資源簡介

4.2　平面與平面平行
學習目標
1.理解平面與平面平行的性質定理和判定定理,培養直觀想象與數學抽象的核心素養.
2.通過平面與平面平行的性質定理和判定定理的應用,提升邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:平面與平面平行時,一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系
提示:平行.
知識點1　平面與平面平行的性質定理
(1)文字語言:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.
(2)符號語言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b.
(3)圖形語言:如圖所示.
(4)實質:面面平行,得線線平行.
[思考1] 如果兩個平面平行,那么這兩個平面內的所有直線都相互平行嗎
提示:不一定,它們可能異面.
[思考2] 通過基本事實4可知,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,該基本事實推廣到空間是“平行于同一平面的兩個平面互相平行”,這個推廣正確嗎
提示:正確.
問題2:如果兩個平面沒有公共點,則兩個平面平行嗎
提示:平行.
知識點2　平面與平面平行的判定定理
(1)文字語言:如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.
(2)符號語言:a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β.
(3)圖形語言:如圖所示.
(4)實質:線面平行,得面面平行.
[思考3] 如果平面α內的兩條直線與平面β平行,則α,β一定平行嗎
提示:不一定平行,還可以相交.
(1)平面與平面平行的判定定理的一個推論:如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行.
符號表示:a α,b α,a∩b=O,a′ β,b′ β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′ α∥β.
(2)關于面面平行常見的結論.
①兩個平面平行,其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.
②夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.
③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
④兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.
探究點一　平面與平面平行的性質
[例1] 如圖,已知平面α∥平面β,P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C,D.
(1)求證:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.
[變式探究] 在本例中,若點P在α與β之間,在第(2)問條件下求CD的長.
利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看作是平面的交線,往往需要有三個平面,即有兩平面平行,再構造第三個平面與兩平行平面都相交.
探究點二　平面與平面平行的判定
[例2] 如圖,在四棱錐PABCD中,E為PA的中點,F為BC的中點,底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O.
求證:平面EFO∥平面PCD.
證明平面與平面平行的常用方法:要證明面面平行,關鍵是要在其中一個平面中找到兩條相交直線和另一個平面平行,而要證明線面平行,還要通過線線平行來證明,注意這三種平行之間的轉化.
[針對訓練] 在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中,A1B1=a,AB=2a,E,F分別是AD,AB的中點.證明:平面EFB1D1∥平面BDC1.
探究點三　空間平行關系的綜合應用
[例3] 在邊長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M是該正方體表面上一個動點,且BM∥平面AD1C,則動點M的軌跡的長度是　　　　.
線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體,平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵,其內在聯系如圖所示.
[針對訓練] 在正四棱柱A1B1C1D1ABCD中,E,F,G,H分別是棱C1C,C1D1,
DD1,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH上及其內部運動,則M滿足條件　　　　時,有MN∥平面B1BDD1.
學海拾貝
平行中的位置探索問題
[典例探究] 已知底面是平行四邊形的四棱錐PABCD,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC 若存在,證明你的結論,并說出點F的位置;若不存在,請說明理由.
平行中位置探索問題的求解方法
(1)求解在空間幾何體的某條棱上是否存在一點使得線、面平行,并給出證明或說明理由的問題,解題時應先假設存在點滿足題意,再證明;在找點時通常利用三角形中位線或者構造平行四邊形.注意利用所給幾何體中隱含的線線位置關系,當題目中有中點時,一般先探索中點,再用中位線定理找平行關系.
(2)探索面面平行問題時,利用面面平行的判定定理,找兩條相交的直線分別證明它們平行于另一個平面.
[應用探究] 如圖所示,在四棱錐CABED中,四邊形ABED是正方形,G,F分別是線段EC,BD的中點.
(1)求證:GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,請找出點H并證明;若不存在,請說明理由.
