資源簡介

§6　函數y=Asin(ωx+)的性質與圖象
6.1　探究ω對y=sin ωx的圖象的影響
6.2　探究對y=sin(x+)的圖象的影響
6.3　探究A對y=Asin(ωx+)的圖象的影響
學習目標
1.理解并掌握ω,,A對函數y=Asin(ωx+)的圖象的影響,提高直觀想象的核心素養.
2.理解并掌握函數y=Asin(ωx+)圖象的平移與伸縮變換,提升數學抽象的核心素養.
3.掌握函數y=Asin(ωx+)的性質,提升邏輯推理、數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:你能根據函數y=sin x圖象與性質的研究方法,研究函數y=sin x的圖象與性質嗎
提示:從周期、圖象(五點法)、單調性、值域和最值方面考慮,列表如下:
函數 y=sin x y=sin x
周期 2π 4π
圖象
單調性 在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上單調遞增; 在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上單調遞減 在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上單調遞增; 在[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)上單調遞減
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 當x=2kπ+(k∈Z)時取最大值1; 當x=2kπ-(k∈Z)時取最小值-1 當x=4kπ+π(k∈Z)時取最大值1; 當x=4kπ-π(k∈Z)時取最小值-1
知識點1　ω對y=sin ωx的圖象的影響
(1)一般地,對于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin[ω(x+)],根據周期函數的定義,T=是函數y=sin ωx的最小正周期.
(2)函數y=sin ωx的圖象是將函數y=sin x圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)得到的.
(3)周期的倒數=為頻率.
[思考1] 函數y=sin ωx圖象的對稱中心的坐標是什么 對稱軸方程是什么 如果ω<0,則函數y=sin ωx的最小正周期是什么
提示:對稱中心坐標為(,0)(k∈Z),對稱軸方程x=(k∈Z),如果ω<0,則函數y=sin ωx的最小正周期為-.
問題2:(1)觀察如圖所示的函數圖象,比較函數y=sin(x+)與函數y=sin x的圖象的形狀和位置,你有什么發現
(2)同樣比較函數y=sin(x-)與函數y=sin x的圖象,你又有什么發現呢
提示:(1)兩圖象形狀完全相同,只是位置不同,函數y=sin(x+),x∈R的圖象可看作是把正弦曲線y=sin x上所有的點向左平移個單位長度而得到.
(2)函數y=sin(x-),x∈R的圖象可看作是把正弦曲線y=sin x上所有的點向右平移個單位長度而得到.
知識點2　對y=sin(x+)的圖象的影響
(1)函數y=sin(x+)與函數y=sin x的周期相同.函數y=sin(x+)的圖象,可以看作將函數y=sin x圖象上的所有點向左(>0)或向右(<0)平移||個單位長度得到的.
[思考2] 函數y=sin(x+)圖象的對稱中心坐標是什么 對稱軸方程是什么
提示:對稱中心坐標為(kπ-,0)(k∈Z),對稱軸方程為x=kπ+-
(k∈Z).
(2)對函數y=sin(ωx+)的圖象的影響.
①函數y=sin(ωx+)與函數y=sin ωx有相同的周期.
函數y=sin(ωx+)的圖象,可以看作將函數y=sin ωx圖象上的所有點向左(>0)或向右(<0)平移||個單位長度得到的.
②在函數y=sin(ωx+)中,決定了x=0時的函數值,通常稱為初相,ωx+為相位.
[思考3] 如何求函數y=sin(ωx+)圖象的對稱中心的橫坐標 如何求函數y=sin(ωx+)圖象的對稱軸方程
提示:令ωx+=kπ(k∈Z),解得的x=(kπ-),k∈Z即為函數y=sin(ωx+)圖象的對稱中心的橫坐標;由ωx+=kπ+(k∈Z),解得的x=(kπ+-),k∈Z即為函數y=sin(ωx+)圖象的對稱軸方程.
知識點3　A對y=Asin(ωx+)的圖象的影響
(1)y=Asin(ωx+)(A>0)的圖象是將y=sin(ωx+)的圖象上的每個點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0[思考4] 函數y=Asin(ωx+)的圖象與函數y=Asin(ωx+)+B的圖象有什么關系
提示:函數y=Asin(ωx+)+B的圖象可以看作是函數y=Asin(ωx+)的圖象向上(B>0)或者向下(B<0)平移|B|個單位長度(橫坐標不變)得到的.
