資源簡介

章末總結(jié)
網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)
知識辨析
判斷對錯(cuò)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).
1.對任意角α,=tan 2α都成立.(　×　)
2.sin α= .(　×　)
3.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　√　)
4.對任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　×　)
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.(　×　)
6.tan α=.(　×　)
7.在公式asin x+bcos x=sin(x+)(a,b不同時(shí)為0)中,角所在象限由a,b的符號確定.(　√　)
8.對任意三角形ABC,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C均成立.(　×　)
題型一　給值(角)求值問題
[例1] (1)設(shè)sin 20°=m,cos 20°=n,則-等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知=7,則cos(α-)等于(　　)
A.- B. C. D.
(3)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,則cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
解析:(1)因?yàn)閟in 20°=m,cos 20°=n,
所以-
=-
=-=-
=-==.
故選A.
(2)因?yàn)閏os(2α+)=1-2sin2(α+),
所以==7,
化簡得[4sin(α+)-1][sin(α+)+2]=0,
因?yàn)閟in(α+)∈[-1,1],
所以sin(α+)=,
所以cos(α-)=cos[(α+)-]=sin(α+)=.故選B.
(3)因?yàn)閏os(α+β)=m,所以cos αcos β-sin α·sin β=m,
而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m
即cos αcos β=-m,
從而sin αsin β=-2m,
故cos(α-β)=-3m.
故選A.
“給角求值”“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系,借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
題型二　三角函數(shù)的給值求角
[例2] 若sin α=,sin β=,且α,β均為銳角,求α+β的值.
解:因?yàn)棣翞殇J角,所以cos α==.
又β為銳角,所以cos β==,
且cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
由于0°<α<90°,0°<β<90°,
所以0°<α+β<180°,
故α+β=45°.
本題中由于已知角α,β的正弦值,且α,β均為銳角,因此在求α+β時(shí),應(yīng)選擇角α+β的余弦而不能選擇正弦,這是因?yàn)槿羟螃?β的正弦,則得到sin(α+β)=,0°<α+β<180°,而得到α+β=45°或135°是正確的,但題設(shè)中sin α=<,sin β=<,使得0°<α<30°,0°<β<30°,從而0°<α+β<60°,故上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.因此在給值求角的問題中,角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除.要避免上述情況的發(fā)生,解題時(shí)應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估算出角的較精確的取值范圍,并不斷縮小角的范圍.
題型三　三角函數(shù)的化簡
[例3] 化簡:.
解:法一　原式=
=
===1.
法二　原式=
=
=
=
==1.
三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則
(1)一看“角”,一般化異角為同角通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理地拆分,從而正確使用公式.
(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,一般化異名為同名從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”.
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等.
題型四　三角恒等變換與三角函數(shù)的
綜合問題
[例4] 已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
(ω>0),且滿足　　　　.
①f(x)的圖象與直線y=-2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離等于π;②f(x)的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為.從這兩個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面問題的橫線中并作答.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間[0,m]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:(1)f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
=sin(2ωx-)-cos(2ωx+)=sin(2ωx-)-cos(2ωx-+)
=sin(2ωx-)+sin(2ωx-)=2sin(2ωx-).
若選擇條件①:f(x)的圖象與直線y=-2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離等于π,函數(shù)f(x)的最小值為-2,則函數(shù)f(x)的最小正周期為T=π,
即=π,所以ω=1.所以f(x)=2sin(2x-).
若選擇條件②:f(x)的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為,則函數(shù)f(x)的最小正周期為T=π,即=π,所以ω=1,所以f(x)=2sin(2x-).
(2)關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間[0,m]上有兩個(gè)不同的解,
即sin(2x-)=在區(qū)間[0,m]上有兩個(gè)不同的解,
當(dāng)x∈[0,m]時(shí),2x-∈,所以≤2m-<,
解得≤m<,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[,).
三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,常以三角恒等變換為主要的化簡手段,考查三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜時(shí),我們要先通過三角恒等變換,將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡為y=Asin(ωx+)+k或y=Acos(ωx+)+k等形式,然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù),討論其圖象和性質(zhì).
題型五　三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用
[例5] 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.
解:(1)因?yàn)閍=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,
所以-cos x=3sin x.
若cos x=0,則sin x=0,
與sin2x+cos2x=1矛盾,
故cos x≠0.
于是tan x=-.
又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos(x+).
因?yàn)閤∈[0,π],所以x+∈[,],
從而-1≤cos(x+)≤.
