資源簡介

§3　弧度制
3.1　弧度概念
3.2　弧度與角度的換算
學習目標
1.了解角的另外一種度量方法——弧度制,提升數學抽象的核心素養.
2.能夠熟練地在角度制和弧度制之間進行換算,提高數學運算的核心素養.
3.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式,培養數學運算的核心素養.
知識探究
問題:在初中學過的角度制中,1度的角是如何規定的
提示:周角的等于1度.
知識點1　弧度和弧度制的概念
　在單位圓中,把長度等于1的弧所對的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號rad表示,讀作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不寫).在單位圓中,每一段弧的長度就是它所對圓心角的弧度數.這種以弧度作為單位來度量角的方法,稱作弧度制.
知識點2　弧度與角度的換算
　常見角度與弧度互化公式如下表所示.
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18′
[思考1] 利用終邊相同的角求解問題時,“α=k·360°+,k∈Z”的寫法正確嗎
提示:終邊相同的角求解問題時,在同一個式子中不能同時出現角度與弧度.因此類似“α=k·360°+,k∈Z”的寫法是不正確的.
知識點3　弧長公式與扇形面積公式
已知r為扇形所在圓的半徑,圓心角的度數為n°,α為圓心角的
弧度數.
角度制 弧度制
弧長 公式 l= l=αr
扇形 面積 公式 S= S=l·r=αr2
[思考2] “1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關系嗎
提示:“1弧度的角”的大小為等于半徑長的圓弧所對的圓心角,是一個定值,與所在圓的半徑大小無關.
(1)關于弧度數的性質:
①正角的弧度數是一個正數;
②負角的弧度數是一個負數;
③零角的弧度數是0;
④弧度數與十進制實數間存在一一對應關系.
(2)一些特殊角的度數與弧度數的對應關系:
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
探究點一　弧度與角度的換算
[例1] (1)將下列各角度化為弧度:
①112°30′;②-315°.
(2)將下列各弧度化為角度:
①- rad;②.
解:(1)①因為1°= rad,
所以112°30′=(×112.5) rad= rad.
②-315°=-315×=-.
(2)①因為1 rad=,
所以- rad=-(×)=-75°.
②=×=1 140°.
角度與弧度的互化技巧
在進行角度與弧度的換算時,抓住關系式π rad=180°是關鍵,由它可以得到:度數×=弧度數,弧度數×=度數.
易錯警示:(1)用“弧度”為單位度量角時,“弧度”二字或“rad”可以省略不寫.
(2)用“弧度”為單位度量角時,常常把弧度數寫成多少π的形式,如無特別要求,不必把π寫成小數.
(3)度化弧度時,應先將分、秒化成度,再化成弧度.
[針對訓練] 將下列角度與弧度進行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
解:(1)20°=20× rad= rad.
(2)-15°=-15× rad=- rad.
(3) rad=×=105°.
(4)- rad=-×=-396°.
探究點二　用弧度制表示終邊相同的角
[例2] 已知α=-800°.
(1)把α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)求γ,使γ與α的終邊相同,且γ∈(-,).
解:(1)因為-800°=-3×360°+280°,280°=,
所以α=-800°=+(-3)×2π.
所以α與角終邊相同,所以α是第四象限角.
(2)因為與α終邊相同的角可寫為2kπ+,k∈Z的形式,而γ與α的終邊相同,
所以γ=2kπ+,k∈Z.又γ∈(-,),
所以-<2kπ+<,k∈Z,解得k=-1,
所以γ=-2π+=-.
用弧度制表示終邊相同的角
用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數倍,而不是整數倍,還要注意角度制與弧度制不能混用.
[針對訓練] 已知角α=2 010°.
(1)將α改寫成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)在區間[-5π,0)上找出與α終邊相同的角;
(3)在區間[0,5π)上找出與α終邊相同的角.
解:(1)2 010°=2 010×==5×2π+,
又π<<,角α與角的終邊相同,故α是第三象限角.
(2)與α終邊相同的角可以寫為
β=+2kπ(k∈Z),
又-5π≤β<0,所以k=-3,-2,-1.
當k=-3時,β=-;
當k=-2時,β=-;
當k=-1時,β=-.
