資源簡介

章末總結(jié)
網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)
知識辨析
判斷對錯(cuò)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).
1.零向量沒有方向.(　　)
2.求任意兩個(gè)非零向量的和都可以用平行四邊形法則.(　　)
3.若b是a的相反向量,則a與b一定不相等.(　　)
4.-=.(　　)
5.若a≠0,λ≠0,則a與-λa的方向相反.(　　)
6.兩個(gè)向量的數(shù)量積滿足交換律、消去律.(　　)
7.0·a=0(　　)
8.相等的向量的坐標(biāo)都相同.(　　)
9.在△ABC中,三邊一角隨便給出三個(gè),可求剩余一個(gè).(　　)
10.任意給出三角形的三個(gè)元素,都能求出其余元素.(　　)
題型一　平面向量的線性運(yùn)算
[例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)如圖所示,已知六邊形ABCDEF是一正六邊形,O是它的中心,其中=a,=b,則等于(　　)
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.b-a
平面向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律
(1)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面.
(2)平面向量的加法滿足交換律、結(jié)合律,向量加法是由三角形法則定義的,要點(diǎn)是“首尾相連”,即+=,而向量加法的平行四邊形法則:將兩向量移至共起點(diǎn),分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點(diǎn)對角線的向量即為向量的和.
(3)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算,是相反向量的運(yùn)用.
幾何意義有兩個(gè):一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量;二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量,注意兩向量要移至共起點(diǎn).
(4)數(shù)乘運(yùn)算即通過實(shí)數(shù)與向量的乘積,實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換.
題型二　平面向量的數(shù)量積
[例2] 已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且a,b的夾角為60°.
(1)求a+b的模;
(2)若λa-6b與λa+b互相垂直,求λ的值.
(1)靈活運(yùn)用數(shù)量積的定義(直接應(yīng)用求數(shù)量積)及其變形(求兩向量夾角的余弦)、數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積性質(zhì).
(2)兩向量垂直的充要條件是其數(shù)量積為零.
(3)向量a在向量b方向上的投影數(shù)量是a乘a與b夾角的余弦值,而向量a在向量b方向上的投影向量是其投影數(shù)量乘向量b方向上的單位向量.
題型三　向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[例3] 已知直角梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.
(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若E為線段BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),F為線段AB的中點(diǎn),求|3-2|.
(1)向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示,引入向量的坐標(biāo)表示后,向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.
(2)求解向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題,要熟悉向量的坐標(biāo)與運(yùn)算法則.
題型四　解三角形
[例4] (2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面積為3+,求c.
(1)解三角形的一般方法.
①已知兩角和一邊,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
②已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a,b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
③已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.
④已知三邊a,b,c,可應(yīng)用余弦定理求A,B,C.
(2)一般地,正弦、余弦定理與三角形的面積有關(guān)的綜合問題,常利用面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A求解.
題型五　平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用
[例5] 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面積S.
平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用問題求解的主要方法是將所給向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為與向量的模、夾角有關(guān)的關(guān)系式,然后利用向量的模、夾角與三角形的邊、內(nèi)角的關(guān)系,結(jié)合正弦、余弦定理求解.
第二章　檢測試題
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共 40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,則實(shí)數(shù)x等于(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=1,a與b的夾角為,則a-b在b上的投影向量為(　　)
A.b B.b
C.b D.b
3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a=2b,
則的值為(　　)
A.- B. C.1 D.
4.已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos等于(　　)
A. B. C. D.
5.正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點(diǎn),則·等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
6.《九章算術(shù)》是中國古代一部數(shù)學(xué)專著,其中記載的“邪田”意為直角梯形,上、下底稱為“畔”,高稱為“正廣”,非高腰邊稱為“邪”.如圖所示,邪長為4,東畔長為2,在A處測得C,D兩點(diǎn)處的俯角分別為49°和19°,則正廣長約為(注:sin 41°≈0.66)(　)
A.4 B.3.3
C.6.6 D.7
7.在平行四邊形ABCD中,=,=2,連接CE,DF交于點(diǎn)M,若=λ+μ,則實(shí)數(shù)λ與μ的乘積為(　　)
A. B.
C. D.
8.若O為正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=x+y,x,y∈R,則下列說法不正確的是(　　)
A.可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量
B.若x+y=1,則O在直線BD上
C.若x=y=,=,則=-+
D.若+2+3=0,則S△ABC=6S△BOC
二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共 18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.在△ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn),點(diǎn)G為△ABC的重心,則下列結(jié)論正確的是(　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
10.已知a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),則(　　)
A.(a+2b)⊥c B.(a+2b)∥c
C.|a+c|=2 D.|a+c|=2|b|
11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,b=6,則(　　)
A.△ABC為鈍角三角形
B.C=
C.△ABC的周長為10+2
D.△ABC的外接圓的面積為
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上.
