資源簡介

6.2　柱、錐、臺的體積
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解柱、錐、臺的體積公式及其內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心
素養(yǎng).
2.能夠利用體積公式求柱、錐、臺的體積,提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點　柱、錐、臺的體積
棱柱的體 積公式 V棱柱=Sh 圓柱的體積公式V圓柱=Sh=πr2h 柱體的底面面積為S,高為h
棱錐的體 積公式 V棱錐=Sh 圓錐的體積公式V圓錐=Sh=πr2h 錐體的底面面積為S,高為h
棱臺的體積 公式V棱臺= (S上+S下+ )h 圓臺的體積 公式V圓臺= (S上+S下+ )h 臺體的上、下底面面積分別為S上,S下,高為h
[思考] 若圓臺的高為h,上、下底面半徑分別為r,R,如何求圓臺的體積
提示:V=πh(r2+Rr+R2).
(1)關(guān)于斜棱柱的兩個體積計算公式:
①斜棱柱的體積等于斜棱柱直截面的面積與斜棱柱側(cè)棱長的乘積;
②若三棱柱的一個側(cè)面的面積為S,該側(cè)面所對的一條側(cè)棱到該面的距離為l,則三棱柱的體積為V=Sl.
(2)關(guān)于棱錐體積的一個重要結(jié)論:在棱錐與該棱錐被平行于底面的平面所截得的小棱錐中,有如下比例關(guān)系:=對應(yīng)線段(高、側(cè)棱長、底面邊長等)的立方比.
探究點一　棱柱和圓柱的體積
[例1] (1)已知一個圓柱的側(cè)面積等于表面積的,且其軸截面的周長是16,則該圓柱的體積是(　　)
A.54π B.36π C.27π D.16π
(2)正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積為　　　　.
柱體體積的求法
求柱體體積的關(guān)鍵是求柱體的底面積與高(對于圓柱則是母線,對于直棱柱則是側(cè)棱長),尤其是對于已知條件中含正棱柱的側(cè)面的問題,要明確側(cè)面展開圖的矩形的邊長與高的關(guān)系,若不能確定,則需要分類討論.
[針對訓(xùn)練]
如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形的邊長為 2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是　　　　　　　　cm3.
探究點二　棱錐和圓錐的體積
[例2] (1)“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)·商功》記載:“斜解立方,得兩塹堵,斜解塹堵,其一為陽馬,其一為鱉臑.”即一個長方體沿對角面斜解(圖①),得到一模一樣的兩個塹堵(圖②),再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解(圖②),得一個四棱錐稱為“陽馬”(圖③),一個三棱錐稱為“鱉臑”(圖④).若長方體的體積為V,由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,V3,則下列選項正確的是(　　)
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=3V3 D.V3=V
(2)已知某圓錐的體積為,該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形,則該圓錐的側(cè)面積為　　　　.
錐體體積的求法
(1)求錐體的體積首先應(yīng)明確錐體的底面,然后求出幾何體的底面積與高后直接代入公式求解.
(2)由于四面體的任何一個面都可以作為底面,因此求四面體(三棱錐)的體積只需選用底面積和高都易求的形式即可.
(3)若所求的錐體是已知體積易求的幾何體的一部分,可以根據(jù)錐體體積與已知幾何體體積的比例關(guān)系求解.
(4)若所求幾何體的底面積或高不易求解,則可以利用間接法求解,間接法的實質(zhì)是將待求體積的幾何體分割為幾個體積易求的幾何體或拼接成一個體積易求的幾何體,將所求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為幾個體積的和或差.
[針對訓(xùn)練] (1) 如圖,圓錐PO的底面直徑和高均為4,過PO的中點O′作平行于底面的截面,以該截面為底面挖去一個圓柱,則剩下幾何體的體積是(　　)
A.10π B.
C.2π D.
(2)(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.記三棱錐 EACD,FABC,FACE的體積分別為V1,V2,V3,則(　　)
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
探究點三　棱臺和圓臺的體積
[例3] (1)如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖,若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的體積是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應(yīng)水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(≈2.65)(　　)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
臺體體積的求法
求臺體的體積首先要明確臺體的高與上、下底面,然后代入公式求解.
其中求解有關(guān)量問題應(yīng)使用解直角三角形的知識,而對于較難求解的臺體,若能夠還原成錐體,也可以將臺體的體積轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.
