資源簡介

第2課時　平面與平面垂直的判定
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.能夠綜合應(yīng)用線線、線面、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理解題,提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).
知識探究
問題1:教室門繞軸轉(zhuǎn)動,門所在的平面與地面的位置關(guān)系發(fā)生改變嗎 書脊與桌面垂直固定,每頁紙所在的平面與桌面的位置關(guān)系相同嗎 它們之間始終保持什么關(guān)系
提示:不改變;相同;垂直關(guān)系.
知識點(diǎn)　平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直
圖形語言
符號語言 l⊥α,l β α⊥β
[思考] 過平面外一點(diǎn)能夠作幾個平面與已知平面垂直
提示:無數(shù)個.
問題2:兩個平行平面中的一個與一個平面垂直,那么另一個平面與該平面垂直嗎
提示:垂直.
探究點(diǎn)一　兩個平面垂直的判定
[例1]如圖所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC.
求證:平面ABC⊥平面SBC.
證明:法一(利用定義)
因?yàn)椤螧SA=∠CSA=60°,
SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等邊三角形,
則有SA=SB=SC=AB=AC.
令其值為a,則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.
取BC的中點(diǎn)D,如圖所示,連接AD,SD,
則AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS為二面角ABCS的平面角.
在Rt△BSC中,因?yàn)镾B=SC=a,
所以SD=a,BD==a,
所以在Rt△ABD中,AD=a.
在△ADS中,因?yàn)镾D2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°,
即二面角ABCS為直二面角,
故平面ABC⊥平面SBC.
法二(利用判定定理)　因?yàn)镾A=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC,
所以點(diǎn)A在平面SBC上的投影為△SBC的外心.
因?yàn)椤鱏BC為直角三角形,
所以點(diǎn)A在△SBC上的投影D為斜邊BC的中點(diǎn),
所以AD⊥平面SBC.
又因?yàn)锳D 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.
證明兩個平面垂直的方法
(1)利用定義:證明二面角的平面角是直角.
(2)利用平面與平面垂直的判定定理:證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
[針對訓(xùn)練] 如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方形,PB=PD.
求證:平面PBD⊥平面PAC.
證明:如圖,設(shè)AC∩BD=O,連接OP,因?yàn)锳BCD為正方形,所以AC⊥BD且O為BD的中點(diǎn).
又PB=PD,
所以O(shè)P⊥BD.又AC∩OP=O,AC,OP 平面PAC,所以BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC.
探究點(diǎn)二　線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用
[例2] 如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,N是PB的中點(diǎn),過A,D,N三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)M,E為AD的中點(diǎn).
求證:(1)EN∥平面PDC;
(2)BC⊥平面PBE;
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
證明:(1)因?yàn)锳D∥BC,BC 平面PBC,AD 平面PBC,
所以AD∥平面PBC.
又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面PBC=MN,
所以AD∥MN.
又因?yàn)锽C∥AD,所以MN∥BC.
又因?yàn)镹是PB的中點(diǎn),
所以點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),
所以MN=BC.
又因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),
所以MN∥DE且MN=DE,
所以四邊形DENM為平行四邊形,
所以EN∥DM.
又DM 平面PDC,EN 平面PDC,
所以EN∥平面PDC.
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,E為AD的中點(diǎn),
且∠BAD=60°,所以BE⊥AD.
又因?yàn)閭?cè)面PAD是正三角形,且E為AD的中點(diǎn),
所以PE⊥AD.又因?yàn)镻E 平面PBE,BE 平面PBE,PE∩BE=E,
所以AD⊥平面PBE.
又因?yàn)锳D∥BC,所以BC⊥平面PBE.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE,
又PB 平面PBE,
所以AD⊥PB.
又因?yàn)镻A=AB,N為PB的中點(diǎn),
所以AN⊥PB.
且AN∩AD=A,AN 平面ADMN,AD 平面ADMN,所以PB⊥平面ADMN.
又因?yàn)镻B 平面PBC.
所以平面PBC⊥平面ADMN.
線線、線面、面面垂直的綜合問題的解題策略
(1)重視轉(zhuǎn)化.
涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,即證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直;證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.
(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系.
解答線線垂直、線面垂直、面面垂直的綜合問題時,通常要先證出一個關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系,由此出發(fā)才能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系,因此要注意線面垂直在解題過程中的樞紐作用.
