資源簡介

§1　周期變化
學習目標
1.了解現實生活中的周期現象,提升數學抽象的核心素養.
2.理解周期函數、周期、最小正周期的概念,提高數學抽象與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點　周期函數、最小正周期的概念
(1)周期函數:一般地,對于函數y=f(x),x∈D,如果存在一個非零常數T,使得對任意的x∈D,都有x+T∈D,且滿足f(x+T)=f(x),那么函數y=f(x)稱作周期函數,非零常數T稱作這個函數的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數y=f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就稱作函數y=f(x)的最小正周期.
[思考1] 任何周期函數都有最小正周期嗎
提示:并不是所有的函數都有最小正周期,比如常函數f(x)=C(C為常數)的周期可以是任意的實數值,但是沒有最小值.
[思考2] 若T是函數f(x)的一個周期,則nT也是函數f(x)的周期嗎
提示:當n∈Z,且n≠0時,nT是函數f(x)的周期,否則不是.
(1)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,存在非零常數T,都有f(x+)=f(x-),那么T為f(x)的一個周期.
(2)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,存在非零常數a,使得f(x+a)=-f(x),那么2a為f(x)的一個周期.
(3)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,f(x)≠0,且存在非零常數a,使得f(x+a)=,或f(x+a)=-,那么2a為f(x)的一個周期.
探究點一　周期現象的理解
[例1] 判斷下列現象是不是周期現象,并說明理由.
(1)地球的自轉;
(2)連續拋擲一枚骰子,朝上一面的點數;
(3)某段高速公路每天通過的車輛數.
周期現象的兩個特點:
(1)重復出現;
(2)間隔距離相同.
[針對訓練]
1.判斷下列現象是不是周期現象,并說明理由.
(1)北京天安門廣場的國旗,日出時升旗,日落時降旗,其每天的升旗時間;
(2)鐘表的秒針的轉動.
2.今天是星期三,那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾 7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾 100天后的那一天是星期幾
探究點二　周期函數、最小正周期
[例2] 彈簧振子相對平衡位置的位移x(單位:cm)與時間t(單位:s)的函數關系如圖所示.
(1)求該函數的周期;
(2)當t=10.5 s時,求彈簧振子相對平衡位置的位移.
利用T為f(x)的周期,則kT(k∈Z,k≠0)也為f(x)的周期,可把周期函數的函數值計算轉化為已知區間上的函數值計算.
[針對訓練] 已知△ABC是邊長為2的等邊三角形.如圖,將△ABC的頂點A與原點重合.AB在x軸上,然后將三角形沿著x軸順時針滾動,每當頂點A再次回落到x軸上時,將相鄰兩個A之間的距離稱為“一個周期”,則這個周期為　　　　.
探究點三　周期函數的綜合應用
[例3] 設f(x) 是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.
(1)求證:f(x)是周期函數.
(2)當x∈[2,4]時,求f(x)的解析式.
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027).
[變式探究] 已知f(x)是定義在R上的函數,滿足f(x+2)=.
(1)若f(-)=3,求f().
(2)求證:f(x)的周期為4.
(3)當x∈[0,2)時,f(x)=3x,求f(x)在x∈[-2,0)時的解析式.
代換方法:在類似f(x+T)=f(x-T)中,如果x∈R,非零常數T為實數,則x+T也是實數,把等式的x換為x+T,等式f(x+T)=f(x-T)仍然成立,這種思想是類似已知f(x+T)=f(x-T)導出函數周期的基本出發點.
當堂檢測
1.下列說法正確的是(　　)
A.若T是函數f(x)的周期,則2T也是函數f(x)的周期
B.若T是函數f(x)的周期,則也是函數f(x)的周期
C.若存在實數T,對函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期函數
D.已知x0為函數f(x)定義域內的某一個值,T是非零常數,若f(x0+T)=f(x0),則T是f(x)的周期
2.若f(x)=則f(2 027) 等于(　　)
A. B. C. D.
3.一簇花有50朵,按百合、玫瑰、康乃馨、郁金香的順序依次插花,則最后一朵花是　　　　.
4.已知函數y=f(x)的定義域為R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),當x∈[-2,0)時,f(x)=x3-2x,則f(2 026)等于　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
周期現象 1,2,3
周期函數、最小正周期 4,5
周期函數的綜合應用 6,7,8,9,10
基礎鞏固
1.下列現象不是周期現象的是(　　)
A.“春去春又回”
B.鐘表的時針每隔24小時轉一圈
C.“哈雷彗星”的運行時間
D.某同學每天上數學課的時間
2.把化成小數為0.42 85,小數點后第20位是(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
3.按照規定,奧運會每4年舉辦一次.2024年的奧運會在法國巴黎舉辦,那么下列年份中不舉辦奧運會的應該是(　　)
A.2008年 B.2032年 C.2034年 D.2036年
4.下列函數圖象中,不具有周期性的是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
5.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(423)等于(　　)
A.-2 B.2 C.-98 D.98
6.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數,且周期為2,當x∈[-1,0)時,f(x)=()x-1,則當x∈(2,3]時,f(x)等于　　　　.
