資源簡介

6.3　球的表面積和體積
學習目標
1.通過球的結構和性質的學習,發(fā)展數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握球的表面積和體積公式,提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點1　球的截面和切線
　(1)球的截面.
用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的截線是圓,有以下
性質:
①若平面α經過球心O,則截線是以球心O為圓心,半徑為R的圓.
②若平面α不經過球心O,如圖,設OO′⊥α,垂足為O′,記OO′=d,
對于平面與球面的任意一個公共點P,都滿足OO′⊥O′P,
所以O′P=,此時截線是以點O′為圓心,以r=為半徑的圓.
球面被經過球心的平面截得的圓稱為球的大圓,被不經過球心的平面截得的圓稱為球的小圓.
(2)球的切線.
當直線與球有唯一交點時,稱直線與球相切,這一交點稱為直線與球的切點.
球的切線的性質:
①球的切線垂直于過切點的半徑;
②過球外一點的所有切線的切線長都相等.
知識點2　球的表面積與體積
若球的半徑是R,則球的表面積S球面=4πR2,球的體積V球=πR3.
與球有關的切、接問題的常用結論
(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R.
①若球為正方體的外接球,則2R=a;
②若球為正方體的內切球,則2R=a;
③若球與正方體的各棱相切,則2R=a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
探究點一　球的截面
[例1] 如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為 6 cm,如果不計容器的厚度,則該球的半徑為(　　)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在平面,球的切線垂直于過切點的半徑,求解球的截面與切線問題要充分利用這些垂直關系,進一步轉化為直線與圓的位置關系問題.
[針對訓練] (1)已知球O的半徑為2,球心到平面α的距離為1,則球O被平面α截得的截面面積為(　　)
A.2π B.3π C.π D.π
(2)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(　　)
A.64π B.48π C.36π D.32π
探究點二　球的表面積與體積
[例2] 已知一個底面內口直徑為2 cm的圓柱體玻璃杯中盛有高為2 cm的水,向該杯中放入一個半徑為r cm(r≥)的實心冰球和一個半徑為(r+1) cm 的實心鋼球,待實心冰球融化后實心鋼球恰好淹沒在水中(實心鋼球與杯中水面、杯底均相切).若實心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計,則實心鋼球的表面積為(　　)
A.10π cm2 B.12π cm2 C.14π cm2 D.16π cm2
球的表面積公式和體積公式揭示出球的表面積和體積只與球的半徑有關,因此,在解決此類問題時,要充分利用球的半徑表示出有關量,找出量與量之間的關系.
[針對訓練] (1)已知球O的表面積為12π,則它的體積為(　　)
A.4π B.4 C.8π D.8
(2)兩個球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為
　　　　.
學海拾貝
球的組合體問題
求解與球有關的組合體問題,關鍵是根據(jù)組合體的特征求出球的半徑,而求半徑需要確定球心,確定球心的主要方法是利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質,結合球的截面性質求半徑.
[典例探究] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3和4,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　)
A.100π B.128π C.144π D.192π
(2)蹴鞠,又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等,蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,鞠最早系外包皮革、內實米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動,類似于今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠作為非物質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠(球)的表面上有四個點A,B,C,P,且球心O在PC上,AC=BC=4,AC⊥BC,tan ∠PAB=tan ∠PBA=,則該鞠(球)的表面積為(　　)
A.36π B.18π C.64π D.16π
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解.
(2)確定球心的方法:在空間中,如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等,那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的
球心.
由上述性質,可以得到確定簡單多面體外接球球心的幾個結論.
結論1:正方體或長方體的外接球的球心是對角線的中點.
結論2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點.
結論3:直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點.
結論4:正棱錐的外接球的球心在其高上.