12.與向量a=(12,5)反向的單位向量是　 .
13.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=30°,b=12,若△ABC有兩解,寫出a的一個(gè)可能的值為　　　　.
14.如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),G是線段AD上一點(diǎn),且==2,過點(diǎn)G作直線與AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,則+=　　　　.
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=7,b=8,從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,判斷△ABC是不是鈍角三角形,并說明
理由.
①cos C=;②cos B=.
注:若選擇條件①,條件②分別解答,則按條件①解答計(jì)分.
16.(本小題滿分15分)
已知向量a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4).
(1)若|e|=1,且e∥a,求e的坐標(biāo);
(2)若c=ma+nb,求m+n;
(3)若(ka+b)⊥c,求實(shí)數(shù)k的值.
17.(本小題滿分15分)
一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東70°的方向航行(-1)km后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東10°的方向航行2 km到達(dá)海島C.
(1)求AC的長;
(2)如果下次航行直接從海島A出發(fā)到達(dá)海島C,應(yīng)沿什么方向航行
18.(本小題滿分17分)
如圖,設(shè)P,Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點(diǎn).
(1)試用向量證明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
19.(本小題滿分17分)
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且向量m=(c,a-b),
n=(sin B-sin C,sin A+sin B),m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的周長為l,面積為S,求的最大值.章末總結(jié)
網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)
知識辨析
判斷對錯(cuò)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).
1.零向量沒有方向.(　×　)
2.求任意兩個(gè)非零向量的和都可以用平行四邊形法則.(　×　)
3.若b是a的相反向量,則a與b一定不相等.(　×　)
4.-=.(　×　)
5.若a≠0,λ≠0,則a與-λa的方向相反.(　×　)
6.兩個(gè)向量的數(shù)量積滿足交換律、消去律.(　×　)
7.0·a=0(　×　)
8.相等的向量的坐標(biāo)都相同.(　√　)
9.在△ABC中,三邊一角隨便給出三個(gè),可求剩余一個(gè).(　√　)
10.任意給出三角形的三個(gè)元素,都能求出其余元素.(　×　)
題型一　平面向量的線性運(yùn)算
[例1] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)如圖所示,已知六邊形ABCDEF是一正六邊形,O是它的中心,其中=a,=b,則等于(　　)
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.b-a
解析:(1)因?yàn)锽D=2DA,所以=3,
所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故選B.
(2)==+=-+=a-b.故選B.
平面向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律
(1)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,因此對它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用要注意大小、方向兩個(gè)方面.
(2)平面向量的加法滿足交換律、結(jié)合律,向量加法是由三角形法則定義的,要點(diǎn)是“首尾相連”,即+=,而向量加法的平行四邊形法則:將兩向量移至共起點(diǎn),分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點(diǎn)對角線的向量即為向量的和.
(3)向量減法的實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算,是相反向量的運(yùn)用.
幾何意義有兩個(gè):一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量;二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量,注意兩向量要移至共起點(diǎn).
(4)數(shù)乘運(yùn)算即通過實(shí)數(shù)與向量的乘積,實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換.
題型二　平面向量的數(shù)量積
[例2] 已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且a,b的夾角為60°.
(1)求a+b的模;
(2)若λa-6b與λa+b互相垂直,求λ的值.
解:(1)因?yàn)橄蛄縜,b滿足|a|=1,|b|=2,
且a,b的夾角為60°,
所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×1×2×cos 60°+4=7,解得|a+b|=.
(2)因?yàn)棣薬-6b與λa+b互相垂直,
所以(λa-6b)·(λa+b)=λ2a2-5λa·b-6b2=λ2-5λ·1×2×cos 60°-24=0,
即λ2-5λ-24=0,
解得λ=8或λ=-3.
(1)靈活運(yùn)用數(shù)量積的定義(直接應(yīng)用求數(shù)量積)及其變形(求兩向量夾角的余弦)、數(shù)量積的運(yùn)算律、數(shù)量積性質(zhì).
