資源簡介

§6　簡單幾何體的再認識
6.1　柱、錐、臺的側面展開與面積
學習目標
1.了解柱、錐、臺的側面展開圖及其內在聯系,發展直觀想象的核心素養.
2.利用柱、錐、臺的有關面積公式求側面積與表面積,提升數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　圓柱、圓錐、圓臺的側面展開與面積
幾何體 側面展開圖 側面積 表面積公式
圓柱 S圓柱側=2πrl,r為底面半徑,l為母線長 S圓柱=2πr(r+l),r為底面半徑,l為母線長
圓錐 S圓錐側=πrl,r為底面半徑,l為母線長 S圓錐=πr(r+l),r為底面半徑,l為母線長
圓臺 S圓臺側=π(r1+r2)l,r1為上底面半徑,r2為下底面半徑,l為母線長 S圓臺=π(++r1l+r2l),r1為上底面半徑,r2為下底面半徑,l為母線長
知識點2　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開與面積
幾何體 側面展開圖 側面積 表面積公式
直棱柱 S直棱柱側=ch,c為底面周長,h為棱柱的高 S表=S側+S底
正棱錐 S正棱錐側=ch′,c為底面周長,h′為棱錐的斜高 S表=S側+S底
正棱臺 S正棱臺側=(c1+c2)h′,c1,c2分別為上、下底面周長,h′為棱臺的斜高 S表=S側+S上+S下
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖:棱柱的側面展開圖是由多個平行四邊形組成的平面圖形,棱錐的側面展開圖是由多個三角形組成的平面圖形,棱臺的側面展開圖是由多個梯形組成的平面圖形.
(2)關于棱錐側面積的一個重要結論:在棱錐與該棱錐被平行于底面的平面所截得的小棱錐中,有如下比例關系:===對應線段(高、側棱長、底面邊長等)的平方比.
(3)斜棱柱的側面積等于直截面的周長與側棱長的乘積.
探究點一　圓柱、圓錐、圓臺的側面展開與面積
[例1] (1)一個圓柱的側面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的側面積與表面積之比為(　　)
A.2π∶(1+2π) B.π∶(1+π)
C.2π∶(1+π) D.π∶(1+2π)
(2)某圓錐的側面積為8π,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的底面半徑長為(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
(3)某圓臺的側面積是上、下兩底面積之差絕對值的2倍,則其母線與底面的夾角為(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
求旋轉體側面積及表面積的要點
(1)因為軸截面聯系著母線、底面半徑、高等元素,因此處理好軸截面中邊角關系是解題的關鍵.
(2)對于圓臺問題,要重視“還臺為錐”的思想方法.
(3)在計算圓柱、圓錐、圓臺的側面積或表面積時,應根據已知條件先計算出它們的母線和底面圓半徑的長,而求解這些未知量常常需要列方程.
[針對訓練] (1)已知圓柱的底面直徑和高均為2,則該圓柱的表面積為(　　)
A.4π B.6π C.8π D.16π
(2)已知圓錐的側面積是底面積的倍,則母線與底面所成的角為(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
(3)已知圓臺的上、下底面中心分別為O1,O2,過直線O1O2的截面是上、下底邊邊長分別為2和4,且高為的等腰梯形,則該圓臺的側面積為(　　)
A.3π B.3π C.6π D.6π
探究點二　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面
展開與面積
[例2] (1)已知長方體所有棱的長度之和為28,一條對角線的長度為,則該長方體的表面積為(　　)
A.32 B.20 C.16 D.12
(2)(多選題)已知正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為θ,若
θ=30°,側棱長為,則(　　)
A.正四棱錐的底面邊長為6
B.正四棱錐的底面邊長為3
C.正四棱錐的側面積為24
D.正四棱錐的側面積為12
(3)已知正四棱臺上底面邊長為2,下底面邊長為4,高為3,則其表面積為(　　)
A.3 B.12+20
C.12+20 D.48
求棱柱、棱錐和棱臺的表面積與側面積,要明確各面的形狀,正確利用平面圖形的面積公式,有關的量經常歸納到直角三角形中以利用勾股定理,未知量較多時需要列出有關的方程或方程組.
[針對訓練] (1)六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形,側面是矩形,側棱長為4,則其表面積等于(　　)
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
(2)正四棱臺的上、下底面邊長分別是方程x2-9x+18=0的兩根,其側面積等于兩底面面積之和,則其側面梯形的高為　　　　.
