資源簡介

4.2　單位圓與正弦函數、余弦函數的基本性質
學習目標
1.了解正弦函數、余弦函數的基本性質,提高數學抽象與直觀想象的核心素養.
2.通過掌握正弦函數、余弦函數的符號,提高邏輯推理與數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　正弦函數、余弦函數的性質
性質 正弦函數(v=sin α) 余弦函數(u=cos α)
定義域 R
值域 [-1,1]
最小值 當α=2kπ-,k∈Z時,vmin=-1 當α=(2k+1)π,k∈Z時,umin=-1
最大值 當α=2kπ+,k∈Z時,vmax=1 當α=2kπ,k∈Z時,umax=1
周期性 周期函數,最小正周期為2π
單調性 在區間[2kπ-,2kπ+],k∈Z上單調遞增; 在區間[2kπ+,2kπ+],k∈Z上單調遞減 在區間[2kπ,2kπ+π],k∈Z上單調遞減; 在區間[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z上單調遞增
知識點2　正弦函數值和余弦函數值的符號
三角函數 角α終邊所在象限
一 二 三 四
sin α + + - -
cos α + - - +
正弦函數、余弦函數的記憶口訣
正弦:一二象限正,三四象限負.
余弦:一四象限正,二三象限負.
探究點一　正弦函數、余弦函數的性質
角度1　正弦函數、余弦函數的定義域
[例1] 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
利用單位圓解三角不等式的方法
(1)求解形如sin α≥a,sin α≤a(|a|<1)的不等式的具體方法:
①如圖(a),畫出單位圓;
②在y軸上截取OM=|a|,過點M(0,a)作y軸的垂線,交單位圓于P,P′兩點,作射線OP,OP′;
③寫出以射線OP與OP′為終邊的角;
④圖(a)中陰影部分(包括邊界)為滿足不等式sin α≤a的角α的終邊的范圍,空白部分(包括邊界)為滿足不等式sin α≥a的角α的終邊的范圍.
(2)求解形如cos α≥a,cos α≤a(|a|<1)的不等式的具體方法:
①如圖(b),畫出單位圓;
②在x軸上截取OM=|a|,過點M(a,0)作x軸的垂線,交單位圓于P,P′兩點,作射線OP,OP′;
③寫出以射線OP與OP′為終邊的角;
④圖(b)中陰影部分(包括邊界)為滿足不等式cos α≤a的角α的終邊的范圍,空白部分(包括邊界)為滿足不等式cos α≥a的角α的終邊的范圍.
[針對訓練] 求下列函數的定義域.
(1)u=;
(2)v=lg(-sin α).
角度2　正弦函數、余弦函數的值域與最值
[例2] (1)求函數v=-2sin α,α∈[-,)的值域;
(2)求函數u=-cos α,α∈[,]的最大值和最小值,并寫出取得最大值和最小值時的自變量α的值.
利用單位圓求解正弦函數、余弦函數在給定區間上的最值的方法是作出正弦函數、余弦函數在給定區間上的端點對應的角與單位圓的交點,結合區間的特征確定正弦函數、余弦函數的最值.
[針對訓練] 求下列函數的值域.
(1)y=sin x,x∈[-,];
(2)y=-2cos x,x∈(,).
角度3　正弦函數、余弦函數的單調性
[例3] (1)在區間[0,2π]上,使y=sin x與y=cos x都單調遞減的區間是(　　)
A.[0,] B.[,π]
C.[π,] D.[,2π]
(2)求下列函數的單調區間.
①y=2sin x,x∈[-π,π];
②y=-cos x,x∈[-,π].
利用單位圓、正弦函數和余弦函數的定義,即可得出在某個指定的區間上正弦函數、余弦函數的單調區間.
[針對訓練] 求下列函數的單調性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值時的自變量α的值.
(1)v=sin α,α∈[-,π];
(2)u=cos α,α∈[-π,].
探究點二　正弦函數值和余弦函數值的符號
角度1　利用三角函數值的符號判斷角的終邊位置
[例4] (1)坐標平面內點P的坐標為(sin 5,cos 5),則點P位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知sin α=-,cos α=-,則角α所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[針對訓練] 若三角形的兩個內角α,β滿足sin α·cos β<0,則此三角形必為(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.以上三種情況都可能
角度2　利用三角函數值的符號求值
[例5] (多選題)設角α的終邊不在坐標軸上,則y=+的值可以為(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
利用單位圓中正弦函數、余弦函數的定義以及坐標系中各個象限中橫坐標、縱坐標的正負情況,即可由角α的終邊確定正弦函數值和余弦函數值的符號.
