資源簡介

5.2　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的性質
學習目標
1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角的平面角的大小,提升邏輯推理、數學運算的核心素養.
2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的性質定理,初步學會用定理證明垂直關系,提升直觀想象、邏輯推理的數學素養.
知識探究
知識點1　二面角及其平面角
(1)二面角.
①概念:一個平面內的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面.
②圖示.
③記法:αABβ或αlβ.
(2)二面角的平面角.
①概念:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角.
②圖示.
③規定:二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角稱為直二面角.二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.
[思考1] 二面角的平面角的大小與角的頂點在棱上的位置有關嗎 請簡要說明.
提示:無關.如圖,根據等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.
知識點2　平面與平面垂直
(1)定義.
平面與平面垂直
定義 兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直,記作α⊥β
畫法 兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,如圖.
(2)平面與平面垂直的性質定理.
文字語言 兩個平面垂直,如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
作用 ①面面垂直 線面垂直; ②作面的垂線
[思考2] 若兩個平面相交但是不垂直,則一個平面內的直線能與另一個平面內的直線垂直嗎
提示:能.
[思考3] 兩個平面垂直,則一個平面內的任何一條直線都垂直于另一個平面嗎
提示:不一定,只有在一個平面內垂直于交線的直線才垂直于另一個平面.
[做一做] 如圖,在三棱錐PABC中,平面PAC⊥平面ABC,且 ∠PAC=
90°,PA=1,AB=2,則PB=　　　　.
探究點一　二面角的求法
角度1　利用定義求二面角
[例1] 如圖,在四面體PABC中,△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形,PA=3,D為PA的中點,求二面角DBCA的大小.
定義法求二面角的平面角
利用二面角的平面角的定義,在二面角的棱上取一點(特殊點),過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線,兩射線的夾角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底邊或菱形的對角線以及所求二面角的兩個面是全等的三角形等,常用此法.
[針對訓練] 如圖,在正四面體VABC中,求二面角V BCA的余弦值.
角度2　垂面法求二面角
[例2] 在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角PBCA的正切值.
求二面角大小的步驟.
[針對訓練]如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD, AC=AD,求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小.
探究點二　平面與平面垂直的性質
[例3] 如圖,已知P是△ABC所在平面外的一點,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求證:BC⊥AC.
(1)若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質定理將其轉化為線面垂直、線線垂直.在應用面面垂直的性質定理時,注意三點:①兩個平面垂直,是前提條件;②直線必須在其中一個平面內;③直線必須垂直于這兩個平面的交線.
(2)先找條件中有沒有在一個平面內與交線垂直的直線,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉化為線面垂直問題,進而轉化為線線垂直問題.
[針對訓練] 如圖所示,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是矩形,側面SDC⊥底面ABCD,求證:BC⊥SD.
當堂檢測
1.平面α⊥平面β,直線l α,直線m β,則直線l,m的位置關系是(　　)
A.相交
B.平行
C.異面
D.相交、平行或異面均有可能
2.已知平面α⊥平面β,直線a⊥β,則(　　)
A.a α B.a∥α
C.a⊥α D.a α或a∥α
3.如圖,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O為AB的中點,則圖中直角三角形的個數為　　　　.
4.在如圖所示的三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角BPAC的大小等于　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
平面與平面垂直的定義、性質 1,2,5
二面角的平面角 3,4,8,9,11
平面與平面垂直 性質的綜合應用 6,7,10, 12,13,14
基礎鞏固
1.已知α,β,γ為平面,若α∥β,α⊥γ,則β,γ的關系是(　　)
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.無法確定
2.已知α,β是兩個互相垂直的平面,l,m是兩條直線,α∩β=l,則
“m⊥l”是“m⊥α”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.在四面體ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,ABDC為直二面角,E是CD的中點,則∠AED等于(　　)
A.90° B.45° C.60° D.30°
4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,二面角ABDA1的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
5.(多選題)設m,n,l是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(　)
A.若α⊥β,m α,n β,則m⊥n
B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,則l⊥β
D.若α⊥β,則存在直線m α,使m⊥β
6.如圖,若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直,則 cos α∶cos β=　　　　.
