資源簡介

§5　垂直關系
5.1　直線與平面垂直
學習目標
1.理解并掌握直線與平面垂直的定義、性質定理、判定定理,并能用來解決實際問題,培養直觀想象與邏輯推理的核心素養.
2.會求點到直線的距離,提升數學抽象、邏輯推理與數學運算的核心素養.
3.理解并掌握直線與平面的夾角的概念,會求直線與平面的夾角,增強數學抽象、邏輯推理與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　直線與平面垂直
(1)定義.
定義 如果直線l與平面α內的任何一條直線都垂直,那么稱直線l與平面α垂直
記法 l⊥α
有關概念 直線l稱為平面α的垂線,平面α稱為直線l的垂面,它們唯一的公共點P稱為垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
(2)點到平面的距離.
點到平面的距離 從平面外一點作一個平面的垂線,這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離
直線到平面的距離 如果一條直線與平面平行,那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離
[思考1] 直線與平面垂直定義中的關鍵詞“任何一條直線”是否可以換成“所有直線”“無數條直線”
提示:定義中的“任何一條直線”與“所有直線”是等價的,但是不可以換成“無數條直線”,因為一條直線與某平面內無數條平行直線垂直,該直線與這個平面不一定垂直.
知識點2　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行; ②作平行線
[思考2] 過平面外一點可以作幾條直線與已知平面垂直
提示:過平面外一點只能作一條直線與已知平面垂直.
[思考3] 兩條異面直線能垂直于同一平面嗎
提示:不能.
[思考4] 直線與平面垂直時,直線與平面內的直線有什么位置關系
提示:垂直.
[思考5] 平面外的任意一條直線都與平面有距離嗎
提示:只有直線與平面平行時直線與平面才有距離.
知識點3　直線與平面的夾角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,圖中直線PA
斜足 斜線與平面的交點(圖中點A)
斜線在 平面上 的投影 過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂線,過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影
斜線與 平面的 夾角 定義:平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角. 規定:一條直線垂直于平面,我們說它們的夾角是直角;一條直線與平面平行,或在平面內,就說它們的夾角是0°
取值 范圍 [0°,90°]
[做一做] 矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD的夾角是　　　　.
知識點4　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直
符號語言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P l⊥α
圖形語言
[思考6] 直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”能去掉“相交”嗎
提示:不能.
探究點一　直線與平面垂直的性質
[例1] 如圖,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2CD,F是BE的中點,求證:DF∥平面ABC.
涉及線面平行或線線平行的問題中,若已知條件中含直線與平面垂直,常利用直線與平面垂直的性質求解.
[針對訓練] 如圖所示,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,D是側面PBC上的一點,過D作平面ABC的垂線DE,其中D PC,求證:DE∥平面PAC.
探究點二　直線與平面垂直的判定
[例2] 如圖,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC=
90°,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F.求證:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
(1)線線垂直證明線面垂直
①定義法(不常用,但由線面垂直可得出線線垂直).
②判定定理:尋找平面內兩條相交直線(有時作輔助線);結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直,也與另一條垂直等結論來論證線線垂直.
(2)平行轉化法(利用推論)
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
[針對訓練] 如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,S是△ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC.
(1)求證:SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.
探究點三　直線與平面的夾角
[例3] 在正方體ABCDA1B1C1D1中.
(1)求直線A1C與平面ABCD的夾角的正切值.
(2)求直線A1B與平面BDD1B1的夾角.
求直線與平面的夾角的方法
(1)求直線與平面的夾角的步驟:①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影,斜線與其投影所成的銳角即為所求的角;③把該角歸結在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.
(2)求直線與平面的夾角的技巧:在上述步驟中,作角是關鍵,而確定斜線在平面上的投影是作角的關鍵,幾何圖形的特征是找投影的依據,斜線上斜足以外一點在平面上的投影一般都是一些特殊的點,比如中心、垂心、重心等.