[思考5] 根據上面的學習,你能歸納出根據參數ω,,A研究函數y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的圖象與性質的步驟嗎
提示:一般步驟為
第一步:確定函數的周期T=.
第二步:令ωx+=0,,π,,2π,得出函數y=Asin(ωx+)圖象的五個關鍵點.
第三步:用光滑的曲線順次連接五個關鍵點,即可畫出函數y=Asin(ωx+)在一個周期上的圖象,再利用周期性把圖象延拓到R,即可以得到它在R上的圖象.
第四步:借助圖象討論性質.
(2)函數y=Asin(ωx+)的性質如下表:
定義域 R
值域 [-A,A]
周期性 最小正周期T=
奇偶性 =kπ(k∈Z)時是奇函數, =kπ+(k∈Z)時是偶函數, ≠(k∈Z)時是非奇非偶函數
單調 區間 單調遞增區間可由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到,單調遞減區間可由2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到
對稱性 對稱軸方程:x=+-(k∈Z). 對稱中心:(-,0)(k∈Z)
探究點一　三角函數圖象的變換
角度1　同名三角函數圖象之間的變換
[例1] (1)(2022·浙江卷)為了得到函數y=2sin 3x的圖象,只要把函數y=2sin(3x+)圖象上所有的點(　　)
A.向左平移 個單位長度
B.向右平移 個單位長度
C.向左平移 個單位長度
D.向右平移 個單位長度
(2)(多選題)函數y=cos(2x+)的圖象是由函數y=cos x的圖象經過變換得到,則這個變換可以是(　　)
A.先將圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的
B.先將圖象向右平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的
C.先將圖象上所有點的橫坐標變為原來的,再將圖象向左平移個單位長度
D.先將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍,再將圖象向左平移個單位長度
解析:(1)因為y=2sin(3x+)=2sin[3(x+)],所以要得到函數y=
2sin 3x的圖象,只要把函數y=2sin(3x+)的圖象上所有的點向右平移個單位長度即可.故選D.
(2)先將函數y=cos x的圖象向左平移個單位長度得到函數y=cos(x+)的圖象,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的得到函數y=cos(2x+)的圖象,故A正確;先將函數y=cos x 的圖象向右平移個單位長度得到函數y=cos(x-)=cos(x+)的圖象,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的得到函數y=cos(2x+)的圖象,故B正確;先將函數y=cos x 的圖象上所有點的橫坐標變為原來的得到函數y=cos 2x 的圖象,再將圖象向左平移個單位長度得到函數y=cos(2x+)的圖象,故C正確;先將函數y=cos x的圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍得到函數y=cos x的圖象,再將圖象向左平移個單位長度得到函數 y=cos(x+)的圖象,故D錯誤.故選ABC.
由函數y=sin x(y=cos x)的圖象得到函數y=sin(ωx+)(y=
cos(ωx+))(ω>0)的圖象有以下兩種途徑.
(1)先伸縮后平移:
(2)先平移后伸縮:
[針對訓練] (1)把函數y=sin 2x圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到f(x)的圖象,則f(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x
C.sin 4x D.-sin 4x
(2)(多選題)函數y=sin x的圖象經過怎樣的平移可以得到函數y=sin(x+)的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
(3)為了得到函數f(x)=cos(x+)的圖象,只需把曲線g(x)=cos x上所有的點(　　)
A.向左平移個單位長度,再把縱坐標伸長到原來的2倍
B.向右平移個單位長度,再把縱坐標伸長到原來的2倍
C.向左平移個單位長度,再把縱坐標縮短到原來的
D.向右平移個單位長度,再把縱坐標縮短到原來的
解析:(1)由圖象的變換知,當函數y=sin 2x圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到函數f(x)=sin(2×2x)=sin 4x的圖象.故選C.
(2)函數y=sin x的圖象向左平移個單位長度可以得到函數y=sin(x+)的圖象,函數y=sin x的圖象向右平移個單位長度可以得到函數y=sin(x-)=sin(x+)的圖象.故選AD.
(3)函數g(x)=cos x的圖象上所有點向左平移個單位長度后,得到函數y=cos(x+)的圖象,再把所有點的縱坐標縮短到原來的(橫坐標不變),得到函數f(x)=cos(x+)的圖象.故選C.