探究點三　不規則多面體的表面積
[例3]
我國古代數學名著《九章算術》中記載的“芻甍”,是底面為矩形且頂部只有一條棱的五面體.如圖,五面體ABCDEF是一個芻甍.四邊形ABCD為矩形,△ADE與△BCF都是等邊三角形,AB=4,AD=EF=2,則此“芻甍”的表面積為(　　)
A.8+8 B.8+7
C.8+5 D.8+4
求不規則多面體的表面積問題,根據圖形特征將多面體分割為可以求解的規則的多面體,將不規則多面體的表面積轉化為規則的多面體的表面積的和(求解時要注意重復部分的面積).
[針對訓練] (多選題)已知一個直角三角形的直角邊長分別為3與4,以這個直角三角形的一條邊所在直線為軸,其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個幾何體,這個幾何體的表面積可以是(　　)
A.21π B.24π C.36π D.
當堂檢測
1.若圓臺的上、下底面半徑分別是1和3,它的側面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺的母線長是(　　)
A.2 B.2.5 C.5 D.10
2.各棱長均為a的三棱錐的表面積為(　　)
A.4a2 B.3a2 C.a2 D.2a2
3.已知圓錐的母線長為2,軸截面面積為,則圓錐的側面積為(　　)
A.π B.π或2π
C.2π D.2π或2π
4.正三棱錐的底面邊長為a,高為a,則此棱錐的表面積為　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
旋轉體的面積 1,2,4,7,11
多面體的面積 3,5,6,8,9,12
柱、錐、臺面積的綜合 10,13,14
基礎鞏固
1.已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為10,圓臺的側面積為160π,則圓臺較小底面的半徑為(　　)
A.7 B.6 C.5 D.4
2.某圓錐高為,母線與底面的夾角為,則該圓錐的表面積為(　　)
A.3π B.4π C.5π D.6π
3.若某正四棱臺的上、下底面邊長分別為3,9,側棱長是6,則它的表面積為(　　)
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
4.已知梯形ABCO按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形
A′B′C′O′,且A′B′=1,O′A′=2,O′C′=4,現將梯形 ABCO繞 OA旋轉一周得到一個幾何體,則該幾何體的側面積為(　　)
A.15π B.18π C.25π D.28π
5.如圖(1)所示,已知正方體的面對角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖(2)所示的幾何體,那么此幾何體的表面積為(　　)
A.(1+2)a2 B.(2+)a2
C.(3+2)a2 D.(4+2)a2
6.已知正三棱錐PABC的底面邊長為6,PA所在直線與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐的側面積為　　　 　.
7.攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式.宋代稱為撮尖,清代稱為攢尖.通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖,也有單檐和重檐之分,多見于亭閣式建筑,園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖,可近似看作一個圓錐,已知其軸截面是底邊長為6 m,頂角為的等腰三角形,則該屋頂的面積為　　　　m2.
8.現有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長為9和15,高是5,則該直四棱柱的側面積為　　　 　.
能力提升
9.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為(　　)
A.4 B. C.2 D.4
10.若正方體的棱長為,則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的表面積為(　　)
A. B.2 C. D.
11.將表面積為36π的圓錐沿母線將其側面展開,得到一個圓心角為的扇形,則該圓錐的軸截面的面積S=　　 　　.
12.我國有一種容器叫作方斗,方斗的形狀是一個上大下小的正四棱臺.如果一個方斗的高為3 dm(即該方斗上、下底面的距離為3 dm),上底邊長為6 dm,下底邊長為4 dm,則此方斗外表面的側面積為
　　　　 dm2.(容器厚度忽略不計)
13.圓臺的母線長為8 cm,母線與底面成60°角,軸截面的兩條對角線互相垂直,求圓臺的表面積.
14.如圖,已知圓錐的頂點為P,母線PA,PB所成角的余弦值為,軸截面等腰三角形PAC的頂角為90°.若△PAB的面積為2.
(1)求該圓錐的側面積;
(2)求該圓錐的內接圓柱側面積的最大值.§6　簡單幾何體的再認識
6.1　柱、錐、臺的側面展開與面積
學習目標
1.了解柱、錐、臺的側面展開圖及其內在聯系,發展直觀想象的核心素養.