[針對訓(xùn)練] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則四棱臺的體積為(　　)
A.20+12 B.28
C. D.
(2)已知一個圓臺的上、下底面半徑之比為1∶2,母線長為2,其母線與底面所成的角為45°,則這個圓臺的體積為　 　　　.
當(dāng)堂檢測
1.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的體積為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
2.已知圓臺上、下底面的半徑分別為1和2,高為1,則該圓臺的體積為(　　)
A.2π B. C. D.3π
3.交通錐,又稱雪糕筒,是一種圓錐體交通隔離警戒設(shè)施.某圓錐體交通錐的高為12,側(cè)面積為65π,則該圓錐體交通錐的體積為(　　)
A.25π B.75π C.100π D.300π
4.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為　.
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點、方法 題號
柱體的體積 2,9
錐體的體積 1,8,10
臺體的體積 3,6,11
體積的綜合應(yīng)用 4,5,7,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,長分別為a,b,c,則這個三棱錐的體積為(　　)
A.abc B.abc C.abc D.abc
2.以邊長為2的正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的幾何體的體積為(　　)
A.2π B.8π C. D.
3.一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4,體積為28π,則它的表面積為(　　)
A.41π B.42π
C.29π D.(18+7)π
4.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AB=1,當(dāng)四棱錐
BA1ACC1體積最大時,直三棱柱ABCA1B1C1的表面積為(　　)
A.+1 B.+1
C. D.
5.如圖,某糧倉簡易圖(糧倉的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構(gòu)成的,若圓柱的高是圓錐高的2倍,且圓錐的母線長是4,側(cè)面積是4π,則這樣一個糧倉的容積為　　　　.
6.若圓臺的高是4,母線長為5,側(cè)面積是45π,則圓臺的體積是
　　 　.
7.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為　 .
8.如圖,一張邊長為4 cm的正方形紙片上有四塊陰影部分,將這些陰影部分裁下來,然后用余下的四個全等的等腰三角形和一個正方形做成一個正四棱錐,則該正四棱錐的體積為　　 　　cm3.
能力提升
9.2021年2月4日,在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的簡型玉器,是古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空,形狀對稱,如圖所示,圓筒內(nèi)徑長 2 cm,外徑長3 cm,筒高4 cm,中部為棱長是3 cm的正方體的一部分,圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,則該玉琮的體積為(　　)
A.(27-) cm3
B.(27-) cm3
C.(27+) cm3
D.(27+) cm3
10.(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙,若=2,則等于(　　)
A. B.2 C. D.
11.(多選題)折扇在我國已有四千年左右的歷史.“扇”與“善”同音,折扇也寓意“善良”“善行”(如圖(1)).圖(2)是一個圓臺的側(cè)面展開圖(類似折扇的結(jié)構(gòu)簡化圖),若兩個圓弧,所在圓的半徑分別是3和12,且 ∠AOD=120°,則該圓臺的(　　)
A.高為6
B.上底面積、側(cè)面積和下底面積之比為16∶14∶1
C.表面積為62π
D.體積為42π
12.我國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代,其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計的一種計時裝置.它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為 8 cm,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為　　　　 cm.
13.如圖,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點.設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1∶V2=
　　 　　.
14.某工廠利用3D打印技術(shù)制作一模型.如圖,該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點在圓錐母線上,四個頂點在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10 cm,高為10 cm.打印所用原料密度為 1 g/cm3,若不考慮打印損耗,求制作該模型所需原料的質(zhì)量.(結(jié)果保留一位小數(shù))6.2　柱、錐、臺的體積
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解柱、錐、臺的體積公式及其內(nèi)在聯(lián)系,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心
素養(yǎng).
2.能夠利用體積公式求柱、錐、臺的體積,提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點　柱、錐、臺的體積
棱柱的體 積公式 V棱柱=Sh 圓柱的體積公式V圓柱=Sh=πr2h 柱體的底面面積為S,高為h
棱錐的體 積公式 V棱錐=Sh 圓錐的體積公式V圓錐=Sh=πr2h 錐體的底面面積為S,高為h
棱臺的體積 公式V棱臺= (S上+S下+ )h 圓臺的體積 公式V圓臺= (S上+S下+ )h 臺體的上、下底面面積分別為S上,S下,高為h
[思考] 若圓臺的高為h,上、下底面半徑分別為r,R,如何求圓臺的體積
提示:V=πh(r2+Rr+R2).