能力提升
7.如圖所示的是一個單擺,讓擺球從A點開始擺,最后又回到A點,單擺所經歷的時間是一個周期T,則擺球在O→B→O→A→O的運動過程中,經歷的時間是(　　)
A.2T B.T C. D.
8.已知函數y=f(x+1)的圖象關于直線x=-3對稱,且對 x∈R都有f(x)+f(-x)=2,當x∈(0,2]時,f(x)=x+2.則f(2 025)等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
9.(多選題)設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,也叫取整函數,例如[2.3]=2.令函數f(x)=[x]-x,以下結論正確的有(　　)
A.f(-1.7)=-0.3
B.f(x)的最大值為0,最小值為-1
C.f(x-1)=f(x)
D.y=f(x)與y=-x+1的圖象沒有交點
10.若偶函數f(x)對任意x∈R都有f(x+3)=-,且當x∈[-3,-2]時,f(x)=4x,則f(113.5)=　　　　. §1　周期變化
學習目標
1.了解現實生活中的周期現象,提升數學抽象的核心素養.
2.理解周期函數、周期、最小正周期的概念,提高數學抽象與數學運算的核心素養.
知識探究
知識點　周期函數、最小正周期的概念
(1)周期函數:一般地,對于函數y=f(x),x∈D,如果存在一個非零常數T,使得對任意的x∈D,都有x+T∈D,且滿足f(x+T)=f(x),那么函數y=f(x)稱作周期函數,非零常數T稱作這個函數的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函數y=f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就稱作函數y=f(x)的最小正周期.
[思考1] 任何周期函數都有最小正周期嗎
提示:并不是所有的函數都有最小正周期,比如常函數f(x)=C(C為常數)的周期可以是任意的實數值,但是沒有最小值.
[思考2] 若T是函數f(x)的一個周期,則nT也是函數f(x)的周期嗎
提示:當n∈Z,且n≠0時,nT是函數f(x)的周期,否則不是.
(1)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,存在非零常數T,都有f(x+)=f(x-),那么T為f(x)的一個周期.
(2)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,存在非零常數a,使得f(x+a)=-f(x),那么2a為f(x)的一個周期.
(3)函數y=f(x)的定義域為D,若對 x∈D,f(x)≠0,且存在非零常數a,使得f(x+a)=,或f(x+a)=-,那么2a為f(x)的一個周期.
探究點一　周期現象的理解
[例1] 判斷下列現象是不是周期現象,并說明理由.
(1)地球的自轉;
(2)連續拋擲一枚骰子,朝上一面的點數;
(3)某段高速公路每天通過的車輛數.
解:(1)地球每天自轉一圈,并且每一天內的任何時段總會重復前一天內相同時段的動作,因此是周期現象.
(2)連續拋擲一枚骰子,朝上一面的點數有可能為1,2,…,6,并且前一次出現的點數,下一次可能出現,也可能不出現,故出現的點數是隨機的,不是周期現象.
(3)某段高速公路每天通過的車輛數會因時間、天氣、交通狀況等因素而發生變化,沒有一個確定的規律,因此不是周期現象.
周期現象的兩個特點:
(1)重復出現;
(2)間隔距離相同.
[針對訓練]
1.判斷下列現象是不是周期現象,并說明理由.
(1)北京天安門廣場的國旗,日出時升旗,日落時降旗,其每天的升旗時間;
(2)鐘表的秒針的轉動.
解:(1)北京每天的日出、日落隨節氣變化,并非恒定,相鄰兩天的升旗時間間隔是變化的,不是常數,所以不是周期現象.
(2)鐘表的秒針每一分鐘轉一圈,并且每分鐘總是重復前一分鐘的動作,因此是周期現象.
2.今天是星期三,那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾 7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾 100天后的那一天是星期幾
解:每周7天,呈周期性變化,今天是星期三,則7k(k∈Z)天后的那一天是星期三;7k(k∈Z)天前的那一天仍然是星期三;100=7×14+2,所以100天后的那一天是星期五.
探究點二　周期函數、最小正周期
[例2] 彈簧振子相對平衡位置的位移x(單位:cm)與時間t(單位:s)的函數關系如圖所示.
