資源簡介

§2　任意角
2.1　角的概念推廣
2.2　象限角及其表示
學習目標
1.了解任意角的概念,理解象限角的概念,提升數學抽象的核心素養.
2.掌握終邊相同的角的含義、象限角及其表示,培養數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　角的概念推廣
(1)角的定義:
平面內一條射線OA繞著它的端點O按箭頭所示方向旋轉到終止位置OB,形成角α.其中點O是角α的頂點,射線OA是角α的始邊,射線OB是角α的終邊.
(2)角的分類:
類型 規定 圖示
正角 按逆時針方向旋轉形成的角
負角 按順時針方向旋轉形成的角
零角 如果一條射線沒有作任何旋轉,稱它形成了一個零角
[思考1] 如果一個角的始邊與終邊重合,那么這個角一定是零角嗎
提示:不一定,若角的終邊未作任何旋轉,則這個角是零角.若角的終邊作了旋轉,則這個角就不是零角.
知識點2　象限角及其表示
(1)象限角和軸線角:在平面直角坐標系中,角的頂點在坐標原點,始邊在x軸的非負半軸.以角的終邊(除端點外)在平面直角坐標系的位置對角分類:角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,這個角就不屬于任何象限.
(2)與角α終邊相同的角:一般地,給定一個角α,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數倍的和.
[思考2] 各象限角的集合是什么 軸線角的集合呢
提示:各象限角的表示如下表所示:
象限角 角的集合表示
第一 象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二 象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三 象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四 象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
軸線角的表示如下表所示:
軸線角 角的集合表示
終邊在x軸上角的集合 {α|α=k·180°,k∈Z}
終邊在y軸上角的集合 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
探究點一　角的概念推廣
[例1] 經過2個小時,鐘表的時針和分針旋轉所形成的角分別是(　　)
A.60°角,720°角 B.-60°角,-720°角
C.-30°角,-360°角 D.-60°角,720°角
解析:鐘表的時針和分針都是順時針旋轉的,因此轉過的角度都是負的,又×360°=60°,2×360°=720°,故經過2個小時,鐘表的時針和分針旋轉所形成的角分別是-60°角,-720°角.故選B.
判斷角的概念問題的關鍵與技巧
(1)關鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判斷命題為真需要證明,而判斷命題為假只要舉出反例即可.
[針對訓練] 寫出圖(1)(2)中的角α,β,γ的度數.
解:題圖(1)中,α=360°-30°=330°;
題圖(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°,
γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.
探究點二　象限角及其表示
角度1　終邊相同的角
[例2] 已知角α=2 024°.
(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.
解:(1)由2 024°除以360°,得商為5,余數為224°,
所以取k=5,β=224°,
則α=5×360°+224°.
(2)與2 024°角終邊相同的角為k·360°+2 024°(k∈Z).
令-360°≤k·360°+2 024°<720°,k∈Z,
所以k可取-6,-5,-4.將k的值代入k·360°+2 024° 中,得角θ的值為-136°,224°,584°.
在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法
(1)一般地,可以將所給的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),β就是所求的角.
(2)如果所給的角的絕對值不是很大,可以通過如下方法完成:當所給的角是負角時,采用連續加360°的方式;當所給的角是正角時,采用連續減360°的方式,直到所得結果達到所求為止.
[針對訓練] 與-66°終邊相同的角是(　　)
A.34° B.104° C.214° D.294°
解析:與-66°終邊相同的角可以寫成-66°+360°·k的形式,其中k∈Z.令k=1可得,-66°與294°的終邊相同,其他選項均不合題意.故選D.
角度2　區域角
[例3] 如圖所示.
(1)分別寫出終邊在OA,OB位置上的角的集合;
(2)寫出終邊在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
解:(1)終邊在OA位置上的角的集合為{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z};
終邊在OB位置上的角的集合為{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由題圖可知,終邊在陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有終邊在[-30°,135°]之間的角組成的集合,故該區域可表示為
{γ|-30°+k·360°≤ γ ≤135°+k·360°,k∈Z}.