[應用探究] (1)我國古代數(shù)學名著《九章算術》,將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知 AB=BC=2,AA1=3.“陽馬”D1ABCD的外接球的表面積為(　　)
A.13π B.15π C.17π D.19π
(2)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,則球O的表面積為(　　)
A. B.8π C. D.12π
當堂檢測
1.一個球的體積為36π,則此球的半徑是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.長、寬、高分別為2,,的長方體的外接球的表面積為(　　)
A.4π B.12π C.24π D.48π
3.棱長為4的正方體的內切球的表面積為(　　)
A.4π B.12π C.16π D.20π
4.兩個半徑為1的鐵球,熔化后鑄成一個大球,則這個大球的半徑為(　　)
A. B. C.2 D.
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
球的截面性質 3,5,7,9
球的表面積與體積 1,2,8,13
球的組合體 4,6,10,11,12,14,15
基礎鞏固
1.把球的表面積擴大到原來的2倍,那么體積擴大到原來的(　　)
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
2.如圖,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為 4.5 cm 的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛滿杯子,則杯子的高h等于(　　)
A.9 B.6
C.3 D.4.5
3.一個球面上有三個點A,B,C,若AB=AC=2,BC=2,球心到平面ABC的距離為1,則球的表面積為(　　)
A.3π B.4π C.8π D.12π
4.已知圓柱的底面半徑為1,母線長為2,則該圓柱的外接球的體積為(　　)
A. B.
C. D.
5.紅燈籠起源于中國的西漢時期.兩千多年來,每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠,營造一種喜慶的氛圍.如圖(1),某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面,中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖(2),球冠是球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直徑被截得的部分叫作球冠的高,若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為h,則球冠的面積S=2πRh.如圖(1),已知該燈籠的高為58 cm,圓柱的高為5 cm,圓柱的底面圓直徑為14 cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為(　　)
A.1 940π cm2 B.2 350π cm2
C.2 400π cm2 D.2 540π cm2
6.已知三棱錐VABC,滿足VA=BC=3,VB=VC=AC=AB=5,則該三棱錐的外接球的表面積為(　　)
A.17π B.18π C.34π D.36π
7.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π,則截面圓的半徑為　　　　,球的直徑為　　　　.
8.已知圓錐的高為3,它的底面半徑為,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積等于　 　　　.
能力提升
9.某同學在參加實踐課時,制作了一個工藝品,如圖所示,該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合),若其中一個截面圓的周長為2π,則該球的表面積為(　　)
A.20π B.16π C.12π D.8π
10.在圓臺O1O2中,圓O2的半徑是圓O1半徑的2倍,且O2恰為該圓臺外接球的球心,則圓臺的側面積與外接球的表面積之比為(　　)
A.3∶4 B.1∶2 C.3∶8 D.3∶10
11.如圖為一個圓錐形的金屬配件,重90 g,其軸截面是一個等邊三角形,現(xiàn)將其打磨成一個體積最大的球形配件,則該球形配件的質量為
　　 　　 g.
12.已知三棱錐ABCD,AB=AC=AD=2,BC=BD=CD=3,則三棱錐ABCD的外接球表面積為　　 　　.
13.如圖是某種水箱用的“浮球”,它是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的半徑是2 cm,圓柱筒的高是2 cm.
(1)求這種“浮球”的體積.
(2)現(xiàn)要在這種“浮球”的表面涂一層防水漆,每平方厘米需要花費防水漆2元,共需花費多少錢
14.正三棱錐的高為1,底面邊長為2,內有一個球與它的四個面都相切,求:
(1)棱錐的表面積.
(2)內切球的表面積與體積.
應用創(chuàng)新
15.如圖,在水平放置的直徑與高相等的圓柱內,放入兩個半徑相等的小球(球A和球B),圓柱的底面直徑為2+,向圓柱內注滿水,水面剛好淹沒小球B.
(1)求球A的體積.
(2)求圓柱的側面積與球B的表面積之比.6.3　球的表面積和體積
學習目標
1.通過球的結構和性質的學習,發(fā)展數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.掌握球的表面積和體積公式,提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
知識探究
知識點1　球的截面和切線
　(1)球的截面.
用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的截線是圓,有以下
性質:
①若平面α經過球心O,則截線是以球心O為圓心,半徑為R的圓.
②若平面α不經過球心O,如圖,設OO′⊥α,垂足為O′,記OO′=d,
對于平面與球面的任意一個公共點P,都滿足OO′⊥O′P,
所以O′P=,此時截線是以點O′為圓心,以r=為半徑的圓.
球面被經過球心的平面截得的圓稱為球的大圓,被不經過球心的平面截得的圓稱為球的小圓.
(2)球的切線.
當直線與球有唯一交點時,稱直線與球相切,這一交點稱為直線與球的切點.
球的切線的性質:
①球的切線垂直于過切點的半徑;
②過球外一點的所有切線的切線長都相等.