7.把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC進行翻折,點D旋轉到點D′,使得平面D′AC⊥平面ABC,則點D′到平面ABC的距離是　　　　.
8.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分別在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1EFC等于45°,則BF=　　　　.
能力提升
9.在四面體ABCD中,已知棱AC的長為,其余棱長都為1,則二面角ACDB的平面角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
10.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=2,∠BCD=45°,∠BAD=
90°,將△ABD沿BD進行翻折,當平面ABD⊥平面BCD時,AB與平面ACD的位置關系是　　　　,直線BC與平面ABD的夾角是　　　　.
11.如圖,三棱錐PABC中,PA=PB=PC且△ABC為正三角形,M,N分別是PB,PC的中點,若截面AMN⊥側面PBC,則此棱錐側面PBC與底面ABC夾角的余弦值為　　　　.
12.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形.側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為AD邊的中點.
(1)求證:BG⊥平面PAD.
(2)求證:AD⊥PB.
13.如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,∠PDA=90°,
平面PAD⊥平面PCD.
(1)求證:AD⊥PC.
(2)若PD=AD=2,PD⊥DC,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.
應用創新
14.如圖所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,一條直角邊AC在平面α內,另一條直角邊BC長為且∠BAC=.若平面α上存在點P,使得△ABP的面積為,求線段CP長度的最小值.5.2　平面與平面垂直
第1課時　平面與平面垂直的性質
學習目標
1.理解二面角的有關概念,會作二面角的平面角,能求簡單二面角的平面角的大小,提升邏輯推理、數學運算的核心素養.
2.了解面面垂直的定義,掌握面面垂直的性質定理,初步學會用定理證明垂直關系,提升直觀想象、邏輯推理的數學素養.
知識探究
知識點1　二面角及其平面角
(1)二面角.
①概念:一個平面內的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面.從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個半平面稱為二面角的面.
②圖示.
③記法:αABβ或αlβ.
(2)二面角的平面角.
①概念:以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線的夾角稱為二面角的平面角.
②圖示.
③規定:二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角稱為直二面角.二面角的平面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.
[思考1] 二面角的平面角的大小與角的頂點在棱上的位置有關嗎 請簡要說明.
提示:無關.如圖,根據等角定理可知,∠AOB=∠A′O′B′,即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關,只與二面角的大小有關.
知識點2　平面與平面垂直
(1)定義.
平面與平面垂直
定義 兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直,記作α⊥β
畫法 兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,如圖.
(2)平面與平面垂直的性質定理.
文字語言 兩個平面垂直,如果一個平面內有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直
符號語言 a⊥β
圖形語言
作用 ①面面垂直 線面垂直; ②作面的垂線
[思考2] 若兩個平面相交但是不垂直,則一個平面內的直線能與另一個平面內的直線垂直嗎
提示:能.
[思考3] 兩個平面垂直,則一個平面內的任何一條直線都垂直于另一個平面嗎
提示:不一定,只有在一個平面內垂直于交線的直線才垂直于另一個平面.
[做一做] 如圖,在三棱錐PABC中,平面PAC⊥平面ABC,且 ∠PAC=
90°,PA=1,AB=2,則PB=　　　　.
解析:因為平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∠PAC=90°,
所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,
所以PB===.
答案:
探究點一　二面角的求法
角度1　利用定義求二面角
[例1] 如圖,在四面體PABC中,△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形,PA=3,D為PA的中點,求二面角DBCA的大小.
解:如圖,取BC的中點O,
連接AO,DO,PO.
因為△ABC與△PBC是邊長為2的正三角形,
所以AO⊥BC,PO⊥BC,
且AO=PO=.
又AO∩PO=O,AO,PO 平面POA,
所以BC⊥平面POA.
又OD 平面POA,
所以BC⊥OD,
所以∠AOD為二面角DBCA的平面角.
因為OP=OA,D是PA的中點,
所以OD⊥PA,AD=PA=,
所以sin∠AOD==.
又∠AOD為銳角,所以∠AOD=60°.
故二面角DBCA的大小為60°.