(1)終邊在直線上的角的集合的寫法
終邊在過原點的直線上的角的集合可以分為兩步:先分別寫出終邊在兩條射線上的角的集合,然后取兩個集合的并集可得終邊在過原點的直線上的角的集合.
(2)表示區間(區域)角的三個步驟
第一步:先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界.
第二步:按由小到大的順序分別標出起始和終止邊界對應的-360°～360°范圍內的角α和β,寫出最簡區間{x|α第三步:起始、終止邊界對應角α,β再加上360°的整數倍,即得區間角的集合.
易錯警示:寫區域角時,要注意角的集合的左邊值,必須小于右邊值,并且一定要寫上k∈Z.
[針對訓練] 若一個角的集合為S,且終邊在直線y=-x上,寫出集合S并把S中適合不等式-180° ≤α<180°的元素α寫出來.
解:終邊在直線y=-x上的角的集合S={α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}={α|α=k·180°+120°,k∈Z},其中適合不等式-180°≤α<180°的元素α為-60°,120°.
學海拾貝
判定倍角、分角是第幾象限角
[典例探究] 若角α是第二象限角,試確定角2α,分別是第幾象限角.
解:因為α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).
(1)180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z),
所以2α是第三象限角或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角.
(2)法一　k·120°+30°<當k=3n+1(n∈Z)時,n·360°+150°<當k=3n+2(n∈Z)時,n·360°+270°<綜上所述,是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
法二　將平面直角坐標系中的每一個象限進行三等分,從x軸非負半軸起,按逆時針方向把各等分區域依次循環標上號碼1,2,3,4,如圖所示.
因為α是第二象限角,
所以圖中標有數字2的區域(不包括邊界)即的終邊所在的區域,
故是第一象限角或第二象限角或第四象限角.
倍角、分角所在象限的判定方法
(1)已知角α終邊所在的象限,確定nα終邊所在的象限時,可依據角α的范圍求出nα的范圍,再直接轉化為終邊相同的角.注意不要漏掉nα的終邊在坐標軸上的情況.
(2)已知角α終邊所在的象限,確定終邊所在的象限有以下兩種方法.
①不等式法:利用不等式表示出的范圍,對k的取值分類討論.
主要是分以下幾種情況進行討論:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2;……;k被n除余(n-1),然后方可下結論.
②幾何法:分別將各個象限n等分,從x軸非負半軸起,按照逆時針方向依次標上數字1,2,3,4.根據α所在的象限,找出對應的數字,根據數字所在的位置,確定終邊所在的象限.當n≥4,n∈N+時,角的終邊在四個象限都有分布,一般不討論研究.
易錯警示:處理本題時常出現兩種錯誤:
(1)遺漏2α可能是終邊在y軸的非正半軸上的角;
(2)由α是第二象限角,僅想到90°<α<180°,從而得到30°<<60°,僅得到是第一象限角,而丟掉是第二、第四象限角的情況.
[應用探究] 已知α為第一象限角,求180°-是第幾象限角.
解:因為α為第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°<所以-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z,
所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z.
當k=2n(n∈Z)時,135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,所求角為第二象限角;
當k=2n+1(n∈Z)時,-45°-n·360°<180°-<-n·360°,所求角為第四象限角.
所以180°-是第二或第四象限角.
當堂檢測
1.已知α=944°,則α是(　C　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因為α=944°=224°+2×360°,又224°是第三象限角,所以α是第三象限角.故選C.
2.如果角α的終邊上有一點P(0,-6),那么角α(　D　)
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不屬于任何象限
解析:因為點P在y軸的負半軸上,即角α的終邊在y軸的非正半軸上,因此角α不屬于任何象限.故選D.
3.在0°～360°范圍內與 2 024° 終邊相同的角為　　　　.
解析:因為與2 024°終邊相同的角為k·360°+2 024°,k∈Z,當k=-5時,符合題意,此時角為224°.