知識點2　球的表面積與體積
若球的半徑是R,則球的表面積S球面=4πR2,球的體積V球=πR3.
與球有關的切、接問題的常用結論
(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R.
①若球為正方體的外接球,則2R=a;
②若球為正方體的內切球,則2R=a;
③若球與正方體的各棱相切,則2R=a.
(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=.
(3)正四面體的外接球與內切球的半徑之比為3∶1.
探究點一　球的截面
[例1] 如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個球放在容器口,再向容器內注水,當球面恰好接觸水面時測得水深為 6 cm,如果不計容器的厚度,則該球的半徑為(　　)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
解析:作出球的一個大圓與球和水面接觸部分的截面圖,如圖所示,
由題意可知AB的長度等于正方體棱長,記AB的中點為M,
則MB=4 cm.
因為球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm,所以MD=8-6=2(cm),設球的半徑為R cm,則CM=(R-2)cm,CB=R cm.
所以在Rt△BCM中,R2=(R-2)2+42,解得R=5.故選A.
球的小圓的圓心和球心的連線垂直于小圓所在平面,球的切線垂直于過切點的半徑,求解球的截面與切線問題要充分利用這些垂直關系,進一步轉化為直線與圓的位置關系問題.
[針對訓練] (1)已知球O的半徑為2,球心到平面α的距離為1,則球O被平面α截得的截面面積為(　　)
A.2π B.3π C.π D.π
(2)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓,若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(　　)
A.64π B.48π C.36π D.32π
解析:(1)由球的性質可知,截面圓的半徑為=,所以截面的面積S=π×()2=3π.故選B.
(2)設圓O1半徑為r,球的半徑為R,依題意,得πr2=4π,所以r=2,因為△ABC為等邊三角形,
由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,所以OO1=AB=2,根據(jù)球的截面性質OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA===4,所以球O的表面積S=4πR2=64π.故選A.
探究點二　球的表面積與體積
[例2] 已知一個底面內口直徑為2 cm的圓柱體玻璃杯中盛有高為2 cm的水,向該杯中放入一個半徑為r cm(r≥)的實心冰球和一個半徑為(r+1) cm 的實心鋼球,待實心冰球融化后實心鋼球恰好淹沒在水中(實心鋼球與杯中水面、杯底均相切).若實心冰球融化為水前后的體積變化忽略不計,則實心鋼球的表面積為(　　)
A.10π cm2 B.12π cm2 C.14π cm2 D.16π cm2
解析:由題意可得,實心冰球融化前后體積不變,
則有π×()2×2+πr3+π(r+1)3=π×()2×2(r+1),
化簡可得2r3+3r2-6r+1=0,
即(r-1)(2r2+5r-1)=0(r≥),2r2+5r-1>0,解得r=1,
所以鋼球的表面積為S=4π(r+1)2=4π×4=16π(cm2).故選D.
球的表面積公式和體積公式揭示出球的表面積和體積只與球的半徑有關,因此,在解決此類問題時,要充分利用球的半徑表示出有關量,找出量與量之間的關系.
[針對訓練] (1)已知球O的表面積為12π,則它的體積為(　　)
A.4π B.4 C.8π D.8
(2)兩個球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為
　　　　.
解析:(1)球O的表面積為12π,設球O的半徑為R,則有4πR2=12π,解得R=,
所以球O的體積為V=R3=×()3=4π.故選A.
(2)設大、小兩球的半徑分別為R,r,
則所以
所以體積和為πR3+πr3=.
答案:(1)A　(2)
學海拾貝
球的組合體問題
求解與球有關的組合體問題,關鍵是根據(jù)組合體的特征求出球的半徑,而求半徑需要確定球心,確定球心的主要方法是利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質,結合球的截面性質求半徑.