定義法求二面角的平面角
利用二面角的平面角的定義,在二面角的棱上取一點(特殊點),過該點在兩個半平面內作垂直于棱的射線,兩射線的夾角就是二面角的平面角,一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底邊或菱形的對角線以及所求二面角的兩個面是全等的三角形等,常用此法.
[針對訓練] 如圖,在正四面體VABC中,求二面角V BCA的余弦值.
解:取BC的中點O,
連接AO,VO,如圖.
設正四面體的棱長為a,
則VO=AO==a.
因為正四面體的所有棱長都相等,O是BC的中點,
所以VO⊥BC,AO⊥BC,
所以∠AOV是二面角V BCA 的平面角,
所以cos∠AOV== =.
故二面角VBCA的余弦值為.
角度2　垂面法求二面角
[例2] 在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角PBCA的正切值.
解:如圖,在平面ABCD內,過點A作AH⊥BC于點H,連接PH.
因為PA⊥平面ABCD,
BC 平面ABCD,
所以BC⊥PA.
又因為AH∩PA=A,AH,PA 平面PHA,所以BC⊥平面PHA,所以BC⊥PH,故∠PHA是二面角PBCA的平面角.
在Rt△ABH中,
AH=AB·sin∠ABC=a·sin 30°=,
在Rt△PHA中,tan∠PHA===2.
故二面角PBCA的正切值為2.
求二面角大小的步驟.
[針對訓練]如圖,AC⊥平面BCD,BD⊥CD, AC=AD,求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小.
解:因為AC⊥平面 BCD,BD 平面 BCD,
所以BD⊥AC.又因為BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD.
所以BD⊥平面 ACD,
因為AD 平面 ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即為平面 ABD 與平面 BCD 所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°,即平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小為30°.
探究點二　平面與平面垂直的性質
[例3] 如圖,已知P是△ABC所在平面外的一點,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,求證:BC⊥AC.
證明:如圖,在平面PAC內作AD⊥PC于點D,
因為平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,
AD 平面PAC,且AD⊥PC,
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,所以AD⊥BC.
因為PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
所以PA⊥BC.
因為AD∩PA=A,AD,PA 平面PAC,
所以BC⊥平面PAC.
又AC 平面PAC,所以BC⊥AC.
(1)若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質定理將其轉化為線面垂直、線線垂直.在應用面面垂直的性質定理時,注意三點:①兩個平面垂直,是前提條件;②直線必須在其中一個平面內;③直線必須垂直于這兩個平面的交線.
(2)先找條件中有沒有在一個平面內與交線垂直的直線,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉化為線面垂直問題,進而轉化為線線垂直問題.
[針對訓練] 如圖所示,在四棱錐SABCD中,底面ABCD是矩形,側面SDC⊥底面ABCD,求證:BC⊥SD.
證明:因為底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,平面SDC∩平面ABCD=CD,BC 平面ABCD,所以BC⊥平面SDC.又因為SD 平面SDC,所以BC⊥SD.
當堂檢測
1.平面α⊥平面β,直線l α,直線m β,則直線l,m的位置關系是(　D　)
A.相交
B.平行
C.異面
D.相交、平行或異面均有可能
解析:兩個平面垂直,則分別在兩個平面內的直線l,m可能相交、平行或異面.故選D.
2.已知平面α⊥平面β,直線a⊥β,則(　D　)
A.a α B.a∥α
C.a⊥α D.a α或a∥α
解析:在平面α內任取一點P作垂直平面α,β的交線的直線l,則由面面垂直的性質可知l⊥β,結合a⊥β可知a∥l,因此根據直線a是否在平面α內可知a α或 a∥α.故選D.
3.如圖,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形,O為AB的中點,則圖中直角三角形的個數為　　　　.
解析:因為CA=CB,O為AB的中點,所以CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,CO 平面ABC,所以CO⊥平面ABD.因為OD 平面ABD,所以CO⊥OD,所以△COD為直角三角形.因為△ABD是正三角形,O為AB的中點,所以DO⊥AB.
所以圖中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,△AOD,△BOD,△COD,共6個.
答案:6
4.在如圖所示的三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,則二面角BPAC的大小等于　　　　.
