GC,CF=BF,
所以GF∥C1B,且GF=C1B.
所以GF∥HE,且GF≠HE,所以HG與EF相交,設交點為K,
所以K∈HG.因為HG 平面D1C1CD,
所以K∈平面D1C1CD.
因為K∈EF,EF 平面ABCD,
所以K∈平面ABCD.
因為平面D1C1CD∩平面ABCD=DC,
所以K∈DC,所以EF,HG,DC三線共點.
當堂檢測
1.當我們停放自行車時,只要將自行車旁的腳撐放下,自行車就穩了,這用到了(　B　)
A.三點確定一個平面
B.不共線的三點確定一個平面
C.兩條相交直線確定一個平面
D.兩條平行直線確定一個平面
解析:自行車前后輪與腳撐分別接觸地面,此時三個接觸點不在同一條直線上,所以可以確定一個平面,即地面,從而使得自行車穩定.故選B.
2.兩個平面重合的條件是它們的公共部分中有(　D　)
A.三個點 B.一個點和一條直線
C.無數個點 D.兩條相交直線
解析:若三個點共線,則兩個平面可能相交于三點共線的直線,故A錯誤;若點在直線上,則兩個平面可能相交于這條直線,故B錯誤;若無數個點共線,則兩個平面可能相交于無數個點共線的直線,故C錯誤;兩個平面重合的條件是它們的公共部分中有兩條相交直線,故D正確.故選D.
3.空間四點A,B,C,D共面而不共線,那么這四點中(　B　)
A.必有三點共線 B.必有三點不共線
C.至少有三點共線 D.不可能有三點共線
解析:如圖(1)(2)所示,A,C,D均不正確,只有B正確.故選B.
4.(多選題)下列說法正確的是(　AC　)
A.三角形一定是平面圖形
B.四邊形一定是平面圖形
C.梯形一定是平面圖形
D.平面α和平面β一定有交線
解析:由基本事實1可知A正確;四邊形可以是空間四邊形,故B錯誤;梯形一定是平面圖形,故C正確;當α∥β時,兩平面無交線,故D錯誤.故選AC.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
基本事實及推論的理解 1,2,3,4,9,10
基本事實及推論的應用 5,6,7,8, 11,12,13
基礎鞏固
1.設α,β表示兩個平面,l表示直線,A,B,C表示三個不同的點,則下列命題正確的個數是(　C　)
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,則l α;
②若A∈l,A∈α,則l α;
③若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線,則α與β重合.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,則l α,由基本事實2,
可得①正確;
若l與α相交于點A,可得②不正確;若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共線,則α與β重合,由不共線的三點確定一個平面,可得③正確.故選C.
2.空間四個點中,三點共線是這四個點共面的(　A　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:空間四個點中,有三個點共線,根據“一條直線與直線外一點可以確定一個平面”得到這四個點共面,即充分性成立;反之,當四個點共面時,不一定有三點共線,即必要性不成立,所以空間四個點中,三點共線是這四個點共面的充分不必要條件.故選A.
3.一條直線和這條直線外不共線的三點,最多可確定(　B　)
A.三個平面 B.四個平面
C.五個平面 D.六個平面
解析:直線之外不共線的三點記為A,B,C.當直線在A,B,C所確定的平面內時,它們只能確定一個平面;當A,B,C三點中有兩點與直線共面時,能確定三個平面;當A,B,C三點中沒有兩點與直線共面時,一條直線與直線外的每一個點確定一個平面,A,B,C三點確定一個平面,最多可確定四個平面.故選B.
4.(多選題)以下四個命題正確的是(　AD　)
A.圓一定是平面圖形
B.若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面
C.空間中,相交于同一點的三條直線在同一平面內
D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面
解析:由于圓上存在不共線的三點,因此圓一定是平面圖形,A正確;從條件看出兩個平面有三個公共點A,B,C,但是若A,B,C共線,不能得出D,E共面,因此B不正確;三棱錐三條側棱所在直線相交于一點,但這三條直線不共面,因此C錯誤;兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面,D正確.故選AD.
5.如圖所示,在四面體中,若直線EF和GH相交,則它們的交點一定(　A　)
A.在直線BD上 B.在直線AB上
C.在直線CB上 D.都不對
解析:直線EF和GH相交,設交點為M,
因為EF 平面ABD,HG 平面CBD,
所以M∈平面ABD,且M∈平面CBD.
因為平面ABD∩平面CBD=BD,
所以M∈BD,
所以EF與HG的交點在直線BD上.故選A.