(1)求該函數的周期;
(2)當t=10.5 s時,求彈簧振子相對平衡位置的位移.
解:(1)由題意知該函數的周期為4 s.
(2)設x=f(t),由函數的周期為4 s可知,
f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8,
即當t=10.5 s時,
彈簧振子相對平衡位置的位移是-8 cm.
利用T為f(x)的周期,則kT(k∈Z,k≠0)也為f(x)的周期,可把周期函數的函數值計算轉化為已知區間上的函數值計算.
[針對訓練] 已知△ABC是邊長為2的等邊三角形.如圖,將△ABC的頂點A與原點重合.AB在x軸上,然后將三角形沿著x軸順時針滾動,每當頂點A再次回落到x軸上時,將相鄰兩個A之間的距離稱為“一個周期”,則這個周期為　　　　.
解析:由已知可得點A一個周期的運動軌跡如圖所示,
當A再次回落到x軸上時,發生了6個單位的位移,則一個周期為6.
答案:6
探究點三　周期函數的綜合應用
[例3] 設f(x) 是定義在R上的奇函數,且對任意實數x,恒有f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.
(1)求證:f(x)是周期函數.
(2)當x∈[2,4]時,求f(x)的解析式.
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027).
(1)證明:f(x+2)=-f(x) f(x+2+2)=-f(x+2) f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數.
(2)解:當x∈[-2,0]時,因為函數f(x)是定義在R上的奇函數,所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x,當x∈[2,4]時,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
(3)解:f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,因為函數f(x)的周期為4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 027)=507×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=0.
[變式探究] 已知f(x)是定義在R上的函數,滿足f(x+2)=.
(1)若f(-)=3,求f().
(2)求證:f(x)的周期為4.
(3)當x∈[0,2)時,f(x)=3x,求f(x)在x∈[-2,0)時的解析式.
(1)解:因為f()=f(-+2)==-,所以f()=f(+2)==3.
(2)證明:因為對任意的x∈R,滿足f(x+2)=,
所以f(x+4)=f(x+2+2)===f(x),
所以函數f(x)是以4為周期的周期函數.
(3)解:設x∈[-2,0),則x+2∈[0,2), 因為當x∈[0,2)時,f(x)=3x,所以當x+2∈[0,2)時,f(x+2)=3(x+2),又因為f(x+2)=,所以3(x+2)=,所以f(x)=-.
代換方法:在類似f(x+T)=f(x-T)中,如果x∈R,非零常數T為實數,則x+T也是實數,把等式的x換為x+T,等式f(x+T)=f(x-T)仍然成立,這種思想是類似已知f(x+T)=f(x-T)導出函數周期的基本出發點.
當堂檢測
1.下列說法正確的是(　A　)
A.若T是函數f(x)的周期,則2T也是函數f(x)的周期
B.若T是函數f(x)的周期,則也是函數f(x)的周期
C.若存在實數T,對函數f(x)定義域內的任意一個x,都有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期函數
D.已知x0為函數f(x)定義域內的某一個值,T是非零常數,若f(x0+T)=f(x0),則T是f(x)的周期
解析:根據函數的周期的定義,可知若T是函數f(x)的周期,則對定義域內任意一個x,都有f(x+T)=f(x),f(x+2T)=f(x+T)=f(x),即2T也是函數f(x)的周期,顯然不一定是函數f(x)的周期,故A說法正確,B說法錯誤.由周期函數的定義,可知f(x+T)=f(x)對定義域內任意一個x都成立,且T≠0,故C,D說法均錯誤.故選A.
2.若f(x)=則f(2 027) 等于(　C　)
A. B. C. D.
解析:由題意知當x>0時,f(x)=f(x-4),此時f(x)是以4為周期的周期函數,所以f(2 027)=f(3+4×506)=f(3)=f(-1)=2-1+=+=.故選C.
3.一簇花有50朵,按百合、玫瑰、康乃馨、郁金香的順序依次插花,則最后一朵花是　　　　.
解析:由題意知周期為4,因為50=4×12+2,所以最后一朵是玫瑰.
答案:玫瑰
4.已知函數y=f(x)的定義域為R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),當x∈[-2,0)時,f(x)=x3-2x,則f(2 026)等于　　　　.
解析:因為函數y=f(x)的定義域為R,且f(-x)=f(x),f(x+4)=f(x),所以f(x)為偶函數且是周期為4的周期函數,又當x∈[-2,0)時,f(x)=x3-2x,所以f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=f(-2)=(-2)3-2×(-2)=-4.