(1)關(guān)于斜棱柱的兩個體積計算公式:
①斜棱柱的體積等于斜棱柱直截面的面積與斜棱柱側(cè)棱長的乘積;
②若三棱柱的一個側(cè)面的面積為S,該側(cè)面所對的一條側(cè)棱到該面的距離為l,則三棱柱的體積為V=Sl.
(2)關(guān)于棱錐體積的一個重要結(jié)論:在棱錐與該棱錐被平行于底面的平面所截得的小棱錐中,有如下比例關(guān)系:=對應(yīng)線段(高、側(cè)棱長、底面邊長等)的立方比.
探究點一　棱柱和圓柱的體積
[例1] (1)已知一個圓柱的側(cè)面積等于表面積的,且其軸截面的周長是16,則該圓柱的體積是(　　)
A.54π B.36π C.27π D.16π
(2)正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積為　　　　.
解析:(1)設(shè)圓柱的底面半徑為R,高為h.
因為圓柱的側(cè)面積等于表面積的,且其軸截面的周長是16,
所以解得
所以圓柱的體積為V=πR2h=16π.故選D.
(2)因為正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,所以有以下兩種情況:
當(dāng)6是下底面的周長,4是正三棱柱的高時,體積V=2×××4=4;
當(dāng)4是下底面的周長,6是正三棱柱的高時,體積V=×××6=.
答案:(1)D　(2)4或
柱體體積的求法
求柱體體積的關(guān)鍵是求柱體的底面積與高(對于圓柱則是母線,對于直棱柱則是側(cè)棱長),尤其是對于已知條件中含正棱柱的側(cè)面的問題,要明確側(cè)面展開圖的矩形的邊長與高的關(guān)系,若不能確定,則需要分類討論.
[針對訓(xùn)練]
如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形的邊長為 2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是　　　　　　　　cm3.
解析:正六棱柱的體積為6××22×2=12(cm3),
圓柱的體積為π×0.52×2=(cm3),
則該六角螺帽毛坯的體積為(12-)cm3.
答案:12-
探究點二　棱錐和圓錐的體積
[例2] (1)“塹堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)·商功》記載:“斜解立方,得兩塹堵,斜解塹堵,其一為陽馬,其一為鱉臑.”即一個長方體沿對角面斜解(圖①),得到一模一樣的兩個塹堵(圖②),再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解(圖②),得一個四棱錐稱為“陽馬”(圖③),一個三棱錐稱為“鱉臑”(圖④).若長方體的體積為V,由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為V1,V2,V3,則下列選項正確的是(　　)
A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2
C.V2=3V3 D.V3=V
(2)已知某圓錐的體積為,該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形,則該圓錐的側(cè)面積為　　　　.
解析:(1)設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,V=abc,
則V1==abc,V2=abc,V3=×·abc=abc,
故V1+V2+V3=abc=V,V1=V2,V2=2V3,V3=V.故選D.
(2)設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長為l,高為h,
圓錐的體積V=πR2h=,
化簡得R2h=2.
側(cè)面展開圖的圓心角α==,化簡得l=R,
由勾股定理可得l2=R2+h2 4R2=h2 h=2R,
代入R2h=2得R=1,所以l=R=.
圓錐的側(cè)面積S=πRl=π×1×=π.
答案:(1)D　(2)π
錐體體積的求法
(1)求錐體的體積首先應(yīng)明確錐體的底面,然后求出幾何體的底面積與高后直接代入公式求解.
(2)由于四面體的任何一個面都可以作為底面,因此求四面體(三棱錐)的體積只需選用底面積和高都易求的形式即可.
(3)若所求的錐體是已知體積易求的幾何體的一部分,可以根據(jù)錐體體積與已知幾何體體積的比例關(guān)系求解.
(4)若所求幾何體的底面積或高不易求解,則可以利用間接法求解,間接法的實質(zhì)是將待求體積的幾何體分割為幾個體積易求的幾何體或拼接成一個體積易求的幾何體,將所求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為幾個體積的和或差.
[針對訓(xùn)練] (1) 如圖,圓錐PO的底面直徑和高均為4,過PO的中點O′作平行于底面的截面,以該截面為底面挖去一個圓柱,則剩下幾何體的體積是(　　)
A.10π B.
C.2π D.
(2)(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,四邊形ABCD為正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.記三棱錐 EACD,FABC,FACE的體積分別為V1,V2,V3,則(　　)
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
解析:(1)因為O′為PO的中點,所以挖去圓柱的半徑為1,高為2,
剩下幾何體的體積為圓錐的體積減去小圓柱的體積,
所以V=×π×22×4-π×12×2=.故選B.
