資源簡介

§4　正弦函數和余弦函數的概念及其性質
4.1　單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數定義
學習目標
1.掌握單位圓中的正弦函數、余弦函數的定義,提高數學抽象的核心素養.
2.掌握任意角的正弦函數、余弦函數的定義,提高數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　銳角的正弦函數和余弦函數
在平面直角坐標系中,把銳角α的頂點放在坐標原點,角的始邊放在x軸的非負半軸上,角α的終邊與單位圓交于點P(u,v)(如圖),則v=sin α,u=cos α.
[思考1] 單位圓上任意一點P(u,v)的坐標滿足u2+v2=1,從這個事實出發,你能得到什么結論
提示:sin2α+cos2α=1.
[思考2] 怎樣理解單位圓
提示:在平面直角坐標系中,以坐標原點為圓心,以單位長度為半徑的圓,稱為單位圓.
知識點2　任意角的正弦函數和余弦函數
(1)單位圓中正弦函數、余弦函數的定義.
在平面直角坐標系中,把任意角α的頂點放在坐標原點、始邊放在x軸的非負半軸上,角α的終邊與單位圓交于點P(u,v),則把點P的縱坐標v叫作角α的正弦值,記作v=sin α;把點P的橫坐標u叫作角α的余弦值,記作u=cos α(如圖).
(2)角α的正弦函數、余弦函數的定義.
設角α終邊上除原點外的一點Q(x,y),則sin α=,cos α=,其中r=.
[思考3] 根據三角函數的定義,角α的正弦與余弦與點的選取有關系嗎
提示:沒有.
知識點3　特殊角的正弦函數值、余弦函數值
α 0
y=sin α 0 1
y=cos α 1 0 - -
α π 2π
y=sin α 0 - - -1 - - 0
y=cos α -1 - - 0 1
注意:該表格解答了教材第16頁[思考交流],上述特殊角對應的正弦、余弦函數值在解題中經常遇到,牢記它們解題可事半功倍.
探究點一　單位圓與三角函數的定義
[例1] 在平面直角坐標系xOy中,角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(,),則sin α等于(　　)
A. B. C. D.
解析:因為終邊經過點P(,),且()2+()2=1,
所以sin α=.故選B.
[針對訓練] 在平面直角坐標系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的終邊與單位圓的交點坐標為(　　)
A.(,-) B.(-,)
C.(-,) D.(,-)
解析:因為sin α=-,cos α=,所以角α的終邊與單位圓的交點坐標為(,-).故選A.
探究點二　任意角的正弦函數和余弦函數
角度1　利用任意角的正弦函數和余弦函數定義求值
[例2] 已知角α的終邊經過點P(m,-6),且cos α=-,則m等于(　　)
A.-8 B.±8 C.±4 D.4
解析:由題意,可得r=|OP|==,
根據三角函數的定義,可得cos α==-,且m<0,解得m=-8.故選A.
[針對訓練] 若角α的終邊經過點P(a,-a)(a>0),則sin α等于(　　)
A.- B.- C. D.
解析:由題意可知,x=a,y=-a,r=|OP|=2a(O為坐標原點),所以sin α==-.故選B.(三角函數值只與角α的終邊所在的位置有關,與點P在終邊上的位置無關)
角度2　三角函數定義的應用
[例3] 若角750°的終邊上有一點P(a,3),則a的值是(　　)
A. B.3 C.- D.-3
解析:因為750°=2×360°+30°,
所以750°與30°的終邊相同,
從而cos 750°==cos 30°=,且a>0,解得a=3.故選B.
利用正弦函數、余弦函數的定義,求一個角的正弦值、余弦值,需要確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點P的橫坐標x、縱坐標y和點P到原點的距離r.特別注意,當點的坐標含有參數時,應分類討論.
[針對訓練] 已知角α的頂點與原點重合,始邊與 x軸非負半軸重合,終邊在直線x-y=0上,則角α的余弦值為　　　　.
解析:因為角α的頂點與原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊在直線x-y=0上,
所以角α的終邊在第一象限或第三象限.
當角α的終邊在第一象限時,可取角α的終邊上點(1,),
所以cos α==;
當角α的終邊在第三象限時,可取角α的終邊上點(-1,-),
所以cos α==-.綜上,角α的余弦值為±.
