資源簡(jiǎn)介

4.3　誘導(dǎo)公式與對(duì)稱
4.4　誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用,能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,提高直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)1　誘導(dǎo)公式與對(duì)稱
(1)角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(-α)=-sin α,正弦函數(shù)為奇函數(shù);
cos(-α)=cos α,余弦函數(shù)為偶函數(shù).
[思考1] 如果角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=-sin β,cos α=cos β.
(2)角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(α±π)=-sin α,cos(α±π)=-cos α.
[思考2] 如果角α,β的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=-sin β,cos α=-cos β.
(3)角α與π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
[思考3] 如果角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=sin β,cos α=-cos β.
問題1:如圖,作P1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P2,以O(shè)P2為終邊的角-α與角α有什么關(guān)系
提示:它們的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
問題2:若設(shè)任意角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),那么角-α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)P2的坐標(biāo)是什么
提示:點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(y,x).
知識(shí)點(diǎn)2　角α與角α+的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系
sin(α+)=cos α,cos(α+)=-sin α.
[思考4] 角α與角α-的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如何
提示:sin(α-)=-cos α,cos(α-)=sin α.
探究點(diǎn)一　利用誘導(dǎo)公式與對(duì)稱求值
[例1] (1)cos 3 000°的值為(　　)
A. B.- C. D.-
(2)若角α頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sin ,cos ),則角α為(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
把sin β,cos β中的角β,寫成-β,π±α(α∈[0,]),利用誘導(dǎo)公式,得出sin β,cos β與sin α,cos α的關(guān)系,達(dá)到求值的目的.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)cos 等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)cos(-210°)等于(　　)
A. B.- C. D.-
探究點(diǎn)二　利用誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)求值
[例2] 設(shè)角α的終邊過點(diǎn)(1,-2),則等于(　　)
A. B.1 C.-1 D.-3
當(dāng)α+β=±或者α-β=±時(shí),考慮使用α±,±α的誘導(dǎo)公式.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),則sin(+α)·cos(-α)的值是(　　)
A.- B. C.- D.
(2)若角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),將角α的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β,則sin β=　　　　.
探究點(diǎn)三　利用誘導(dǎo)公式求解條件求值問題
[例3] 已知cos(-α)=,求cos(+α)+sin2[+(α-)]的值.
[變式探究] (1)本例題中條件不變,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)本例題中的條件不變,求cos(-α)+sin2(α-)的值.
解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題,首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.
(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.
(3)結(jié)合單位圓與正弦、余弦的關(guān)系可知sin2α+cos2α=1是求值問題中常見的關(guān)系式.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P(,),則sin(π-α)等于(　　)
A.- B.- C. D.
2.已知cos(-α)=,則sin(α+)等于(　　)
A.± B. C.- D.
3.下列各項(xiàng)與sin(-α)一定相等的是(　　)
A.cos(α-) B.sin(-α)
C.cos(π-α) D.sin(α+)
4.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是　　　　.
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
誘導(dǎo)公式與對(duì)稱 5,6,7,9
誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn) 1,2,3,8,10
誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 4,11,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.已知sin(+α)=,則cos α等于(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知cos(α+37°)=,則sin(53°-α)等于(　　)
A. B.- C.- D.
3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2,1),則cos(α+)的值為(　　)
A. B. C.- D.-
4.已知sin(π+α)+cos(+α)=-m,那么cos(-α)+2sin(2π-α)的值為(　　)
A.-m B.m C.-m D.m
5.(多選題)下列選項(xiàng)中與cos θ的值不恒相等的有(　　)
A.cos(-θ) B.cos(θ+π)
C.sin(θ-) D.sin(π-θ)
6.已知角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(-,),則化簡(jiǎn)=　　　　.
7.如果A為△ABC的內(nèi)角,sin(π+A)=-,那么cos(π-A)=　　　　.
能力提升
8.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(-,-),將角α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角β,則角β的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A.(-,) B.(-,)
C.(,-) D.(,-)
9.(多選題)已知n∈Z,則下列函數(shù)中,與 sin數(shù)值相同的是(　　)
A.sin(nπ+) B.cos(2nπ+)
C.sin(2nπ+) D.cos[(2n+1)π-]
10.已知α∈(-π,π),且sin α=-cos ,則α的值是(　　)
A.或 B.或-
C.-或 D.-或-
11.已知f(α)=,則f()=　 　　.
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A(,y0).將角α的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角β.求:
(1)sin α與sin β的值;
(2)的值.
應(yīng)用創(chuàng)新
13.計(jì)算cos +cos +cos +cos +cos +cos 等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.-14.3　誘導(dǎo)公式與對(duì)稱
4.4　誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用,能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問題,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,提高直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)1　誘導(dǎo)公式與對(duì)稱
(1)角α與-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(-α)=-sin α,正弦函數(shù)為奇函數(shù);
cos(-α)=cos α,余弦函數(shù)為偶函數(shù).