[典例探究] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為3和4,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　)
A.100π B.128π C.144π D.192π
(2)蹴鞠,又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等,蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義,鞠最早系外包皮革、內實米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動,類似于今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠作為非物質文化遺產經國務院批準已列入第一批國家非物質文化遺產名錄.已知某鞠(球)的表面上有四個點A,B,C,P,且球心O在PC上,AC=BC=4,AC⊥BC,tan ∠PAB=tan ∠PBA=,則該鞠(球)的表面積為(　　)
A.36π B.18π C.64π D.16π
解析:(1)由題意,得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為××3=3,××4=4.設該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1,O2,連接O1O2(圖略),則O1O2=1,其外接球的球心O在直線O1O2上.設球O的半徑為R,當球心O在線段O1O2上時,
R2=32+O=42+(1-OO1)2,解得OO1=4(舍去);
當球心O不在線段O1O2上時,R2=42+O=32+(1+OO2)2,解得OO2=3,
所以R2=25,所以該球的表面積為4πR2=100π.故選A.
(2)如圖,取AB的中點M,連接MP.
由AC=BC=4,AC⊥BC,
得AB=4.
因為tan∠PAB=tan∠PBA=,所以PA=PB.又M為AB的中點,故PM⊥AB,得MP=2×=2.
如圖,連接CM并延長,交球O于點H,連接PH.
因為PC為球O的直徑,設球的半徑為R,
則PH⊥CH,MH=CH=AB=2,
則PH===2,
所以(2R)2=PC2=CH2+PH2=(4)2+4=36,
解得R=3,該鞠(球)的表面積為4πR2=36π.故選A.
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解.
(2)確定球心的方法:在空間中,如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等,那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的
球心.
由上述性質,可以得到確定簡單多面體外接球球心的幾個結論.
結論1:正方體或長方體的外接球的球心是對角線的中點.
結論2:正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心的連線的中點.
結論3:直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心的連線的中點.
結論4:正棱錐的外接球的球心在其高上.
[應用探究] (1)我國古代數(shù)學名著《九章算術》,將底面為矩形且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知 AB=BC=2,AA1=3.“陽馬”D1ABCD的外接球的表面積為(　　)
A.13π B.15π C.17π D.19π
(2)已知四面體ABCD的各頂點均在球O的球面上,平面ABC⊥平面BCD,AB=BC=AC=CD=2,BC⊥CD,則球O的表面積為(　　)
A. B.8π C. D.12π
解析:(1)長方體的外接球即為四棱錐D1ABCD的外接球,因為AB=BC=
2,AA1=3,所以長方體的對角線長為=,則長方體的外接球的半徑R=,該“陽馬”外接球的表面積為S=4πR2=4π×()2=
17π.故選C.
(2)如圖,取BC的中點為E,BD的中點為F,所以F為△BCD的外心,
連接AE,EF.設△ABC的外心為G,因為AB=BC=AC=2,
即△ABC為等邊三角形,
所以點G在AE上,且設球心為O,連接OG,OF,
則OG⊥平面ABC,OF⊥平面BCD,
因為平面ABC⊥平面BCD,所以OG⊥OF.因為△ABC為等邊三角形,
E為BC的中點,所以 AE⊥BC.因為平面ABC⊥平面BCD,
平面ABC∩平面BCD=BC,AE 平面ABC,
所以AE⊥平面BCD,則AE∥OF.又EF 平面BCD,所以AE⊥EF.
同理EF⊥平面ABC,所以EF∥OG,故四邊形OGEF是矩形.由BC⊥CD,
可得BD==2,故DF=.又 OF=EG=AE=ABsin 60°=,
設球O的半徑為R,則R2=OD2=OF2+FD2=,
所以球O的表面積S=4πR2=.故選C.
當堂檢測
1.一個球的體積為36π,則此球的半徑是(　C　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:設球的半徑為r,則r3=36π,解得r=3.故選C.
2.長、寬、高分別為2,,的長方體的外接球的表面積為(　B　)
A.4π B.12π C.24π D.48π
解析:該長方體的對角線長為=2,設外接球的半徑為R,2R=2,所以R=,所以S球面=4πR2=12π.故選B.
3.棱長為4的正方體的內切球的表面積為(　C　)
A.4π B.12π C.16π D.20π
解析:設內切球的半徑為r,由球內切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑,得2r=4,r=2,故S球面=4πr2=16π.故選C.
4.兩個半徑為1的鐵球,熔化后鑄成一個大球,則這個大球的半徑為(　A　)
A. B. C.2 D.
解析:設大球的半徑為r,則π×13×2=πr3,
所以r=.
故選A.