2.利用柱、錐、臺的有關面積公式求側面積與表面積,提升數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　圓柱、圓錐、圓臺的側面展開與面積
幾何體 側面展開圖 側面積 表面積公式
圓柱 S圓柱側=2πrl,r為底面半徑,l為母線長 S圓柱=2πr(r+l),r為底面半徑,l為母線長
圓錐 S圓錐側=πrl,r為底面半徑,l為母線長 S圓錐=πr(r+l),r為底面半徑,l為母線長
圓臺 S圓臺側=π(r1+r2)l,r1為上底面半徑,r2為下底面半徑,l為母線長 S圓臺=π(++r1l+r2l),r1為上底面半徑,r2為下底面半徑,l為母線長
知識點2　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面展開與面積
幾何體 側面展開圖 側面積 表面積公式
直棱柱 S直棱柱側=ch,c為底面周長,h為棱柱的高 S表=S側+S底
正棱錐 S正棱錐側=ch′,c為底面周長,h′為棱錐的斜高 S表=S側+S底
正棱臺 S正棱臺側=(c1+c2)h′,c1,c2分別為上、下底面周長,h′為棱臺的斜高 S表=S側+S上+S下
(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面展開圖:棱柱的側面展開圖是由多個平行四邊形組成的平面圖形,棱錐的側面展開圖是由多個三角形組成的平面圖形,棱臺的側面展開圖是由多個梯形組成的平面圖形.
(2)關于棱錐側面積的一個重要結論:在棱錐與該棱錐被平行于底面的平面所截得的小棱錐中,有如下比例關系:===對應線段(高、側棱長、底面邊長等)的平方比.
(3)斜棱柱的側面積等于直截面的周長與側棱長的乘積.
探究點一　圓柱、圓錐、圓臺的側面展開與面積
[例1] (1)一個圓柱的側面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的側面積與表面積之比為(　　)
A.2π∶(1+2π) B.π∶(1+π)
C.2π∶(1+π) D.π∶(1+2π)
(2)某圓錐的側面積為8π,其側面展開圖為一個半圓,則該圓錐的底面半徑長為(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
(3)某圓臺的側面積是上、下兩底面積之差絕對值的2倍,則其母線與底面的夾角為(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
解析:(1)設圓柱底面半徑為r,高為h,則2πr=h,
====.故選A.
(2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,由圓錐的性質可得側面展開圖的半徑為l,弧長為πl,又圓錐的底面周長為2πr,所以2πr=πl l=2r,又πl2=8π l=4,所以r=2,即圓錐的底面半徑長為2.
故選A.
(3)設圓臺上、下底面圓的半徑分別為r,R(R>r),母線長為l,
由題意知,2π(R2-r2)=πl(R+r),
即2(R-r)=l,
所以圓臺的母線與底面的夾角的余弦值為
cos θ==,解得θ=60°.故選C.
求旋轉體側面積及表面積的要點
(1)因為軸截面聯系著母線、底面半徑、高等元素,因此處理好軸截面中邊角關系是解題的關鍵.
(2)對于圓臺問題,要重視“還臺為錐”的思想方法.
(3)在計算圓柱、圓錐、圓臺的側面積或表面積時,應根據已知條件先計算出它們的母線和底面圓半徑的長,而求解這些未知量常常需要列方程.
[針對訓練] (1)已知圓柱的底面直徑和高均為2,則該圓柱的表面積為(　　)
A.4π B.6π C.8π D.16π
(2)已知圓錐的側面積是底面積的倍,則母線與底面所成的角為(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
(3)已知圓臺的上、下底面中心分別為O1,O2,過直線O1O2的截面是上、下底邊邊長分別為2和4,且高為的等腰梯形,則該圓臺的側面積為(　　)
A.3π B.3π C.6π D.6π
解析:(1)依題意圓柱的底面半徑r=1,高h=2,所以圓柱的表面積S=2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×2=6π.故選B.
(2)設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,母線與底面所成的角為θ,因為圓錐的側面積是底面積的倍,則πrl=πr2,可得l=r,所以cos θ==,則θ=45°,因此,母線與底面所成的角為45°.故選B.
(3)設圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,高為h,母線長為l,由題意,r1=1,r2=2,且截面等腰梯形的腰是該圓臺的母線,則母線長l===2,則該圓臺的側面積S側=π(r1+r2)l=6π.故選C.