于是,當(dāng)x+=,即x=0時(shí),
f(x)取到最大值3;
當(dāng)x+=π,即x=時(shí),
f(x)取到最小值-2.
求解向量與三角恒等變換的綜合問題,應(yīng)根據(jù)題目特征,將向量式化為三角式,再根據(jù)三角函數(shù)式的特征進(jìn)行恒等變換.
題型六　三角恒等變換與解三角形的綜合
問題
[例6] 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(1)由a2=b2+c2-2bccos A,得6=b2+c2+bc,而b=2c,代入得6=6c2,解得c=1.
(2)由(1)可求出b=2,而0所以sin A==,又=,
所以sin B===.
(3)因?yàn)閏os A=-,sin A=,
所以sin 2A=2sin Acos A=2×(-)×=-,
cos 2A=2cos2A-1=2×-1=-.
因?yàn)閏os A<0,所以而sin B=,所以cos B==,
故sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=(-)×+×=.
(1)三角形問題中,若已知條件含邊的一次式與三角形內(nèi)角的正弦、余弦的積,常利用正弦定理將邊變化為角后利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解.
(2)已知三角形的一個(gè)內(nèi)角的值,求另外兩個(gè)角的正弦或余弦的和差問題,常見的解法是將兩個(gè)角消去一個(gè)角后,化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)問題后求解.
第四章　檢測試題
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共 40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若tan α=-,cos α>0,則sin α等于(　D　)
A. B. C.- D.-
解析:因?yàn)閠an α=-<0,cos α>0,所以sin α<0,
由tan α=- =- =,解得sin2 α= sin α=-.故選D.
2.若tan α=,則tan(α-)等于(　A　)
A. B. C.- D.
解析:因?yàn)閠an α=,所以tan(α-)===.故選A.
3.化簡:等于(　A　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
解析:原式==2cos α.故選A.
4.已知α∈(0,),cos(α+)=-,則cos α等于(　B　)
A.- B. C. D.±
解析:因?yàn)棣痢?0,),
所以α+∈(,π),則sin(α+)>0,
所以sin(α+)==,
所以cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)·cos+sin(α+)sin=.
故選B.
5.的值為(　B　)
A. B. C. D.2
解析:=
====.故選B.
6.已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x,則(　C　)
A.f(x)在(-,-)上單調(diào)遞減
B.f(x)在(-,)上單調(diào)遞增
C.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減
D.f(x)在(,)上單調(diào)遞增
解析:依題意可知f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,
對于A選項(xiàng),因?yàn)閤∈(-,-),所以2x∈(-π,-),
函數(shù)f(x)=cos 2x在(-,-)上單調(diào)遞增,所以A選項(xiàng)不正確;
對于B選項(xiàng),因?yàn)閤∈(-,),所以2x∈(-,),
函數(shù)f(x)=cos 2x在(-,)上不單調(diào),所以B選項(xiàng)不正確;
對于C選項(xiàng),因?yàn)閤∈(0,),所以2x∈(0,),
函數(shù)f(x)=cos 2x在(0,)上單調(diào)遞減,所以C選項(xiàng)正確;
對于D選項(xiàng),因?yàn)閤∈(,),所以2x∈(,),
函數(shù)f(x)=cos 2x在(,)上不單調(diào),所以D選項(xiàng)不正確.故選C.
7.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),則的值為(　B　)
A. B.- C. D.-
解析:因?yàn)閟in α=+cos α,所以sin α-cos α=,兩邊平方可得1-2sin αcos α=,所以2sin αcos α=,所以1+2sin αcos α=,所以(sin α+cos α)2=.因?yàn)棣痢?0,),所以sin α+cos α=,所以==-(sin α+cos α)=-.故選B.
8.已知函數(shù)f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+(ω>0)在區(qū)間[0,π]有且僅有2個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是(　A　)
A.[,) B.[,)
C.[,) D.[,)
解析:由題意f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+
=-sin 2ωx+=cos(2ωx+)+1(ω>0),
若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]有且僅有2個(gè)零點(diǎn),
即cos(2ωx+)=-1在[0,π]上有2個(gè)解,
當(dāng)x=0時(shí),2ωx+=<π,則當(dāng)x=π時(shí),解得≤ω<.故選A.
二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共 18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列各式中,值為的是(　CD　)
A.2sin 22.5°cos 22.5° B.2sin215°-1
C. D.
解析:2sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=,不符合題意;
2sin215°-1=-(1-2sin215°)=-cos 30°=-,不符合題意;
=tan 30°=,符合題意;
====,
符合題意.故選CD.