(3)與α終邊相同的角可以寫為γ=+2kπ(k∈Z),
又0≤γ<5π,所以k=0,1.
當k=0時,γ=;當k=1時,γ=.
探究點三　弧度制下扇形的弧長和面積公式
[例3] 已知扇形AOB的周長為10 cm.
(1)若這個扇形的面積為4 cm2,求扇形圓心角的弧度數;
(2)求該扇形的面積取得最大值時圓心角的大小及弧長.
解:設扇形圓心角的弧度數為θ(0<θ<2π),弧長為l,半徑為r,面積為S.
(1)依題意有得r2-5r+4=0,
解得r=1或r=4.
當r=1 cm時,l=8 cm,此時,θ=8 rad>2π rad,舍去;當r=4 cm時,l=2 cm,此時,θ= rad.
(2)由l+2r=10,得l=10-2r,
S=lr=(10-2r)·r=5r-r2=-(r-)2+(0當r= cm時,S取得最大值 cm2,
這時l=10-2×=5(cm),
所以θ===2 rad.
弧度制下涉及扇形問題的解題策略
(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S=lr=|α|r2[其中l是扇形的弧長,r是扇形的半徑,α(0<α<2π)是扇形的圓心角的弧度數].
(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算,關鍵是先分析題目已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
(3)求解扇形中的有關最值問題,將扇形面積表示為半徑的函數,轉化為r的二次函數的最值問題.
注意:運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是α為弧度.
[針對訓練] 已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
解析:設扇形的弧長為l,半徑為r,
所以扇形的面積為lr=3,所以lr=6,
又扇形的周長為l+2r,所以l+2r≥2=4,當且僅當即l=2r=2時,取等號.故選D.
當堂檢測
1.將表撥慢10分鐘,則分針轉過的角的弧度數是(　A　)
A. B. C.- D.-
解析:因為分針轉一周是60分鐘,轉過的角為-2π,將表撥慢10分鐘,分針逆時針旋轉,所以分針轉過的角的弧度數為×2π=.故選A.
2.弧度化為角度是(　C　)
A.278° B.280° C.288° D.318°
解析:因為1 rad=,
所以 rad=×=288°.
故選C.
3.我國采用的“密位制”是6 000密位制,即將一個圓周分為6 000等份,每一等份是一個密位,那么60密位等于(　B　)
A. rad B. rad
C. rad D. rad
解析:因為將一個圓周分成6 000等份,每一份是一個密位,所以一個密位所對的弧長l=,
所以60密位所對的弧長為60l=,
所以60密位的弧度數為=.故選B.
4.已知扇形的面積為4,圓心角的弧度數是2,則該扇形的半徑為　　　　.
解析:依題意得S=4,α=2,設半徑為r,由S=r2α,得4=×2r2,得r=2.
答案:2
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
弧度與弧度制 1,7
弧度制下扇形的弧長和面積 2,4,5,6,8,11
弧度制的綜合應用 3,9,10,12,13
基礎鞏固
1.(多選題)與終邊相同的角的表達式中,正確的是(　CD　)
A.45°+2kπ,k∈Z
B.k·360°+,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z
D.2kπ-,k∈Z
解析:弧度和角度不能在同一個表達式中,故選項A,B錯誤;與終邊相同的角的集合是{α|α=2kπ+,k∈Z}={α|α=m·360°+45°,m∈Z},經驗證,選項C,D正確.故選CD.
2.已知一個扇形的周長為40 cm,面積為100 cm2,則該扇形的圓心角的弧度數為(　D　)
A. B.1 C. D.2
解析:設扇形的弧長為l,半徑為R,則l+2R=40且l·R=100,解得l=20,R=10,則該扇形的圓心角的弧度數為θ==2.故選D.
3.(多選題)下列說法正確的是(　BC　)
A.-150°化成弧度是-
B.-化成角度是-600°
C.若角α=2 rad,則角α為第二象限角
D.若一扇形的圓心角為30°,半徑為3 cm,則扇形的面積為 cm2
解析:-150°=-150×=-,故A錯誤;
-=-(×)=-600°,故B正確;
1 rad≈57.3°,則2 rad≈114.6°,是第二象限角,故C正確;
扇形的圓心角為 30°,即 rad,半徑為3 cm,故扇形的面積S=××32=(cm2),故D錯誤.故選BC.