當堂檢測
1.已知平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關系是(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
2.若一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,則這兩個平面的位置關系是(　　)
A.一定平行 B.一定相交
C.平行或相交 D.以上都不對
3.六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形,則此六棱柱的面中互相平行的有(　　)
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
4.已知直線a∥平面α,平面α∥平面β,則直線a與平面β的位置關系為　　　　　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
兩平面平行的性質與判定 1,2,3,4,5,9,12
兩平面平行的應用 6,7,8,10,11,13,14
基礎鞏固
1.設m,n是空間中兩條不同的直線,α,β是空間中兩個不同的平面,那么下列說法正確的為(　　)
A.若α∥β,m α,則m∥β
B.若α∥β,m α,n β,則m∥n
C.若m∥n,m α,則n∥α
D.若m∥n,m α,n β,則α∥β
2.在底面為平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,與平面BB1C1C平行的平面是(　　)
A.平面AA1D1D B.平面AA1B1B
C.平面DD1C1C D.平面ABCD
3.平面α與平面β平行的充要條件是(　)
A.α內有無數條直線與β平行
B.α,β垂直于同一個平面
C.α,β平行于同一條直線
D.α內有兩條相交直線都與β平行
4.如圖,正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為3,點E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,則AF的長為(　　)
A.1 B.1.5
C.2 D.3
5.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別是棱A1B1,B1C1,BB1的中點,則(　　)
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
6.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,則點Q滿足條件　　　　 　　　　時,有平面D1BQ∥平面PAO.
7.如圖,在長方體 ABCDA1B1C1D1 中,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M,交BC于點N,則=　　　　.
8.已知直線l與平面α,β,γ依次交于點A,B,C,直線m與平面α,β,γ依次交于點D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,則DE=　　　　.
能力提升
9.(多選題)如圖,在正方體 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是線段C1D1,A1D1,BD1,BC的中點,則下列結論正確的是(　　)
A.MN∥平面APC
B.B1Q∥平面ADD1A1
C.A,P,M三點共線
D.平面MNQ∥平面ABCD
10.如圖,四棱錐PABCD的底面是平行四邊形,PA=PB=AB=2,E,F分別是AB,CD的中點,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,則λ=　　　　,ED與AF相交于點H,則GH=　　　　.
11.正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側面BCC1B1內的動點,且A1F∥平面D1AE,若正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是2,則線段A1F的最小值為　　　　.
12.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD和B1C的中點.
求證:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
13.如圖所示的一塊四棱柱木料ABCDA1B1C1D1,底面ABCD 是梯形,且CD∥AB.
(1)要經過上底面A1B1C1D1內的一點P和側棱DD1將木料鋸開,應怎樣畫線
(2)所畫的線之間有什么位置關系
應用創新
14.如圖所示,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是A1B1的中點,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則截面的面積是　　　　. 4.2　平面與平面平行
學習目標
1.理解平面與平面平行的性質定理和判定定理,培養直觀想象與數學抽象的核心素養.
2.通過平面與平面平行的性質定理和判定定理的應用,提升邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:平面與平面平行時,一個平面內的直線與另一個平面有什么位置關系
提示:平行.
知識點1　平面與平面平行的性質定理
(1)文字語言:兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行.
(2)符號語言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b.
(3)圖形語言:如圖所示.
(4)實質:面面平行,得線線平行.
[思考1] 如果兩個平面平行,那么這兩個平面內的所有直線都相互平行嗎
提示:不一定,它們可能異面.
[思考2] 通過基本事實4可知,平行于同一條直線的兩條直線互相平行,該基本事實推廣到空間是“平行于同一平面的兩個平面互相平行”,這個推廣正確嗎
提示:正確.
問題2:如果兩個平面沒有公共點,則兩個平面平行嗎
提示:平行.
知識點2　平面與平面平行的判定定理
(1)文字語言:如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.
(2)符號語言:a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β.
(3)圖形語言:如圖所示.
(4)實質:線面平行,得面面平行.
[思考3] 如果平面α內的兩條直線與平面β平行,則α,β一定平行嗎
提示:不一定平行,還可以相交.
(1)平面與平面平行的判定定理的一個推論:如果一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線,則這兩個平面平行.
符號表示:a α,b α,a∩b=O,a′ β,b′ β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′ α∥β.
(2)關于面面平行常見的結論.
①兩個平面平行,其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.
②夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.
③經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.
④兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.
探究點一　平面與平面平行的性質
[例1] 如圖,已知平面α∥平面β,P是平面α,β外的一點(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點A,B和C,D.
(1)求證:AC∥BD.
(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.
(1)證明:因為PB∩PD=P,
所以直線PB和PD確定一個平面γ,則
α∩γ=AC,β∩γ=BD.