10.已知≤α≤π,sin 2α=,則(　BC　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
解析:由≤α≤π,得≤2α≤2π,
又sin 2α=>0,
所以≤2α≤π,≤α≤,
cos 2α=-=-.
cos 2α=-=1-2sin2α,得到sin α=,A錯(cuò)誤;
cos 2α=-=2cos 2α-1,得到cos α=,C正確;
sin α-cos α=-=,B正確;
sin α+cos α=+=,D錯(cuò)誤.故選BC.
11.已知f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(|θ|<)是偶函數(shù),將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,則(　BD　)
A.g(x)在(-,)的值域?yàn)?-1,1)
B.y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.g(x)在[-,)上有5個(gè)零點(diǎn)
D.y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱
解析:f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x++θ),
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù),所以+θ=+kπ,k∈Z,即θ=+kπ,k∈Z.
因?yàn)閨θ|<,所以θ=,
即f(x)=2sin(2x++)=2cos 2x,
所以g(x)=2cos[2(x-)]=2cos(2x-).
當(dāng)x∈(-,)時(shí),2x-∈(-,),
所以2cos(2x-)∈(-1,2],故A錯(cuò)誤;
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,故當(dāng)k=2時(shí),x=,故y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱,B正確;
當(dāng)x∈[-,)時(shí),2x-∈[-,),
因?yàn)楹瘮?shù)y=2cos x在[-,)上有4個(gè)零點(diǎn),
所以g(x)在[-,)上有4個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤;
g()=2·cos=0,所以y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱,故D正確.故選BD.
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上.
12.已知tan α=3,則tan 2α=　　　　.
解析:tan 2α==-.
答案:-
13.若f(x)=2tan x-,則f()的值為　　　　.
解析:f(x)=2tan x-=2tan x+=2·=,
故f()==8.
答案:8
14.如圖,扇形OPQ的半徑為1,圓心角為θ,且tan θ=2,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形,當(dāng)tan ∠POC=　　 　　時(shí),矩形ABCD的周長最大,最大周長為　 .
解析:設(shè)∠POC=α,0則AD=BC=sin α,OB=cos α,OA==,
所以AB=cos α-,
所以矩形ABCD的周長為
2(cos α-)+2sin α=sin α+2cos α=sin(α+),
其中cos =,sin =,tan =2.
則<<,
所以當(dāng)α+=時(shí),矩形ABCD的周長最大,
此時(shí)α=-,tan α=tan(-)===,
且矩形ABCD周長的最大值為.
答案:　
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知第二象限角α滿足sin α,cos α是關(guān)于x的方程25x2-5x-12=0的兩個(gè)實(shí)根.
(1)求tan α+的值.
(2)求的值.
解:(1)由于sin α,cos α是關(guān)于x的方程25x2-5x-12=0的兩個(gè)實(shí)根,則α為第二象限角,
解得sin α=,cos α=-,
則tan α=-,
所以tan α+=-.
(2)===-.
16.(本小題滿分15分)
設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,]內(nèi)的最大值以及此時(shí)對應(yīng)的x的值.
解:(1)f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-)
=-cos 2x+2cos x(cos xcos +sin xsin)
=-cos 2x++sin 2x
=sin 2x-cos 2x+
=sin(2x-)+.
函數(shù)f(x)的最小正周期為T==π.
(2)令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[+kπ,+kπ],k∈Z.
(3)因?yàn)?≤x≤,則-≤2x-≤,
所以-≤sin(2x-)≤1.
當(dāng)2x-=,即x=時(shí),f(x)有最大值.
17.(本小題滿分15分)
在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小.
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范圍.
解:(1)由正弦定理得2sin Bsin A=sin A,
又sin A>0,
故sin B=,
由題意得B=.
(2)由A+B+C=π,
得C=-A,
由△ABC是銳角三角形得A∈(,).
由 cos C=cos(-A)=-cos A+sin A得
cos A+ cos B+ cos C=sin A+ cos A+=sin(A+)+∈(,].
故cos A+ cos B+ cos C的取值范圍是(,].
18.(本小題滿分17分)
在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,sin Bsin C=cos2.
(1)證明:△ABC是等腰三角形.
(2)若tan+tan=4,a=2,求△ABC的周長.
(1)證明:由sin Bsin C=cos2可得sin Bsin C=,A,B,C為△ABC三個(gè)內(nèi)角,
所以A=π-B-C,
所以2sin Bsin C=1-cos(B+C),
即2sin Bsin C+cos Bcos C-sin Bsin C=1,
即cos(B-C)=1.