4.已知某時鐘的分針長4 cm,時間經過5 min,則時針轉過的角為
　　　　弧度,分針掃過的扇形的面積為　　　　 cm2.
解析:由題意得時針轉過的角為-×=-,
分針轉過面積為××16= (cm2).
答案:-　
5.如果一個圓的半徑變為原來的一半,而弧長變為原來的倍,那么該弧所對的圓心角是原來的　　　　倍.
解析:設圓的半徑為r,弧長為l,則該弧所對圓心角的弧度數為,若將半徑變為原來的一半,弧長變為原來的倍,則該弧所對圓心角的弧度數變為=3·,即該弧所對的圓心角變為原來的3倍.
答案:3
6.已知扇形的面積為4 cm2,則該扇形的周長的最小值為　　 　　 cm.
解析:設扇形所在圓的半徑為r,弧所對的圓心角為α,弧長為l,面積為S,則l=αr,S=lr=αr2=4,即αr2=8,所以扇形的周長C=2r+l=2r+αr≥2=8,當且僅當α=2時取等號,所以扇形的周長的最小值為8 cm.
答案:8
能力提升
7.下列各對角中,終邊相同的是(　C　)
A.和2kπ-(k∈Z) B.-和
C.-和 D.和
解析:因為+=2π,所以角-和的終邊相同.故選C.
8.某扇形壁畫尺寸(單位:cm)如圖所示,則該壁畫的扇面面積約為(　D　)
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
解析:如圖,設∠AOB=α,OB=r,由弧長公式可得
解得α=2,r=40.
設扇形COD,扇形AOB的面積分別為S1,S2,
則該壁畫的扇面面積約為
S1-S2=×160×(40+40)-×80×40=4 800(cm2).故選D.
9.(多選題)如圖,A,B是單位圓上的兩個點,點B的坐標為(1,0),
∠xOA=60°,點A以1 rad/s的角速度、點B以2rad/s的角速度均按逆時針方向開始在單位圓上運動,則(　BC　)
A.1 s時,∠BOA的弧度數為+3
B. s時,扇形AOB的弧長為
C. s時,扇形AOB的面積為
D. s時,點A、點B在單位圓上第一次重合
解析:1 s時,點A按逆時針方向運動1 rad,點B按逆時針方向運動
2 rad,此時∠BOA的弧度數為-1,故A不正確; s時,∠BOA的弧度數為+-2×=,故扇形AOB的弧長為×1=,故B正確; s時,
∠BOA的弧度數為+-2×=,故扇形AOB的面積為S=××12=,故C正確;設t s時,點A、點B在單位圓上第一次重合,則t+=2t,解得t=,故D不正確.故選BC.
10.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是
　　 　　.
解析:-=-406π+或-=-404π-,
因為||>|-|,
所以使|θ|最小的θ值是-.
答案:-
11.“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點為圓心,以其邊長為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形(如圖所示).設某“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為2,則該“萊洛三角形”的面積為　　　　.
解析:如圖,由題意可知等邊三角形的邊長為2,
即AB=BC=AC=2,
所以扇形ABC的面積等于以A為圓心,AB為半徑的圓的面積的,
扇形ABC的面積S=×π×22=.
又S△ABC=,
所以該“萊洛三角形”的面積為3S-2S△ABC=2π-2.
答案:2π-2
12.用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.
解:對于題圖(1),225°角的終邊可以看作是-135°角的終邊,化為弧度,即-;60°角的終邊即的終邊,
所以所求集合為{α|2kπ-<α<2kπ+,k∈Z}.
對于題圖(2),同理可得所求集合為
{α|2kπ+<α≤2kπ+,k∈Z}∪{α|2kπ+π+<α≤2kπ+π+,
k∈Z}={α|kπ+<α≤kπ+,k∈Z}.