答案:±
當堂檢測
1.在平面直角坐標系xOy中,角α以x軸的非負半軸為始邊,點P(-,1)在角α的終邊上,則cos α等于(　C　)
A.- B.- C.- D.-
解析:由余弦函數的定義得cos α==-.故選C.
2.(多選題)已知角α的終邊過點P(x,1),且cos α=,則x的值可以是(　CD　)
A.± B.±1 C.± D.0
解析:由題意得cos α=.又cos α=,則=,解得x=0或x2=3,即x的值可以是0,±.故選CD.
3.已知角α的終邊經過點P(-3m,4m)(m>0),則sin α-cos α的值為　　　　.
解析:因為m>0,角α的終邊經過點P(-3m,4m),
所以r=OP==5m,
所以sin α==,cos α==-,
所以sin α-cos α=.
答案:
4.角α的頂點為坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,α=,則角α的終邊與單位圓的交點坐標為　　　　　　　　.
解析:由于角α的頂點為坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,因此由α的終邊與單位圓的交點坐標為(cos α,sin α)及cos=,sin=可知,交點坐標為(,).
答案:(,)
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
單位圓與正弦函數、余弦函數 1,2,5
任意角的正弦、余弦函數 3,4,6,7,8,9,12,14
綜合應用 10,11,13,15
基礎鞏固
1.如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標為,則cos α的值為(　D　)
A. B.-
C. D.-
解析:由題意,點A的縱坐標為,點A的橫坐標為-=-,所以由三角函數的定義可得cos α==-.故選D.
2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,射線OP交單位圓O于點P,若
∠AOP=θ,則點P的坐標是(　A　)
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
解析:由題意可知,點P的橫坐標為cos θ,縱坐標為sin θ,故點P的坐標為(cos θ,sin θ).故選A.
3.已知角α的終邊經過點P(2,-1),則sin α+cos α等于(　C　)
A. B.- C. D.-
解析:因為角α的終邊經過點P(2,-1),r==,于是有sin α==-,cos α==,所以sin α+cos α=-+=.故選C.
4.已知點P(2cos ,1)是角α終邊上一點,則sin α等于(　C　)
A. B. C. D.
解析:由點P(2cos ,1)是角α終邊上一點,
則sin α==.故選C.
5.已知角α的終邊與單位圓的交點的坐標為(-,-),則等于(　C　)
A.-7 B.- C. D.7
解析:因為角α的終邊與單位圓的交點為(-,-),
所以cos α=-,sin α=-,所以==.故選C.
6.(多選題)若P(x,)是角α終邊上一點,且cos α=x,則x的值可以是(　ACD　)
A.0 B.1 C.- D.
解析:由題意得cos α==x,
當x=0時,上式成立;
當x≠0時,=.
則x2=3,所以x=±.故選ACD.
7.sin =　　　　,cos 2π=　　　　.
解析:由于角的終邊與單位圓的交點坐標為(0,-1),因此sin=-1,
由于角2π的終邊與單位圓的交點坐標為(1,0),因此cos 2π=1.
答案:-1　1
8.已知角α的終邊上一點P與點A(-1,2)關于y軸對稱,角β的終邊上一點Q與點A關于原點O中心對稱,則sin α+sin β=　　　　.
解析:因為角α的終邊上一點P與點A(-1,2)關于y軸對稱,所以P(1,2).
因為角β的終邊上一點Q與點A關于原點O中心對稱,所以Q(1,-2).
由正弦函數、余弦函數的定義可知sin α=,sin β=-,所以sin α+sin β=-=0.
答案:0
能力提升
9.已知角θ的終邊經過點(2a+1,a-2),且cos θ=,則實數a的值是(　B　)
A.-2　　　B.　　　C.-2或　　　D.1
解析:由題設得=且2a+1>0,即a>-,所以=,則11a2+20a-4=0,解得a=-2或a=,結合a>-可知a=.故選B.
10.已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊在直線y=3x上,則sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ的值為(　A　)
A. B.- C.- D.
解析:由于直線y=3x經過第一、第三象限,故角θ的終邊在第一或第三象限.