角度2　異名三角函數圖象之間的變換
[例2] 要得到函數f(x)=cos(2x-)的圖象,只需將函數g(x)=sin 2x的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
解析:因為sin 2x=cos(-2x)=cos[2(x-)],y=cos[2(x-+)]=
cos(2x-).故選A.
關于正弦函數、余弦函數間的圖象變換問題,首先要利用誘導公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+)將不同名函數轉換成同名函數,另外,在進行圖象變換時,要記住每一個變換總是對變量x而言.
[針對訓練] (1)為了得到函數y=cos(4x+1)的圖象,可以將函數y=sin(4x+1)的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
(2)為了得到函數y1=sin(2x-)的圖象,可以將函數y2=cos 2x的圖象(　　)
A.向右平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
解析:(1)y=cos(4x+1)=sin(4x++1),
所以需要將函數y=sin(4x+1)的圖象向左平移個單位長度.故選A.
(2)因為y2=cos 2x=sin(2x+)(利用誘導公式將異名化同名),
而y1=sin(2x-)=sin[2(x-)+],
所以將y2=cos 2x的圖象向右平移個單位長度可得到y1=sin(2x-)的圖象.故選B.
探究點二　根據正弦函數、余弦函數的圖象
求函數解析式
[例3] 已知函數y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一個周期內的圖象如圖所示,求該函數的一個解析式.
解:法一　由圖象知函數的最大值為,最小值為-,又A>0,
所以A=.
由圖象知=-=,所以T=π=,
所以ω=2.
又×(+)=,所以圖象上的最高點為(,),
所以=sin(2×+),
即sin(+)=1,可取=-.
故函數的一個解析式為y=sin(2x-).
法二(五點對應法)　由圖象知A=.又圖象過點(,0),(,0),
根據“五點法”原理得
解得
故函數的一個解析式為y=sin(2x-).
法三(圖象變換法)　由圖可知A=,=-=,
所以T=π=,
所以ω=2.
所以該函數的圖象可由y=sin 2x的圖象向右平移個單位長度得到.故所求函數的一個解析式為y=sin[2(x-)],
即y=sin(2x-).
由部分圖象確定函數解析式y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的“兩法”
方法一　
(1)A:一般可由圖象的最高點和最低點的縱坐標來確定A,A=.
(2)ω:因為T=,所以往往通過求周期T來確定ω,可通過已知曲線及其與x軸的交點來確定T,注意相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為,相鄰的兩個最高點(最低點)之間的水平距離為T.
(3):以“五點法”中的第二個點為突破口,即當ωx+=+2kπ,k∈Z時,y有最大值,或者以“五點法”中的第一個點(-,0)為突破口,從圖象的升降情況找準“第一點”的位置.
方法二(五點對應法)
如圖,①“第一點”:ωx+=0.
②“第二點”:ωx+=.
③“第三點”:ωx+=π.
④“第四點”:ωx+=.
⑤“第五點”:ωx+=2π.
在用以上方法確定的取值時,還要注意題目中給出的的范圍,不在要求范圍內的要通過周期性轉化到要求范圍內.
特別地,當三角函數圖象涉及上下變換時,如函數形為y=Asin(ωx+
)+k(A>0,ω>0)時,可根據k=確定k的值,參數A,T,ω,的確定同上.
[針對訓練] 若如圖所對應的是某個函數的一部分圖象,則此函數解析式為(　　)
A.y=cos(3x-π)+
B.y=cos(3x-)+
C.y=cos(3x+)+
D.y=cos(3x+)+
解析:設函數解析式為y=Acos(ωx+)+k,
由函數圖象可知k==,A==,
函數周期為T=π-=,所以ω==3,
所以y=cos(3x+)+.
當x=+T=+×=時,函數取得最大值,即函數過點(,),
所以=cos(3×+)+,
解得3×+=2kπ(k∈Z),即=2kπ-(k∈Z),k=1時,=,所以y=cos(3x+)+.
故選D.
探究點三　函數y=Asin(ωx+)與y=Acos(ωx+)的性質
角度1　正弦型、余弦型函數的單調性
[例4] 函數y=2sin(2x-)的單調遞增區間為　　　　　　.
解析:函數y=sin x的單調遞增區間為[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函數y=2sin(2x-)的單調遞增區間為[-+kπ,+kπ],k∈Z.
答案:[-+kπ,+kπ],k∈Z
求單調區間的基本方法——基本函數法
用“基本函數法”求函數y=Asin(ωx+)或y=A·cos(ωx+)(A>0,ω>0)的單調區間的步驟:
(1)寫出基本函數y=sin x(或y=cos x)的相應單調區間.