[針對訓練] 當角α為第三象限角時,-的值是(　　)
A.1 B.0 C.2 D.-2
當堂檢測
1.函數y=2-sin x取最大值時,y,x的值分別為(　　)
A.y=3,x=
B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)
D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
2.若sin θA.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(多選題)若函數f(x)=acos x+b的最大值是4,最小值是-2,則a-b的值為(　　)
A.3 B.1 C.2 D.-4
4.(1)函數y=的定義域為　　　　;
(2)函數y=的值域為　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正弦、余弦函數的簡單性質 2,5,6,8,11
正弦、余弦函數值的符號 1,3,4,12
正弦、余弦函數簡 單性質的綜合應用 7,9,10
基礎鞏固
1.若-<α<0,則Q(sin α,cos α)所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],則m的取值范圍為(　　)
A.[-,] B.[-,-]
C.[-,-] D.[-,]
3.若α=3,則(　　)
A.sin α>0,cos α>0 B.sin α>0,cos α<0
C.sin α<0,cos α>0 D.sin α<0,cos α<0
4.設α是第二象限角,且|cos|=-cos,則是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
5.(多選題)函數y=sin x和y=cos x具有相同單調性的區間是(　　)
A.(0,) B.(,π)
C.(-π,-) D.(-,0)
6.y=2sin 2x在x∈[-,]上的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
7.函數y=+lg(cos x)的定義域是　　　　.
能力提升
8.(多選題)已知函數f(x)=sin x+1,則(　　)
A.f(x)的最小正周期為2π
B.f(x)是奇函數
C.f(x)的圖象關于直線x=π軸對稱
D.f(x)的值域為[0,2]
9.使lg(sin θ·cos θ)+ 有意義的θ為(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
10.函數y=(sin x-2)2+1的值域為　　　　.
11.求下列函數的單調區間和值域,并說明取得最大值和最小值時的自變量x的值.
(1)y=-sin x,x∈[,π];
(2)y=cos x,x∈[-π,π].
應用創新
12.(多選題)若sin xcos x>0,sin x+cos x>0,則可以是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角4.2　單位圓與正弦函數、余弦函數的基本性質
學習目標
1.了解正弦函數、余弦函數的基本性質,提高數學抽象與直觀想象的核心素養.
2.通過掌握正弦函數、余弦函數的符號,提高邏輯推理與數學抽象的核心素養.
知識探究
知識點1　正弦函數、余弦函數的性質
性質 正弦函數(v=sin α) 余弦函數(u=cos α)
定義域 R
值域 [-1,1]
最小值 當α=2kπ-,k∈Z時,vmin=-1 當α=(2k+1)π,k∈Z時,umin=-1
最大值 當α=2kπ+,k∈Z時,vmax=1 當α=2kπ,k∈Z時,umax=1
周期性 周期函數,最小正周期為2π
單調性 在區間[2kπ-,2kπ+],k∈Z上單調遞增; 在區間[2kπ+,2kπ+],k∈Z上單調遞減 在區間[2kπ,2kπ+π],k∈Z上單調遞減; 在區間[2kπ+π,2kπ+2π],k∈Z上單調遞增
知識點2　正弦函數值和余弦函數值的符號
三角函數 角α終邊所在象限
一 二 三 四
sin α + + - -
cos α + - - +
正弦函數、余弦函數的記憶口訣
正弦:一二象限正,三四象限負.
余弦:一四象限正,二三象限負.
探究點一　正弦函數、余弦函數的性質
角度1　正弦函數、余弦函數的定義域
[例1] 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合.
(1)sin α≥;
(2)cos α≤-.
解:(1)作直線y=交單位圓于A,B兩點,連接OA,OB,則OA與OB圍成的區域[圖(a)陰影部分]即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
(2)作直線x=-交單位圓于C,D兩點,連接OC,OD,則OC與OD圍成的區域[圖(b)陰影部分]即為角α終邊的范圍,
故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
利用單位圓解三角不等式的方法
(1)求解形如sin α≥a,sin α≤a(|a|<1)的不等式的具體方法:
①如圖(a),畫出單位圓;
②在y軸上截取OM=|a|,過點M(0,a)作y軸的垂線,交單位圓于P,P′兩點,作射線OP,OP′;
③寫出以射線OP與OP′為終邊的角;
④圖(a)中陰影部分(包括邊界)為滿足不等式sin α≤a的角α的終邊的范圍,空白部分(包括邊界)為滿足不等式sin α≥a的角α的終邊的范圍.
