資源簡介

§4　平行關系
4.1　直線與平面平行
學習目標
1.理解直線與平面平行的判定定理和性質定理,發展直觀想象的核心素養.
2.能夠利用直線與平面平行的判定定理和性質定理解決空間中的平行關系問題,增強邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　直線與平面平行的性質定理
文字語言:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
圖形語言:
符號語言:a∥α,a β,α∩β=b a∥b.
[思考1] 若一條直線與一個平面平行,則直線與平面內的直線是什么關系
提示:平行或異面.
知識點2　直線與平面平行的判定定理
文字語言:如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.
圖形語言:
符號語言:a α,b α,a∥b a∥α.
[思考2] 直線與平面平行的判定定理中的“平面外一條直線”中的“平面外”能去掉嗎
提示:不能.因為與平面內的一條直線平行的直線既可以與平面平行,也可以在平面內.
(1)應用線面平行的判定定理的注意點:在推證線面平行時,一定要強調直線a不在平面內,直線b在平面內,且a∥b,否則會出現錯誤.
(2)應用線面平行的性質定理的注意點:一條直線平行于一個平面,它可以與平面內的無數條直線平行,但這條直線與平面內的任意一條直線可能平行,也可能異面.
(3)線面平行的判定定理和性質定理使用的區別:如果結論中有a∥α,要用判定定理,則在平面α內找(或作)與a平行的直線;如果條件中有a∥α,要用性質定理,則找(或作)過直線a且與平面α相交的平面.
探究點一　直線與平面平行的性質
[例1] 如圖所示,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體,求證:截面MNPQ是平行四邊形.
(1)利用線面平行的性質定理解題的步驟.
(2)運用線面平行的性質定理時,應先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行.
[針對訓練] 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,求線段EF的長度.
探究點二　直線與平面平行的判定
[例2] 如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D為AC的中點,求證:AB1∥平面BC1D.
證明直線與平面平行主要是利用直線與平面平行的判定定理,即結合已知條件證明直線與平面內的一條直線平行.一般地,在題目中出現中點時,常見的證明線線平行的兩種途徑為:
(1)中位線→線線平行;
(2)平行四邊形→線線平行.
[針對訓練] 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是平面ABCD外一點,M,N分別是AB,PC的中點.求證:MN∥平面PAD.
探究點三　直線與平面平行的綜合應用
[例3] 如圖所示的一塊正四棱錐PABCD木料,側棱長和底面邊長均為13,M為側棱PA上的點.
(1)若PM∶MA=1∶1,要經過點M和棱BC將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線 (請寫出必要作圖說明)
(2)若PM∶MA=5∶8,在線段BD上是否存在一點N,使直線MN∥平面PBC 如果不存在,請說明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及線段MN的長.
直線與平面平行的判定定理與性質定理的應用方法
直線與平面平行的判定定理與性質定理常常交替使用,即先通過線線平行推出線面平行,再通過線面平行推出線線平行,復雜的題目還可以繼續推下去,我們可稱它為平行鏈,即
線線平行線面平行線線平行
[針對訓練] 如圖,在幾何體ABCDFE中,四邊形ABCD為直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)求證:AF∥平面BDG.
(2)求證:AB∥EF.
學海拾貝
直線與平面平行中的線段計算問題
[典例探究] 已知BC∥平面α,D在線段BC上,A α,直線AB,AC,AD分別交平面α于點E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長.
求解直線與平面平行相關的線段長度問題,主要是利用直線與平面平行的性質,轉化為直線與直線的平行關系,結合平行線等分線段成比例求解,求解時要注意分類討論思想的應用.
[應用探究] 如圖所示,直線a∥平面α,A α,并且a和A位于平面α兩側,點B∈a,C∈a,AB,AC分別交平面α于點E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,則EF=　　　　.