又α∥β,所以AC∥BD.
(2)解:由(1)得AC∥BD,所以=,
所以=,
所以CD=,所以PD=PC+CD=.
[變式探究] 在本例中,若點P在α與β之間,在第(2)問條件下求CD的長.
解:如圖,因為PB∩PD=P,
所以PB,PD確定平面γ,γ∩α=AC,
γ∩β=BD.
又α∥β,所以AC∥BD,
所以△PAC∽△PBD,所以=,
即=,所以=,
所以PD=.所以CD=PC+PD=3+=.
利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看作是平面的交線,往往需要有三個平面,即有兩平面平行,再構造第三個平面與兩平行平面都相交.
探究點二　平面與平面平行的判定
[例2] 如圖,在四棱錐PABCD中,E為PA的中點,F為BC的中點,底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O.
求證:平面EFO∥平面PCD.
證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形,AC∩BD=O,
所以O為BD的中點.
又因為F為BC的中點,所以OF∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,
所以OF∥平面PCD.
因為O,E分別是AC,PA的中點,
所以OE∥PC,
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以OE∥平面PCD.
又OE∩OF=O,
且OE 平面EFO,OF 平面EFO,
所以平面EFO∥平面PCD.
證明平面與平面平行的常用方法:要證明面面平行,關鍵是要在其中一個平面中找到兩條相交直線和另一個平面平行,而要證明線面平行,還要通過線線平行來證明,注意這三種平行之間的轉化.
[針對訓練] 在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中,A1B1=a,AB=2a,E,F分別是AD,AB的中點.證明:平面EFB1D1∥平面BDC1.
證明:如圖,連接A1C1,AC,分別交B1D1,EF,BD于點M,N,P,連接MN,C1P.
由題意,BD∥B1D1.
因為BD 平面EFB1D1,
B1D1 平面EFB1D1,
所以BD∥平面EFB1D1.
又因為A1B1=a,AB=2a,
所以MC1=A1C1=a.
又因為E,F分別是AD,AB的中點,
所以NP=AC=a.
所以MC1=NP.
又因為AC∥A1C1,所以MC1∥NP.
所以四邊形MC1PN為平行四邊形,
所以PC1∥MN.
因為PC1 平面EFB1D1,MN 平面EFB1D1,
所以PC1∥平面EFB1D1.
因為PC1∩BD=P,PC1,BD 平面BDC1,
所以平面EFB1D1∥平面BDC1.
探究點三　空間平行關系的綜合應用
[例3] 在邊長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M是該正方體表面上一個動點,且BM∥平面AD1C,則動點M的軌跡的長度是　　　　.
解析:因為邊長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,
動點M滿足BM∥平面AD1C,
由面面平行的性質,當BM始終在一個與平面AD1C平行的面內,
即滿足題意.
如圖,連接A1B,BC1,A1C1,因為AB∥C1D1且AB=C1D1,
所以四邊形ABC1D1為平行四邊形,
所以AD1∥BC1,同理A1B∥D1C.又AD1 平面A1BC1,BC1 平面A1BC1,所以AD1∥平面A1BC1.
因為D1C 平面A1BC1,A1B 平面A1BC1,所以D1C∥平面A1BC1.
又因為AD1∩D1C=D1,AD1,D1C 平面AD1C,所以平面A1BC1∥平面AD1C.
又B∈平面A1BC1,M是該正方體表面上一個動點,所以動點M的軌跡為△A1BC1(B點除外).
因為A1B=BC1=A1C1=,所以動點M的軌跡的長度為3.
答案:3
線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體,平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵,其內在聯系如圖所示.
[針對訓練] 在正四棱柱A1B1C1D1ABCD中,E,F,G,H分別是棱C1C,C1D1,
DD1,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH上及其內部運動,則M滿足條件　　　　時,有MN∥平面B1BDD1.
解析:如圖所示,取B1C1中點Q,連接QN,QF,FH,
由已知得QN,FH與CC1,BB1都平行且相等,因此FH與QN平行且相等,
從而FQNH是平行四邊形,則FQ∥HN.又H,N分別是CD,CB的中點,
則HN∥BD,又HN 平面B1BDD1,BD 平面B1BDD1,所以HN∥平面B1BDD1.