(2)如圖,連接BD交AC于點O,
連接OE,OF.
設(shè)AB=ED=2FB=2,
則AB=BC=CD=AD=2,FB=1.
因為ED⊥平面ABCD,
FB∥ED,
所以FB⊥平面ABCD,
所以V1==S△ACD·ED
=×AD·CD·ED=××2×2×2=,
V2==S△ABC·FB
=×AB·BC·FB=××2×2×1=.
因為ED⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以ED⊥AC.
又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD 平面BDEF,
所以AC⊥平面BDEF.
因為OE,OF 平面BDEF,
所以AC⊥OE,AC⊥OF.
易知AC=BD=AB=2,
OB=OD=BD=,OF==,
OE==,
EF===3,
所以EF2=OE2+OF2,
所以O(shè)F⊥OE.又OE∩AC=O,
OE,AC 平面ACE,所以O(shè)F⊥平面ACE,
所以V3==S△ACE·OF=
×AC·OE·OF=××2××=2,所以V3≠2V2,V1≠V3,
V3=V1+V2,2V3=3V1,
所以選項A,B不正確,選項C,D正確.故選CD.
探究點三　棱臺和圓臺的體積
[例3] (1)如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖,若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺的體積是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5 m時,相應(yīng)水面的面積為140.0 km2;水位為海拔157.5 m時,相應(yīng)水面的面積為180.0 km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5 m上升到157.5 m時,增加的水量約為(≈2.65)(　　)
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
解析:(1)如圖,設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為h,
母線長為l,
則2πr=π×1,2πR=π×2,
解得r=,R=1,l=2-1=1,h===,
則上底面的面積為S′=π×=,下底面的面積為S=π×12=π,
圓臺的體積為(S+S′+)h=×(π++)×=.
故選B.
(2)如圖,由已知得該棱臺的高為157.5-148.5=9(m),
所以該棱臺的體積V=×9×(140++180)×106
=60×(16+3)×106≈60×(16+3×2.65)×106
=1.437×109≈1.4×109(m3).故選C.
臺體體積的求法
求臺體的體積首先要明確臺體的高與上、下底面,然后代入公式求解.
其中求解有關(guān)量問題應(yīng)使用解直角三角形的知識,而對于較難求解的臺體,若能夠還原成錐體,也可以將臺體的體積轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差.
[針對訓(xùn)練] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,則四棱臺的體積為(　　)
A.20+12 B.28
C. D.
(2)已知一個圓臺的上、下底面半徑之比為1∶2,母線長為2,其母線與底面所成的角為45°,則這個圓臺的體積為　 　　　.
解析:(1)作出圖形,連接該正四棱臺上、下底面的中心,如圖,
因為該四棱臺上、下底面邊長分別為2,4,側(cè)棱長為2,
所以該棱臺的高h(yuǎn)==,
下底面面積S1=16,上底面面積S2=4,
所以該棱臺的體積V=h(S1+S2+)=××(16+4+)=.故選D.
(2)根據(jù)題意,圓臺的軸截面是等腰梯形,如圖所示,
BC=2,2O1C=O2B,∠CBA=45°,
過點C作CE⊥AB,垂足為E,
所以在Rt△BCE 中,CE=BE=2.
因為圓臺的上、下底面半徑之比為1∶2,
所以O(shè)2B=2O1C=2BE=4,即圓臺的上底面半徑為2,
下底面半徑為4,高為2,
所以圓臺的體積為
V=(S上+S下+)h=×(4π+16π+)×2=.
答案:(1)D　(2)
當(dāng)堂檢測
1.已知正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則它的體積為(　B　)
A.2 B.4 C.6 D.12
解析:由題意,正四棱錐的底面邊長為2,高為3,則底面正方形的面積為S=2×2=4,所以四棱錐的體積為V=Sh=×4×3=4.故選B.
2.已知圓臺上、下底面的半徑分別為1和2,高為1,則該圓臺的體積為(　B　)
A.2π B. C. D.3π
解析:由題意,設(shè)圓臺的上底面半徑為r,下底面半徑為R,高為h,
則r=1,R=2,h=1,
則該圓臺的體積V=πh(R2+r2+Rr)=π×1×(4+1+2)=.故選B.