(2)兩向量垂直的充要條件是其數(shù)量積為零.
(3)向量a在向量b方向上的投影數(shù)量是a乘a與b夾角的余弦值,而向量a在向量b方向上的投影向量是其投影數(shù)量乘向量b方向上的單位向量.
題型三　向量的坐標(biāo)運(yùn)算
[例3] 已知直角梯形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,0),B(1,2),C(4,1),且AB∥DC.
(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若E為線段BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),F為線段AB的中點(diǎn),求|3-2|.
解:(1)設(shè)D(x,y),因?yàn)锳(-1,0),
B(1,2),C(4,1),
則=(2,2),=(3,-1),
=(4-x,1-y),=(x+1,y).
如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,
且·=(-2,-2)·(3,-1)=-4<0,
所以A,D為直角,
則即
解得x=1,y=-2,
所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)因?yàn)镋為線段BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),
則=3,設(shè)E(a,b),
則(3,-1)=3(4-a,1-b),
所以a=3,b=,
所以E(3,).
又因?yàn)镕為線段AB的中點(diǎn),則F(0,1),
所以=(2,),=(-1,3),
則3-2=3(2,)-2(-1,3)=(8,4),
所以|3-2|==4.
(1)向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示,引入向量的坐標(biāo)表示后,向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算,實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.
(2)求解向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題,要熟悉向量的坐標(biāo)與運(yùn)算法則.
題型四　解三角形
[例4] (2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面積為3+,求c.
解:(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C,對比已知a2+b2-c2=ab,
可得cos C===.
因?yàn)镃∈(0,π),所以sin C>0,
從而sin C===.
又因?yàn)閟in C=cos B,即cos B=,
因?yàn)锽∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得B=,cos C=,C∈(0,π),從而C=,A=π--=,
而sin A=sin=sin(+)=×+×=,
由正弦定理有==,
從而a=·c=c,b=·c=c.
由三角形面積公式可知,△ABC的面積可表示為
S△ABC=absin C=·c·c·=c2,
由已知△ABC的面積為3+,
可得c2=3+,
所以c=2(負(fù)值舍去).
(1)解三角形的一般方法.
①已知兩角和一邊,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.
②已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a,b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.
③已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a,b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.
④已知三邊a,b,c,可應(yīng)用余弦定理求A,B,C.
(2)一般地,正弦、余弦定理與三角形的面積有關(guān)的綜合問題,常利用面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A求解.
題型五　平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用
[例5] 在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,且·=4,求△ABC的面積S.
解:由已知得b2+c2=a2+bc,
所以bc=b2+c2-a2=2bccos A,
所以cos A=,sin A=.
由·=4,得bccos A=4,所以bc=8.
所以S=bcsin A=2.
平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用問題求解的主要方法是將所給向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為與向量的模、夾角有關(guān)的關(guān)系式,然后利用向量的模、夾角與三角形的邊、內(nèi)角的關(guān)系,結(jié)合正弦、余弦定理求解.
第二章　檢測試題
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共 40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,則實(shí)數(shù)x等于(　D　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(x,-4),且a∥b,所以1×(-4)-2x=0,解得x=-2.故選D.
2.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=1,a與b的夾角為,則a-b在b上的投影向量為(　D　)
A.b B.b
C.b D.b
解析:因?yàn)閨a|=1,|b|=1,a與b的夾角為,
所以(a-b)·b=a·b-b2=|a||b|cos -|b|2=-1,
所以a-b在b上的投影向量為·=(-1)b=b.故選D.
3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若a=2b,
則的值為(　A　)
A.- B. C.1 D.
解析:由正弦定理得===-.故選A.
4.已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos等于(　B　)
A. B. C. D.
解析:由題意知,a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
所以cos====.故選B.
5.正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點(diǎn),則·等于(　B　)
A. B.3 C.2 D.5
解析:法一　由題意知,=+=+,=+=-+,
所以·=(+)·(-+)=-,
由題意知=||=2,
所以·=4-1=3.
故選B.
法二　以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),,的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),則E(1,0),C(2,2),D(0,2),
則=(1,2),=(-1,2),·=-1+4=3.
故選B.