同理NQ∥平面B1BDD1,而HN∩NQ=N,HN,NQ 平面FQNH,
所以平面FQNH∥平面BB1D1D,
因此只要M∈FH,
就有MN∥平面B1BDD1.
答案:點M在線段FH上
學海拾貝
平行中的位置探索問題
[典例探究] 已知底面是平行四邊形的四棱錐PABCD,點E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一點F,使BF∥平面AEC 若存在,證明你的結論,并說出點F的位置;若不存在,請說明理由.
解:存在.證明如下:如圖,連接BD交AC于點O,連接OE,過點B作OE的平行線交PD于點G,過點G作GF∥CE,交PC于點F,連接BF.
因為BG∥OE,BG 平面AEC,OE 平面AEC,所以BG∥平面AEC.
　同理可證GF∥平面AEC.
又BG∩GF=G,BG 平面BGF,GF 平面BGF,
所以平面BGF∥平面AEC.又BF 平面BGF,
所以BF∥平面AEC.
因為BG∥OE,O是BD的中點,
所以E是GD的中點,
又因為PE∶ED=2∶1,所以G是PE的中點,
而GF∥CE,
所以F為PC的中點.
綜上,當點F是PC的中點時,BF∥平面AEC.
平行中位置探索問題的求解方法
(1)求解在空間幾何體的某條棱上是否存在一點使得線、面平行,并給出證明或說明理由的問題,解題時應先假設存在點滿足題意,再證明;在找點時通常利用三角形中位線或者構造平行四邊形.注意利用所給幾何體中隱含的線線位置關系,當題目中有中點時,一般先探索中點,再用中位線定理找平行關系.
(2)探索面面平行問題時,利用面面平行的判定定理,找兩條相交的直線分別證明它們平行于另一個平面.
[應用探究] 如圖所示,在四棱錐CABED中,四邊形ABED是正方形,G,F分別是線段EC,BD的中點.
(1)求證:GF∥平面ABC.
(2)線段BC上是否存在一點H,使得平面GFH∥平面ACD 若存在,請找出點H并證明;若不存在,請說明理由.
(1)證明:由四邊形ABED為正方形可知,連接AE必與BD相交于中點F,又G是線段EC的中點,所以GF∥AC.
因為GF 平面ABC,AC 平面ABC,
所以GF∥平面ABC.
(2)解:如圖,線段BC上存在一點H滿足題意,且點H是BC中點.
證明如下:
由G,H分別為CE,CB的中點,
可得GH∥EB∥DA.
因為GH 平面ACD,
DA 平面ACD,所以GH∥平面ACD.
由(1)可知,GF∥AC,又GF 平面ACD,AC 平面ACD,所以GF∥平面ACD.
因為GF 平面GFH,GH 平面GFH,
GF∩GH=G,故平面GFH∥平面ACD.
當堂檢測
1.已知平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關系是(　A　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.平行或異面
解析:因為圓臺的上、下底面互相平行,所以由平面與平面平行的性質定理可知m∥n.故選A.
2.若一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,則這兩個平面的位置關系是(　C　)
A.一定平行 B.一定相交
C.平行或相交 D.以上都不對
解析:當一個平面內的兩條直線是相交直線時,可推出兩個平面一定平行,否則兩個平面有可能相交.故選C.
3.六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形,則此六棱柱的面中互相平行的有(　D　)
A.1對 B.2對 C.3對 D.4對
解析:如圖所示,
平面ABB1A1∥平面EDD1E1,
平面BCC1B1∥平面FEE1F1,
平面AFF1A1∥平面CDD1C1,
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,
所以此六棱柱的面中互相平行的有4對.故選D.
4.已知直線a∥平面α,平面α∥平面β,則直線a與平面β的位置關系為　　　　　　　　.
解析:若a β,顯然滿足題目條件.若a β,過直線a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直線a∥平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a β,c β,所以a∥β.