[針對訓練] 如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則AC1與平面A1B1C1D1的夾角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
學海拾貝
空間距離的求法
[典例探究] 如圖,P是正方形ABCD所在平面外一點,PA⊥AB,PA⊥AD,Q是PA的中點,PA=4,AB=2.
(1)求證:PC⊥BD.
(2)求點Q到BD的距離.
(3)求點P到平面QBD的距離.
點到平面距離的求法
(1)直接法:過點P作一平面與平面α垂直,再過點P作兩平面的交線的垂線即可.
(2)線面平行法:若過點P有一直線l∥平面α,則直線l上的任一點到平面α的距離等于點P到平面α的距離.
[應用探究] 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,直線AA1到平面BB1D1D的距離是(　　)
A.1 B. C. D.
當堂檢測
1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是(　　)
A.相交　 B.異面
C.平行 D.不確定
2.若點A,B在平面α的同側,點A,B到α的距離分別為3和5,則AB的中點到α的距離為(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任一點,則下列關系正確的是(　　)
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
4.已知線段AB的長等于它在平面α上的投影長的2倍,則AB所在的直線與平面α的夾角為(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
線面垂直的定義、判定、性質 1,2,4,5,6,12
點面距離、直線與平面的夾角 3,7,8,9
線面垂直的綜合應用 10,11,13,14
基礎鞏固
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是(　)
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不確定
2.設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m α,α∥β,則“n⊥β”是“n⊥m”的(　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等,則這兩條直線(　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上皆有可能
4.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關系是(　　)
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
5.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點,沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,那么在這個空間圖形中必有(　　)
A.AG⊥平面EFH
B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF
D.HG⊥平面AEF
6.平行四邊形ABCD的對角線交點為O,點P在平行四邊形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,則PO與平面ABCD的位置關系是　　　　.
7.如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是AD的中點,F是BB1的中點,則直線EF與平面ABCD夾角的正切值為　　　　.
8.已知在三棱錐SABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為　　 　.
能力提升
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,BA=BC=3,
BB1=,則AB1與平面AA1C1C夾角的正弦值為(　　)
A. B.
C. D.
10.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離為(　　)
A. B. C. D.
11.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=2,O為棱C1D1的中點,則線段OA在平面OBC上的射影的長度為　　　　.
12.如圖所示,AB為☉O的直徑,C為☉O上異于A,B的一點,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于點E,AF⊥CD于點F.求證:BD⊥平面AEF.
13.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,點M在棱AC上,點N為A1C1的中點,且平面A1BM∥平面B1CN,AB=BC,AC=2,AA1=.
(1)求證:M是AC的中點.
(2)求證:AC1⊥平面A1BM.
應用創新
14.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿對角線BD將△BCD折起,使點C移到點C′,且點C′在平面ABD上的投影O恰在AB上.
(1)求證:BC′⊥平面AC′D.
(2)求直線AB與平面BC′D夾角的正弦值.§5　垂直關系
5.1　直線與平面垂直
學習目標
1.理解并掌握直線與平面垂直的定義、性質定理、判定定理,并能用來解決實際問題,培養直觀想象與邏輯推理的核心素養.
2.會求點到直線的距離,提升數學抽象、邏輯推理與數學運算的核心素養.
3.理解并掌握直線與平面的夾角的概念,會求直線與平面的夾角,增強數學抽象、邏輯推理與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　直線與平面垂直
(1)定義.
定義 如果直線l與平面α內的任何一條直線都垂直,那么稱直線l與平面α垂直
記法 l⊥α
有關概念 直線l稱為平面α的垂線,平面α稱為直線l的垂面,它們唯一的公共點P稱為垂足
圖示
畫法 畫直線與平面垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直
(2)點到平面的距離.