答案:224°
4.終邊在直線y=x上的角可用集合表示為　　　　　　　.
解析:法一　終邊在射線y=x(x≥0)上的角的集合S1={α|α=
60°+k·360°,k∈Z};終邊在射線y=x(x≤0)上的角的集合S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在直線y=x上的角的集合S=S1∪S2={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+k·180°,k∈Z}.
法二　在0°～360°范圍內,當終邊在射線y=x(x≥0)上時,對應的角為60°;旋轉180°后,終邊在射線y=x(x≤0)上;再旋轉180°,終邊又在射線y=x(x≥0)上.
故終邊在直線y=x上的角的集合為{α|α=60°+k·180°,k∈Z}.
答案:{α|α=60°+k·180°,k∈Z}
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
角的概念推廣、象限角 2,3
終邊相同的角及其理解 1,4,7,8,12
角的概念推廣的綜合應用 5,6,9,10,11,13,14
基礎鞏固
1.下列選項中與角α=1 680°終邊相同的角是(　C　)
A.120° B.-240°
C.-120° D.60°
解析:與α=1 680°終邊相同的角為β=1 680°+360°k,k∈Z,當k=-5時,β=-120°,C選項符合要求,經過檢驗,其他選項不符合要求.
故選C.
2.已知α為銳角,那么2α是(　A　)
A.小于180°的正角 B.第一象限角
C.第二象限角 D.第一或第二象限角
解析:因為α為銳角,所以0°<α<90°,所以0°<2α<180°.故選A.
3.(多選題)角α=45°+k·180°(k∈Z)的終邊可能落在(　AC　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:當k=2m+1(m∈Z)時,α=2m·180°+225°=m·360°+225°,故α為第三象限角;當k=2m(m∈Z)時,α=m·360°+45°,故α為第一象限角.故α的終邊落在第一或第三象限.故選AC.
4.已知α,β的終邊相同,那么角α-β的終邊在(　A　)
A.x軸的非負半軸上 B.x軸的非正半軸上
C.y軸的非負半軸上 D.y軸的非正半軸上
解析:因為角α,β的終邊相同,則根據終邊相同角的表示可知α=k·360°+β,k∈Z.所以α-β=k·360°+β-β=k·360°,k∈Z,所以α-β的終邊在x軸的非負半軸上.故選A.
5.(多選題)已知M={α|α是第一象限角},N={α|α是銳角},Q={α|α是小于90°的角},那么M,N,Q的關系是(　BC　)
A.N=M∩Q B.N∪Q=Q
C.N∩M=N D.M=N=Q
解析:因為M={α|α是第一象限角},N={α|α是銳角},Q={α|α是小于90°的角},所以M∩Q除了包括銳角,還包括其他角,比如-330°角,故A選項錯誤;銳角是大于0°且小于90°的角,故B選項正確;銳角是第一象限角,故C選項正確;選項A,B,C中角的范圍不一樣,所以D選項錯誤.故選BC.
6.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,則角α與β的終邊的位置關系是(　D　)
A.重合 B.關于原點對稱
C.關于x軸對稱 D.關于y軸對稱
解析:法一　角α的終邊和60°角的終邊相同,角β的終邊與120°角的終邊相同,因為180°-120°=60°,所以角α與β的終邊關于y軸對稱.故選D.
法二　因為α+β=(2m+2k+1)·180°(m,k∈Z),所以角α與β的終邊關于y軸對稱.故選D.
7.如圖所示,終邊在射線OB上的角的集合為　　　　　　　　,終邊在直線OA上的角的集合為　　　　　　　　　　.
解析:終邊在射線OB上的角的集合為
S1={β|β=60°+k·360°,k∈Z};
終邊在直線OA上的角為α=30°+k·360°或α=210°+k·360°,
k∈Z.
即α=30°+2k·180°或α=30°+(2k+1)·180°,k∈Z,
所以終邊在直線OA上的角的集合為S2={α|α=30°+k·180°,
k∈Z}.
