資源簡介

5.2　余弦函數的圖象與性質再認識
學習目標
1.會用“五點法”畫出余弦函數在[0,2π]上的圖象,提升直觀想象的核心素養.
2.通過由余弦函數圖象得到余弦函數的性質以及性質的應用的過程,提升數學抽象、邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:利用“五點法”作正弦函數在區間[0,2π]上的圖象,“五點”中的橫坐標分別是什么
提示:0,,π,,2π.
問題2:借助誘導公式cos x=sin(+x)及正弦函數圖象的“五點法”,你能得到作余弦函數在[0,2π]上圖象的“五個點”嗎
提示:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
問題3:函數y=f(x+a)(a>0)的圖象可以由函數y=f(x)的圖象怎樣平移而得到
提示:將函數y=f(x)的圖象沿著x軸向左平移a個單位長度而得到.
知識點1　余弦函數的圖象
　(1)余弦函數圖象的畫法.
在區間[0,2π]上取一系列的x值,例如0,,,,…,2π,列表如下:
x 0
y= cos x 1 0 - -
x π 2π
y= cos x -1 - - 0 1
利用表中的數據,先在平面直角坐標系內描點,結合對函數y=cos x性質的了解,用光滑曲線將它們順次連接起來,就可以得到區間[0,2π]上y=cos x 的圖象[如圖(a)].
由周期性可知,函數y=cos x在區間[2kπ,2(k+1)π],k∈Z,k≠0上與在區間[0,2π]上的函數圖象形狀完全相同,只是位置不同.將函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象向左、右平移(每次平移2π個單位長度),就可以得到余弦函數y=cos x,x∈R的圖象[如圖(b)].余弦函數y=cos x,x∈R的圖象稱作余弦曲線.
(2)“五點(畫圖)法”作余弦函數圖象的五個關鍵點為(0,1),(,0),
(π,-1),(,0),(2π,1).
[思考1] 若不利用“五點法”,利用函數y=sin x的圖象能夠得到函數y=cos x的圖象嗎
提示:根據cos x=sin(+x),可以將函數y=sin x的圖象沿著x軸向左平移 個單位長度而得到.
問題4:(1)觀察如下余弦函數y=cos x,x∈R的圖象,你能寫出函數y=cos x在區間[-π,π]上的單調遞增區間和單調遞減區間嗎
(2)結合余弦函數的周期性,它還有哪些單調區間
提示:(1)函數y=cos x的單調遞增區間是[-π,0],單調遞減區間是
[0,π].
(2)在[-π,0]及[0,π]的每一個端點上分別加上 ±2π,±4π,±6π,…,都是它的單調區間.
問題5:(1)觀察如下余弦曲線的圖象,余弦函數是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分別為多少
(2)在何處余弦函數取得最大值和最小值
提示:(1)存在.余弦函數的最大值和最小值分別是1和-1.
(2)過圖象上最高(低)點分別作x軸的垂線,與x軸有無數個交點,在每一個交點處函數分別取得最大(小)值.
知識點2　余弦函數性質的再認識
函數 y=cos x
定義域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函數
周期性 周期函數、最小正周期是2π
單調性 在每一個閉區間[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上都單調遞增; 在每一個閉區間[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上都單調遞減
最大值與 最小值 當x=2kπ(k∈Z)時取最大值1; 當x=2kπ+π(k∈Z)時取最小值-1
[思考2] 觀察余弦曲線,你能發現余弦曲線的對稱中心與對稱軸嗎
提示:y=cos x的對稱中心是(kπ+,0)(k∈Z),對稱軸是直線x=kπ(k∈Z).
探究點一　余弦函數的圖象
[例1] 用“五點法”作出函數y=3+2cos x在一個周期內的圖象.
類似作正弦函數圖象,作余弦函數圖象也用“五點法”作出其一個周期內的圖象,再根據周期性進行延展.
[針對訓練] 作出函數y=1-cos x(0≤x≤2π)的簡圖.
探究點二　余弦函數的性質
[例2] 已知f(x)=2+cos x.
(1)判斷函數的奇偶性.
(2)求函數的單調區間.
(3)求函數的最小正周期.
對于余弦函數的性質,要善于結合余弦函數圖象并類比正弦函數的相關性質進行記憶,其解題方法與正弦函數的對應性質的解題方法一致.
[針對訓練] (1)求函數y=1-cos x的單調區間.
(2)利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小.
①sin 196°與cos 156°;
②cos(-)與cos.