點到平面的距離 從平面外一點作一個平面的垂線,這個點和垂足間的距離稱為點到平面的距離
直線到平面的距離 如果一條直線與平面平行,那么這條直線上任意一點到平面的距離就是這條直線到這個平面的距離
[思考1] 直線與平面垂直定義中的關鍵詞“任何一條直線”是否可以換成“所有直線”“無數條直線”
提示:定義中的“任何一條直線”與“所有直線”是等價的,但是不可以換成“無數條直線”,因為一條直線與某平面內無數條平行直線垂直,該直線與這個平面不一定垂直.
知識點2　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線平行
符號語言 a∥b
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行; ②作平行線
[思考2] 過平面外一點可以作幾條直線與已知平面垂直
提示:過平面外一點只能作一條直線與已知平面垂直.
[思考3] 兩條異面直線能垂直于同一平面嗎
提示:不能.
[思考4] 直線與平面垂直時,直線與平面內的直線有什么位置關系
提示:垂直.
[思考5] 平面外的任意一條直線都與平面有距離嗎
提示:只有直線與平面平行時直線與平面才有距離.
知識點3　直線與平面的夾角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,圖中直線PA
斜足 斜線與平面的交點(圖中點A)
斜線在 平面上 的投影 過斜線上斜足以外的一點P向平面作垂線,過垂足O和斜足A的直線AO稱為斜線在這個平面上的投影
斜線與 平面的 夾角 定義:平面的一條斜線與它在平面上的投影所成的銳角. 規定:一條直線垂直于平面,我們說它們的夾角是直角;一條直線與平面平行,或在平面內,就說它們的夾角是0°
取值 范圍 [0°,90°]
[做一做] 矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD的夾角是　　　　.
解析:由題意知∠PCA為PC與平面ABCD的夾角.
在Rt△PAC中,tan∠PCA===,
所以∠PCA=30°.
答案:30°
知識點4　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直
符號語言 a α,b α,l⊥a,l⊥b,a∩b=P l⊥α
圖形語言
[思考6] 直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”能去掉“相交”嗎
提示:不能.
探究點一　直線與平面垂直的性質
[例1] 如圖,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=2CD,F是BE的中點,求證:DF∥平面ABC.
證明:如圖,取AB的中點G,連接FG,CG,可得FG∥AE,FG=AE.
因為CD⊥平面ABC,AE⊥平面ABC,所以CD∥AE.
又因為CD=AE,所以FG∥CD,FG=CD,所以四邊形CDFG是平行四邊形,所以DF∥CG.
又因為CG 平面ABC,DF 平面ABC,所以DF∥平面ABC.
涉及線面平行或線線平行的問題中,若已知條件中含直線與平面垂直,常利用直線與平面垂直的性質求解.
[針對訓練] 如圖所示,在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,D是側面PBC上的一點,過D作平面ABC的垂線DE,其中D PC,求證:DE∥平面PAC.
證明:因為DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,
所以DE∥PA.
又DE 平面PAC,PA 平面PAC,
所以DE∥平面PAC.
探究點二　直線與平面垂直的判定
[例2] 如圖,P為△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC=
90°,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于點F.求證:
(1)BC⊥平面PAB;
(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.
證明:(1)因為PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因為∠ABC=90°,所以AB⊥BC.
又AB∩PA=A,PA 平面PAB,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
(2)因為BC⊥平面PAB,AE 平面PAB,
所以BC⊥AE.
又因為PB⊥AE,BC∩PB=B,BC 平面PBC,PB 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.
(3)因為AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,
所以AE⊥PC.因為AF⊥PC,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,
所以PC⊥平面AEF.
(1)線線垂直證明線面垂直
①定義法(不常用,但由線面垂直可得出線線垂直).
②判定定理:尋找平面內兩條相交直線(有時作輔助線);結合平面圖形的性質(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直,也與另一條垂直等結論來論證線線垂直.
(2)平行轉化法(利用推論)
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
[針對訓練] 如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,S是△ABC所在平面外一點,且SA=SB=SC.
(1)求證:SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.