①若角θ的終邊在第一象限,在角θ的終邊上任意取一點(1,3),則由任意角的三角函數的定義,可得sin θ=,cos θ=,故sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=;
②若角θ的終邊在第三象限,在角 θ的終邊上任意取一點(-1,-3),則由任意角的三角函數的定義,可得sin θ=-,cos θ=-,故sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=.綜上,所求的值為.故選A.
11.單位圓上一點P從(0,1)出發,按逆時針方向運動弧長到達點Q,則點Q的坐標為(　A　)
A.(-,) B.(,)
C.(,-) D.(-,)
解析:點P從(0,1)出發,沿單位圓按逆時針方向運動弧長到達點Q,所以∠QOx=+=, 所以Q(cos ,sin ),
其中cos =-,sin =,即點Q的坐標為(-,).故選A.
12.(多選題)若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0),則2sin α-
cos α的值可以是(　AD　)
A.- B. C.- D.
解析:若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0),
則cos α===
sin α===
所以2sin α-cos α=
故選AD.
13.在平面直角坐標系xOy中,角α終邊上有一點P(-1,),則與角α終邊相同的角的集合為　　　　　　　　　　　　.
解析:角α終邊上有一點P(-1,),則點P在第二象限,
sin α=,cos α=-,
解得α的一個值為,
則與角α終邊相同的角的集合為{β|β=2kπ+,k∈Z}.
答案:{β|β=2kπ+,k∈Z}
14.已知角α的終邊落在直線x+y=0上,求sin α,cos α的值.
解:法一　由
解得或
從而或
法二　直線x+y=0,即y=-x,經過第二、第四象限.
在第二象限取直線上的一點P0(-1,),則r=|OP0|==2(O為坐標原點),
所以sin α=,cos α=-;
在第四象限取直線上一點P1(1,-),則r=|OP1|==2,
所以sin α=-,cos α=.綜上,sin α=,
cos α=-或sin α=-,cos α=.
應用創新
15.在平面直角坐標系xOy中,角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點M(m,n)(m>0,n>0),且cos α=.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)由題知cos α==,
又m>0,n>0,所以=.
(2)由sin2α+cos2α=1,
得sin α=或sin α=-(舍去),
則==.§4　正弦函數和余弦函數的概念及其性質
4.1　單位圓與任意角的正弦函數、余弦函數定義
學習目標
1.掌握單位圓中的正弦函數、余弦函數的定義,提高數學抽象的核心素養.
2.掌握任意角的正弦函數、余弦函數的定義,提高數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　銳角的正弦函數和余弦函數
在平面直角坐標系中,把銳角α的頂點放在坐標原點,角的始邊放在x軸的非負半軸上,角α的終邊與單位圓交于點P(u,v)(如圖),則v=sin α,u=cos α.
[思考1] 單位圓上任意一點P(u,v)的坐標滿足u2+v2=1,從這個事實出發,你能得到什么結論
提示:sin2α+cos2α=1.
[思考2] 怎樣理解單位圓
提示:在平面直角坐標系中,以坐標原點為圓心,以單位長度為半徑的圓,稱為單位圓.
知識點2　任意角的正弦函數和余弦函數
(1)單位圓中正弦函數、余弦函數的定義.
在平面直角坐標系中,把任意角α的頂點放在坐標原點、始邊放在x軸的非負半軸上,角α的終邊與單位圓交于點P(u,v),則把點P的縱坐標v叫作角α的正弦值,記作v=sin α;把點P的橫坐標u叫作角α的余弦值,記作u=cos α(如圖).
(2)角α的正弦函數、余弦函數的定義.
設角α終邊上除原點外的一點Q(x,y),則sin α=,cos α=,其中r=.
[思考3] 根據三角函數的定義,角α的正弦與余弦與點的選取有關系嗎
提示:沒有.
知識點3　特殊角的正弦函數值、余弦函數值
α 0
y=sin α 0 1
y=cos α 1 0 - -
α π 2π
y=sin α 0 - - -1 - - 0
y=cos α -1 - - 0 1
注意:該表格解答了教材第16頁[思考交流],上述特殊角對應的正弦、余弦函數值在解題中經常遇到,牢記它們解題可事半功倍.