又因?yàn)锽-C∈(-π,π),所以B-C=0,
即B=C,所以b=c,所以△ABC是等腰三角形.
(2)解:由tan+tan=4,
得tan+tan=4,
即+=4,
所以+=4,
所以=4 =4,
所以sin C=.
因?yàn)锽=C,所以C為銳角,所以C=,
所以B=,A=,a=2,
由正弦定理,==,解得b=c=2,
所以△ABC的周長為4+2.
19.(本小題滿分17分)
某學(xué)校有一處矩形地塊ABCD,如圖所示,AB=50 m,BC=25 m,為了便于校園綠化,計(jì)劃在矩形地塊內(nèi)鋪設(shè)三條綠化帶OE,EF和OF,考慮到整體規(guī)劃,要求O是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD上,且∠EOF=.
(1)設(shè)∠BOE=α,α∈[,],試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式.
(2)在(1)的條件下,為增加夜間照明亮度,決定在兩條綠化帶OE和OF上安裝智能照明裝置,已知兩條綠化帶每米增加智能照明裝置的費(fèi)用均相等,當(dāng)新加裝的智能照明裝置的費(fèi)用最低時(shí),求α的大小(注:sin=).
解:(1)由題意知AB=50 m,O是邊AB的中點(diǎn),
所以O(shè)B=OA=25 m.
在Rt△BOE中,由∠BOE=α,α∈[,],可得OE=.
由于∠EOF=,
故在Rt△AOF中,∠AOF=-α,∠AFO=α,
可得OF=.
又在Rt△EOF中,由勾股定理得
EF===,
所以l=++=
,α∈[,].
(2)根據(jù)題意,要使費(fèi)用最低,只需OE+OF最小即可,
由(1)得OE+OF=,α∈[,].
設(shè)sin α+cos α=t,則sin α·cos α=,
得OE+OF====.
由于t=sin α+cos α=sin(α+),
≤α+≤,而sin=sin=,
故≤t≤.
令f(t)=t-,
則f(t)=t-在[,]上為增函數(shù),
則f(t)max=f()=,
所以當(dāng)t=時(shí),OE+OF=最小,
此時(shí)α=,
即當(dāng)新加裝的智能照明裝置的費(fèi)用最低時(shí),α=.章末總結(jié)
網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)
知識辨析
判斷對錯(cuò)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).
1.對任意角α,=tan 2α都成立.(　　)
2.sin α= .(　)
3.存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　　)
4.對任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　　)
5.二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.(　　)
6.tan α=.(　　)
7.在公式asin x+bcos x=sin(x+)(a,b不同時(shí)為0)中,角所在象限由a,b的符號確定.(　　)
8.對任意三角形ABC,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C均成立.(　　)
題型一　給值(角)求值問題
[例1] (1)設(shè)sin 20°=m,cos 20°=n,則-等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)已知=7,則cos(α-)等于(　　)
A.- B. C. D.
(3)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,則cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
“給角求值”“給值求值”問題求解的關(guān)鍵在于“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系,借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
題型二　三角函數(shù)的給值求角
[例2] 若sin α=,sin β=,且α,β均為銳角,求α+β的值.
本題中由于已知角α,β的正弦值,且α,β均為銳角,因此在求α+β時(shí),應(yīng)選擇角α+β的余弦而不能選擇正弦,這是因?yàn)槿羟螃?β的正弦,則得到sin(α+β)=,0°<α+β<180°,而得到α+β=45°或135°是正確的,但題設(shè)中sin α=<,sin β=<,使得0°<α<30°,0°<β<30°,從而0°<α+β<60°,故上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.因此在給值求角的問題中,角的范圍常常被忽略或不能發(fā)現(xiàn)隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除.要避免上述情況的發(fā)生,解題時(shí)應(yīng)合理選擇三角函數(shù)形式進(jìn)行求解,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,估算出角的較精確的取值范圍,并不斷縮小角的范圍.
題型三　三角函數(shù)的化簡
[例3] 化簡:.
三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則
(1)一看“角”,一般化異角為同角通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理地拆分,從而正確使用公式.
(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,一般化異名為同名從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”.
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,如“遇到分式要通分”等.
題型四　三角恒等變換與三角函數(shù)的
綜合問題
[例4] 已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx-)cos(ωx-)-2cos2(ωx+)+1
(ω>0),且滿足　　　　.