(3)若已知條件中含垂直關(guān)系的線線平行證明問題,首先考慮利用面面垂直的性質(zhì)或利用一個平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線平行.
[針對訓(xùn)練] 如圖所示,在四棱錐PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn),AB=2DF,PH為△PAD中AD邊上的高.
(1)求證:PH⊥平面ABCD.
(2)求證:平面EFC⊥平面PAB.
證明:(1)因?yàn)锳B⊥平面PAD,AB 平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面PAD.
因?yàn)镻H⊥AD,PH 平面PAD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PH⊥平面ABCD.
(2) 如圖,取PA的中點(diǎn)G,連接EG,DG.
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),
所以EG∥AB,
EG=AB.
又因?yàn)锳B=2DF,
AB∥DF,
所以EG∥DF,EG=DF,
所以四邊形GDFE是平行四邊形,
所以EF∥DG,
所以平面CEGD即平面EFC.
因?yàn)镻D=AD,
所以DG⊥PA.
因?yàn)锳B⊥平面PAD,DG 平面PAD,
所以AB⊥DG.
又因?yàn)锳B∩PA=A,AB,PA 平面PAB,
所以DG⊥平面PAB.
又因?yàn)镈G 平面CEGD,
所以平面CEGD⊥平面PAB,
即平面EFC⊥平面PAB.
學(xué)海拾貝
垂直探索問題
[典例探究] 如圖所示,在四棱錐 PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAP=∠CDP=90°,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面EBD.
(2)若△PAD是正三角形,且PA=AB,
①當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上什么位置時,有DM⊥平面PAB
②在①的條件下,點(diǎn)N在線段PB什么位置時,有平面DMN⊥平面PBC
(1)證明:如圖所示,
連接AC,交BD于點(diǎn)O,
連接OE.
因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),
所以O(shè)E∥AP.
因?yàn)锳P 平面EBD,OE 平面EBD,
所以AP∥平面EBD.
(2)解:①當(dāng)點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)時,有DM⊥平面PAB.
證明如下:
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,
所以AB∥CD.
又因?yàn)椤螧AP=∠CDP=90°,
即AB⊥AP,CD⊥DP,
所以AB⊥DP.
又DP 平面PAD,AP 平面PAD,DP∩AP=P,從而AB⊥平面PAD.
又因?yàn)镈M 平面PAD,所以AB⊥DM.
因?yàn)椤鱌AD是正三角形,PM=MA,
所以DM⊥AP.
又AP∩AB=A,AP,AB 平面PAB,
所以DM⊥平面PAB.
②在①的條件下,當(dāng)DN⊥PB時,
有平面DMN⊥平面PBC.
證明如下:在①的條件下,DM⊥平面PAB,
所以DM⊥PB.
又DN⊥PB,DM∩DN=D,DM 平面DMN,DN 平面DMN,所以PB⊥平面DMN,
所以平面DMN⊥平面PBC.
不妨設(shè)AB=2,
則PB=2=BD,PD=2.
如圖,取PD的中點(diǎn)G,連接BG.
所以PN=PD·cos P=2×=.
所以==.
所以點(diǎn)N在線段PB上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)時,有平面DMN⊥平面PBC.
求解與垂直有關(guān)的探究性問題,要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,要充分利用線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系,實(shí)現(xiàn)“空間問題”與“平面問題”之間的轉(zhuǎn)化.一般地,探究面面垂直,主要是轉(zhuǎn)化為探究線面垂直,而探究線面垂直,則轉(zhuǎn)化為常見的線線垂直,如等腰三角形、正三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形全等、相似等.
[應(yīng)用探究] 如圖,三棱錐PABC 中,PA⊥平面ABC,AB=1,AC=2,
∠BAC=60°.在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM 若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
解:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM.
證明如下:
如圖,在平面ABC內(nèi),過點(diǎn)B作BN⊥AC,垂足為N.
在平面PAC內(nèi),過點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M,連接BM.
由PA⊥平面ABC,知PA⊥AC,
所以MN⊥AC.
因?yàn)锽N∩MN=N,BN 平面MBN,MN 平面MBN,
所以AC⊥平面MBN.
又BM 平面MBN,
所以AC⊥BM.
在Rt△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,
從而NC=AC-AN=,
由MN∥PA,得==.
當(dāng)堂檢測
1.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是(　C　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:因?yàn)閙∥n,n⊥β,則m⊥β,又m α,故α⊥β,所以C正確.故選C.