(2)將“ωx+”視為整體替換“x”.
(3)解關于x的不等式(組).
釋疑　用“同增異減”的眼光看正弦型函數的單調性:
該母題取材于教材[習題16]A組第4題,求正弦型函數的單調區間可謂是各類考試的常客.解此類題的關鍵是對求復合函數單調性的口訣“同增異減”的靈活運用,函數y=2sin(2x-)可看成是外層函數y=2sin u,內層函數u=2x-的復合,內層函數u=2x-在定義域R上是單調遞增的,但是外層函數在定義域上顯然有增有減,根據“同增異減”口訣,函數y=2sin(2x-)與外層函數的單調性相同.這就是令
-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)的由來.
[針對訓練] 函數y=2sin(-2x)+1的單調遞增區間為　　 　　.
解析:法一　y=2sin(-2x)+1=2sin[π-(-2x)]+1=2sin(2x+)+1,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z,
所以函數的單調遞增區間為[kπ+,kπ+],k∈Z.
法二　y=2sin(-2x)+1=-2sin(2x-)+1,求它的單調遞增區間,
即求函數y=sin(2x-)的單調遞減區間.
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
故所求函數的單調遞增區間為[kπ+,kπ+],k∈Z.
法三　函數y=2sin x的單調遞減區間為[+2kπ,+2kπ],k∈Z,
y=-2x是減函數,因此由復合函數的單調性可知,求y=2sin(-2x)+1的單調遞增區間,即求+2kπ≤-2x≤+2kπ,k∈Z的解集.
解之可得--kπ≤x≤--kπ,k∈Z,①
由k的任意性可知,①式等價于kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
所以y=2sin(-2x)+1的單調遞增區間為[kπ+,kπ+],k∈Z.
答案:[kπ+,kπ+],k∈Z
角度2　正弦型、余弦型函數的周期性、奇偶性與對稱性
[例5] (1)(多選題)(2024·新課標Ⅱ卷)對于函數f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x-),下列說法中正確的有(　　)
A.f(x)與g(x)有相同的零點
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸
(2)已知函數f(x)=sin(x++)是奇函數,則 的值可以是(　　)
A.0 B.-
C. D.π
解析:(1)A選項,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即為f(x)的零點,
令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即為g(x)的零點,
顯然f(x),g(x)的零點不同,A選項錯誤;
B選項,顯然f(x)max=g(x)max=1,B選項正確;
C選項,根據周期公式,f(x),g(x)的周期均為 =π,C選項正確;
D選項,根據正弦函數的性質,f(x)的對稱軸滿足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
g(x)的對稱軸滿足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,
顯然f(x),g(x)圖象的對稱軸不同,D選項錯誤.
故選BC.
(2)法一　f(x)=sin(x++)為奇函數,則只需+=kπ(k∈Z),從而=kπ-(k∈Z).
顯然當k=0時,=-滿足題意.故選B.
法二　易知f(0)=0,即sin(+)=0
(在x=0處有定義的奇函數f(x)必有f(0)=0),
將各選項代入可知-滿足題意.故選B.
(1)對于函數y=sin(ωx+),y=cos(ωx+)(ω≠0),其中最小正周期T=,圖象的對稱性問題,應將ωx+看成一個整體,利用整體代入思想,令ωx+等于kπ(k∈Z)或kπ+(k∈Z),解出的x的值即對稱中心的橫坐標(縱坐標為零)或對稱軸與x軸的交點的橫坐標.
(2)由于函數y=Asin ωx (Aω≠0)是奇函數,y=Acos ωx (Aω≠0)是偶函數,因此有如下結論.
①要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)為奇函數,則=kπ(k∈Z).
②要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)為偶函數,則=kπ+(k∈Z).
③要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)為奇函數,則=kπ+(k∈Z).
④要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)為偶函數,則=kπ(k∈Z).
[針對訓練] (1)已知函數f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的圖象關于直線x=對稱,且f()=0,則ω的最小值為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)將函數f(x)=2sin(x-)的圖象向右平移(0≤≤)個單位長度得到函數g(x)的圖象,若函數g(x)為偶函數,則等于(　　)
A. B. C. D.
解析:(1)對稱中心到相鄰對稱軸的距離為×,顯然當直線x=為點(,0)的相鄰對稱軸時,周期最大,則ω最小,所以×=-,得ωmin=2.故選A.