證明:(1)因為SA=SC,D是AC的中點,
所以SD⊥AC.
在Rt△ABC中,AD=BD,
由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,
所以SD⊥BD,又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,
所以SD⊥平面ABC.
(2)因為AB=BC,D為AC的中點,
所以BD⊥AC,由(1)知SD⊥BD,
又因為SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,
所以BD⊥平面SAC.
探究點三　直線與平面的夾角
[例3] 在正方體ABCDA1B1C1D1中.
(1)求直線A1C與平面ABCD的夾角的正切值.
(2)求直線A1B與平面BDD1B1的夾角.
解:(1)連接AC.因為直線A1A⊥平面ABCD,
所以∠A1CA為直線A1C與平面ABCD的夾角,
設A1A=1,則AC=,
所以tan∠A1CA=.
(2)如圖,連接A1C1交B1D1于點O,
在正方形A1B1C1D1中,
A1C1⊥B1D1.
因為BB1⊥平面
A1B1C1D1,
A1C1 平面A1B1C1D1,
所以BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1=B1,BB1 平面BDD1B1,B1D1 平面BDD1B1,
所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為O,連接BO.
所以∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1的夾角,
在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,
sin∠A1BO==,所以∠A1BO=30°.
即直線A1B與平面BDD1B1的夾角為30°.
求直線與平面的夾角的方法
(1)求直線與平面的夾角的步驟:①尋找過斜線上一點與平面垂直的直線;②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的投影,斜線與其投影所成的銳角即為所求的角;③把該角歸結在某個三角形中,通過解三角形,求出該角.
(2)求直線與平面的夾角的技巧:在上述步驟中,作角是關鍵,而確定斜線在平面上的投影是作角的關鍵,幾何圖形的特征是找投影的依據,斜線上斜足以外一點在平面上的投影一般都是一些特殊的點,比如中心、垂心、重心等.
[針對訓練] 如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則AC1與平面A1B1C1D1的夾角的正弦值為(　　)
A. B. C. D.
解析:因為AA1⊥平面A1B1C1D1,
所以∠AC1A1為直線AC1與平面A1B1C1D1的夾角.因為AA1=1,AB=BC=2,所以AC1=3,所以sin∠AC1A1==.故選D.
學海拾貝
空間距離的求法
[典例探究] 如圖,P是正方形ABCD所在平面外一點,PA⊥AB,PA⊥AD,Q是PA的中點,PA=4,AB=2.
(1)求證:PC⊥BD.
(2)求點Q到BD的距離.
(3)求點P到平面QBD的距離.
(1)證明:如圖,連接AC.因為PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,AB,
AD 平面ABCD,
所以PA⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD,
所以PA⊥BD.
因為四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
因為PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又PC 平面PAC,
所以PC⊥BD.
(2)解:設AC∩BD=O,連接OQ,因為Q為PA的中點,O為AC的中點,
所以OQ∥PC.
因為PC⊥BD,所以OQ⊥BD,
所以線段OQ的長度就是點Q到BD的距離.
因為AB=2,所以AC=2,
所以OA=.因為PA=4,所以QA=2,
所以OQ==,
即點Q到BD的距離為.
(3)解:由點Q是PA的中點,可知點P到平面QBD的距離就是點A到平面QBD的距離.
過A作AH⊥OQ于點H.
因為AH 平面PAC,
所以BD⊥AH.
又因為AH⊥OQ,OQ∩BD=O,OQ 平面QBD,BD 平面QBD,
所以AH⊥平面QBD,
所以線段AH的長度就是點A到平面QBD的距離.
在△QAO中,OQ=,AQ=2,AO=,
所以AH===,
即點P到平面QBD的距離為.
點到平面距離的求法
(1)直接法:過點P作一平面與平面α垂直,再過點P作兩平面的交線的垂線即可.
(2)線面平行法:若過點P有一直線l∥平面α,則直線l上的任一點到平面α的距離等于點P到平面α的距離.