答案:-4
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
周期現象 1,2,3
周期函數、最小正周期 4,5
周期函數的綜合應用 6,7,8,9,10
基礎鞏固
1.下列現象不是周期現象的是(　D　)
A.“春去春又回”
B.鐘表的時針每隔24小時轉一圈
C.“哈雷彗星”的運行時間
D.某同學每天上數學課的時間
解析:對于A,每隔一年,春天就重復一次,因此“春去春又回”是周期現象;對于B,時針每隔24小時轉一圈,是周期現象;對于C,天體的運行具有周期性,所以“哈雷彗星”的運行時間是周期現象;對于D,某同學每天上數學課的時間不固定,并不是隔一段時間就會重復一次,因此不是周期現象.故選D.
2.把化成小數為0.42 85,小數點后第20位是(　C　)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:小數點后的數字1,4,2,8,5,7呈周期變化,且周期為6,因為20=6×3+2,
所以小數點后第20位是4.故選C.
3.按照規定,奧運會每4年舉辦一次.2024年的奧運會在法國巴黎舉辦,那么下列年份中不舉辦奧運會的應該是(　C　)
A.2008年 B.2032年 C.2034年 D.2036年
解析:2034不是4的倍數.故選C.
4.下列函數圖象中,不具有周期性的是(　C　)
　　　
A B
　　　
C D
解析:C中,圖象沒有重復出現.故選C.
5.已知f(x)是定義在R上的奇函數,且f(x+4)=f(x),當x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(423)等于(　A　)
A.-2 B.2 C.-98 D.98
解析:由題意知f(x)是以4為周期的奇函數,所以f(423)=f(4×106-1)=f(-1)=-f(1)=-2.故選A.
6.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數,且周期為2,當x∈[-1,0)時,f(x)=()x-1,則當x∈(2,3]時,f(x)等于　　　　.
解析:當x∈(0,1]時,-x∈[-1,0),則f(-x)=()-x-1=2x-1,因為f(x)是定義域為R的偶函數,所以f(x)=f(-x)=2x-1;當x∈(2,3]時,x-2∈(0,1],則f(x-2)=2x-2-1,又f(x)的周期為2,所以f(x)=f(x-2)=2x-2-1.
答案:2x-2-1
能力提升
7.如圖所示的是一個單擺,讓擺球從A點開始擺,最后又回到A點,單擺所經歷的時間是一個周期T,則擺球在O→B→O→A→O的運動過程中,經歷的時間是(　B　)
A.2T B.T C. D.
解析:依題意,整個運動剛好是一個周期,所以經歷的時間是一個周期T.故選B.
8.已知函數y=f(x+1)的圖象關于直線x=-3對稱,且對 x∈R都有f(x)+f(-x)=2,當x∈(0,2]時,f(x)=x+2.則f(2 025)等于(　D　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
解析:因為函數y=f(x+1)的圖象關于直線x=-3對稱,
所以函數y=f(x)的圖象關于直線x=-2對稱,
所以f(-2+x)=f(-2-x).
取x=x+2,
可得f(-2+x+2)=f(-2-(x+2)),
所以f(x)=f(-4-x).
又對 x∈R有f(x)+f(-x)=2,
取x=-4-x可得f(-4-x)+f(x+4)=2,
所以f(x)=f(-4-x)=2-f(-x),
f(-4-x)=2-f(x+4),
所以f(x+4)=f(-x),
所以f((x+4)+4)=f(-x-4)=f(x),
即f(x+8)=f(x),
所以f(x)的周期T=8,
所以f(2 025)=f(253×8+1)=f(1)=3.故選D.
9.(多選題)設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,也叫取整函數,例如[2.3]=2.令函數f(x)=[x]-x,以下結論正確的有(　AC　)
A.f(-1.7)=-0.3
B.f(x)的最大值為0,最小值為-1
C.f(x-1)=f(x)
D.y=f(x)與y=-x+1的圖象沒有交點
解析:對于A,由題意得f(-1.7)=[-1.7]-(-1.7)=(-2)+1.7=-0.3,故A正確;對于C,f(x-1)=[x-1]-(x-1)=([x]-1)-x+1=-x+[x]=f(x),故C正確;對于B,由選項C可知,f(x)是周期為1的周期函數,則當x=0時,f(0)=[0]-0=0,當010.若偶函數f(x)對任意x∈R都有f(x+3)=-,且當x∈[-3,-2]時,f(x)=4x,則f(113.5)=　　　　.
解析:因為f(x+3)=-,
所以f(x+6)=-=f(x),
所以函數f(x)的周期為6,
所以f(113.5)=f(18×6+5.5)=f(5.5)=f(-0.5),
f(-0.5+3)=-,
所以f(-0.5)=-.
又函數為偶函數,所以f(2.5)=f(-2.5)=-10,所以f(-0.5)=-=,
即f(113.5)=.
答案:

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