2.在空間四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,E為對角線AC的中點(diǎn),下列判斷正確的是(　D　)
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
解析:由已知條件得AC⊥DE,AC⊥BE,于是AC⊥平面BED,又AC 平面ABC,所以平面ABC⊥平面BED.故選D.
3.下列不能確定兩個平面垂直的是(　D　)
A.兩個平面相交,所成二面角是直二面角
B.一個平面垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線
C.一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線
D.平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線b
解析:如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,平面A1B1CD內(nèi)的直線A1B1垂直于平面ABCD內(nèi)的一條直線BC,但平面A1B1CD與平面ABCD顯然不垂直.故選D.
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
平面與平面垂直的判定 1,2,3,4,5,6,7,8,10
空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 9,11,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.已知m,n為兩條直線,α,β為兩個平面,m α,n β,m⊥n,則m⊥β是α⊥β的(　A　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:
若m⊥β,因?yàn)閙 α,所以α⊥β,即由m⊥β可以得到α⊥β;若α⊥β,如圖,在正方體中,取平面ADD1A1為平面α,平面ABCD為平面β,取AD1為直線m,CD為直線n,顯然有m α,n β,m⊥n,α⊥β,但m與β不垂直,即由α⊥β得不到m⊥β.故選A.
2.已知直線a,b與平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的條件是(　D　)
A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b β
C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β
解析:A,B,C得不到α⊥β.由a∥α,知α內(nèi)必有直線l與a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.故選D.
3.在四棱錐PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結(jié)論錯誤的是(　C　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
解析:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.
又因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AD⊥AB,CD⊥AD.
而AB∩PA=A,AD∩PA=A,所以AD⊥平面PAB,CD⊥平面PAD.
所以平面PAD⊥平面PAB,平面PCD⊥平面PAD.
又因?yàn)锽C∥AD,所以BC⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB.故選C.
4.閱讀下面題目及其證明過程,在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是(　C　)
如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面BDE.
證明:因?yàn)镻O⊥底面ABCD,
所以PO⊥BD.
又因?yàn)锳C⊥BD,且AC∩PO=O,
所以　　　 　　　　　.
又因?yàn)锽D 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD
C.BD⊥平面PAC D.AC⊥平面BDE
解析:因?yàn)镻O⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.
又因?yàn)锳C⊥BD,且AC∩PO=O,
AC 平面PAC,PO 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC.
又因?yàn)锽D 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.故選C.
5.(2022·全國乙卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則(　A　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
解析:如圖,對于選項(xiàng)A,在正方體ABCDA1B1C1D1中,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1.又EF 平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項(xiàng)A正確;對于選項(xiàng)B,因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項(xiàng)A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項(xiàng)B錯誤;對于選項(xiàng)C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項(xiàng)C錯誤;對于選項(xiàng)D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1,所以平面 A1C1D與平面B1EF不平行,故選項(xiàng)D錯誤.故選A.
6.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時,只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上,另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動,觀察尺邊是否和這個面密合就可以了,其原理是利用了　　　　　　　.
解析:如圖所示,因?yàn)镺A⊥OB,OA⊥OC,OB β,OC β,且OB∩OC=O,根據(jù)線面垂直的判定定理,可得OA⊥β,又OA α,根據(jù)面面垂直的判定定理,可得α⊥β.
答案:一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面垂直(或平面與平面垂直的判定定理)
7.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各邊都相等,M是PC上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足　　　　時,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填寫一個你認(rèn)為正確的即可)
解析:連接AC(圖略),因?yàn)樗倪呅蜛BCD的邊長相等,
所以四邊形ABCD為菱形,
所以AC⊥BD.
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.
又因?yàn)锳C∩PA=A,AC 平面PAC,PA 平面PAC,
所以BD⊥平面PAC,
所以BD⊥PC.
若PC⊥平面MBD,則PC垂直于平面MBD中兩條相交直線,
所以當(dāng)BM⊥PC時,PC⊥平面MBD.所以平面PCD⊥平面MBD.
答案:BM⊥PC(答案不唯一)
8.α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩條不同直線,給出下列論斷:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題　　　　　　.(答案不唯一,寫出一個即可,填序號).