答案:{β|β=60°+k·360°,k∈Z}
{α|α=30°+k·180°,k∈Z}
8.大于-1 035°且終邊與角45°重合的所有負角是　　　　　.
解析:由題知,與45°終邊重合的角為45°+360°k,k∈Z,其中大于-1 035°的負角有:當k=-1時,角為-315°;當k=-2時,角為-675°.
答案:-315°,-675°
9.如圖,α,β分別是終邊落在射線OA,OB位置上的兩個角,且α=
60°,β=315°.
(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合;
(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界),且滿足0°≤θ≤360°的角θ的集合.
解:(1)因為α=60°,β=315°,
所以終邊在射線OA,OB上的角分別是60°+k·360°,-45°+k·360°,k∈Z;
所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為
{γ|k·360°-45°<γ(2)當k=0時,角θ的集合為{θ|0°≤θ<60°};
當k=1時,角θ的集合為{θ|315°<θ≤360°}.
所以終邊落在陰影部分(不包括邊界),且滿足0°≤θ≤360°的角θ的集合為{θ|0°≤θ<60°或315°<θ≤360°}.
能力提升
10.下列說法正確的是(　C　)
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角與600°角是終邊相同的角
C.斜三角形的內角是第一象限角或第二象限角
D.將表的分針撥快10分鐘,則分針轉過的角的度數為60°
解析:對于A,第二象限角可能為負角,如-240°,第一象限角也有可能為正角,如60°,故A錯誤;對于B,600°-60°=540°≠k·360°
(k∈Z),故60°角與600°角終邊不同,故B錯誤;對于C,斜三角形的內角為銳角或鈍角,故其內角為第一象限角或第二象限角,故C正確;對于D,分針撥快是順時針旋轉,得到的角為負角,故D錯誤.故選C.
11.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是(　C　)
A B C D
解析:當k=2n,n∈Z時,n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,n∈Z;
當k=2n+1,n∈Z時,n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,n∈Z.故選C.
12.(多選題)如果角α與角γ+60°的終邊相同,角β與γ-60°的終邊相同,那么α-β的可能取值為(　AC　)
A.120° B.360° C.1 200° D.3 600°
解析:如果角α與γ+60°的終邊相同,則α=m·360°+γ+60°,
m∈Z,
角β與γ-60°的終邊相同,則β=n·360°+γ-60°,n∈Z,
所以α-β=m·360°+γ+60°-n·360°-γ+60°
=(m-n)360°+120°,1 200°=120°+3×360°,
選項A,C符合題意.故選AC.
13.已知α是第一象限角,β是第二象限角,試確定角的終邊所在的位置.
解:由已知得k1·360°<α<90°+k1·360°,k1∈Z,①
90°+k2·360°<β<180°+k2·360°,k2∈Z,②
①+②,得90°+(k1+k2)·360°<α+β<270°+(k1+k2)·360°,
k1,k2∈Z,
所以45°+(k1+k2)·180°<<135°+(k1+k2)·180°,k1,k2∈Z.
當k1+k2=2m(m∈Z)時,45°+m·360°<<135°+m·360°,
此時,角的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負半軸上.
當k1+k2=2m+1(m∈Z)時,225°+m·360°<<315°+m·360°,
此時,角的終邊在第三象限或第四象限或y軸的非正半軸上.
應用創新
14.如圖,一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓(半徑為1 cm的圓)的圓周上爬動,且兩只螞蟻均從點A(1,0)同時逆時針勻速爬動,紅螞蟻每秒爬過α角,黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°).如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點,并且在第2秒時均位于第二象限.求α,β的值.
解:由題意可得,45°<α<β<90°,630°<14α<14β<1 260°,
得14α=720°,14β=1 080°.
所以α=()°,β=()°.§2　任意角
2.1　角的概念推廣
2.2　象限角及其表示
學習目標
1.了解任意角的概念,理解象限角的概念,提升數學抽象的核心素養.