當堂檢測
1.下列區間中,是函數y=cos x的一個單調遞增區間的是(　　)
A.[0,π] B.[,]
C.[-,] D.[π,2π]
2.(多選題)已知函數f(x)=|2cos x|,則(　　)
A.函數f(x)的最小正周期T=2π
B.函數f(x)在(,3π)上單調遞增
C.函數f(x)在(-,)上的值域為(0,)
D.函數f(x)的圖象關于直線x=2 025 π對稱
3.函數y=-cos x(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為(　　)
A.(,1) B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
4.在[0,2π]上,使cos x≤-成立的x的取值集合為　　　　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
余弦函數的圖象 8,10
余弦函數的性質 1,3,4,5,6
余弦函數的圖象、性質的綜合應用 2,7,9,11
基礎鞏固
1.已知函數y=sin x和y=cos x在區間I上都單調遞減,那么區間I可以是(　　)
A.(0,)　B.(,π)　C.(π,)　D.(,2π)
2.函數y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致圖象是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
3.函數y=2cos x-3的值不可能是(　　)
A.0 B.-1 C.-3 D.-5
4.y=cos(x-)在[0,]上的值域為　　　　.
5.函數y=的定義域為　　　　　　　　　　　　.
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小關系是　　　　　　　.(用“>”連接)
能力提升
7.(多選題)規定max{a,b}=若函數f(x)=max{sin x,cos x},則(　)
A.f(x)是以2π為最小正周期的周期函數
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.當2kπ+πD.當且僅當x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)時,函數f(x)單調遞增
8.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)內(　　)
A.沒有根 B.有且僅有一個根
C.有且僅有兩個根 D.有無窮多個根
9.函數y=cos x在區間[-π,a]上單調遞增,則a的取值范圍是
　 　　.
10.函數y=2cos x,x∈[0,2π]的圖象和直線y=2圍成的一個封閉的平面圖形的面積是　　　 　.
11.已知函數f(x)=
(1)作出該函數的圖象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,討論方程f(x)=a的解的個數.5.2　余弦函數的圖象與性質再認識
學習目標
1.會用“五點法”畫出余弦函數在[0,2π]上的圖象,提升直觀想象的核心素養.
2.通過由余弦函數圖象得到余弦函數的性質以及性質的應用的過程,提升數學抽象、邏輯推理的核心素養.
知識探究
問題1:利用“五點法”作正弦函數在區間[0,2π]上的圖象,“五點”中的橫坐標分別是什么
提示:0,,π,,2π.
問題2:借助誘導公式cos x=sin(+x)及正弦函數圖象的“五點法”,你能得到作余弦函數在[0,2π]上圖象的“五個點”嗎
提示:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
問題3:函數y=f(x+a)(a>0)的圖象可以由函數y=f(x)的圖象怎樣平移而得到
提示:將函數y=f(x)的圖象沿著x軸向左平移a個單位長度而得到.
知識點1　余弦函數的圖象
　(1)余弦函數圖象的畫法.
在區間[0,2π]上取一系列的x值,例如0,,,,…,2π,列表如下:
x 0
y= cos x 1 0 - -
x π 2π
y= cos x -1 - - 0 1
利用表中的數據,先在平面直角坐標系內描點,結合對函數y=cos x性質的了解,用光滑曲線將它們順次連接起來,就可以得到區間[0,2π]上y=cos x 的圖象[如圖(a)].
由周期性可知,函數y=cos x在區間[2kπ,2(k+1)π],k∈Z,k≠0上與在區間[0,2π]上的函數圖象形狀完全相同,只是位置不同.將函數y=cos x,x∈[0,2π]的圖象向左、右平移(每次平移2π個單位長度),就可以得到余弦函數y=cos x,x∈R的圖象[如圖(b)].余弦函數y=cos x,x∈R的圖象稱作余弦曲線.
(2)“五點(畫圖)法”作余弦函數圖象的五個關鍵點為(0,1),(,0),
(π,-1),(,0),(2π,1).
[思考1] 若不利用“五點法”,利用函數y=sin x的圖象能夠得到函數y=cos x的圖象嗎
提示:根據cos x=sin(+x),可以將函數y=sin x的圖象沿著x軸向左平移 個單位長度而得到.
問題4:(1)觀察如下余弦函數y=cos x,x∈R的圖象,你能寫出函數y=cos x在區間[-π,π]上的單調遞增區間和單調遞減區間嗎
(2)結合余弦函數的周期性,它還有哪些單調區間
提示:(1)函數y=cos x的單調遞增區間是[-π,0],單調遞減區間是
[0,π].
(2)在[-π,0]及[0,π]的每一個端點上分別加上 ±2π,±4π,±6π,…,都是它的單調區間.
問題5:(1)觀察如下余弦曲線的圖象,余弦函數是否存在最大值和最小值 若存在,其最大值和最小值分別為多少
(2)在何處余弦函數取得最大值和最小值
提示:(1)存在.余弦函數的最大值和最小值分別是1和-1.