解析:若①m⊥n,②α⊥β,③n⊥β成立,則m與α可能平行也可能相交,即④m⊥α不一定成立;同理,若①m⊥n,②α⊥β,④m⊥α成立,③n⊥β不一定成立;若①m⊥n,③n⊥β,④m⊥α成立,則②α⊥β一定成立;若②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α成立,則① m⊥n一定成立.
所以①③④ ②(或②③④ ①).
答案:①③④ ②(或②③④ ①)
能力提升
9.(多選題) 在正四面體PABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下列結(jié)論成立的是(　ABD　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
解析:如圖所示,
由題意,得BC∥DF,
BC 平面PDF,DF 平面PDF,所以BC∥平面PDF,所以A正確.
由題意,得BC⊥PE,BC⊥AE,PE∩AE=E,PE,AE 平面PAE,
所以BC⊥平面PAE,
所以DF⊥平面PAE,所以B正確.
因?yàn)锽C⊥平面PAE,BC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正確.故選ABD.
10.(多選題)如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,點(diǎn)A到達(dá)A′的位置,此時A′C=,構(gòu)成三棱錐A′BCD,則下列結(jié)論正確的是(　AD　)
A.平面A′BD⊥平面BDC
B.平面A′BD⊥平面A′BC
C.平面A′DC⊥平面BDC
D.平面A′DC⊥平面A′BC
解析:由題意知△ABD與△BDC都為等腰直角三角形,
在三棱錐A′BDC中,A′D=A′B=1,故BD=,DC=.又A′C=,
故A′C2=A′D2+DC2,則CD⊥A′D.又CD⊥BD,A′D∩BD=D,且A′D,
BD 平面A′BD,所以CD⊥平面A′BD,故平面A′BD⊥平面BDC.
又CD⊥平面A′BD,所以CD⊥A′B.又A′B⊥A′D,A′D∩CD=D,
且A′D,CD 平面A′DC,所以A′B⊥平面A′DC,
故平面 A′DC⊥平面A′BC.故選AD.
11.在四面體PABC中,PA=AB=AC,∠PAB=∠PAC=,∠BAC=,O為AB的中點(diǎn),則直線PO與平面PAC所成角的正弦值為　　　　.
解析:如圖,取AC的中點(diǎn)為E,取AE的中點(diǎn)為F,連接BE,OF,PF,
由∠PAB=∠PAC=,得PA⊥AB,PA⊥AC,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,故PA⊥平面ABC.
又PA 平面PAC,故平面PAC⊥平面ABC,由 PA=AB=AC,∠BAC=,可知△ABC為正三角形,
由E為AC的中點(diǎn),得BE⊥AC,而AE的中點(diǎn)為F,AB的中點(diǎn)為O,
故OF∥BE,故OF⊥AC.
又平面PAC∩平面ABC=AC,OF 平面ABC,故OF⊥平面PAC,
故∠OPF即為直線PO與平面PAC所成角.
設(shè)PA=AB=AC=a,則BE=a,OF=a,
PO===,
在Rt△OFP中,sin ∠OPF===,即直線PO與平面PAC所成角的正弦值為.
答案:
12.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動,給出以下命題:
①異面直線C1P與B1C所成的角不為定值;②平面A1CP⊥平面DBC1;③二面角PBC1D的大小為定值.其中真命題的序號為　　　　.
解析:對于①,因?yàn)樵诶忾L為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,
點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動,由正方體的性質(zhì)可知C1D1⊥B1C,
由正方形的性質(zhì)可知BC1⊥B1C,而D1C1∩C1B=C1,D1C1,C1B 平面ABC1D1,
所以B1C⊥平面ABC1D1,而C1P 平面ABC1D1,所以B1C⊥C1P,
故這兩個異面直線所成的角為定值90°,所以①不正確.
對于②,連接AC,PC,A1C(圖略),由正方體的性質(zhì)可知AA1⊥BD,由正方形的性質(zhì)可知BD⊥AC,
而AA1∩AC=A,AA1 平面AA1C,AC 平面AA1C,
所以DB⊥平面AA1C,而A1C 平面AA1C,所以DB⊥A1C,
同理C1B⊥A1C,而DB∩BC1=B,DB,BC1 平面DBC1,所以A1C⊥平面DBC1,
而A1C 平面A1CP,所以有平面A1CP⊥平面DBC1,故②正確.
對于③,因?yàn)槎娼荘BC1D的大小實(shí)質(zhì)為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角,
而這兩平面為固定的不變的平面所以夾角大小也為定值,故③正確.