6.《九章算術(shù)》是中國古代一部數(shù)學(xué)專著,其中記載的“邪田”意為直角梯形,上、下底稱為“畔”,高稱為“正廣”,非高腰邊稱為“邪”.如圖所示,邪長為4,東畔長為2,在A處測得C,D兩點(diǎn)處的俯角分別為49°和19°,則正廣長約為(注:sin 41°≈0.66)(　C　)
A.4 B.3.3
C.6.6 D.7
解析:由題意可得,∠DAC=49°-19°=30°,在△ACD中,由余弦定理可得DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°,代入數(shù)據(jù)得28=AC2+48-12AC,
即(AC-2)(AC-10)=0,因?yàn)椤螪>∠DCA,所以AC>AD,故AC=10,
故BC=AC·cos 49°=10·sin 41°≈6.6.故選C.
7.在平行四邊形ABCD中,=,=2,連接CE,DF交于點(diǎn)M,若=λ+μ,則實(shí)數(shù)λ與μ的乘積為(　B　)
A. B.
C. D.
解析:由已知條件得E為AB的中點(diǎn),F為BC的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B),如圖,連接AF,AC.
=λ+μ=λ+μ
=λ+μ(-)=(λ-μ)+μ
=2(λ-μ)+μ.
因?yàn)镋,M,C三點(diǎn)共線,所以2(λ-μ)+μ=1,①
同理=λ+μ=λ(+)+μ
=λ(-)+μ=λ(-)+μ
=λ+(μ-).
因?yàn)镕,M,D三點(diǎn)共線,所以λ+μ-=1,②
將①②聯(lián)立解得λ=,μ=,即μ·λ=.故選B.
8.若O為正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=x+y,x,y∈R,則下列說法不正確的是(　C　)
A.可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量
B.若x+y=1,則O在直線BD上
C.若x=y=,=,則=-+
D.若+2+3=0,則S△ABC=6S△BOC
解析:由題意AB⊥AD,又=x+y,
x,y∈R,以{,}為基的坐標(biāo)系中,
根據(jù)平面向量基本定理易知可以表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量,A正確;由向量共線的推論知x+y=1,則O在直線BD上,B正確;
由題意知=(+),
則=+=(+),
所以=-,C錯(cuò)誤;
由+2+3=0,
則3(+)=-=,
若E為BC的中點(diǎn),則6=,
即∥且||=||,如圖所示,
所以S△ABC=6S△BOC,D正確.
故選C.
二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共 18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.在△ABC中,D,E,F分別是邊BC,CA,AB的中點(diǎn),點(diǎn)G為△ABC的重心,則下列結(jié)論正確的是(　CD　)
A.+=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
解析:因?yàn)?=≠,故A錯(cuò)誤;
由(+)=≠,故B錯(cuò)誤;
因?yàn)?+=(++)=0, 故C正確;
因?yàn)?+=-+
=-(+++++)=0, 故D正確.故選CD.
10.已知a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),則(　BD　)
A.(a+2b)⊥c B.(a+2b)∥c
C.|a+c|=2 D.|a+c|=2|b|
解析:a+2b=(-3,5),(a+2b)·c=-3×3+5×(-5)≠0,a+2b與c不垂直,A不正確;a+2b=(-3,5)=-c,有(a+2b)∥c,B正確;a+c=(4,-2),有|a+c|==2,C不正確;|b|==,由選項(xiàng)C的分析知|a+c|=2,|a+c|=2|b|=2,D正確.故選BD.
11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶,b=6,則(　BC　)
A.△ABC為鈍角三角形
B.C=
C.△ABC的周長為10+2
D.△ABC的外接圓的面積為
解析:因?yàn)閟in A∶sin B∶sin C=2∶3∶,
所以a∶b∶c=2∶3∶.又b=6,
所以a=4,c=2.
因?yàn)閍又a2+c2=44>b2=36,
所以B為銳角,
故△ABC為銳角三角形,故A錯(cuò)誤.
由cos C===,
C∈(0,π),可得C=,故B正確.
△ABC的周長為a+b+c=10+2,故C正確.
由正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑為
2R===,則R=,
可得△ABC的外接圓的面積為πR2=.
故D錯(cuò)誤.故選BC.
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上.
12.與向量a=(12,5)反向的單位向量是　 .
解析:與a=(12,5)反向的單位向量是-=(-,-).
答案:(-,-)
13.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知A=30°,b=12,若△ABC有兩解,寫出a的一個(gè)可能的值為　　　　.