當堂檢測
1.已知a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,若a∥α,a β,α∩β=b,則a與b的位置關系是(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
2.已知直線l,m和平面α.若m α,l α,則“l∥m”是“l∥α”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,Q為AD的中點,點M在線段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,則實數t的值為(　　)
A. B. C. D.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
直線與平面平行的判定 定理及性質定理 1,2,3,4,6, 7,8,9,10
直線與平面平行的綜合應用 5,11,12,13
基礎鞏固
1.若直線l與平面α內的一條直線平行,則l和α的位置關系是(　　)
A.l α B.l∥α
C.l α或l∥α D.l和α相交
2.如圖,已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面
α=c,若a∥b,則c與a,b的位置關系是(　　)
A.c與a,b都異面
B.c與a,b都相交
C.c至少與a,b中的一條相交
D.c與a,b都平行
3.下列選項中,一定能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A.直線m在平面α外
B.直線m與平面α內的兩條直線平行
C.平面α外的直線m與平面內的一條直線平行
D.直線m與平面α內所有直線平行
4.(多選題)如圖所示,P為矩形ABCD所在平面外一點,矩形對角線的交點為O,M為PB的中點,給出以下結論,其中正確的是(　　)
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
5.(多選題)如圖,在四面體 ABCD中,截面PQMN是正方形,則(　　)
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分別是線段DC,AD的中點
6.如圖,在五面體FEABCD中,四邊形CDEF為矩形,M,N分別是BF,BC的中點,則MN與平面ADE的位置關系是　　　　.
7.如圖,已知A,B,C,D四點不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,則四邊形EFHG的形狀是　 .
8.如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E是PA上一點,當點E滿足條件　　　　　　　　　　時,PC∥平面EBD.
能力提升
9.(多選題)如圖,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則下列各圖中,滿足直線MN∥平面ABC的有(　　)
　
A B
　
C D
10.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的動點,D是AA1上的動點,且=m,AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中點,則m的值為　　　　　　.
(2)若E是BC上靠近點B的三等分點,則m的值為　　　　　　.
11.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,設M,N分別是線段DA1,B1D1上的動點(不與端點重合),若MN∥平面CC1D1D,則線段MN長的最小值為　　　　.
12.如圖,P為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AC,BD為圓錐底面的兩條直徑,M為母線PD上一點,連接MA,MO,MC.
(1)若M為PD的中點,證明:PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,證明:M為PD的中點.
應用創新
13.如圖,在三棱錐PABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點.若點F在線段AC上,且滿足AD∥平面PEF,則的值為(　　)
A.1 B.2
C. D.§4　平行關系
4.1　直線與平面平行
學習目標
1.理解直線與平面平行的判定定理和性質定理,發展直觀想象的核心素養.
2.能夠利用直線與平面平行的判定定理和性質定理解決空間中的平行關系問題,增強邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　直線與平面平行的性質定理
文字語言:一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行.
圖形語言:
符號語言:a∥α,a β,α∩β=b a∥b.
[思考1] 若一條直線與一個平面平行,則直線與平面內的直線是什么關系
提示:平行或異面.
知識點2　直線與平面平行的判定定理
文字語言:如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,那么該直線與此平面平行.
圖形語言:
符號語言:a α,b α,a∥b a∥α.
[思考2] 直線與平面平行的判定定理中的“平面外一條直線”中的“平面外”能去掉嗎
提示:不能.因為與平面內的一條直線平行的直線既可以與平面平行,也可以在平面內.
(1)應用線面平行的判定定理的注意點:在推證線面平行時,一定要強調直線a不在平面內,直線b在平面內,且a∥b,否則會出現錯誤.
(2)應用線面平行的性質定理的注意點:一條直線平行于一個平面,它可以與平面內的無數條直線平行,但這條直線與平面內的任意一條直線可能平行,也可能異面.
(3)線面平行的判定定理和性質定理使用的區別:如果結論中有a∥α,要用判定定理,則在平面α內找(或作)與a平行的直線;如果條件中有a∥α,要用性質定理,則找(或作)過直線a且與平面α相交的平面.
探究點一　直線與平面平行的性質
[例1] 如圖所示,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體,求證:截面MNPQ是平行四邊形.
證明:因為AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,
且AB 平面ABC,
所以由線面平行的性質定理,
知AB∥MN.
同理AB∥PQ,
所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
(1)利用線面平行的性質定理解題的步驟.
(2)運用線面平行的性質定理時,應先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行.
[針對訓練] 如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,求線段EF的長度.
解:因為EF∥平面AB1C,又平面ADC∩平面AB1C=AC,EF 平面ADC,
所以EF∥AC,
因為E是AD的中點,
所以EF=AC=×2=.
探究點二　直線與平面平行的判定
[例2] 如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D為AC的中點,求證:AB1∥平面BC1D.
證明:如圖,連接B1C交BC1于點O,連接OD.
因為四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以O為B1C的中點.
因為D為AC的中點,所以OD為△AB1C的中位線,所以OD∥AB1.
因為OD 平面BC1D,AB1 平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.
證明直線與平面平行主要是利用直線與平面平行的判定定理,即結合已知條件證明直線與平面內的一條直線平行.一般地,在題目中出現中點時,常見的證明線線平行的兩種途徑為:
(1)中位線→線線平行;
(2)平行四邊形→線線平行.