[思考1] 如果角α,β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=-sin β,cos α=cos β.
(2)角α與α±π的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(α±π)=-sin α,cos(α±π)=-cos α.
[思考2] 如果角α,β的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=-sin β,cos α=-cos β.
(3)角α與π-α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
[思考3] 如果角α,β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,你能得出角α,β的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的一個(gè)關(guān)系嗎
提示:sin α=sin β,cos α=-cos β.
問題1:如圖,作P1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)P2,以O(shè)P2為終邊的角-α與角α有什么關(guān)系
提示:它們的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱.
問題2:若設(shè)任意角α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(x,y),那么角-α的終邊與單位圓O的交點(diǎn)P2的坐標(biāo)是什么
提示:點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(y,x).
知識(shí)點(diǎn)2　角α與角α+的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系
sin(α+)=cos α,cos(α+)=-sin α.
[思考4] 角α與角α-的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)關(guān)系如何
提示:sin(α-)=-cos α,cos(α-)=sin α.
探究點(diǎn)一　利用誘導(dǎo)公式與對(duì)稱求值
[例1] (1)cos 3 000°的值為(　　)
A. B.- C. D.-
(2)若角α頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊在x軸的非負(fù)半軸上,終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(sin ,cos ),則角α為(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:(1)cos 3 000°=cos(8×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.故選B.
(2)由誘導(dǎo)公式得,
sin =sin(+π)=-sin =-,
cos =cos(+π)=-cos =cos =.
因?yàn)镻(-,)在第二象限,所以角α為第二象限角.故選B.
把sin β,cos β中的角β,寫成-β,π±α(α∈[0,]),利用誘導(dǎo)公式,得出sin β,cos β與sin α,cos α的關(guān)系,達(dá)到求值的目的.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)cos 等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)cos(-210°)等于(　　)
A. B.- C. D.-
解析:(1)cos =cos (2π+π-)=cos(π-)=-cos=-.故選B.
(2)cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-.故選B.
探究點(diǎn)二　利用誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)求值
[例2] 設(shè)角α的終邊過點(diǎn)(1,-2),則等于(　　)
A. B.1 C.-1 D.-3
解析:由題意sin α=-,cos α=,
原式==1.
故選B.
當(dāng)α+β=±或者α-β=±時(shí),考慮使用α±,±α的誘導(dǎo)公式.
[針對(duì)訓(xùn)練] (1)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),則sin(+α)·cos(-α)的值是(　　)
A.- B. C.- D.
(2)若角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),將角α的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β,則sin β=　　　　.
解析:(1)因?yàn)棣恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,-3),
所以sin α==-,cos α=,
所以sin (+α)·cos(-α)=cos αsin α=×(-)=-.故選A.
(2)因?yàn)榻铅恋慕K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),則cos α=,將角α的終邊按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角β,則β=+α,故sin β=sin(+α)=
cos α=.
答案:(1)A　(2)
探究點(diǎn)三　利用誘導(dǎo)公式求解條件求值問題
[例3] 已知cos(-α)=,求cos(+α)+sin2[+(α-)]的值.
解:因?yàn)閏os(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2[+(α-)]=cos2(α-)=cos2(-α)=.
所以原式=-+=-.
[變式探究] (1)本例題中條件不變,求cos(+α)-sin2(α-)的值;
(2)本例題中的條件不變,求cos(-α)+sin2(α-)的值.
解:(1)因?yàn)閏os(+α)=cos[π-(-α)]=-cos(-α)=-,
sin2(α-)=sin2(-α)=1-cos2(-α)=1-()2=,
所以原式=--=-.
(2)因?yàn)閏os(-α)+sin2(α-)
=cos[π+(-α)]+sin2[(α-)-2π]
=-cos(-α)+sin2(-α),
所以原式=-+=.
解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題,首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.
(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化,或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.
(3)結(jié)合單位圓與正弦、余弦的關(guān)系可知sin2α+cos2α=1是求值問題中常見的關(guān)系式.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P(,),則sin(π-α)等于(　C　)
A.- B.- C. D.
解析:依題意sin α=,
sin(π-α)=sin α=.故選C.
2.已知cos(-α)=,則sin(α+)等于(　D　)
A.± B. C.- D.
解析:sin(α+)=sin[-(-α)]=cos(-α)=.故選D.
3.下列各項(xiàng)與sin(-α)一定相等的是(　D　)
A.cos(α-) B.sin(-α)
C.cos(π-α) D.sin(α+)
解析:sin(-α)=cos α.
對(duì)于A,cos(α-)=sin α,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,sin(-α)=-cos α,故B錯(cuò)誤;
對(duì)于C,cos(π-α)=-cos α,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,sin(α+)=cos α,故D正確.故選D.
4.sin 315°-cos 135°+2sin 570°的值是　　　　.