答案:②③
13.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=
60°,E,F分別是線段AC,AD上的動點(diǎn),且==λ(0<λ<1).
(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC.
(2)當(dāng)λ為何值時,平面BEF⊥平面ACD
(1)證明:因?yàn)锳B⊥平面BCD,所以AB⊥CD.
因?yàn)镃D⊥BC且AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,所以CD⊥平面ABC.
又==λ(0<λ<1),
所以不論λ為何值,恒有EF∥CD,
所以EF⊥平面ABC.
又EF 平面BEF,
所以不論λ為何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
(2)解:由(1)知,EF⊥BE,
又平面BEF⊥平面ACD,
平面BEF∩平面ACD=EF,BE 平面BEF,
所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.
因?yàn)锽C=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,AB⊥平面BCD,
所以BD=,AB=tan 60°=,
所以AC==,
由AB2=AE·AC得AE=,所以λ==,
故當(dāng)λ=時,平面BEF⊥平面ACD.
應(yīng)用創(chuàng)新
14.已知直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長為2,AB⊥BC,AB=BC=2.過AB,BB1的中點(diǎn)E,F作平面α與平面AA1C1C垂直,則所得截面周長為(　C　)
A.2+ B.+2
C.3+ D.3+2
解析:如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接BD,取A1C1的中點(diǎn)D1,連接B1D1,DD1,
取AD的中點(diǎn)G,連接EG,連接EF并延長,與A1B1的延長線交于點(diǎn)H,
取C1D1的中點(diǎn)M,連接MH,交B1C1于點(diǎn)N,
連接FN,GM,
可得EG∥BD,BD∥B1D1,MN∥B1D1,
即有EG∥MN.
又AB=BC,可得BD⊥AC,
AA1⊥平面ABC,可得AA1⊥BD,
AC∩AA1=A,AC 平面AA1C1C,AA1 平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C,
可得EG⊥平面AA1C1C.
由面面垂直的判定定理,
可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C,
則平面EGMNF即為平面α,
EG=BD=,GM==,
MN=B1D1=,NF==,FE=,
所得截面周長為++++=3+.故選C.第2課時　平面與平面垂直的判定
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解并掌握兩個平面垂直的判定定理及其簡單應(yīng)用,培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.能夠綜合應(yīng)用線線、線面、面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理解題,提升邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).
知識探究
問題1:教室門繞軸轉(zhuǎn)動,門所在的平面與地面的位置關(guān)系發(fā)生改變嗎 書脊與桌面垂直固定,每頁紙所在的平面與桌面的位置關(guān)系相同嗎 它們之間始終保持什么關(guān)系
提示:不改變;相同;垂直關(guān)系.
知識點(diǎn)　平面與平面垂直的判定定理
文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直
圖形語言
符號語言 l⊥α,l β α⊥β
[思考] 過平面外一點(diǎn)能夠作幾個平面與已知平面垂直
提示:無數(shù)個.
問題2:兩個平行平面中的一個與一個平面垂直,那么另一個平面與該平面垂直嗎
提示:垂直.
探究點(diǎn)一　兩個平面垂直的判定
[例1]如圖所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC.
求證:平面ABC⊥平面SBC.
證明兩個平面垂直的方法
(1)利用定義:證明二面角的平面角是直角.
(2)利用平面與平面垂直的判定定理:證明一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
[針對訓(xùn)練] 如圖,四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方形,PB=PD.
求證:平面PBD⊥平面PAC.
探究點(diǎn)二　線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用
[例2] 如圖,在四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,N是PB的中點(diǎn),過A,D,N三點(diǎn)的平面交PC于點(diǎn)M,E為AD的中點(diǎn).
求證:(1)EN∥平面PDC;
(2)BC⊥平面PBE;
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
線線、線面、面面垂直的綜合問題的解題策略
(1)重視轉(zhuǎn)化.
涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,即證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線面垂直;證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.
(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系.
解答線線垂直、線面垂直、面面垂直的綜合問題時,通常要先證出一個關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系,由此出發(fā)才能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系,因此要注意線面垂直在解題過程中的樞紐作用.
(3)若已知條件中含垂直關(guān)系的線線平行證明問題,首先考慮利用面面垂直的性質(zhì)或利用一個平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線平行.
[針對訓(xùn)練] 如圖所示,在四棱錐PABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E是PB的中點(diǎn),F是DC上的點(diǎn),AB=2DF,PH為△PAD中AD邊上的高.