探究點二　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側面
展開與面積
[例2] (1)已知長方體所有棱的長度之和為28,一條對角線的長度為,則該長方體的表面積為(　　)
A.32 B.20 C.16 D.12
(2)(多選題)已知正四棱錐的側面與底面所成的銳二面角為θ,若
θ=30°,側棱長為,則(　　)
A.正四棱錐的底面邊長為6
B.正四棱錐的底面邊長為3
C.正四棱錐的側面積為24
D.正四棱錐的側面積為12
(3)已知正四棱臺上底面邊長為2,下底面邊長為4,高為3,則其表面積為(　　)
A.3 B.12+20
C.12+20 D.48
解析:(1)設長方體的長、寬、高分別為a,b,c,
則所以ab+bc+ac=16,
所以該長方體的表面積為32.故選A.
(2)如圖,在正四棱錐SABCD中,O為正方形ABCD的中心,H為AB的中點,則SH⊥AB.設底面邊長為2a(a>0),則OH=a.因為∠SHO=30°,所以OS=a,SH=a.在Rt△SAH中,a2+(a)2=21,所以a=3,底面邊長為6,側面積為S=×6×2×4=24.故選AC.
(3)如圖,作B1H⊥平面ABCD,B1Q⊥BC,垂足分別為H,Q,連接HQ.
由題可知,HQ=1,B1H=3,所以B1Q==,所以表面積S=22+42+4××(2+4)×=20+12.故選B.
求棱柱、棱錐和棱臺的表面積與側面積,要明確各面的形狀,正確利用平面圖形的面積公式,有關的量經常歸納到直角三角形中以利用勾股定理,未知量較多時需要列出有關的方程或方程組.
[針對訓練] (1)六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形,側面是矩形,側棱長為4,則其表面積等于(　　)
A.12+12 B.48+12
C.64+6 D.72+6
(2)正四棱臺的上、下底面邊長分別是方程x2-9x+18=0的兩根,其側面積等于兩底面面積之和,則其側面梯形的高為　　　　.
解析:(1)由題意,側面積為6×2×4=48,
底面積為2×6××2×2×sin 60°=12,
所以六棱柱的表面積等于48+12.
故選B.
(2)解方程x2-9x+18=0得x=3或x=6,
所以正四棱臺的上、下底面邊長分別為3,6.
設棱臺的斜高為h,則4××(3+6)h=32+62=45,所以h=.
答案:(1)B　(2)
探究點三　不規則多面體的表面積
[例3]
我國古代數學名著《九章算術》中記載的“芻甍”,是底面為矩形且頂部只有一條棱的五面體.如圖,五面體ABCDEF是一個芻甍.四邊形ABCD為矩形,△ADE與△BCF都是等邊三角形,AB=4,AD=EF=2,則此“芻甍”的表面積為(　　)
A.8+8 B.8+7
C.8+5 D.8+4
解析:如圖所示,過F作FO⊥平面ABCD,垂足為O,
取BC的中點P,連接OP,PF,過F作FQ⊥AB,垂足為Q,連接OQ,
則多面體各側面斜高均為,
S表面積=×2××2+×2+2×4=2+6+8=8+8.故選A.
求不規則多面體的表面積問題,根據圖形特征將多面體分割為可以求解的規則的多面體,將不規則多面體的表面積轉化為規則的多面體的表面積的和(求解時要注意重復部分的面積).
[針對訓練] (多選題)已知一個直角三角形的直角邊長分別為3與4,以這個直角三角形的一條邊所在直線為軸,其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個幾何體,這個幾何體的表面積可以是(　　)
A.21π B.24π C.36π D.
解析:設直角三角形ABC中,AB=4,BC=3,則AC=5,BD==.
①當以AB所在直線為軸時,其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個圓錐,
則表面積為π×32+π×3×5=24π;
②當以BC所在直線為軸時,其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成一個圓錐,
則表面積為π×42+π×4×5=36π;
③當以AC所在直線為軸時,其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成2個共底面的圓錐,
則表面積為π××4+π××3=π.故選BCD.
當堂檢測
1.若圓臺的上、下底面半徑分別是1和3,它的側面積是兩底面面積和的2倍,則圓臺的母線長是(　C　)
A.2 B.2.5 C.5 D.10
解析:設母線長為l,
則側面積為S=π×(1+3)·l=4πl,
因為側面積是兩底面面積和的2倍,
所以2×(π×12+π×32)=4πl,所以l=5.故選C.