應用創新
13.《九章算術》是我國古代著名的數學著作,其中《方田》章給出了“弧田”“弦”和“矢”的定義,“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成,“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
(1)當圓心角的弧度數為,“矢”為2時,求“弧田”(如圖陰影部分所示)的面積;
(2)已知該扇形圓心角的弧度數是α,半徑為r,扇形周長是一定值c(c>0),當α為多少弧度時,該扇形面積最大
解:(1)依題意如圖所示,其中CD=2,
令圓弧的半徑為R,∠AOB為,
所以OD=,
即CD=OC-OD=R-=2,
解得R=4,
所以“弧田”面積S=S扇形OACB-S△AOB=πR2-·OD·AB.
因為AB=R,
所以S=-4.
(2)由題意知弧長ACB為αr,即該扇形周長為
αr+2r=c,扇形面積S=r2,所以S==≤=,當且僅當α=,即α=2時,等號成立,故當α為2弧度時,該扇形面積最大.§3　弧度制
3.1　弧度概念
3.2　弧度與角度的換算
學習目標
1.了解角的另外一種度量方法——弧度制,提升數學抽象的核心素養.
2.能夠熟練地在角度制和弧度制之間進行換算,提高數學運算的核心素養.
3.掌握弧度制中扇形的弧長公式和面積公式,培養數學運算的核心素養.
知識探究
問題:在初中學過的角度制中,1度的角是如何規定的
提示:周角的等于1度.
知識點1　弧度和弧度制的概念
　在單位圓中,把長度等于1的弧所對的圓心角稱為1弧度的角.其單位用符號rad表示,讀作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不寫).在單位圓中,每一段弧的長度就是它所對圓心角的弧度數.這種以弧度作為單位來度量角的方法,稱作弧度制.
知識點2　弧度與角度的換算
　常見角度與弧度互化公式如下表所示.
角度化弧度 弧度化角度
360°=2π rad 2π rad=360°
180°=π rad π rad=180°
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=≈57°18′
[思考1] 利用終邊相同的角求解問題時,“α=k·360°+,k∈Z”的寫法正確嗎
提示:終邊相同的角求解問題時,在同一個式子中不能同時出現角度與弧度.因此類似“α=k·360°+,k∈Z”的寫法是不正確的.
知識點3　弧長公式與扇形面積公式
已知r為扇形所在圓的半徑,圓心角的度數為n°,α為圓心角的
弧度數.
角度制 弧度制
弧長 公式 l= l=αr
扇形 面積 公式 S= S=l·r=αr2
[思考2] “1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關系嗎
提示:“1弧度的角”的大小為等于半徑長的圓弧所對的圓心角,是一個定值,與所在圓的半徑大小無關.
(1)關于弧度數的性質:
①正角的弧度數是一個正數;
②負角的弧度數是一個負數;
③零角的弧度數是0;
④弧度數與十進制實數間存在一一對應關系.
(2)一些特殊角的度數與弧度數的對應關系:
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
探究點一　弧度與角度的換算
[例1] (1)將下列各角度化為弧度:
①112°30′;②-315°.
(2)將下列各弧度化為角度:
①- rad;②.
角度與弧度的互化技巧
在進行角度與弧度的換算時,抓住關系式π rad=180°是關鍵,由它可以得到:度數×=弧度數,弧度數×=度數.
易錯警示:(1)用“弧度”為單位度量角時,“弧度”二字或“rad”可以省略不寫.
(2)用“弧度”為單位度量角時,常常把弧度數寫成多少π的形式,如無特別要求,不必把π寫成小數.
(3)度化弧度時,應先將分、秒化成度,再化成弧度.
[針對訓練] 將下列角度與弧度進行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3);(4)-.
探究點二　用弧度制表示終邊相同的角
[例2] 已知α=-800°.
(1)把α改寫成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)求γ,使γ與α的終邊相同,且γ∈(-,).
用弧度制表示終邊相同的角
用弧度制表示終邊相同的角2kπ+α(k∈Z)時,其中2kπ是π的偶數倍,而不是整數倍,還要注意角度制與弧度制不能混用.
[針對訓練] 已知角α=2 010°.
(1)將α改寫成θ+2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式,并指出α是第幾象限角;
(2)在區間[-5π,0)上找出與α終邊相同的角;
(3)在區間[0,5π)上找出與α終邊相同的角.