課時作業(yè)
選題明細表
知識點、方法 題號
球的截面性質 3,5,7,9
球的表面積與體積 1,2,8,13
球的組合體 4,6,10,11,12,14,15
基礎鞏固
1.把球的表面積擴大到原來的2倍,那么體積擴大到原來的(　B　)
A.2倍 B.2倍 C.倍 D.倍
解析:設原球的半徑為R,表面積擴大到原來的2倍,則半徑擴大到原來的倍,體積擴大到原來的2倍.故選B.
2.如圖,一個圓錐形的空杯子上面放著一個半徑為 4.5 cm 的半球形的冰淇淋,若冰淇淋融化后正好盛滿杯子,則杯子的高h等于(　A　)
A.9 B.6
C.3 D.4.5
解析:由題意可得,××4.53=×π×4.52×h,解得h=9.故選A.
3.一個球面上有三個點A,B,C,若AB=AC=2,BC=2,球心到平面ABC的距離為1,則球的表面積為(　D　)
A.3π B.4π C.8π D.12π
解析:因為AB=AC=2,BC=2,則AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°,于是得
△ABC的外接圓的半徑 r=BC=.又點A,B,C在同一個球面上,且球心到平面ABC的距離為1,則球的半徑R==,所以球的表面積為S=4πR2=12π.故選D.
4.已知圓柱的底面半徑為1,母線長為2,則該圓柱的外接球的體積為(　B　)
A. B.
C. D.
解析:圓柱的軸截面圖如圖所示,O為外接球的球心,母線BB1的長度為2,底面半徑r=O2B=1,易得外接球的半徑R=OB==,所以外接球的體積V=π×()3=.故選B.
5.紅燈籠起源于中國的西漢時期.兩千多年來,每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠,營造一種喜慶的氛圍.如圖(1),某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面,中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖(2),球冠是球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直徑被截得的部分叫作球冠的高,若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為h,則球冠的面積S=2πRh.如圖(1),已知該燈籠的高為58 cm,圓柱的高為5 cm,圓柱的底面圓直徑為14 cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為(　C　)
A.1 940π cm2 B.2 350π cm2
C.2 400π cm2 D.2 540π cm2
解析:由題意得R2-()2=72,
所以R=25 cm,所以h=25-=1(cm),
所以兩個球冠的面積為2S=2×2πRh=2×2π×25×1=100π(cm2),
則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為
4πR2-2S=4×π×252-100π=2 400π(cm2).故選C.
6.已知三棱錐VABC,滿足VA=BC=3,VB=VC=AC=AB=5,則該三棱錐的外接球的表面積為(　C　)
A.17π B.18π C.34π D.36π
解析:根據(jù)三棱錐VABC對棱相等的特點,
在長方體中構造三棱錐VABC如圖所示.
設該長方體長、寬、高分別為x,y,z,
由題可知x2+z2=18,x2+y2=25,y2+z2=25,
故可得x2+y2+z2=34,又該長方體外接球半徑 R==,也為該三棱錐外接球半徑,故該三棱錐的外接球的表面積為4πR2=34π.故選C.
7.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π,則截面圓的半徑為　　　　,球的直徑為　　　　.
解析:設球心到截面的距離為d,截面圓的半徑為r,則πr2=π,所以r=1.設球的半徑為R,則R==,故球的直徑為2.
答案:1　2
8.已知圓錐的高為3,它的底面半徑為,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積等于　 　　　.
解析:如圖所示,
設球心到底面圓心的距離為x,則球的半徑為3-x,
由勾股定理得x2+3=(3-x)2,解得x=1,故球的半徑r=2,V球=πr3=.
答案:
能力提升
9.某同學在參加實踐課時,制作了一個工藝品,如圖所示,該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合),若其中一個截面圓的周長為2π,則該球的表面積為(　A　)
A.20π B.16π C.12π D.8π
解析:設截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即2,根據(jù)截面圓的周長可得2π=2πr,則r=1,由題意知 R2=r2+22,即R2=12+22=5,所以該球的表面積為4πR2=20π.故選A.