①f(x)的圖象與直線y=-2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離等于π;②f(x)的兩個(gè)相鄰對稱中心之間的距離為.從這兩個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在上面問題的橫線中并作答.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間[0,m]上有兩個(gè)不同的解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,常以三角恒等變換為主要的化簡手段,考查三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜時(shí),我們要先通過三角恒等變換,將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡為y=Asin(ωx+)+k或y=Acos(ωx+)+k等形式,然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù),討論其圖象和性質(zhì).
題型五　三角函數(shù)與向量的綜合應(yīng)用
[例5] 已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.
求解向量與三角恒等變換的綜合問題,應(yīng)根據(jù)題目特征,將向量式化為三角式,再根據(jù)三角函數(shù)式的特征進(jìn)行恒等變換.
題型六　三角恒等變換與解三角形的綜合
問題
[例6] 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=,b=2c,cos A=-.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin(2A-B)的值.
(1)三角形問題中,若已知條件含邊的一次式與三角形內(nèi)角的正弦、余弦的積,常利用正弦定理將邊變化為角后利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求解.
(2)已知三角形的一個(gè)內(nèi)角的值,求另外兩個(gè)角的正弦或余弦的和差問題,常見的解法是將兩個(gè)角消去一個(gè)角后,化為關(guān)于一個(gè)角的三角函數(shù)問題后求解.
第四章　檢測試題
一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共 40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若tan α=-,cos α>0,則sin α等于(　　)
A. B. C.- D.-
2.若tan α=,則tan(α-)等于(　　)
A. B. C.- D.
3.化簡:等于(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
4.已知α∈(0,),cos(α+)=-,則cos α等于(　　)
A.- B. C. D.±
5.的值為(　　)
A. B. C. D.2
6.已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x,則(　　)
A.f(x)在(-,-)上單調(diào)遞減
B.f(x)在(-,)上單調(diào)遞增
C.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減
D.f(x)在(,)上單調(diào)遞增
7.已知sin α=+cos α,且α∈(0,),則的值為(　　)
A. B.- C. D.-
8.已知函數(shù)f(x)=cos2ωx-sin ωxcos ωx+(ω>0)在區(qū)間[0,π]有且僅有2個(gè)零點(diǎn),則ω的取值范圍是(　　)
A.[,) B.[,)
C.[,) D.[,)
二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共 18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.下列各式中,值為的是(　　)
A.2sin 22.5°cos 22.5° B.2sin215°-1
C. D.
10.已知≤α≤π,sin 2α=,則(　　)
A.sin α=- B.sin α-cos α=
C.cos α= D.sin α+cos α=
11.已知f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(|θ|<)是偶函數(shù),將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,則(　　)
A.g(x)在(-,)的值域?yàn)?-1,1)
B.y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱
C.g(x)在[-,)上有5個(gè)零點(diǎn)
D.y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱
三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上.
12.已知tan α=3,則tan 2α=　　　　.
13.若f(x)=2tan x-,則f()的值為　　　　.
14.如圖,扇形OPQ的半徑為1,圓心角為θ,且tan θ=2,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),矩形ABCD內(nèi)接于扇形,當(dāng)tan ∠POC=　　 　　時(shí),矩形ABCD的周長最大,最大周長為　 .
四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知第二象限角α滿足sin α,cos α是關(guān)于x的方程25x2-5x-12=0的兩個(gè)實(shí)根.
(1)求tan α+的值.
(2)求的值.
16.(本小題滿分15分)
設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x+2cos xcos(x-).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,]內(nèi)的最大值以及此時(shí)對應(yīng)的x的值.
17.(本小題滿分15分)
在銳角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小.
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范圍.
18.(本小題滿分17分)
在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,sin Bsin C=cos2.
(1)證明:△ABC是等腰三角形.
(2)若tan+tan=4,a=2,求△ABC的周長.
19.(本小題滿分17分)
某學(xué)校有一處矩形地塊ABCD,如圖所示,AB=50 m,BC=25 m,為了便于校園綠化,計(jì)劃在矩形地塊內(nèi)鋪設(shè)三條綠化帶OE,EF和OF,考慮到整體規(guī)劃,要求O是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在邊AD上,且∠EOF=.
(1)設(shè)∠BOE=α,α∈[,],試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式.
(2)在(1)的條件下,為增加夜間照明亮度,決定在兩條綠化帶OE和OF上安裝智能照明裝置,已知兩條綠化帶每米增加智能照明裝置的費(fèi)用均相等,當(dāng)新加裝的智能照明裝置的費(fèi)用最低時(shí),求α的大小(注:sin=).

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