解析:由滿足條件的△ABC有兩個(gè),得bsin A(注:滿足a∈(6,12)均可)
答案:7(答案不唯一)
14.如圖,在△ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),G是線段AD上一點(diǎn),且==2,過點(diǎn)G作直線與AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,則+=　　　　.
解析:因?yàn)镋,G,F三點(diǎn)共線,
所以存在λ∈R,
使得=(1-λ)+λ.
由題知=2,
則-=2(-),
所以=+.
設(shè)=m,=n,則=m,=n,
因?yàn)?2,
所以==+,
所以=(1-λ)+λ=m(1-λ)+nλ,
所以即
兩式相加得+=1,
所以+=+=.
答案:
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,a=7,b=8,從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件,判斷△ABC是不是鈍角三角形,并說明
理由.
①cos C=;②cos B=.
注:若選擇條件①,條件②分別解答,則按條件①解答計(jì)分.
解:若選①,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=49+64-2×7×8×=9,
所以c=3,
所以cos B==<0,
故△ABC為鈍角三角形.
若選②,由余弦定理得cos B===>0,
所以c=-3(舍去)或c=5,又b>a>c,
故△ABC為銳角三角形,不是鈍角三角形.
16.(本小題滿分15分)
已知向量a=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4).
(1)若|e|=1,且e∥a,求e的坐標(biāo);
(2)若c=ma+nb,求m+n;
(3)若(ka+b)⊥c,求實(shí)數(shù)k的值.
解:(1)由e∥a,a=(2,-1),
設(shè)e=ta=(2t,-t)(t∈R),又|e|=1,
因此=|t|=1,
解得t=±,
所以e=(-,)或e=(,-).
(2)因?yàn)閍=(2,-1),b=(1,2),c=(3,-4),
則c=m(2,-1)+n(1,2)=(2m+n,-m+2n),于是
解得所以m+n=1.
(3)依題意,ka+b=k(2,-1)+(1,2)=(2k+1,-k+2).
又(ka+b)⊥c,c=(3,-4),
因此(2k+1)×3+(-k+2)×(-4)=0,
解得k=,所以k=.
17.(本小題滿分15分)
一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東70°的方向航行(-1)km后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東10°的方向航行2 km到達(dá)海島C.
(1)求AC的長;
(2)如果下次航行直接從海島A出發(fā)到達(dá)海島C,應(yīng)沿什么方向航行
解:(1)由題意知在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,
AB=(-1) km,BC=2 km,根據(jù)余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=(-1)2+4+2(-1)=6,
所以AC= km.
(2)根據(jù)正弦定理可得=,
即sin∠CAB====,
又BC所以∠CAB=45°.
所以應(yīng)從海島A沿北偏東25°的方向航行 km即可到達(dá)海島C.
18.(本小題滿分17分)
如圖,設(shè)P,Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點(diǎn).
(1)試用向量證明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
(1)證明:因?yàn)镼為BD的中點(diǎn),
所以+=2.
又P為AC的中點(diǎn),
所以=2,
所以2=2-2=(+)-
=++=+.
又向量與共線,
設(shè)向量=λ,
則2=(1+λ),
所以=.①
又在梯形ABCD中,||≠|(zhì)|,
所以λ≠-1,
所以∥,即PQ∥AB.
(2)解:因?yàn)橄蛄颗c反向,
且||=3||,
所以=-3,
將λ=-代入①式,
得==,
所以PQ∶AB=1∶3.
19.(本小題滿分17分)
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且向量m=(c,a-b),
n=(sin B-sin C,sin A+sin B),m⊥n.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2,△ABC的周長為l,面積為S,求的最大值.
解:(1)因?yàn)閙⊥n,故m·n=(c,a-b)·(sin B-sin C,sin A+sin B)=0,
即c(sin B-sin C)+(a-b)(sin A+sin B)=0,由正弦定理得,c(b-c)+(a-b)(a+b)=0,
整理得到a2=b2+c2-bc,
則cos A==.
又A∈(0,π),故A=.
(2)由(1)知a2=b2+c2-bc,
則4=b2+c2-bc,
所以4=(b+c)2-3bc,
即bc=[(b+c)2-4].
因?yàn)镾=bcsin A=bc,l=b+c+2,
所以===(b+c-2).又bc≤,
所以4=(b+c)2-3bc≥,
所以b+c≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí),等號成立,
所以=(b+c-2)≤×(4-2)=,
即的最大值為.

展開更多......

收起↑