(2)求解形如cos α≥a,cos α≤a(|a|<1)的不等式的具體方法:
①如圖(b),畫出單位圓;
②在x軸上截取OM=|a|,過點M(a,0)作x軸的垂線,交單位圓于P,P′兩點,作射線OP,OP′;
③寫出以射線OP與OP′為終邊的角;
④圖(b)中陰影部分(包括邊界)為滿足不等式cos α≤a的角α的終邊的范圍,空白部分(包括邊界)為滿足不等式cos α≥a的角α的終邊的范圍.
[針對訓練] 求下列函數的定義域.
(1)u=;
(2)v=lg(-sin α).
解:(1)要使函數有意義,則2cos α-1≥0,
所以cos α≥.
如圖(a),作直線x=與單位圓相交于點A,B,且∠xOA=,∠xOB=-,終邊落在圖中所示的陰影區域內的每一個角α,其余弦值均大于或等于,因而滿足cos α≥的角的集合為{α|-+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z},所以原函數定義域為[-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
(2)為使v=lg(-sin α)有意義,則-sin α>0,所以 sin α<,所以角α的終邊所在區域如圖(b)所示.
所以2kπ-<α<2kπ+,k∈Z,
所以原函數的定義域是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z).
角度2　正弦函數、余弦函數的值域與最值
[例2] (1)求函數v=-2sin α,α∈[-,)的值域;
(2)求函數u=-cos α,α∈[,]的最大值和最小值,并寫出取得最大值和最小值時的自變量α的值.
解:(1)
在單位圓中,[-,)范圍內的角如圖(a)中陰影部分所示.
α=-∈[-,),
此時
vmax=-2sin(-)=2;
α=∈[-,),
此時vmin=-2sin =-2.
結合單位圓知函數的值域為[-2,2].
(2)在平面直角坐標系的單位圓中,[,]范圍內的角如圖(b)中陰影部分所示.
所以當α=π時,u=-cos α 取到最大值.
當α=時,u=-cos α取到最小值,為-cos =-×=-.
利用單位圓求解正弦函數、余弦函數在給定區間上的最值的方法是作出正弦函數、余弦函數在給定區間上的端點對應的角與單位圓的交點,結合區間的特征確定正弦函數、余弦函數的最值.
[針對訓練] 求下列函數的值域.
(1)y=sin x,x∈[-,];
(2)y=-2cos x,x∈(,).
解:(1)函數y=sin x在區間[-,]上單調遞增,在區間[,]上單調遞減.
又sin =1,sin(-)=-,sin =,故函數y=sin x的值域為[-,1].
(2)函數y=cos x在區間(,π]上單調遞減,在區間[π,)上單調遞增,
又cos π=-1,cos =,cos =-,
故函數y=cos x的值域為[-1,).
所以函數y=-2cos x的值域為(-,2].
角度3　正弦函數、余弦函數的單調性
[例3] (1)在區間[0,2π]上,使y=sin x與y=cos x都單調遞減的區間是(　　)
A.[0,] B.[,π]
C.[π,] D.[,2π]
(2)求下列函數的單調區間.
①y=2sin x,x∈[-π,π];
②y=-cos x,x∈[-,π].
(1)解析:在區間[0,2π]上,y=sin x的單調遞減區間是[,],y=
cos x的單調遞減區間是[0,π],所以y=sin x和y=cos x都單調遞減的區間是[,]∩[0,π]=[,π].
故選B.
(2)解:①函數y=2sin x與函數y=sin x,x∈[-π,π]的單調性相同,
結合單位圓可知函數y=sin x,x∈[-π,π]在[-π,-]上單調遞減,在[-,]上單調遞增,在[,π]上單調遞減,
所以函數y=2sin x,x∈[-π,π]的單調遞減區間為[-π,-]和
[,π],單調遞增區間為[-,].