2.掌握終邊相同的角的含義、象限角及其表示,培養數學運算的核心素養.
知識探究
知識點1　角的概念推廣
(1)角的定義:
平面內一條射線OA繞著它的端點O按箭頭所示方向旋轉到終止位置OB,形成角α.其中點O是角α的頂點,射線OA是角α的始邊,射線OB是角α的終邊.
(2)角的分類:
類型 規定 圖示
正角 按逆時針方向旋轉形成的角
負角 按順時針方向旋轉形成的角
零角 如果一條射線沒有作任何旋轉,稱它形成了一個零角
[思考1] 如果一個角的始邊與終邊重合,那么這個角一定是零角嗎
提示:不一定,若角的終邊未作任何旋轉,則這個角是零角.若角的終邊作了旋轉,則這個角就不是零角.
知識點2　象限角及其表示
(1)象限角和軸線角:在平面直角坐標系中,角的頂點在坐標原點,始邊在x軸的非負半軸.以角的終邊(除端點外)在平面直角坐標系的位置對角分類:角的終邊在第幾象限,就說這個角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標軸上,這個角就不屬于任何象限.
(2)與角α終邊相同的角:一般地,給定一個角α,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數倍的和.
[思考2] 各象限角的集合是什么 軸線角的集合呢
提示:各象限角的表示如下表所示:
象限角 角的集合表示
第一 象限角 {α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二 象限角 {α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三 象限角 {α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四 象限角 {α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
軸線角的表示如下表所示:
軸線角 角的集合表示
終邊在x軸上角的集合 {α|α=k·180°,k∈Z}
終邊在y軸上角的集合 {α|α=90°+k·180°,k∈Z}
探究點一　角的概念推廣
[例1] 經過2個小時,鐘表的時針和分針旋轉所形成的角分別是(　　)
A.60°角,720°角 B.-60°角,-720°角
C.-30°角,-360°角 D.-60°角,720°角
判斷角的概念問題的關鍵與技巧
(1)關鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判斷命題為真需要證明,而判斷命題為假只要舉出反例即可.
[針對訓練] 寫出圖(1)(2)中的角α,β,γ的度數.
探究點二　象限角及其表示
角度1　終邊相同的角
[例2] 已知角α=2 024°.
(1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式;
(2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°.
在0°到360°范圍內找與給定角終邊相同的角的方法
(1)一般地,可以將所給的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β<360°,k∈Z),β就是所求的角.
(2)如果所給的角的絕對值不是很大,可以通過如下方法完成:當所給的角是負角時,采用連續加360°的方式;當所給的角是正角時,采用連續減360°的方式,直到所得結果達到所求為止.
[針對訓練] 與-66°終邊相同的角是(　　)
A.34° B.104° C.214° D.294°
角度2　區域角
[例3] 如圖所示.
(1)分別寫出終邊在OA,OB位置上的角的集合;
(2)寫出終邊在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
(1)終邊在直線上的角的集合的寫法
終邊在過原點的直線上的角的集合可以分為兩步:先分別寫出終邊在兩條射線上的角的集合,然后取兩個集合的并集可得終邊在過原點的直線上的角的集合.
(2)表示區間(區域)角的三個步驟
第一步:先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界.
第二步:按由小到大的順序分別標出起始和終止邊界對應的-360°～360°范圍內的角α和β,寫出最簡區間{x|α第三步:起始、終止邊界對應角α,β再加上360°的整數倍,即得區間角的集合.
易錯警示:寫區域角時,要注意角的集合的左邊值,必須小于右邊值,并且一定要寫上k∈Z.
[針對訓練] 若一個角的集合為S,且終邊在直線y=-x上,寫出集合S并把S中適合不等式-180° ≤α<180°的元素α寫出來.
學海拾貝
判定倍角、分角是第幾象限角
[典例探究] 若角α是第二象限角,試確定角2α,分別是第幾象限角.