[針對訓練] 如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,P是平面ABCD外一點,M,N分別是AB,PC的中點.求證:MN∥平面PAD.
證明:如圖,取PD的中點G,連接GA,GN.
因為G,N分別是△PDC的邊PD,PC的中點,
所以GN∥DC,GN=DC.
因為M為平行四邊形ABCD的邊AB的中點,
所以AM=DC,AM∥DC,
所以AM∥GN,AM=GN,
所以四邊形AMNG為平行四邊形,
所以MN∥AG.
又因為MN 平面PAD,AG 平面PAD,
所以MN∥平面PAD.
探究點三　直線與平面平行的綜合應用
[例3] 如圖所示的一塊正四棱錐PABCD木料,側棱長和底面邊長均為13,M為側棱PA上的點.
(1)若PM∶MA=1∶1,要經過點M和棱BC將木料鋸開,在木料表面應該怎樣畫線 (請寫出必要作圖說明)
(2)若PM∶MA=5∶8,在線段BD上是否存在一點N,使直線MN∥平面PBC 如果不存在,請說明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及線段MN的長.
解:(1)因為PM∶MA=1∶1,所以M為PA的中點.
作MG∥AD,交PD于G,則G為PD的中點,連接MB,GC,
由題意知四邊形ABCD為平行四邊形,則BC∥AD,
故GM∥BC,即B,M,G,C共面,
故要經過點M和棱BC將木料鋸開,在木料表面沿線段BM,MG,GC畫線即可.
(2)存在,BN∶ND=5∶8.說明如下:
如圖,假設在線段BD上存在一點N,使直線MN∥平面PBC,連接AN并延長交BC于E,連接PE,
因為MN∥平面PBC,MN 平面PAE,
平面PAE∩平面PBC=PE,
故MN∥PE,
則==.
由題意知四邊形ABCD為正方形,故BC∥AD,
則==,即假設成立,
故在線段BD上存在一點N,使直線MN∥平面PBC,此時=.
由于BC∥AD,AD=13,故==,
故BE=.
在△PBE中,∠PBE=60°,
則PE2=PB2+BE2-2PB·BEcos 60°=132+()2-2×13××=,
即PE=,而MN∥PE,PM∶MA=5∶8,
故==,則MN=×=7.
直線與平面平行的判定定理與性質定理的應用方法
直線與平面平行的判定定理與性質定理常常交替使用,即先通過線線平行推出線面平行,再通過線面平行推出線線平行,復雜的題目還可以繼續推下去,我們可稱它為平行鏈,即
線線平行線面平行線線平行
[針對訓練] 如圖,在幾何體ABCDFE中,四邊形ABCD為直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF.
(1)求證:AF∥平面BDG.
(2)求證:AB∥EF.
證明:(1)如圖,連接AC交BD于O,連接OG.
因為四邊形ABCD為直角梯形,DC=2AB,所以==,
又因為GC=2FG,==,所以AF∥OG,
因為OG 平面BDG,AF 平面BDG,
所以AF∥平面BDG.
(2)因為四邊形ABCD為直角梯形,
所以AB∥CD.
因為CD 平面CDEF,AB 平面CDEF,
所以AB∥平面CDEF.
因為AB 平面ABFE,
平面CDEF∩平面ABFE=EF.
所以AB∥EF.
學海拾貝
直線與平面平行中的線段計算問題
[典例探究] 已知BC∥平面α,D在線段BC上,A α,直線AB,AC,AD分別交平面α于點E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的長.
解:(1)當BC位于點A與平面α之間時,
如圖(a),AB∩AC=A,
由AB,AC確定平面β,
所以BC β,
α∩β=EG.
因為BC∥平面α,
所以BC∥EG.
在△AFG中,=,
在△AEG中,=,
所以=,即=,
所以EG=.
(2)當點A位于BC與平面α之間時,如圖(b),
因為BC∥平面α,
同理有BC∥EG,
=,
即=,
所以EG=.
(3)當點A和BC位于平面α兩側時,如圖(c).
同理有BC∥EG,
=,
即=,
所以EG=.
綜上,EG的長為或或.
求解直線與平面平行相關的線段長度問題,主要是利用直線與平面平行的性質,轉化為直線與直線的平行關系,結合平行線等分線段成比例求解,求解時要注意分類討論思想的應用.