②函數y=-cos x,x∈[-,π]與函數y=cos x,x∈[-,π]的單調性相反,
結合單位圓可知函數y=cos x,x∈[-,π]在[-,0]上單調遞增,
在[0,π]上單調遞減,
所以函數y=-cos x,x∈[-,π]的單調遞減區間為[-,0],單調遞增區間為[0,π].
利用單位圓、正弦函數和余弦函數的定義,即可得出在某個指定的區間上正弦函數、余弦函數的單調區間.
[針對訓練] 求下列函數的單調性、最大值和最小值以及取得最大值和最小值時的自變量α的值.
(1)v=sin α,α∈[-,π];
(2)u=cos α,α∈[-π,].
解:(1)由圖(a)可知,v=sin α在[-,]上單調遞增,在[,π]上單調遞減,且當α=時,v=sin α取最大值1,當α=-時,v=sin α取最小值-.
(2)由圖(b)可知,u=cos α在[-π,0]上單調遞增,在[0,]上單調遞減,且當α=-π時取最小值-1,當α=0時取最大值1.
探究點二　正弦函數值和余弦函數值的符號
角度1　利用三角函數值的符號判斷角的終邊位置
[例4] (1)坐標平面內點P的坐標為(sin 5,cos 5),則點P位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)已知sin α=-,cos α=-,則角α所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:(1)因為<5<2π,
所以sin 5<0,cos 5>0,
則點P位于第二象限.
故選B.
(2)由sin α=-<0得角α的終邊在第三或第四象限;由cos α=-<0得角α的終邊在第二或第三象限.綜上,角α所在的象限是第三象限.故選C.
[針對訓練] 若三角形的兩個內角α,β滿足sin α·cos β<0,則此三角形必為(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.以上三種情況都可能
解析:由題意α,β∈(0,π),所以sin α>0,因為sin α·cos β<0,則cos β<0,所以β∈(,π),故此三角形為鈍角三角形.故選B.
角度2　利用三角函數值的符號求值
[例5] (多選題)設角α的終邊不在坐標軸上,則y=+的值可以為(　　)
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:當α是第一象限角時,sin α,cos α均為正值,
所以+=2;
當α是第二象限角時,sin α為正值,cos α為負值,
所以+=0;
當α是第三象限角時,sin α,cos α均為負值,所以+=-2;
當α是第四象限角時,sin α為負值,cos α為正值,
所以+=0.
綜上可知,y的值可以為-2,0,2.
故選ABD.
利用單位圓中正弦函數、余弦函數的定義以及坐標系中各個象限中橫坐標、縱坐標的正負情況,即可由角α的終邊確定正弦函數值和余弦函數值的符號.
[針對訓練] 當角α為第三象限角時,-的值是(　　)
A.1 B.0 C.2 D.-2
解析:因為角α為第三象限角,所以sin α<0,cos α<0,所以-=--=0.故選B.
當堂檢測
1.函數y=2-sin x取最大值時,y,x的值分別為(　C　)
A.y=3,x=
B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)
C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)
D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)
解析:當sin x=-1,即x=-+2kπ(k∈Z)時,y取得最大值3.故選C.
2.若sin θA.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由條件可知sin θ<0,cos θ>0,則θ為第四象限角.故選D.
3.(多選題)若函數f(x)=acos x+b的最大值是4,最小值是-2,則a-b的值為(　CD　)
A.3 B.1 C.2 D.-4
解析:當a>0時,f(x)max=a+b=4,f(x)min=-a+b=-2,解得a=3,b=1,a-b=2;當a<0時,f(x)max=-a+b=4,f(x)min=a+b=-2,解得a=-3,b=1,a-b=-4.綜上a-b=2或-4.故選CD.
4.(1)函數y=的定義域為　　　　;
(2)函數y=的值域為　　　　.
解析:(1)由題意,得cos x≠0,
所以題中函數的定義域為(kπ-,kπ+)(k∈Z).
(2)y===-1+,因為sin x∈[-1,1],
所以2-sin x∈[1,3],所以∈[,1],
所以-1+∈[-,0],
即∈[-,0].
答案:(1)(kπ-,kπ+)(k∈Z)
(2)[-,0]
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正弦、余弦函數的簡單性質 2,5,6,8,11
正弦、余弦函數值的符號 1,3,4,12
正弦、余弦函數簡 單性質的綜合應用 7,9,10
基礎鞏固
1.若-<α<0,則Q(sin α,cos α)所在的象限是(　B　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因為-<α<0,所以cos α>0,sin α<0,
所以點Q(sin α,cos α)在第二象限.故選B.