答案:a β或a∥β
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
兩平面平行的性質與判定 1,2,3,4,5,9,12
兩平面平行的應用 6,7,8,10,11,13,14
基礎鞏固
1.設m,n是空間中兩條不同的直線,α,β是空間中兩個不同的平面,那么下列說法正確的為(　A　)
A.若α∥β,m α,則m∥β
B.若α∥β,m α,n β,則m∥n
C.若m∥n,m α,則n∥α
D.若m∥n,m α,n β,則α∥β
解析:對于A,若α∥β,m α,則m∥β,故A正確;
對于B,若α∥β,m α,n β,則m∥n或m與n異面,故B錯誤;對于C,若m∥n,m α,則n∥α或n α,故C錯誤;對于D,若m∥n,m α,n β,則α∥β或α與β相交,故D錯誤.故選A.
2.在底面為平行四邊形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,與平面BB1C1C平行的平面是(　A　)
A.平面AA1D1D B.平面AA1B1B
C.平面DD1C1C D.平面ABCD
解析:根據圖形特征及平面與平面平行的判定定理知,平面BB1C1C∥平面AA1D1D.故選A.
3.平面α與平面β平行的充要條件是(　D　)
A.α內有無數條直線與β平行
B.α,β垂直于同一個平面
C.α,β平行于同一條直線
D.α內有兩條相交直線都與β平行
解析:對于A,α內有無數條直線與β平行,可得α與β相交或α∥β;對于B,α與β垂直于同一個平面,可得α與β相交或α∥β;對于C,α與β平行于同一條直線,可得α與β相交或α∥β;對于D,α內有兩條相交直線平行于β,結合面面平行的判定定理可得α∥β.
故選D.
4.如圖,正方體 ABCDA1B1C1D1的棱長為3,點E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,則AF的長為(　A　)
A.1 B.1.5
C.2 D.3
解析:平面α∥平面BC1E,
平面α∩平面 ABB1A1=A1F,
平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,
所以A1F∥BE.又A1E∥FB,
所以四邊形A1FBE為平行四邊形,
所以FB=A1E=3-1=2,所以AF=1.故選A.
5.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別是棱A1B1,B1C1,BB1的中點,則(　AC　)
A.FG∥平面AA1D1D
B.EF∥平面BC1D1
C.FG∥平面BC1D1
D.平面EFG∥平面BC1D1
解析:因為在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別是棱A1B1,B1C1,BB1的中點,
所以 FG∥BC1.連接AD1,A1C1(圖略),
因為BC1∥AD1,所以FG∥AD1.
又因為FG 平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,
所以FG∥平面AA1D1D,故選項A正確;
因為EF∥A1C1,A1C1與平面BC1D1相交,
所以EF與平面BC1D1相交,故選項B錯誤;
因為FG∥BC1,FG 平面BC1D1,BC1 平面BC1D1,
所以FG∥平面BC1D1,故選項C正確;
因為EF與平面BC1D1相交,所以平面EFG與平面BC1D1相交,故選項D錯誤.故選AC.
6.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,則點Q滿足條件　　　　 　　　　時,有平面D1BQ∥平面PAO.
解析:如圖,由題意知PO∥BD1,
若平面D1BQ∥平面PAO,
只需AP∥BQ,即只需Q是CC1的中點.
答案:Q為CC1的中點
7.如圖,在長方體 ABCDA1B1C1D1 中,過BB1的中點E作一個與平面ACB1平行的平面交AB于點M,交BC于點N,則=　　　　.
解析:因為平面MNE∥平面ACB1,
由面面平行的性質定理可得EN∥B1C,EM∥B1A.
又因為E為BB1的中點,
所以M,N分別為BA,BC的中點,
所以MN=AC,
即=.
答案:
8.已知直線l與平面α,β,γ依次交于點A,B,C,直線m與平面α,β,γ依次交于點D,E,F,若α∥β∥γ,AB=EF=3,BC=4,則DE=　　　　.
解析:如圖,連接CD交平面β于點G,連接EG,BG,AD,CF,設l與CD確定的平面為α1,
因為α∩α1=AD,β∩α1=BG,且α∥β,所以AD∥BG,所以=.同理可得,GE∥CF,=,
所以=,
所以DE===.