(2)過圖象上最高(低)點分別作x軸的垂線,與x軸有無數個交點,在每一個交點處函數分別取得最大(小)值.
知識點2　余弦函數性質的再認識
函數 y=cos x
定義域 R
值域 [-1,1]
奇偶性 偶函數
周期性 周期函數、最小正周期是2π
單調性 在每一個閉區間[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上都單調遞增; 在每一個閉區間[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上都單調遞減
最大值與 最小值 當x=2kπ(k∈Z)時取最大值1; 當x=2kπ+π(k∈Z)時取最小值-1
[思考2] 觀察余弦曲線,你能發現余弦曲線的對稱中心與對稱軸嗎
提示:y=cos x的對稱中心是(kπ+,0)(k∈Z),對稱軸是直線x=kπ(k∈Z).
探究點一　余弦函數的圖象
[例1] 用“五點法”作出函數y=3+2cos x在一個周期內的圖象.
解:取值列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=3+2cos x 5 3 1 3 5
描點得y=3+2cos x在一個周期內的圖象(如圖所示).
類似作正弦函數圖象,作余弦函數圖象也用“五點法”作出其一個周期內的圖象,再根據周期性進行延展.
[針對訓練] 作出函數y=1-cos x(0≤x≤2π)的簡圖.
解:取值列表:
x 0 π 2π
y=cos x 1 0 -1 0 1
y=1-cos x 0 1 2 1 0
描點并用光滑的曲線順次連接起來,可得函數y=1-cos x(0≤x≤2π)的簡圖,如圖所示.
探究點二　余弦函數的性質
[例2] 已知f(x)=2+cos x.
(1)判斷函數的奇偶性.
(2)求函數的單調區間.
(3)求函數的最小正周期.
解:(1)因為f(x)=2+cos x的定義域為R,圖象關于y軸對稱,且f(-x)=f(x),
所以函數f(x)=2+cos x為偶函數.
(2)因為y=cos x在[2kπ-π,2kπ],k∈Z上單調遞增,在[2kπ,2kπ+π],k∈Z上單調遞減,
所以y=2+cos x的單調遞增區間為[2kπ-π,2kπ],k∈Z,單調遞減區間為[2kπ,2kπ+π],k∈Z.
(3)由cos x的周期性知y=2+cos x的最小正周期為2π.
對于余弦函數的性質,要善于結合余弦函數圖象并類比正弦函數的相關性質進行記憶,其解題方法與正弦函數的對應性質的解題方法一致.
[針對訓練] (1)求函數y=1-cos x的單調區間.
(2)利用三角函數的單調性,比較下列各組數的大小.
①sin 196°與cos 156°;
②cos(-)與cos.
解:(1)因為-<0,
所以y=1-cos x的單調性與y=cos x的單調性相反.
因為y=cos x的單調遞增區間是[2kπ-π,2kπ],k∈Z,單調遞減區間是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,
所以y=1-cos x的單調遞減區間是[2kπ-π,2kπ],k∈Z,單調遞增區間是[2kπ,2kπ+π],k∈Z.
(2)①sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°=-cos 74°,cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°,
因為0°<24°<74°<90°,所以cos 24°>cos 74°,
所以-cos 74°>-cos 24°,
即sin 196°>cos 156°.
②cos(-)=cos(-6π-)=cos ,
cos =cos(16π+)=cos,
因為y=cos x在[0,]上單調遞減,
所以cos>cos,
即cos(-)>cos.
當堂檢測
1.下列區間中,是函數y=cos x的一個單調遞增區間的是(　D　)
A.[0,π] B.[,]
C.[-,] D.[π,2π]
解析:因為函數y=cos x的單調遞增區間是[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,所以結合選項知,函數y=cos x的一個單調遞增區間為[π,2π].故選D.
2.(多選題)已知函數f(x)=|2cos x|,則(　BD　)
A.函數f(x)的最小正周期T=2π
B.函數f(x)在(,3π)上單調遞增
C.函數f(x)在(-,)上的值域為(0,)
D.函數f(x)的圖象關于直線x=2 025 π對稱
解析:因為f(x)=|2cos x|=2|cos x|,如圖,作出函數的大致圖象,可知函數f(x)的最小正周期T=π,故A錯誤;由圖象可知函數的增區間為[kπ-,kπ](k∈Z),故函數f(x)在(,3π)上單調遞增,故B正確;當x∈[-,]時,f(x)∈[0,2],故C錯誤;因為f(2 025 π)=
2|cos(2 025π)|=2,所以函數f(x)的圖象關于直線x=2 025π對稱,故D正確.故選BD.