解析:因為PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,故∠BAC為二面角BPAC的平面角.
又∠BAC=90°,
所以二面角BPAC的大小為90°.
答案:90°
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
平面與平面垂直的定義、性質 1,2,5
二面角的平面角 3,4,8,9,11
平面與平面垂直 性質的綜合應用 6,7,10, 12,13,14
基礎鞏固
1.已知α,β,γ為平面,若α∥β,α⊥γ,則β,γ的關系是(　C　)
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.無法確定
解析:由兩平面垂直的定義可知當α∥β,α⊥γ時,β⊥γ.故選C.
2.已知α,β是兩個互相垂直的平面,l,m是兩條直線,α∩β=l,則
“m⊥l”是“m⊥α”的(　B　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:由題意知,α⊥β,α∩β=l,
若m⊥l,當m β時,有m⊥α;當m β時,m與α可能相交、平行、垂直或m α.
若m⊥α,由l α,得m⊥l.
故“m⊥l”是“m⊥α”的必要不充分條件.
故選B.
3.在四面體ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,ABDC為直二面角,E是CD的中點,則∠AED等于(　A　)
A.90° B.45° C.60° D.30°
解析:如圖,設AB=BC=CD=AD=a,取BD的中點F,連接AF,CF.
由題意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.
在Rt△AFC中,可得AC=a,
所以△ACD為正三角形.
因為E是CD的中點,所以AE⊥CD,
所以∠AED=90°.故選A.
4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,二面角ABDA1的余弦值為(　B　)
A. B. C. D.
解析:如圖所示,
∠AOA1是二面角
ABDA1的平面角,
設正方體的棱長為2,
則AO=,
A1O==,
所以cos∠AOA1==.故選B.
5.(多選題)設m,n,l是三條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(　CD　)
A.若α⊥β,m α,n β,則m⊥n
B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,則l⊥β
C.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,則l⊥β
D.若α⊥β,則存在直線m α,使m⊥β
解析:A選項中m,n可能為平行、垂直、異面直線;B選項中缺少了條件l α;C選項具備了面面垂直的性質定理的全部條件,因此C正確;D選項中,當m α且直線m與兩平面的交線垂直時,一定有m⊥β,因此D正確.故選CD.
6.如圖,若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直,則 cos α∶cos β=　　　　.
解析:由題意,平面 ABCD⊥平面CDEF,且交線為CD,DE 平面CDEF,DE⊥DC,所以DE⊥平面ABCD,所以DE⊥DB.同理可得BC⊥CE.兩個矩形的對角線長分別為5,2,所以cos α==,cos β=,
所以cos α∶cos β=∶2.
答案:∶2
7.把邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC進行翻折,點D旋轉到點D′,使得平面D′AC⊥平面ABC,則點D′到平面ABC的距離是　　　　.
解析:過點D′作D′O⊥AC,垂足為O,連接BO,如圖,
則O是AC的中點,D′O⊥平面ABC,
所以點D′到平面ABC的距離是D′O=AC=×=.
答案:
8.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分別在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1EFC等于45°,則BF=　　　　.
解析:由題意知EF⊥BC.因為CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥EF.又BC∩CC1=C,BC,CC1 平面CC1F,所以EF⊥平面CC1F,所以EF⊥C1F,故∠C1FC為二面角C1EFC的平面角,即∠C1FC=45°.
因為AA1=1,所以CF=CC1=AA1=1,又BC=2,所以BF=1.
答案:1
能力提升
9.在四面體ABCD中,已知棱AC的長為,其余棱長都為1,則二面角ACDB的平面角的余弦值為(　C　)
A. B. C. D.
解析:如圖,取DC的中點E,
AC的中點F,
連接BE,EF,BF,
則∠FEB即為所求二面角的平面角.
易求BF=,BE=,
EF=,所以∠BFE=90°,cos∠FEB==.
故選C.
10.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=2,∠BCD=45°,∠BAD=
90°,將△ABD沿BD進行翻折,當平面ABD⊥平面BCD時,AB與平面ACD的位置關系是　　　　,直線BC與平面ABD的夾角是　　　　.