3.交通錐,又稱雪糕筒,是一種圓錐體交通隔離警戒設(shè)施.某圓錐體交通錐的高為12,側(cè)面積為65π,則該圓錐體交通錐的體積為(　C　)
A.25π B.75π C.100π D.300π
解析:設(shè)該圓錐體交通錐的底面半徑為r,則πr·=65π,解得r=5,所以該圓錐體交通錐的體積為=100π.故選C.
4.(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為　.
解析:由于=,而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,
所以原正四棱錐的體積為×(4×4)×6=32,
截去的正四棱錐的體積為×(2×2)×3=4,
所以棱臺的體積為32-4=28.
答案:28
課時作業(yè)
選題明細(xì)表
知識點、方法 題號
柱體的體積 2,9
錐體的體積 1,8,10
臺體的體積 3,6,11
體積的綜合應(yīng)用 4,5,7,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,長分別為a,b,c,則這個三棱錐的體積為(　B　)
A.abc B.abc C.abc D.abc
解析:因為三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,長分別為a,b,c,所以這個三棱錐的體積為V=Sh=×abc=abc.故選B.
2.以邊長為2的正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周,所得到的幾何體的體積為(　B　)
A.2π B.8π C. D.
解析:以邊長為2的正方形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是以2為底面半徑,高為2的圓柱,
由圓柱的體積公式得V=π×22×2=8π,
所以所得到的幾何體的體積為8π.故選B.
3.一個圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4,體積為28π,則它的表面積為(　B　)
A.41π B.42π
C.29π D.(18+7)π
解析:設(shè)圓臺的高為h,則πh(12+42+1×4)=28π,解得h=4,
所以圓臺的母線長為=5,
則圓臺的表面積為π(12+42)+π(1+4)×5=42π.故選B.
4.如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AB=1,當(dāng)四棱錐
BA1ACC1體積最大時,直三棱柱ABCA1B1C1的表面積為(　C　)
A.+1 B.+1
C. D.
解析:由題意,四棱錐BA1ACC1的體積是三棱柱體積的,=AC·BC·AA1=AC·BC≤(AC2+BC2)=AB2=,
當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=時,取等號.
所以S=2×××+(++1)×1=.故選C.
5.如圖,某糧倉簡易圖(糧倉的底部位于地面上)是由圓柱和圓錐構(gòu)成的,若圓柱的高是圓錐高的2倍,且圓錐的母線長是4,側(cè)面積是4π,則這樣一個糧倉的容積為　　　　.
解析:設(shè)圓錐的母線長為l,
底面半徑為r,高為h,
所以πrl=4π,解得r=1,h==,
所以圓柱的高為2,
所以這樣一個糧倉的容積為×π×12×+π×12×2=π.
答案:π
6.若圓臺的高是4,母線長為5,側(cè)面積是45π,則圓臺的體積是
　　 　.
解析:設(shè)上、下底面的半徑分別為r,R(R>r),
得R-r=3,即R=3+r,
圓臺的側(cè)面積公式S=π(r+R)l=π(r+3+r)l=π(2r+3)·5=45π,
所以r=3,則R=6.
所以圓臺的體積為V=πh(R2+Rr+r2)=π×4×(36+18+9)=84π.
答案:84π
7.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為　 .
解析:設(shè)新圓錐、圓柱的底面半徑為r,
則×πr2×4+πr2×8=×π×52×4+π×22×8,
解得r=.
答案:
8.如圖,一張邊長為4 cm的正方形紙片上有四塊陰影部分,將這些陰影部分裁下來,然后用余下的四個全等的等腰三角形和一個正方形做成一個正四棱錐,則該正四棱錐的體積為　　 　　cm3.
解析:如圖(1),設(shè)正方形紙片為A1B1C1D1,其內(nèi)的小正方形為ABCD,做成的正四棱錐為PABCD(如圖(2)).設(shè)D1C1,AD的中點分別為H,G,連接D1G,DH.
由題意,BD=2 cm,A1D1=4 cm,
由對稱性可知DH=1 cm,D1H=2 cm,
所以DD1= cm,所以D1G===(cm).
即在正四棱錐PABCD中,PG= cm.
又OG=AB= cm,
所以PO===2(cm).
所以正四棱錐PABCD的體積為
V=S正方形ABCD·PO=×()2×2=(cm3).