[應用探究] 如圖所示,直線a∥平面α,A α,并且a和A位于平面α兩側,點B∈a,C∈a,AB,AC分別交平面α于點E,F.若BC=4,CF=5,AF=3,則EF=　　　　.
解析:由于點A不在直線a上,則直線a和點A確定一個平面β,所以α∩β=EF.
因為a∥平面α,a 平面β,
所以EF∥a,
所以=.
所以EF===.
答案:
當堂檢測
1.已知a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,若a∥α,a β,α∩β=b,則a與b的位置關系是(　A　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
解析:因為a∥α,a β,α∩β=b,所以a∥b.故選A.
2.已知直線l,m和平面α.若m α,l α,則“l∥m”是“l∥α”的(　A　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:①若l∥m,因為l α,直線m α,所以l∥α成立,所以充分性成立;
②若直線l∥α,因為m α,則l∥m或者l,m是異面直線,所以必要性不成立.
所以“l∥m”是“l∥α”的充分不必要條件.故選A.
3.在四棱錐PABCD中,底面ABCD為菱形,Q為AD的中點,點M在線段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,則實數t的值為(　C　)
A. B. C. D.
解析:如圖,連接AC交BQ于點N,連接MN,易證PA∥MN,得===,
所以PM=MC,PM=PC.故選C.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
直線與平面平行的判定 定理及性質定理 1,2,3,4,6, 7,8,9,10
直線與平面平行的綜合應用 5,11,12,13
基礎鞏固
1.若直線l與平面α內的一條直線平行,則l和α的位置關系是(　C　)
A.l α B.l∥α
C.l α或l∥α D.l和α相交
解析:由題意,直線l與平面α內的一條直線平行,
若l α,由線面平行的判定定理,得l∥α.
也有可能l α.故選C.
2.如圖,已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面
α=c,若a∥b,則c與a,b的位置關系是(　D　)
A.c與a,b都異面
B.c與a,b都相交
C.c至少與a,b中的一條相交
D.c與a,b都平行
解析:因為a∥b,a 平面γ,b 平面γ,
所以a∥平面γ.因為a 平面α,
平面γ∩平面α=c,
所以a∥c,所以b∥c.所以a∥b∥c.故選D.
3.下列選項中,一定能得出直線m與平面α平行的是(　C　)
A.直線m在平面α外
B.直線m與平面α內的兩條直線平行
C.平面α外的直線m與平面內的一條直線平行
D.直線m與平面α內所有直線平行
解析:選項A不符合題意,因為直線m在平面α外也包括直線與平面相交;選項B不符合題意,因為缺少條件m α;選項C中,由直線與平面平行的判定定理,知直線m與平面α平行;選項D本身說法錯誤,直線m不可能與平面α內任意一條直線都平行.故選C.
4.(多選題)如圖所示,P為矩形ABCD所在平面外一點,矩形對角線的交點為O,M為PB的中點,給出以下結論,其中正確的是(　ABC　)
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
解析:由題意知,OM是△BPD的中位線,所以 OM∥PD,故A正確;PD 平面PCD,OM 平面PCD,所以OM∥平面PCD,故B正確;同理,可得OM∥平面PDA,故C正確;OM與平面PBA相交于點M,故D不正確.故選ABC.
5.(多選題)如圖,在四面體 ABCD中,截面PQMN是正方形,則(　AB　)
A.AC⊥BD
B.AC∥平面PQMN
C.AC=BD
D.M,N分別是線段DC,AD的中點
解析:因為四邊形PQMN為正方形,所以PQ∥MN.又PQ 平面ADC,MN 平面ADC,所以PQ∥平面ADC.又PQ 平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,所以PQ∥AC,同理QM∥BD.因為PQ⊥QM,所以AC⊥BD,故A正確.由PQ∥AC,PQ 平面PQMN,AC 平面PQMN,可得AC∥平面PQMN,故B正確.根據條件只能判斷線、面間的位置關系,不能判斷長度關系.故選AB.
6.如圖,在五面體FEABCD中,四邊形CDEF為矩形,M,N分別是BF,BC的中點,則MN與平面ADE的位置關系是　　　　.
解析:因為M,N分別是BF,BC的中點,
所以 MN∥CF.
又四邊形CDEF為矩形,所以CF∥DE,
所以 MN∥DE.
又MN 平面ADE,DE 平面ADE,
所以MN∥平面ADE.
答案:平行
7.如圖,已知A,B,C,D四點不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G,則四邊形EFHG的形狀是　 .
解析:因為AB∥α,平面ABC∩平面α=EG,AB 平面ABC,
所以EG∥AB.