解析:在四邊形ABCD中,由已知可得BD⊥DC,∠DBC=45°.因為平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,CD 平面BCD,BD⊥DC,所以CD⊥平面ABD.又AB 平面ABD,所以CD⊥AB.因為AD⊥AB,AD∩CD=
D,AD,CD 平面ACD,可得AB⊥平面ACD,由CD⊥平面ABD,則∠DBC為直線BC與平面ABD所成的角,是45°.
答案:垂直　45°
11.如圖,三棱錐PABC中,PA=PB=PC且△ABC為正三角形,M,N分別是PB,PC的中點,若截面AMN⊥側面PBC,則此棱錐側面PBC與底面ABC夾角的余弦值為　　　　.
解析:如圖,取MN和BC的中點分別為E,F,連接PE,EF.因為M,N分別是PB,PC的中點,
所以MN∥BC,PE⊥MN,
由于PA=PB=PC且△ABC為正三角形,
所以PC=PB,PA=PA,AC=AB,
故△APC≌△APB.
由于M,N分別是PB,PC的中點,因此AN=AM,故AE⊥MN.
由于截面AMN⊥側面PBC,所以∠PEA=90°,進而可得PA=AF.
由于PF⊥BC,AF⊥BC,故∠AFP為側面PBC與底面ABC的二面角的
平面角.
設AB=2a,所以PA=PB=PC=AF=a,所以PF==a,
所以EF=a,
在直角△AEF中,cos∠AFE==.
答案:
12.如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是∠DAB=60°的菱形.側面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為AD邊的中點.
(1)求證:BG⊥平面PAD.
(2)求證:AD⊥PB.
證明:(1)如圖所示,
連接BD,
由題意知,△ABD是正三角形.
因為G是AD的中點,
所以BG⊥AD.
又因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BG 平面ABCD,
所以BG⊥平面PAD.
(2)如圖所示,連接PG,
因為△PAD為正三角形,G為AD的中點,
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD,而PG∩BG=G,PG 平面PBG,BG 平面PBG,
所以AD⊥平面PBG.
又因為PB 平面PBG,
所以AD⊥PB.
13.如圖,在四棱錐PABCD中,AB∥CD,AB=4,CD=2,∠PDA=90°,
平面PAD⊥平面PCD.
(1)求證:AD⊥PC.
(2)若PD=AD=2,PD⊥DC,求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.
(1)證明:因為∠PDA=90°,所以PD⊥AD,
又平面PDA⊥平面PCD,平面PDA∩平面 PCD=PD,AD 平面PDA,
所以AD⊥平面PCD,又PC 平面PCD,所以 AD⊥PC.
(2)解:如圖,延長AD與BC的延長線交于點M,連接PM,則平面PDA∩平面PBC=PM.
因為DC∥AB,DC=2,AB=4,所以D是AM的中點.又因為PD=AD,
所以∠APM=90°,
所以AP⊥PM.又因為AD⊥平面PCD,CD 平面PCD,
所以AD⊥DC.又PD⊥DC,PD∩AD=D,PD,AD 平面PDA,
所以CD⊥平面PDA,PM 平面PDA,所以 CD⊥PM,所以AB⊥PM.
又AP∩AB=A,AP,AB 平面PAB,所以 PM⊥平面PAB.
因為PB 平面PAB,所以PM⊥PB,
所以∠APB為平面PAD與平面PBC所成角的平面角.
在Rt△PAD中,因為PD=AD=2,
可得PA=2,
在Rt△PAB中,因為PA=2,AB=4,可得 PB==2,
所以cos∠APB===,
所以平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為.
應用創新
14.如圖所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,一條直角邊AC在平面α內,另一條直角邊BC長為且∠BAC=.若平面α上存在點P,使得△ABP的面積為,求線段CP長度的最小值.
解:在Rt△ABC中,BC=,∠BAC=,則AB=,又平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面α,CP 平面α,所以BC⊥CP,得CP==.設∠ABP=θ(0<θ<π),則S△ABP=AB·BPsin θ,即=×·BPsin θ,得BP=,
當sin θ=1即θ=即AB⊥BP時,BP取到最小值1,此時CP取到最小值==.

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