探究點三　弧度制下扇形的弧長和面積公式
[例3] 已知扇形AOB的周長為10 cm.
(1)若這個扇形的面積為4 cm2,求扇形圓心角的弧度數;
(2)求該扇形的面積取得最大值時圓心角的大小及弧長.
弧度制下涉及扇形問題的解題策略
(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S=lr=|α|r2[其中l是扇形的弧長,r是扇形的半徑,α(0<α<2π)是扇形的圓心角的弧度數].
(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算,關鍵是先分析題目已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解.
(3)求解扇形中的有關最值問題,將扇形面積表示為半徑的函數,轉化為r的二次函數的最值問題.
注意:運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是α為弧度.
[針對訓練] 已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為(　　)
A.2 B.4 C.2 D.4
當堂檢測
1.將表撥慢10分鐘,則分針轉過的角的弧度數是(　　)
A. B. C.- D.-
2.弧度化為角度是(　　)
A.278° B.280° C.288° D.318°
3.我國采用的“密位制”是6 000密位制,即將一個圓周分為6 000等份,每一等份是一個密位,那么60密位等于(　　)
A. rad B. rad
C. rad D. rad
4.已知扇形的面積為4,圓心角的弧度數是2,則該扇形的半徑為　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
弧度與弧度制 1,7
弧度制下扇形的弧長和面積 2,4,5,6,8,11
弧度制的綜合應用 3,9,10,12,13
基礎鞏固
1.(多選題)與終邊相同的角的表達式中,正確的是(　　)
A.45°+2kπ,k∈Z
B.k·360°+,k∈Z
C.k·360°+45°,k∈Z
D.2kπ-,k∈Z
2.已知一個扇形的周長為40 cm,面積為100 cm2,則該扇形的圓心角的弧度數為(　　)
A. B.1 C. D.2
3.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.-150°化成弧度是-
B.-化成角度是-600°
C.若角α=2 rad,則角α為第二象限角
D.若一扇形的圓心角為30°,半徑為3 cm,則扇形的面積為 cm2
4.已知某時鐘的分針長4 cm,時間經過5 min,則時針轉過的角為
　　　　弧度,分針掃過的扇形的面積為　　　　 cm2.
5.如果一個圓的半徑變為原來的一半,而弧長變為原來的倍,那么該弧所對的圓心角是原來的　　　　倍.
6.已知扇形的面積為4 cm2,則該扇形的周長的最小值為　　 　　 cm.
能力提升
7.下列各對角中,終邊相同的是(　　)
A.和2kπ-(k∈Z) B.-和
C.-和 D.和
8.某扇形壁畫尺寸(單位:cm)如圖所示,則該壁畫的扇面面積約為(　　)
A.1 600 cm2 B.3 200 cm2
C.3 350 cm2 D.4 800 cm2
9.(多選題)如圖,A,B是單位圓上的兩個點,點B的坐標為(1,0),
∠xOA=60°,點A以1 rad/s的角速度、點B以2rad/s的角速度均按逆時針方向開始在單位圓上運動,則(　　)
A.1 s時,∠BOA的弧度數為+3
B. s時,扇形AOB的弧長為
C. s時,扇形AOB的面積為
D. s時,點A、點B在單位圓上第一次重合
10.把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是
　　 　　.
11.“萊洛三角形”是分別以正三角形的頂點為圓心,以其邊長為半徑作圓弧,由這三段圓弧組成的曲邊三角形(如圖所示).設某“萊洛三角形”曲邊上兩點之間的最大距離為2,則該“萊洛三角形”的面積為　　　　.
12.用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(不包括邊界)的角的集合.
應用創新
13.《九章算術》是我國古代著名的數學著作,其中《方田》章給出了“弧田”“弦”和“矢”的定義,“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成,“弦”指圓弧所對的弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
(1)當圓心角的弧度數為,“矢”為2時,求“弧田”(如圖陰影部分所示)的面積;
(2)已知該扇形圓心角的弧度數是α,半徑為r,扇形周長是一定值c(c>0),當α為多少弧度時,該扇形面積最大

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