(1)求證:PH⊥平面ABCD.
(2)求證:平面EFC⊥平面PAB.
學(xué)海拾貝
垂直探索問題
[典例探究] 如圖所示,在四棱錐 PABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAP=∠CDP=90°,E為PC的中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面EBD.
(2)若△PAD是正三角形,且PA=AB,
①當(dāng)點(diǎn)M在線段PA上什么位置時,有DM⊥平面PAB
②在①的條件下,點(diǎn)N在線段PB什么位置時,有平面DMN⊥平面PBC
求解與垂直有關(guān)的探究性問題,要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,要充分利用線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系,實(shí)現(xiàn)“空間問題”與“平面問題”之間的轉(zhuǎn)化.一般地,探究面面垂直,主要是轉(zhuǎn)化為探究線面垂直,而探究線面垂直,則轉(zhuǎn)化為常見的線線垂直,如等腰三角形、正三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形全等、相似等.
[應(yīng)用探究] 如圖,三棱錐PABC 中,PA⊥平面ABC,AB=1,AC=2,
∠BAC=60°.在線段PC上是否存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM 若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
當(dāng)堂檢測
1.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是(　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
2.在空間四邊形ABCD中,AB=BC,AD=CD,E為對角線AC的中點(diǎn),下列判斷正確的是(　　)
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
3.下列不能確定兩個平面垂直的是(　　)
A.兩個平面相交,所成二面角是直二面角
B.一個平面垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線
C.一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線
D.平面α內(nèi)的直線a垂直于平面β內(nèi)的直線b
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點(diǎn)、方法 題號
平面與平面垂直的判定 1,2,3,4,5,6,7,8,10
空間垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用 9,11,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.已知m,n為兩條直線,α,β為兩個平面,m α,n β,m⊥n,則m⊥β是α⊥β的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知直線a,b與平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的條件是(　　)
A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=a,b⊥a,b β
C.a∥β,a∥α D.a∥α,a⊥β
3.在四棱錐PABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD為矩形,則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A.平面PAB⊥平面PAD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD
D.平面PCD⊥平面PAD
4.閱讀下面題目及其證明過程,在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是(　　)
如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面BDE.
證明:因?yàn)镻O⊥底面ABCD,
所以PO⊥BD.
又因?yàn)锳C⊥BD,且AC∩PO=O,
所以　　　 　　　　　.
又因?yàn)锽D 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD
C.BD⊥平面PAC D.AC⊥平面BDE
5.(2022·全國乙卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則(　　)
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
6.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時,只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上,另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動,觀察尺邊是否和這個面密合就可以了,其原理是利用了　　　　　　　.
7.如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各邊都相等,M是PC上的一動點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足　　　　時,平面MBD⊥平面PCD.(注:只要填寫一個你認(rèn)為正確的即可)
8.α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩條不同直線,給出下列論斷:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.
以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個命題　　　　　　.(答案不唯一,寫出一個即可,填序號).
能力提升
9.(多選題) 在正四面體PABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下列結(jié)論成立的是(　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
10.(多選題)如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,點(diǎn)A到達(dá)A′的位置,此時A′C=,構(gòu)成三棱錐A′BCD,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.平面A′BD⊥平面BDC
B.平面A′BD⊥平面A′BC
C.平面A′DC⊥平面BDC
D.平面A′DC⊥平面A′BC
11.在四面體PABC中,PA=AB=AC,∠PAB=∠PAC=,∠BAC=,O為AB的中點(diǎn),則直線PO與平面PAC所成角的正弦值為　　　　.
12.如圖,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段AD1上運(yùn)動,給出以下命題:
①異面直線C1P與B1C所成的角不為定值;②平面A1CP⊥平面DBC1;③二面角PBC1D的大小為定值.其中真命題的序號為　　　　.
13.已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=
60°,E,F分別是線段AC,AD上的動點(diǎn),且==λ(0<λ<1).
(1)求證:不論λ為何值,總有平面BEF⊥平面ABC.
(2)當(dāng)λ為何值時,平面BEF⊥平面ACD
應(yīng)用創(chuàng)新
14.已知直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長為2,AB⊥BC,AB=BC=2.過AB,BB1的中點(diǎn)E,F作平面α與平面AA1C1C垂直,則所得截面周長為(　　)
A.2+ B.+2
C.3+ D.3+2

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