倍角、分角所在象限的判定方法
(1)已知角α終邊所在的象限,確定nα終邊所在的象限時,可依據角α的范圍求出nα的范圍,再直接轉化為終邊相同的角.注意不要漏掉nα的終邊在坐標軸上的情況.
(2)已知角α終邊所在的象限,確定終邊所在的象限有以下兩種方法.
①不等式法:利用不等式表示出的范圍,對k的取值分類討論.
主要是分以下幾種情況進行討論:k被n整除;k被n除余1;k被n除余2;……;k被n除余(n-1),然后方可下結論.
②幾何法:分別將各個象限n等分,從x軸非負半軸起,按照逆時針方向依次標上數字1,2,3,4.根據α所在的象限,找出對應的數字,根據數字所在的位置,確定終邊所在的象限.當n≥4,n∈N+時,角的終邊在四個象限都有分布,一般不討論研究.
易錯警示:處理本題時常出現兩種錯誤:
(1)遺漏2α可能是終邊在y軸的非正半軸上的角;
(2)由α是第二象限角,僅想到90°<α<180°,從而得到30°<<60°,僅得到是第一象限角,而丟掉是第二、第四象限角的情況.
[應用探究] 已知α為第一象限角,求180°-是第幾象限角.
當堂檢測
1.已知α=944°,則α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.如果角α的終邊上有一點P(0,-6),那么角α(　　)
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不屬于任何象限
3.在0°～360°范圍內與 2 024° 終邊相同的角為　　　　.
4.終邊在直線y=x上的角可用集合表示為　　　　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
角的概念推廣、象限角 2,3
終邊相同的角及其理解 1,4,7,8,12
角的概念推廣的綜合應用 5,6,9,10,11,13,14
基礎鞏固
1.下列選項中與角α=1 680°終邊相同的角是(　　)
A.120° B.-240°
C.-120° D.60°
2.已知α為銳角,那么2α是(　　)
A.小于180°的正角 B.第一象限角
C.第二象限角 D.第一或第二象限角
3.(多選題)角α=45°+k·180°(k∈Z)的終邊可能落在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知α,β的終邊相同,那么角α-β的終邊在(　　)
A.x軸的非負半軸上 B.x軸的非正半軸上
C.y軸的非負半軸上 D.y軸的非正半軸上
5.(多選題)已知M={α|α是第一象限角},N={α|α是銳角},Q={α|α是小于90°的角},那么M,N,Q的關系是(　　)
A.N=M∩Q B.N∪Q=Q
C.N∩M=N D.M=N=Q
6.若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°,m,k∈Z,則角α與β的終邊的位置關系是(　　)
A.重合 B.關于原點對稱
C.關于x軸對稱 D.關于y軸對稱
7.如圖所示,終邊在射線OB上的角的集合為　　　　　　　　,終邊在直線OA上的角的集合為　　　　　　　　　　.
8.大于-1 035°且終邊與角45°重合的所有負角是　　　　　.
9.如圖,α,β分別是終邊落在射線OA,OB位置上的兩個角,且α=
60°,β=315°.
(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合;
(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界),且滿足0°≤θ≤360°的角θ的集合.
能力提升
10.下列說法正確的是(　　)
A.第二象限角比第一象限角大
B.60°角與600°角是終邊相同的角
C.斜三角形的內角是第一象限角或第二象限角
D.將表的分針撥快10分鐘,則分針轉過的角的度數為60°
11.集合{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角α的終邊在單位圓中的位置(陰影部分)是(　)
A B C D
12.(多選題)如果角α與角γ+60°的終邊相同,角β與γ-60°的終邊相同,那么α-β的可能取值為(　　)
A.120° B.360° C.1 200° D.3 600°
13.已知α是第一象限角,β是第二象限角,試確定角的終邊所在的位置.
應用創新
14.如圖,一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓(半徑為1 cm的圓)的圓周上爬動,且兩只螞蟻均從點A(1,0)同時逆時針勻速爬動,紅螞蟻每秒爬過α角,黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°).如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點,并且在第2秒時均位于第二象限.求α,β的值.

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