[應用探究] 正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,直線AA1到平面BB1D1D的距離是(　　)
A.1 B. C. D.
解析:如圖所示,連接AC交BD于點O,在正方體中,AA1∥BB1,
又AA1 平面BB1D1D,BB1 平面BB1D1D,所以AA1∥平面BB1D1D,所以點A到平面BB1D1D的距離即為直線AA1到平面BB1D1D的距離.
在正方體ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,
BB1⊥平面ABCD,
又AC 平面ABCD,
所以AC⊥BB1.又BD∩BB1=B,
BD,BB1 平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D,故線段AO的長度即為點A到平面BB1D1D的距離,
AO=AC=×=,所以直線AA1到平面BB1D1D的距離為.
故選C.
當堂檢測
1.△ABC所在的平面為α,直線l⊥AB,l⊥AC,直線m⊥BC,m⊥AC,則直線l,m的位置關系是(　C　)
A.相交　 B.異面
C.平行 D.不確定
解析:因為l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,
所以l⊥平面ABC.
同理可證m⊥平面ABC,
所以l∥m.故選C.
2.若點A,B在平面α的同側,點A,B到α的距離分別為3和5,則AB的中點到α的距離為(　A　)
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:由題意知,如圖,過A,B分別作平面的垂線,則四邊形ABB′A′為直角梯形,則AB的中點到平面的距離為==4.故選A.
3.(多選題)如圖,PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A,B的任一點,則下列關系正確的是(　ABD　)
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
解析:由PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,可知PA⊥BC,故A正確;由題意可知BC⊥AC,PA⊥BC,因為PA 平面PAC,AC 平面PAC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,故B正確;因為BC⊥平面PAC,PC 平面PAC,所以BC⊥PC,故D正確;若AC⊥PB,又因為AC⊥BC,PB∩BC=B,PB 平面PBC,BC 平面PBC,所以AC⊥平面PBC,與題意不符,故C錯誤.故選ABD.
4.已知線段AB的長等于它在平面α上的投影長的2倍,則AB所在的直線與平面α的夾角為(　C　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析:如圖,AC⊥α,AB∩α=B,則BC是AB在平面α上的投影.因為BC=AB,所以∠ABC=60°,它是AB所在的直線與平面α的夾角.故選C.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
線面垂直的定義、判定、性質 1,2,4,5,6,12
點面距離、直線與平面的夾角 3,7,8,9
線面垂直的綜合應用 10,11,13,14
基礎鞏固
1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關系是(　A　)
A.垂直 B.相交但不垂直
C.平行 D.不確定
解析:因為梯形兩腰所在直線為兩條相交直線,所以由線面垂直的判定定理知,直線與平面垂直.故選A.
2.設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m α,α∥β,則“n⊥β”是“n⊥m”的(　A　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:因為α∥β,當n⊥β時,n⊥α,又m α,所以n⊥m,即n⊥β可以推出n⊥m,如圖,在正方體中,取平面ABCD為α平面,平面A1B1C1D1為β平面,直線BC為直線m,直線C1D1為直線n,顯然有m α,α∥β,n⊥m,但n β,即n⊥m推不出n⊥β,所以“n⊥β”是“n⊥m”的充分不必要條件.故選A.
3.若兩條不同的直線與同一平面所成的角相等,則這兩條直線(　D　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上皆有可能
解析:在正方體ABCDA1B1C1D1中,A1A,B1B與底面ABCD所成的角相等,此時兩直線平行;A1B1,B1C1與底面ABCD所成的角相等,此時兩直線相交;A1B1,BC與底面ABCD所成的角相等,此時兩直線異面.故選D.
4.空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關系是(　C　)
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
解析:如圖,取BD的中點O,
連接AO,CO,
則BD⊥AO,BD⊥CO,
且AO∩CO=O,AO 平面AOC,CO 平面AOC,
所以BD⊥平面AOC.