解析:sin 315°-cos 135°+2sin 570°
=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+2sin(360°+210°)
=-sin 45°+cos 45°+2sin 210°=2sin(180°+30°)
=-2sin 30°=-1.
答案:-1
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
誘導(dǎo)公式與對(duì)稱 5,6,7,9
誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn) 1,2,3,8,10
誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 4,11,12,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.已知sin(+α)=,則cos α等于(　C　)
A.- B. C.- D.
解析:因?yàn)閟in(+α)=-cos α=,
所以cos α=-.故選C.
2.已知cos(α+37°)=,則sin(53°-α)等于(　D　)
A. B.- C.- D.
解析:sin(53°-α)=sin[90°-(α+37°)]=cos(α+37°)=.故選D.
3.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2,1),則cos(α+)的值為(　A　)
A. B. C.- D.-
解析:由題意,角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2,1),可得r=|OP|==,
根據(jù)正弦函數(shù)的定義,可得sin α==,
所以cos(+α)=sin α=.故選A.
4.已知sin(π+α)+cos(+α)=-m,那么cos(-α)+2sin(2π-α)的值為(　C　)
A.-m B.m C.-m D.m
解析:由sin(π+α)+cos(+α)=-m,即-sin α-sin α=-m,得sin α=m,則cos(-α)+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m.故選C.
5.(多選題)下列選項(xiàng)中與cos θ的值不恒相等的有(　BCD　)
A.cos(-θ) B.cos(θ+π)
C.sin(θ-) D.sin(π-θ)
解析:根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得,
cos(-θ)=cos θ,cos(θ+π)=-cos θ,sin(θ-)=-cos θ,sin(π-θ)=-cos θ.故選BCD.
6.已知角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(-,),則化簡(jiǎn)=　　　　.
解析:因?yàn)榻铅恋慕K邊與單位圓相交于點(diǎn)P(-,),所以sin α=,cos α=-.
由誘導(dǎo)公式得
=
====-.
答案:-
7.如果A為△ABC的內(nèi)角,sin(π+A)=-,那么cos(π-A)=　　　　.
解析:因?yàn)閟in(π+A)=-,
所以-sin A=-,即sin A=.
又A為△ABC的內(nèi)角,即0所以A=或A=.
因?yàn)閏os(π-A)=-cos A,cos A=或cos A=-,所以cos(π-A)=-或cos(π-A)=.
答案:±
能力提升
8.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(-,-),將角α的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角β,則角β的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(　B　)
A.(-,) B.(-,)
C.(,-) D.(,-)
解析:由題知sin α=-,cos α=-,且β=α-.
結(jié)合誘導(dǎo)公式可得,sin β=sin(α-)=-sin(-α)=-cos α=,cos β=cos(α-)=sin α=-,因此角β的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-,).故選B.
9.(多選題)已知n∈Z,則下列函數(shù)中,與 sin數(shù)值相同的是(　BC　)
A.sin(nπ+) B.cos(2nπ+)
C.sin(2nπ+) D.cos[(2n+1)π-]
解析:對(duì)于A,當(dāng)n=2k,k∈Z時(shí),
sin(nπ+)=sin(2kπ+)=sin=sin(π+)=-sin,所以A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,cos(2nπ+)=cos =sin ,所以B正確;
對(duì)于C,sin(2nπ+)=sin ,所以C正確;
對(duì)于D,cos[(2n+1)π-]=cos(2nπ+π-)=cos(π-)=-cos =-sin ,所以D錯(cuò)誤.故選BC.
10.已知α∈(-π,π),且sin α=-cos ,則α的值是(　D　)
A.或 B.或-
C.-或 D.-或-
解析:sin α=-cos =-sin(-)=-sin=sin(-),
因?yàn)棣痢?-π,π),又sin(-)=sin(-π+)=-sin=sin(-),
所以α=-或α=-.故選D.
11.已知f(α)=,則f()=　 　　.
解析:因?yàn)閒(α)===,
所以f()==2.
答案:2
12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A(,y0).將角α的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到角β.求:
(1)sin α與sin β的值;
(2)的值.
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(,y0)在單位圓上,且α為銳角,
所以y0==,sin α=y0=,cos α=.
由題可知β=+α,
所以sin β=sin(α+)=cos α=.
(2)原式==,
由(1)得cos α=,sin α=,sin β=,
又cos β=cos(α+)=-sin α=-,
所以原式==-.
應(yīng)用創(chuàng)新
13.計(jì)算cos +cos +cos +cos +cos +cos 等于(　A　)
A.0 B.1 C.2 D.-1
解析:原式=(cos +cos )+(cos +cos )+(cos +cos )
=[cos +cos(π-)]+[cos +cos (π-)]+[cos +cos (π-)]
=(cos -cos )+(cos -cos )+(cos -cos )=0.
故選A.

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