10.在圓臺O1O2中,圓O2的半徑是圓O1半徑的2倍,且O2恰為該圓臺外接球的球心,則圓臺的側面積與外接球的表面積之比為(　C　)
A.3∶4 B.1∶2 C.3∶8 D.3∶10
解析:令外接球的半徑為2R,依題意O2A=2R,O2B=2R,O1B=R,過點B作BC⊥O2A,垂足為C,則O2C=O1B=R,所以AC=O2C=R,
又BC=O1O2==R,所以AB==2R,
所以圓臺的側面積S1=(2πR+2π×2R)×2R=6πR2,
球的表面積S2=4π×(2R)2=16πR2,
所以圓臺的側面積與外接球的表面積之比為
S1∶S2=(6πR2)∶(16πR2)=3∶8.故選C.
11.如圖為一個圓錐形的金屬配件,重90 g,其軸截面是一個等邊三角形,現(xiàn)將其打磨成一個體積最大的球形配件,則該球形配件的質量為
　　 　　 g.
解析:由于該圓錐的軸截面為等邊三角形,如圖所示.
設內切球的半徑為r,質量為m g,AH=x,
所以r=x,CH=x,
所以V圓錐=×π·x2·x=·x3,
V球=·r3=··x3=x3,
則==,解得m=40.
答案:40
12.已知三棱錐ABCD,AB=AC=AD=2,BC=BD=CD=3,則三棱錐ABCD的外接球表面積為　　 　　.
解析:如圖,由題意知,底面△BCD為等邊三角形,設M為其中心,
則BM=×3=,又AB=AC=AD=2,所以該三棱錐為正三棱錐,
所以AM==1,所以外接球半徑 R>AM.
則外接球球心在AM的延長線上,設為點O,所以OA=OB=R,則OM=R-1,
所以在Rt△BOM中,OB2=OM2+BM2,即R2=()2+(R-1)2,解得R=2,
所以外接球表面積為S=4πR2=16π.
答案:16π
13.如圖是某種水箱用的“浮球”,它是由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的半徑是2 cm,圓柱筒的高是2 cm.
(1)求這種“浮球”的體積.
(2)現(xiàn)要在這種“浮球”的表面涂一層防水漆,每平方厘米需要花費防水漆2元,共需花費多少錢
解:(1)因為該“浮球”的圓柱筒底面半徑和半球的半徑r=2 cm,
圓柱筒的高h=2 cm,所以兩個半球的體積之和為
V1=πr3=π×23=π(cm3),
圓柱的體積V2=πr2h=π×22×2=8π(cm3),
所以該“浮球”的體積是V=V1+V2=π+8π=π(cm3).
(2)根據(jù)題意,上下兩個半球的表面積是
S1=4πr2=4π×22=16π(cm2),
而“浮球”的圓柱筒的側面積為
S2=2πrh=2π×2×2=8π(cm2),
所以“浮球”的表面積S=S1+S2=24π(cm2),
所以共需花費24π×2=48π(元).
14.正三棱錐的高為1,底面邊長為2,內有一個球與它的四個面都相切,求:
(1)棱錐的表面積.
(2)內切球的表面積與體積.
解:(1)如圖,過點P作PD⊥平面ABC于點D,則PD=1.
連接AD并延長交BC于點E,連接PE.
因為PABC為正三棱錐,所以AE是BC邊上的高和中線,
D為△ABC的中心.
因為AB=2,所以S△ABC=×(2)2=6,
DE=×AB=,PE==.
S△PAB=S△PBC=S△PCA=×2×=3.
所以S表=9+6.
(2)設球的半徑為r,以球心O為頂點,棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐.
因為PD=1,所以=×6×1=2.
則由分割前后體積相等可得×(9+6)r=2,解得r=-2,
所以S球面=4π×(-2)2=(40-16)π,V球=(-2)3π.
應用創(chuàng)新
15.如圖,在水平放置的直徑與高相等的圓柱內,放入兩個半徑相等的小球(球A和球B),圓柱的底面直徑為2+,向圓柱內注滿水,水面剛好淹沒小球B.
(1)求球A的體積.
(2)求圓柱的側面積與球B的表面積之比.
解:(1)設圓柱的底面半徑為R,小球的半徑為r,
且r由勾股定理AB2=(2r)2=(2R-2r)2+(2R-2r)2,
即r2-4Rr+2R2=0,
因為r所以r=(2-)R=(2-)×=1.
所以球A的體積為V=πr3=.
(2)球B的表面積S1=4πr2=4π,
圓柱的側面積S2=2πR·2R=4πR2=(6+4)π,
所以圓柱的側面積與球B的表面積之比為.

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