又AC 平面AOC,
所以BD⊥AC,
又BD,AC異面,故C符合題意.故選C.
5.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點,沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,那么在這個空間圖形中必有(　B　)
A.AG⊥平面EFH
B.AH⊥平面EFH
C.HF⊥平面AEF
D.HG⊥平面AEF
解析:根據折疊前、后AH⊥HE,AH⊥HF不變,又HE∩HF=H,HE,HF 平面EFH,
所以AH⊥平面EFH.故選B.
6.平行四邊形ABCD的對角線交點為O,點P在平行四邊形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,則PO與平面ABCD的位置關系是　　　　.
解析:因為PA=PC,O是AC的中點,所以PO⊥AC,同理PO⊥BD,又AC 平面ABCD,BD 平面ABCD,AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
答案:垂直
7.如圖,在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是AD的中點,F是BB1的中點,則直線EF與平面ABCD夾角的正切值為　　　　.
解析:如圖,連接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即為直線EF與平面ABCD的夾角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=,則tan∠FEB==.
答案:
8.已知在三棱錐SABC中,底面ABC為邊長等于2的等邊三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為　　 　.
解析:如圖所示,取BC的中點D,連接SD,AD,則BC⊥AD.
過點A作AG⊥SD于點G,
連接GB.
因為SA⊥底面ABC,
BC 平面ABC,
所以BC⊥SA.
又SA∩AD=A,所以BC⊥平面SAD.
又AG 平面SAD,
所以AG⊥BC.
又AG⊥SD,SD∩BC=D,
所以AG⊥平面SBC,
所以∠ABG即為直線AB與平面SBC所成的角.
因為AB=2,SA=3,
所以AD=,SD=2.
在Rt△SAD中,AG==,
所以sin∠ABG===.
答案:
能力提升
9.在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,BA=BC=3,
BB1=,則AB1與平面AA1C1C夾角的正弦值為(　C　)
A. B.
C. D.
解析:如圖,取A1C1的中點M,連接AM,B1M,
因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱,
則AA1⊥平面A1B1C1,
又B1M 平面A1B1C1,
所以B1M⊥AA1.
又由題意可知△A1B1C1為等腰直角三角形,且M為斜邊的中點,從而B1M⊥A1C1,
而A1C1 平面AA1C1C,AA1 平面AA1C1C,且A1C1∩AA1=A1,
所以B1M⊥平面AA1C1C,則∠B1AM為AB1與平面AA1C1C的夾角.在Rt△AB1M中,sin∠B1AM===.
故選C.
10.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,O是底面A1B1C1D1的中心,則點O到平面ABC1D1的距離為(　B　)
A. B. C. D.
解析:如圖,過點O作A1B1的平行線,交B1C1于點E,連接B1C,
則點O到平面ABC1D1的距離即為點E到平面ABC1D1的距離.
如圖,作EF⊥BC1于點F,AB⊥平面BCC1B1,B1C 平面BCC1B1,所以AB⊥B1C,且B1C⊥BC1,AB∩BC1=B,AB 平面ABC1D1,BC1 平面ABC1D1,
所以B1C⊥平面ABC1D1,又EF∥B1C,
所以EF⊥平面ABC1D1,可得EF=B1C=.故選B.
11.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=2,O為棱C1D1的中點,則線段OA在平面OBC上的射影的長度為　　　　.
解析:如圖所示,取A1B1中點E,連接OE,BE,
則OE∥B1C1∥BC,OE=B1C1=2,點O,E,B,C四點共面,BE===,cos∠EBB1==.
過點A作AF⊥BE于點F,連接OF,
則∠EBB1=∠FAB,
在Rt△ABF中,cos∠FAB==,解得AF=,
BF===,
則EF=BE-BF=-=.
由正四棱柱ABCDA1B1C1D1得,B1C1⊥平面A1B1BA,則OE⊥平面A1B1BA,
又AF,EF 平面A1B1BA,
所以OE⊥AF,OE⊥EF,
所以OF===.