答案:
能力提升
9.(多選題)如圖,在正方體 ABCDA1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是線段C1D1,A1D1,BD1,BC的中點,則下列結論正確的是(　AB　)
A.MN∥平面APC
B.B1Q∥平面ADD1A1
C.A,P,M三點共線
D.平面MNQ∥平面ABCD
解析:平面APC即為平面ACC1A1,MN∥A1C1,MN 平面ACC1A1,A1C1 平面ACC1A1,所以MN∥平面ACC1A1,所以 A正確;由平面BCC1B1∥平面ADD1A1,又B1Q 平面BCC1B1,故B1Q∥平面ADD1A1,所以B正確;平面APC即為平面ACC1A1,A,P,C1三點共線,所以A,P,M三點不共線,所以C不正確;平面MNQ與平面ABCD是相交的,所以D不正確.故選AB.
10.如圖,四棱錐PABCD的底面是平行四邊形,PA=PB=AB=2,E,F分別是AB,CD的中點,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,則λ=　　　　,ED與AF相交于點H,則GH=　　　　.
解析:因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以AB∥CD,且AB=CD.
又E,F分別是AB,CD的中點,所以AE=FD,
又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,
所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.
因為平面AGF∥平面PEC,
平面PED∩平面AGF=GH,
平面PED∩平面PEC=PE,
所以GH∥PE,則G是PD的中點,即PG=GD,故λ=1.
因為PA=AB=PB=2,
所以PE=,GH=PE=.
答案:1　
11.正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱CC1的中點,F是側面BCC1B1內的動點,且A1F∥平面D1AE,若正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是2,則線段A1F的最小值為　　　　.
解析:設平面D1AE與直線BC交于點G,連接AG,EG,
則G為BC的中點,分別取B1B,B1C1的中點M,N,連接A1M,MN,A1N,
如圖,因為A1M∥D1E,A1M 平面D1AE,D1E 平面D1AE.
所以A1M∥平面D1AE,同理可得MN∥平面D1AE,
又A1M,MN是平面A1MN內的兩條相交直線,
所以平面A1MN∥平面D1AE,而A1F 平面A1MN,故A1F∥平面D1AE,
得點F的軌跡為線段MN,且MN=AD1=,又A1N=A1M==,
故A1F⊥MN時,線段A1F取最小值,此時A1F===.
答案:
12.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD和B1C的中點.
求證:
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
證明:(1)連接AC,CD1(圖略),
因為四邊形ABCD是正方形,N是BD的中點,
所以N是AC的中點.
又因為M是AD1的中點,
所以MN∥CD1.
因為MN 平面CC1D1D,CD1 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)連接BC1,C1D(圖略),
因為四邊形B1BCC1是正方形,P是B1C的中點,
所以P是BC1的中點.
又因為N是BD的中點,
所以PN∥C1D.
因為PN 平面CC1D1D,C1D 平面CC1D1D,
所以PN∥平面CC1D1D,
由(1)得MN∥平面CC1D1D,且MN∩PN=N,MN 平面MNP,PN 平面MNP,
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
13.如圖所示的一塊四棱柱木料ABCDA1B1C1D1,底面ABCD 是梯形,且CD∥AB.
(1)要經過上底面A1B1C1D1內的一點P和側棱DD1將木料鋸開,應怎樣畫線
(2)所畫的線之間有什么位置關系
解:(1)如圖所示,連接D1P并延長交A1B1于點E,過E作EF∥AA1交AB于點F,連接DF,則D1E,EF,FD就是應畫的線.
(2)由DD1∥AA1,EF∥AA1,即D1D∥EF,
所以D1D與EF確定一個平面α,又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面α∩平面ABCD=DF,
平面α∩平面A1B1C1D1=D1E,
所以D1E∥DF,顯然DF,D1E都與EF相交.
應用創新
14.如圖所示,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是A1B1的中點,過點A1作與截面PBC1平行的截面,則截面的面積是　　　　.
解析:如圖,取AB,C1D1的中點M,N,連接A1M,MC,CN,NA1.
顯然A1N∥PC1∥MC,
且A1N=PC1=MC,
所以四邊形A1MCN是平行四邊形.
又因為A1N∥PC1,A1M∥PB,A1N∩A1M=A1,
PC1∩PB=P,且A1M,A1N 平面A1MCN,PC1,PB 平面PBC1,
所以平面A1MCN∥平面PBC1.
因此,過點A1作與截面PBC1平行的截面是平行四邊形A1MCN.
如圖,連接MN,作A1H⊥MN于點H,
易求A1M=A1N=,MN=2,
則A1H=.
所以=×2×=,
故S截面面積=2=2.
答案:2

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