探究點一　單位圓與三角函數的定義
[例1] 在平面直角坐標系xOy中,角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(,),則sin α等于(　　)
A. B. C. D.
[針對訓練] 在平面直角坐標系中,已知sin α=-,cos α=,那么角α的終邊與單位圓的交點坐標為(　　)
A.(,-) B.(-,)
C.(-,) D.(,-)
探究點二　任意角的正弦函數和余弦函數
角度1　利用任意角的正弦函數和余弦函數定義求值
[例2] 已知角α的終邊經過點P(m,-6),且cos α=-,則m等于(　　)
A.-8 B.±8 C.±4 D.4
[針對訓練] 若角α的終邊經過點P(a,-a)(a>0),則sin α等于(　　)
A.- B.- C. D.
角度2　三角函數定義的應用
[例3] 若角750°的終邊上有一點P(a,3),則a的值是(　　)
A. B.3 C.- D.-3
利用正弦函數、余弦函數的定義,求一個角的正弦值、余弦值,需要確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點的點P的橫坐標x、縱坐標y和點P到原點的距離r.特別注意,當點的坐標含有參數時,應分類討論.
[針對訓練] 已知角α的頂點與原點重合,始邊與 x軸非負半軸重合,終邊在直線x-y=0上,則角α的余弦值為　　　　.
當堂檢測
1.在平面直角坐標系xOy中,角α以x軸的非負半軸為始邊,點P(-,1)在角α的終邊上,則cos α等于(　　)
A.- B.- C.- D.-
2.(多選題)已知角α的終邊過點P(x,1),且cos α=,則x的值可以是(　　)
A.± B.±1 C.± D.0
3.已知角α的終邊經過點P(-3m,4m)(m>0),則sin α-cos α的值為　　　　.
4.角α的頂點為坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,α=,則角α的終邊與單位圓的交點坐標為　　　　　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
單位圓與正弦函數、余弦函數 1,2,5
任意角的正弦、余弦函數 3,4,6,7,8,9,12,14
綜合應用 10,11,13,15
基礎鞏固
1.如圖,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標為,則cos α的值為(　　)
A. B.-
C. D.-
2.如圖,在平面直角坐標系xOy中,射線OP交單位圓O于點P,若
∠AOP=θ,則點P的坐標是(　　)
A.(cos θ,sin θ)
B.(-cos θ,sin θ)
C.(sin θ,cos θ)
D.(-sin θ,cos θ)
3.已知角α的終邊經過點P(2,-1),則sin α+cos α等于(　　)
A. B.- C. D.-
4.已知點P(2cos ,1)是角α終邊上一點,則sin α等于(　　)
A. B. C. D.
5.已知角α的終邊與單位圓的交點的坐標為(-,-),則等于(　　)
A.-7 B.- C. D.7
6.(多選題)若P(x,)是角α終邊上一點,且cos α=x,則x的值可以是(　　)
A.0 B.1 C.- D.
7.sin =　　　　,cos 2π=　　　　.
8.已知角α的終邊上一點P與點A(-1,2)關于y軸對稱,角β的終邊上一點Q與點A關于原點O中心對稱,則sin α+sin β=　　　　.
能力提升
9.已知角θ的終邊經過點(2a+1,a-2),且cos θ=,則實數a的值是(　B　)
A.-2　　　B.　　　C.-2或　　　D.1
10.已知角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊在直線y=3x上,則sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ的值為(　　)
A. B.- C.- D.
11.單位圓上一點P從(0,1)出發,按逆時針方向運動弧長到達點Q,則點Q的坐標為(　　)
A.(-,) B.(,)
C.(,-) D.(-,)
12.(多選題)若角α的終邊上有一點P(a,2a)(a≠0),則2sin α-
cos α的值可以是(　　)
A.- B. C.- D.
13.在平面直角坐標系xOy中,角α終邊上有一點P(-1,),則與角α終邊相同的角的集合為　　　　　　　　　　　　.
14.已知角α的終邊落在直線x+y=0上,求sin α,cos α的值.
應用創新
15.在平面直角坐標系xOy中,角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點M(m,n)(m>0,n>0),且cos α=.
(1)求的值;
(2)求的值.

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