2.各棱長均為a的三棱錐的表面積為(　C　)
A.4a2 B.3a2 C.a2 D.2a2
解析:由題意可知該三棱錐是正四面體,各個三角形的邊長均為a,三棱錐的表面積就是四個全等三角形的面積和,即4×a2=a2.故選C.
3.已知圓錐的母線長為2,軸截面面積為,則圓錐的側面積為(　D　)
A.π B.π或2π
C.2π D.2π或2π
解析:已知圓錐的母線長l=2,設圓錐的底面半徑為r,高為h,
由已知得解得或
由于圓錐的側面積為S=×2πr×l=2πr,所以S=2π或S=2π.故選D.
4.正三棱錐的底面邊長為a,高為a,則此棱錐的表面積為　　　　.
解析:如圖,
在三棱錐SABC中,
AB=a,SO=a,于是OD=AB·sin 60°=a,
從而SD==,
故三棱錐的表面積S=3×·a·+·a·a=a2.
答案:a2
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
旋轉體的面積 1,2,4,7,11
多面體的面積 3,5,6,8,9,12
柱、錐、臺面積的綜合 10,13,14
基礎鞏固
1.已知圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,母線長為10,圓臺的側面積為160π,則圓臺較小底面的半徑為(　D　)
A.7 B.6 C.5 D.4
解析:設圓臺的底面半徑分別為r,3r,
則π(r+3r)·10=160π,解得r=4.故選D.
2.某圓錐高為,母線與底面的夾角為,則該圓錐的表面積為(　A　)
A.3π B.4π C.5π D.6π
解析:由圓錐高為,母線與底面的夾角為,
得圓錐底面圓半徑r==1,母線l==2,
所以圓錐的表面積S=πr2+πrl=3π.故選A.
3.若某正四棱臺的上、下底面邊長分別為3,9,側棱長是6,則它的表面積為(　A　)
A.90+72 B.90+27
C.90+72 D.90+27
解析:如圖,由題意可得,上底面的面積為9,下底面的面積為81,
側面的高為=3,
所以該正四棱臺的表面積為9+81+4×=90+72.故選A.
4.已知梯形ABCO按斜二測畫法得到的直觀圖為如圖所示的梯形
A′B′C′O′,且A′B′=1,O′A′=2,O′C′=4,現將梯形 ABCO繞 OA旋轉一周得到一個幾何體,則該幾何體的側面積為(　C　)
A.15π B.18π C.25π D.28π
解析:由題意將梯形A′B′C′O′復原為原圖,即直角梯形ABCO,
其中AB=1,OA=4,OC=4,則BC==5,
故將梯形ABCO繞OA旋轉一周得到一個幾何體為圓臺,
圓臺上底面半徑為1,下底面半徑為4,高為4,母線長為5,
故該幾何體的側面積為π(1+4)×5=25π.故選C.
5.如圖(1)所示,已知正方體的面對角線長為a,沿陰影面將它切割成兩塊,拼成如圖(2)所示的幾何體,那么此幾何體的表面積為(　D　)
A.(1+2)a2 B.(2+)a2
C.(3+2)a2 D.(4+2)a2
解析:因為正方體的面對角線長為a,則其棱長為a,題圖(2)所示的幾何體是平行六面體,上下,左右,前后兩兩的面積分別相等,上、下底面是長和寬分別為a和a的矩形,其面積均為a·a=a2,
前、后兩個面是兩個全等的等腰直角三角形拼成的平行四邊形,其面積均為2×·a·a=a2,
左、右兩個面是邊長為a的正方形,其面積均為a·a=a2,
則此幾何體的表面積為2(a2+a2+a2)=(4+2)a2.故選D.
6.已知正三棱錐PABC的底面邊長為6,PA所在直線與底面ABC所成的角為60°,則該三棱錐的側面積為　　　 　.
解析:如圖,作AD⊥BC于點D,因為PABC為正三棱錐,所以D為BC的中點,連接PD,則PD⊥BC,
過P作PO⊥平面ABC,則點O為正三角形的中心,點O在AD上,
所以∠PAO=60°,正三角形的邊長為6.
則AD==3,AO=AD=2,DO=,PO=AO·tan 60°=6,
斜高PD==,
三棱錐的側面積為S=3××6×=9.
答案:9
7.攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式.宋代稱為撮尖,清代稱為攢尖.通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖,也有單檐和重檐之分,多見于亭閣式建筑,園林建筑.如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖,可近似看作一個圓錐,已知其軸截面是底邊長為6 m,頂角為的等腰三角形,則該屋頂的面積為　　　　m2.