答案:
能力提升
9.2021年2月4日,在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的簡型玉器,是古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空,形狀對稱,如圖所示,圓筒內(nèi)徑長 2 cm,外徑長3 cm,筒高4 cm,中部為棱長是3 cm的正方體的一部分,圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面,則該玉琮的體積為(　B　)
A.(27-) cm3
B.(27-) cm3
C.(27+) cm3
D.(27+) cm3
解析:圓筒體積為底面半徑 cm,高度為4 cm的圓柱體的體積減去底面半徑為1 cm,高度為4 cm的圓柱體的體積,
故其體積V1=π×()2×4-π×12×4=5π(cm3);
中間部分的體積為棱長為3 cm的正方體的體積減去底面半徑為 cm,高為3 cm的圓柱體的體積,故其體積V2=27-π×()2×3=(27-) cm3;
故玉琮的體積V=27-+5π=(27-π) cm3.故選B.
10.(2022·全國甲卷)甲、乙兩個圓錐的母線長相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙,若=2,則等于(　C　)
A. B.2 C. D.
解析:法一　因為甲、乙兩個圓錐的母線長相等,所以結(jié)合=2可知,甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個圓錐的母線長為l=3,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則由題意知,兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個周長為6π的圓,所以 2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,
h1==,h2==2,所以 ===.故選C.
法二　設(shè)兩圓錐的母線長為l,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,側(cè)面展開圖的圓心角分別為n1,n2,則由===2,得==2.由題意知n1+n2=2π,所以n1=,n2=,所以2πr1=l,
2πr2=l,得r1=l,r2=l.
由勾股定理得,h1==l,h2==l,
所以===.故選C.
11.(多選題)折扇在我國已有四千年左右的歷史.“扇”與“善”同音,折扇也寓意“善良”“善行”(如圖(1)).圖(2)是一個圓臺的側(cè)面展開圖(類似折扇的結(jié)構(gòu)簡化圖),若兩個圓弧,所在圓的半徑分別是3和12,且 ∠AOD=120°,則該圓臺的(　ACD　)
A.高為6
B.上底面積、側(cè)面積和下底面積之比為16∶14∶1
C.表面積為62π
D.體積為42π
解析:對于A,設(shè)圓臺的上底面圓的半徑為r,下底面圓的半徑為R,
則2πr=×3且2πR=×12,解得r=1,R=4.
由圓臺的母線長為l=12-3=9,所以圓臺的高為h==6,
所以A正確.
對于B,圓臺的上、下底面面積分別為S1=πr2=π×12=π,S2=πR2=π×42=16π,
其側(cè)面積為S=π(r+R)·l=π(1+4)×9=45π,
所以上底面積、側(cè)面積和下底面積之比為1∶45∶16,所以B不正確.
對于C,由B項得,圓臺的表面積為π+16π+45π=62π,所以C正確.
對于D,圓臺的體積為
V=π(r2+Rr+R2)·h=π(1+4+16)×6=42π,所以D正確.
故選ACD.
12.我國古代計時器的發(fā)明時間不晚于戰(zhàn)國時代,其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計的一種計時裝置.它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成,開始時細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖,某沙漏由上、下兩個圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為 8 cm,細(xì)沙全部在上部時,其高度為圓錐高度的(細(xì)管長度忽略不計).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為　　　　 cm.
解析:由題意可知,開始時,
沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高H=×8=(cm),
底面圓的半徑r=×4=(cm),
故細(xì)沙的體積
V=πr2H=π×()2×=(cm3).
當(dāng)細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為4 cm,設(shè)高為H′ cm,
則π·42·H′=,
解得H′= cm,
故此圓錐形沙堆的高為 cm.
答案:
13.如圖,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點.設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1∶V2=
　　 　　.
解析:設(shè)三棱柱的底面△ABC的面積為S,高為h,則其體積V2=Sh.
因為D,E分別為AB,AC的中點,所以△ADE的面積等于S.
又因為F為AA1的中點,所以F到底面ABC的距離是A1到底面ABC距離h的一半,即為h.
所以三棱錐FADE的體積V1=×S×h=Sh=V2,
則V1∶V2=1∶24=.
答案:
14.某工廠利用3D打印技術(shù)制作一模型.如圖,該模型為在圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點在圓錐母線上,四個頂點在圓錐底面上),圓錐底面直徑為10 cm,高為10 cm.打印所用原料密度為 1 g/cm3,若不考慮打印損耗,求制作該模型所需原料的質(zhì)量.(結(jié)果保留一位小數(shù))
解:幾何體的軸截面圖如圖所示,
設(shè)正方體的棱長為a cm,則=,
解得a=5,
所以該模型的體積V=π×(5)2×10-53=-125≈398.33(cm3).
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為398.33×1≈398.3(g).

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