6.下列命題不正確的有　　 　　.(填序號)
①依次首尾相接的四條線段必共面;
②空間中有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形;
③若α∩β=l,直線a 平面α,直線b 平面β,且a∩b=P,則P∈l;
④若n條直線中任意兩條共面,則它們共面.
解析:對于①,依次首尾相接的四條線段可能不共面,比如空間四邊形,故①錯誤;
對于②,空間中四個點不一定共面,有三個角為直角的四邊形可能是空間圖形,如圖所示,空間四邊形ABCD1,故②錯誤;對于③,因為直線a 平面α,直線b 平面β,且a∩b=P,所以P∈平面α,且P∈平面β,又α∩β=l,所以P∈l,故③正確;對于④,舉反例如正方體的側棱任意兩條都共面,但這4條側棱卻不共面,故④錯誤.
答案:①②④
7.在長方體ABCDA1B1C1D1的所有棱中,既與AB共面,又與CC1共面的棱有　　　　　條.
解析:由題圖可知,既與AB共面又與CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,
C1D1共5條.
答案:5
8.若直線l與平面α相交于點O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,則O,C,D三點的位置關系是　　 　.
解析:如圖,因為AC∥BD,所以AC與BD確定一個平面,記作平面β,
則α∩β=CD.
因為l∩α=O,所以O∈α.
又因為O∈AB,AB β,所以O∈β,所以O∈CD,
所以O,C,D三點共線.
答案:共線
能力提升
9.(多選題)下列說法,不正確的有(　ABC　)
A.如果一條直線與另兩條直線都相交,那么這三條直線必共面
B.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c一定共面
C.如果三條直線相互平行,那么這三條直線在同一個平面內
D.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個
平面
解析:對于A,當三條直線交于同一點時,三條直線可能不共面,故A錯誤;對于B,若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c可能不共面,比如a,b相交,且a∥c,此時b,c可能不共面,故B錯誤;對于C,當三條直線相互平行時,三條直線可能不共面,如棱柱的側棱,故C錯誤;對于D,一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線確定一個平面,故D正確.故選ABC.
10.(1)空間任意4點,沒有任何3點共線,它們最多可以確定　　　個平面;
(2)空間5點,其中有4點共面,它們沒有任何 3點共線,這5個點最多可以確定　　　個平面.
解析:(1)可以想象三棱錐的4個頂點,它們總共確定4個平面.
(2)可以想象四棱錐的5個頂點,它們總共確定7個平面.
答案:(1)4　(2)7
11.如圖,已知平面α,β,且α∩β=l.在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求證:AB,CD,l共點(相交于一點).
證明: 因為在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰.
所以AB,CD必定相交于一點,
設AB∩CD=M.
又因為AB α,CD β,所以M∈α,M∈β.
又因為α∩β=l,所以M∈l,
即AB,CD,l共點(相交于一點).
12.如圖,已知在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,E,F分別是BC,
PC的中點,點G在PD上,且PG=PD.證明:點A,E,F,G四點共面.
證明:如圖,連接EF,AG,在平面ABCD內,連接AE并延長交DC的延長線于點M,則有CM=CD.
在平面PCD內,連接GF并延長交DC的延長線于點M1.
取GD的中點N,連接CN.
則由PG=PD可知PG=GN=ND.
因為點F為PC的中點,
所以在△PCN中有GF∥CN,即GM1∥CN.
所以在△GM1D中有CM1=CD.所以點M與點M1重合,
即AE與GF相交于點M.
所以A,E,F,G四點共面.
應用創新
13.如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形,AA1=
3,E,F分別是AB,BC的中點,過點D1,E,F的平面記為α,則平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1所得截面的面積為　　　　.
解析:如圖,設直線EF分別交DA,DC的延長線于點P,Q,連接D1P,交AA1于點M,連接D1Q,交CC1于點N,連接ME,FN,所以平面α截直四棱柱ABCDA1B1C1D1的截面為五邊形D1MEFN.由平行線分線段成比例可知AP=BF=1,故DP=DD1=3,故△DD1P為等腰直角三角形,所以AM=AP=1,故A1M=2,則D1M=D1N=2,ME=EF=FN=.連接MN,易知MN=2,所以五邊形D1MEFN可以分成等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN兩部分,
等腰梯形MEFN的高h==,則等腰梯形MEFN的面積為×=.又=×(2)2=2,所以五邊形D1MEFN的面積為2+=.
答案:

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