2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],則m的取值范圍為(　C　)
A.[-,] B.[-,-]
C.[-,-] D.[-,]
解析:因為x∈[-,],所以sin x∈[-,],即-≤2m+3≤,
所以-≤m≤-.
故選C.
3.若α=3,則(　B　)
A.sin α>0,cos α>0 B.sin α>0,cos α<0
C.sin α<0,cos α>0 D.sin α<0,cos α<0
解析:因為<α=3<π,所以α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
故選B.
4.設α是第二象限角,且|cos|=-cos,則是(　C　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因為α是第二象限角,所以是第一或第三象限角,
因為|cos|=-cos,所以cos<0,即是第三象限角.故選C.
5.(多選題)函數y=sin x和y=cos x具有相同單調性的區間是(　BD　)
A.(0,) B.(,π)
C.(-π,-) D.(-,0)
解析:
A × y=sin x在(0,)上單調遞增,y=cos x在(0,)上單調遞減
B √ y=sin x在(,π)上單調遞減,y=cos x在(,π)上單調遞減
C × y=sin x在(-π,-)上單調遞減,y=cos x在(-π,-)上單調遞增
D √ y=sin x在(-,0)上單調遞增,y=cos x在 (-,0)上單調遞增
6.y=2sin 2x在x∈[-,]上的最大值為　　　　,最小值為　　　　.
解析:因為-≤x≤,所以-≤2x≤.結合單位圓可知;當2x=-時,ymin=2sin(-)=-1,當2x=時,ymax=2sin=2.
答案:2　-1
7.函數y=+lg(cos x)的定義域是　　　　.
解析:由
得x∈[2kπ,2kπ+)(k∈Z).
答案:[2kπ,2kπ+)(k∈Z)
能力提升
8.(多選題)已知函數f(x)=sin x+1,則(　AD　)
A.f(x)的最小正周期為2π
B.f(x)是奇函數
C.f(x)的圖象關于直線x=π軸對稱
D.f(x)的值域為[0,2]
解析:對于A,由正弦型函數的性質,可得f(x)的最小正周期為T=2π,所以A正確;對于B,由f(-x)=-sin x+1≠-f(x),所以f(x)不是奇函數,所以B錯誤;對于C,由f(π)=sin π+1=1不是函數f(x)的最值,所以f(x)的圖象不關于直線x=π軸對稱,所以C錯誤;對于D,由-1≤sin x≤1,可得0≤sin x+1≤2,所以函數f(x)的值域為[0,2],所以D正確.故選AD.
9.使lg(sin θ·cos θ)+ 有意義的θ為(　C　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:依題意sin θcos θ>0且-cos θ≥0,由sin θcos θ>0得sin θ與cos θ同號,則θ為第一、第三象限角,由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ為第二、第三象限角或角θ的終邊在y軸或者x軸的負半軸上,所以θ為第三象限角.
故選C.
10.函數y=(sin x-2)2+1的值域為　　　　.
解析:設t=sin x,
則有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],
所以當t=-1時,y=(t-2)2+1取得最大值10;
當t=1時,y=(t-2)2+1取得最小值2,
所以y=(sin x-2)2+1的值域為[2,10].
答案:[2,10]
11.求下列函數的單調區間和值域,并說明取得最大值和最小值時的自變量x的值.
(1)y=-sin x,x∈[,π];
(2)y=cos x,x∈[-π,π].
解:(1)y=-sin x,x∈[,π]的單調遞減區間為[,],單調遞增區間為[,π].
當x=時,ymin=-1;當x=π時,ymax=0.故函數y=-sin x,x∈[,π]的值域為[-1,0].
(2)y=cos x,x∈[-π,π]的單調遞減區間為[0,π],
單調遞增區間為[-π,0].
當x=0時,ymax=1;當x=-π或π時,ymin=-1.
故函數y=cos x,x∈[-π,π]的值域為[-1,1].
應用創新
12.(多選題)若sin xcos x>0,sin x+cos x>0,則可以是(　AC　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:因為sin xcos x>0,sin x+cos x>0,
所以sin x>0,cos x>0,故x是第一象限角,
由2kπ得kπ<當k為偶數時,是第一象限角;
當k為奇數時,是第三象限角.故選AC.

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