3.函數y=-cos x(x>0)的圖象中與y軸最近的最高點的坐標為(　B　)
A.(,1) B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
解析:畫出y=-cos x(x>0)的圖象如圖所示,由圖可知,與y軸最近的最高點的坐標為(π,1).故選B.
4.在[0,2π]上,使cos x≤-成立的x的取值集合為　　　　　　　.
解析:畫出y=cos x在[0,2π]上的簡圖,如圖所示.
當cos x=-時,x=或x=.
由圖象可知,在[0,2π]上,
使cos x≤-成立的角x的取值集合為{x|≤x≤}.
答案:{x|≤x≤}
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
余弦函數的圖象 8,10
余弦函數的性質 1,3,4,5,6
余弦函數的圖象、性質的綜合應用 2,7,9,11
基礎鞏固
1.已知函數y=sin x和y=cos x在區間I上都單調遞減,那么區間I可以是(　B　)
A.(0,)　B.(,π)　C.(π,)　D.(,2π)
解析:y=sin x在區間(0,)上單調遞增;y=cos x在區間(π,)上單調遞增;y=sin x,y=cos x在區間(,2π)上都單調遞增.故排除A,C,D.故選B.
2.函數y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致圖象是(　A　)
　　　
A B
　　　
C D
解析:函數y=cos x-2在x∈[-π,π]上的圖象,是余弦函數y=cos x在x∈[-π,π]上的圖象向下平移2個單位長度,所以函數y=cos x-2在x∈[-π,π]上的大致圖象是選項A.
3.函數y=2cos x-3的值不可能是(　A　)
A.0 B.-1 C.-3 D.-5
解析:因為-1≤cos x≤1,所以-2≤2cos x≤2,-5≤2cos x-3≤-1,即函數y=2cos x-3的值域為[-5,-1].故函數y=2cos x-3的值不可能是0.故選A.
4.y=cos(x-)在[0,]上的值域為　　　　.
解析:因為0≤x≤,所以-≤x-≤,
所以≤cos(x-)≤1,即y∈[,1].
答案:[,1]
5.函數y=的定義域為　　　　　　　　　　　　.
解析:由題意得2cos x-≥0,所以cos x≥.
因為cos =cos(-)=,結合余弦函數的圖象可得函數的定義域為{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.
答案:{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
6.cos 1,cos 2,cos 3的大小關系是　　　　　　　.(用“>”連接)
解析:因為0<1<2<3<π,且y=cos x在[0,π]上單調遞減,
所以cos 1>cos 2>cos 3.
答案:cos 1>cos 2>cos 3
能力提升
7.(多選題)規定max{a,b}=若函數f(x)=max{sin x,cos x},則(　AC　)
A.f(x)是以2π為最小正周期的周期函數
B.f(x)的值域是[-1,1]
C.當2kπ+πD.當且僅當x∈[kπ+,kπ+](k∈Z)時,函數f(x)單調遞增
解析:作出f(x)的圖象,如圖所示.由圖易知A正確,B錯誤.當且僅當2kπ+π2kπ+或2kπ+≤x≤2kπ+2π,k∈Z時,函數f(x)單調遞增,故D錯誤.故選AC.
8.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)內(　C　)
A.沒有根 B.有且僅有一個根
C.有且僅有兩個根 D.有無窮多個根
解析:求解方程|x|=cos x在(-∞,+∞)內根的個數問題,可轉化為求解函數f(x)=|x|和g(x)=cos x的圖象在(-∞,+∞)內的交點個數問題,畫出f(x)=|x|和g(x)=cos x的圖象如圖所示.顯然有兩個交點,即原方程有且僅有兩個根.
故選C.
9.函數y=cos x在區間[-π,a]上單調遞增,則a的取值范圍是
　 　　.
解析:因為y=cos x在區間[-π,0]上單調遞增,在區間[0,π]上單調遞減,所以只有-π答案:(-π,0]
10.函數y=2cos x,x∈[0,2π]的圖象和直線y=2圍成的一個封閉的平面圖形的面積是　　　 　.
解析:如圖所示,將余弦函數的圖象在x軸下方的部分補到x軸的上方,可得一個矩形OABC,其面積為2π×2=4π.
答案:4π
11.已知函數f(x)=
(1)作出該函數的圖象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,討論方程f(x)=a的解的個數.
解:(1)函數f(x)的圖象如圖.
(2)當-π≤x<0時,f(x)=cos x=,
解得x=-.
當0≤x≤π時,f(x)=sin x=,
解得x=或.
綜上,x=-或或.
(3)方程f(x)=a的解的個數等價于y=f(x)與y=a的圖象的交點個數,
則由(1)中函數圖象可得,
當a>1或a<-1時,解的個數為0;
當-1≤a<0或a=1時,解的個數為1;
當0≤a<1時,解的個數為3.

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