因為OE⊥AF,AF⊥BE,OE,BE 平面OEBC,且OE∩BE=E,
OE,BE 平面OEBC,
所以AF⊥平面OEBC,所以線段OA在平面OBC上的射影為線段OF=.
答案:
12.如圖所示,AB為☉O的直徑,C為☉O上異于A,B的一點,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于點E,AF⊥CD于點F.求證:BD⊥平面AEF.
證明:因為AB為☉O的直徑,C為☉O上異于A,B的一點,所以BC⊥AC.
因為DA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以DA⊥BC.
又DA∩AC=A,DA 平面DAC,AC 平面DAC,所以BC⊥平面DAC.
又AF 平面DAC,則BC⊥AF,
又AF⊥DC,DC∩BC=C,DC 平面BCD,BC 平面BCD,所以AF⊥平面BCD.
又BD 平面BCD,所以AF⊥BD.
又因為AE⊥BD,AE∩AF=A,AE 平面AEF,AF 平面AEF,
所以BD⊥平面AEF.
13.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,點M在棱AC上,點N為A1C1的中點,且平面A1BM∥平面B1CN,AB=BC,AC=2,AA1=.
(1)求證:M是AC的中點.
(2)求證:AC1⊥平面A1BM.
證明:(1)如圖,連接AB1,與A1B交于點O,O為AB1的中點,連接OM,
因為平面A1BM∥平面B1CN,平面AB1C∩平面A1BM=OM,
平面B1NC∩平面AB1C=B1C,所以OM∥B1C,
又在△AB1C中,O為AB1的中點,所以M是AC的中點.
(2)因為AA1⊥底面ABC,BM 平面ABC,所以AA1⊥BM,
又M為棱AC的中點,AB=BC,所以BM⊥AC.
因為AA1∩AC=A,AA1,AC 平面ACC1A1,
所以BM⊥平面ACC1A1,
因為AC1 平面ACC1A1,
所以BM⊥AC1,
因為AC=2,所以AM=1,又AA1=,
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=,
所以∠AC1C=∠A1MA,
即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1,
又BM∩A1M=M,BM,A1M 平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.
應用創新
14.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿對角線BD將△BCD折起,使點C移到點C′,且點C′在平面ABD上的投影O恰在AB上.
(1)求證:BC′⊥平面AC′D.
(2)求直線AB與平面BC′D夾角的正弦值.
(1)證明:因為點C′在平面ABD上的投影O在AB上,
所以C′O⊥平面ABD.又因為DA 平面ABD,所以C′O⊥DA.
又因為DA⊥AB,AB∩C′O=O,AB,C′O 平面ABC′,
所以DA⊥平面ABC′.因為BC′ 平面ABC′,所以DA⊥BC′.
又因為BC⊥CD,所以BC′⊥C′D.
因為DA∩C′D=D,DA,C′D 平面AC′D,
所以BC′⊥平面AC′D.
(2)解:如圖所示,過A作AE⊥C′D,垂足為E.
因為BC′⊥平面AC′D,
所以BC′⊥AE.
又因為AE⊥C′D,BC′∩C′D=C′,
C′D,BC′ 平面BC′D,
所以AE⊥平面BC′D.
如圖,連接BE,則BE是AB在平面BC′D上的投影,
故∠ABE就是直線AB與平面BC′D的夾角.
因為DA⊥AB,DA⊥BC′,AB∩BC′=B,AB,BC′ 平面ABC′,
所以DA⊥平面ABC′,所以DA⊥AC′.
在Rt△AC′B中,AC′==3.
在Rt△BC′D中,C′D=CD=3.
在Rt△C′AD中,由面積關系,得AE===.
所以在Rt△AEB中,
sin∠ABE===.
即直線AB與平面BC′D的夾角的正弦值為.

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