解析:如圖所示為該圓錐軸截面,
由題意,底面圓半徑r=3,母線l==2,
所以側面積πrl=π×3×2=6π(m2).
答案:6π
8.現有一個底面是菱形的直四棱柱,它的體對角線長為9和15,高是5,則該直四棱柱的側面積為　　　 　.
解析:如圖,設底面對角線AC=a,BD=b,交點為O,體對角線A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,
所以a2=200,b2=56.
因為該直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=()2+===64,所以AB=8.
所以直四棱柱的側面積S=4×8×5=160.
答案:160
能力提升
9.已知長方體全部棱長的和為36,表面積為52,則其體對角線的長為(　B　)
A.4 B. C.2 D.4
解析:設長方體的長、寬、高分別為x,y,z,
則
由②得x+y+z=9,x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=81,
得=.故選B.
10.若正方體的棱長為,則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的表面積為(　B　)
A. B.2 C. D.
解析:所求凸多面體的表面積是兩個底面邊長為1,高為的四棱錐的側面積之和,如圖所示.
四棱錐的側棱長l==1,
所以以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的表面積S=8××1×1×sin 60°=2.
故選B.
11.將表面積為36π的圓錐沿母線將其側面展開,得到一個圓心角為的扇形,則該圓錐的軸截面的面積S=　　 　　.
解析:設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,
得解得l=9,r=3,
所以圓錐的高為h===6,
軸截面面積為S=×2×3×6=18.
答案:18
12.我國有一種容器叫作方斗,方斗的形狀是一個上大下小的正四棱臺.如果一個方斗的高為3 dm(即該方斗上、下底面的距離為3 dm),上底邊長為6 dm,下底邊長為4 dm,則此方斗外表面的側面積為
　　　　 dm2.(容器厚度忽略不計)
解析:方斗大致圖形如圖所示,
設點O,O1分別為上、下底面的中心,M,N分別為AD,A1D1的中點,則MN為等腰梯形A1D1DA的高.根據題意可知MO=3 dm,NO1=2 dm,OO1=3 dm,則MN== (dm),
所以此方斗的側面等腰梯形ADD1A1的高為 dm.所以此方斗外表面的側面積為4×=20(dm2).
答案:20
13.圓臺的母線長為8 cm,母線與底面成60°角,軸截面的兩條對角線互相垂直,求圓臺的表面積.
解:圓臺的軸截面ABB1A1如圖所示,
其中∠A1AB=60°,
過點A1作A1H⊥AB于點H,
則O1O=A1H=A1A·sin 60°=4 cm,
AH=A1A·cos 60°=4 cm.
設O1A1=r1 cm,OA=r2 cm,
則r2-r1=AH=4.①
設A1B與AB1的交點為M,
則A1M=B1M.
又因為A1B⊥AB1,
所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.
所以O1M=O1A1=r1.
同理OM=OA=r2.
所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4,②
由①②可得r1=2(-1),
r2=2(+1).
所以S表=π+π+π(r1+r2)×8=
32(1+)π(cm2).
14.如圖,已知圓錐的頂點為P,母線PA,PB所成角的余弦值為,軸截面等腰三角形PAC的頂角為90°.若△PAB的面積為2.
(1)求該圓錐的側面積;
(2)求該圓錐的內接圓柱側面積的最大值.
解:(1)設圓錐母線長、底面半徑分別為l(l>0),r(r>0),
由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為90°,則 l2+l2=(2r)2,
解得l=r.
又cos∠APB=,所以sin∠APB===.
又因為△PAB的面積為2,
所以S△PAB=PA·PB·sin ∠APB=l2×=2,解得l=4(負值舍去).
又l=r,所以r=2,
所以圓錐的側面積S=×2πr×l=π×2×4=8π.
(2)作出軸截面如圖所示,由(1)可知∠CPO=45°,
則圓錐的高PO=AO=2,設圓柱底面半徑為x(0即OF=O1G=PO1=x,
所以OO1=PO-PO1=2-x,即圓柱的高為 2-x,所以圓錐內接圓柱的側面積S1=2πx(2-x)≤2π[]2=4π,
當且僅當x=2-x,即x=時取等號,
所以圓錐內接圓柱的側面積的最大值為4π.

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