同理FH∥AB,EF∥CD,GH∥CD,
所以EG∥FH,EF∥GH,
所以四邊形EFHG是平行四邊形.
答案:平行四邊形
8.如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E是PA上一點,當點E滿足條件　　　　　　　　　　時,PC∥平面EBD.
解析:如圖,設過BD的平面與直線PA的交點為點M,連接AC,設AC∩BD=O,連接OM,則O為AC的中點.若PC∥平面BMD,又PC 平面PAC,平面PAC∩平面BMD=OM,故PC∥OM,故M為PA的中點,故點M即為點E,E為PA的中點(或EA=EP).
答案:E為PA的中點(或EA=EP)
能力提升
9.(多選題)如圖,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則下列各圖中,滿足直線MN∥平面ABC的有(　ABC　)
　
A B
　
C D
解析:對于A,如圖(1)所示,連接EF,易得AC∥EF,MN∥EF,則MN∥AC.又MN 平面ABC,AC 平面ABC,
則MN∥平面ABC,故A滿足.
對于B,如圖(2)所示,E為所在棱的中點,連接EA,EC,EB,易得AE=BC,AE∥BC,
則四邊形ABCE為平行四邊形,A,B,C,E四點共面,易知MN∥BE.
又MN 平面ABC,BE 平面ABC,則MN∥平面ABC,故B滿足.
對于C,如圖(3)所示,點D為所在棱的中點,連接DA,DC,DB,
易得四邊形ABCD為平行四邊形,A,B,C,D四點共面,且MN∥BD.
又MN 平面ABC,BD 平面ABC,則MN∥平面ABC,故C滿足.
對于D,如圖(4)所示,連接AM,BN,由條件及正方體的性質可知四邊形AMNB是等腰梯形,所以AB與MN所在的直線相交,故不能推出MN與平面ABC平行,故D不滿足.故選ABC.
10.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC上的動點,D是AA1上的動點,且=m,AE∥平面DB1C.
(1)若E是BC的中點,則m的值為　　　　　　.
(2)若E是BC上靠近點B的三等分點,則m的值為　　　　　　.
解析:(1)如圖,過點E作EG∥BB1交B1C于點G,連接DG.
因為AE∥平面DB1C,AE 平面ADGE,平面ADGE∩平面DB1C=DG,
所以AE∥DG.
又AD∥BB1,EG∥BB1,
所以AD∥EG,
則四邊形DAEG是平行四邊形.
故DA=GE.
因為E是BC的中點,所以G是CB1的中點.
故AD=DA1,即=1,即m=1.
(2)由(1)知,當E為BC上靠近點B的三等分點時,
因為EG∥BB1,
所以==.
因為四邊形DAEG是平行四邊形,
所以===,
故=2,即m=2.
答案:(1)1　(2)2
11.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,設M,N分別是線段DA1,B1D1上的動點(不與端點重合),若MN∥平面CC1D1D,則線段MN長的最小值為　　　　.
解析:如圖,過點M,N分別作MG∥A1D1交DD1于點G,NP∥A1D1交C1D1于點P,
連接PG,若MN∥平面CC1D1D,則四邊形MGPN為平行四邊形,故NP=MG.
設D1G=m∈(0,1),則PC1=m,故PD1=1-m,
由勾股定理得MN=PG==,
其中m2+(1-m)2=2m2-2m+1=2(m-)2+≥,
當且僅當m=時,等號成立,故MN≥.
答案:
12.如圖,P為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AC,BD為圓錐底面的兩條直徑,M為母線PD上一點,連接MA,MO,MC.
(1)若M為PD的中點,證明:PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,證明:M為PD的中點.
證明:(1)因為M為PD的中點,O為BD的中點,所以MO∥PB.
又MO 平面MAC,PB 平面MAC,
所以PB∥平面MAC.
(2)若PB∥平面MAC,由PB 平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,
可得PB∥MO.
又O為BD的中點,
所以DM=MP,
則M為PD的中點.
應用創新
13.如圖,在三棱錐PABC中,點D,E分別為棱PB,BC的中點.若點F在線段AC上,且滿足AD∥平面PEF,則的值為(　C　)
A.1 B.2
C. D.
解析:連接CD交PE于點G,連接FG,如圖所示.
因為AD∥平面PEF,AD 平面ADC,平面ADC∩平面PEF=FG,
所以AD∥FG.
因為點D,E分別為棱PB,BC的中點,
所以點G是△PBC的重心,
所以==.
故選C.

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