(2)由題意g(x)=f(x-)=2sin(x--)=2cos[-(x--)]=2cos(-x++)是偶函數,所以+=kπ,k∈Z,解得=kπ-,k∈Z,又0≤≤,
所以k=1,=.故選A.
當堂檢測
1.將函數f(x)=sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函數y=g(x)的圖象,則g(x)等于(　A　)
A.cos 2x B.-cos 2x
C.sin(2x+) D.sin(2x-)
解析:把函數f(x)=sin 2x的圖象向左平移個單位長度后可得y=sin[2(x+)]=sin(2x+)=cos 2x的圖象.故選A.
2.函數y=sin(ωx+)(ω>0,-π<≤π)的部分圖象如圖所示,則(　A　)
A.y=sin(πx-)
B.y=sin(πx-)
C.y=sin(πx+)
D.y=sin(πx+)
解析:由函數圖象可知,最小正周期T=2×(-)=2,因為ω>0,所以=2,解得ω=π,所以y=sin(πx+),因為函數過點(0,-),將其代入解析式可得sin =-,其中-π<≤π,解得=-,
所以函數解析式為y=sin(πx-).故選A.
3.函數y=cos(-x)的單調遞增區間為　　　　　　　　　　　　.
解析:根據誘導公式,
得y=cos(-x)=cos(x-),
令-π+2kπ≤x-≤2kπ(k∈Z),
解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),
故函數y=cos(-x)的單調遞增區間是[-+2kπ,+2kπ](k∈Z).
答案:[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)
4.若將函數f(x)=4cos(x+)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
(縱坐標不變),得到函數g(x) 的圖象,則g(x)=　　　　　　,函數g(x)的對稱軸方程是　　　　　　　　　　 .
解析:將函數f(x)=4cos(x+)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的,得到函數g(x)=4cos(2x+)的圖象,由2x+=kπ(k∈Z)可得x=-
(k∈Z).
答案:4cos(2x+)　x=-(k∈Z)
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
根據正弦、余弦型函數圖象 求解析式 5,7,9
正弦、余弦型函數圖象的變換 1,2,3
函數y=Asin(ωx+)與y= Acos(ωx+)的性質及應用 4,6,8,10,11,12
基礎鞏固
1.將函數y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度,得到函數f(x)的圖象,則(　C　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)
C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)
解析:將函數y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到f(x)=sin[2(x+)]=sin(2x+)的圖象.故選C.
2.將函數y=f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到一個奇函數的圖象,則該函數的解析式可能為(　D　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(x-)
C.f(x)=cos(2x-) D.f(x)=cos(2x+)
解析:將函數f(x)=sin(2x+)的圖象向右平移個單位長度后得到y=sin(2x-+)=sin(2x-) 的圖象,函數y=sin(2x-)顯然不是奇函數,故A錯誤;
將函數f(x)=sin(x-)的圖象向右平移個單位長度后得到y=
sin(x--)=-cos x的圖象,函數y=-cos x顯然是偶函數,故B錯誤;
將函數f(x)=cos(2x-)的圖象向右平移個單位長度后得到y=cos(2x--)=-cos 2x的圖象,函數y=-cos 2x顯然是偶函數,故 C錯誤;
將函數f(x)=cos(2x+)的圖象向右平移個單位長度后得到y=cos(2x-+)=sin 2x的圖象,函數y=sin 2x顯然是奇函數,故D正確.故選D.
3.將函數f(x)=cos(x-)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到函數g(x)的圖象,則下列說法正確的是(　C　)
A.g(x)在[-,-]上單調遞增
B.g(x)在[,]上單調遞增
C.g(x)在[-,-]上單調遞減
D.g(x)在[,]上單調遞減
解析:依題意,g(x)=cos(3x-),令2kπ≤3x-≤π+2kπ,k∈Z,得+≤x≤+,k∈Z.取k=0,得g(x)在[,]上單調遞減,所以g(x)在 [,]上單調遞減或單調遞增都不正確;取k=-1,得g(x)在[-,-]上單調遞減,所以g(x)在[-,-]上單調遞減.故選C.
4.(多選題)下列函數,最小正周期為π的有(　BD　)
A.y=sin|x| B.y=|sin x|
C.y=2cos x-1 D.y=sin(-2x)
解析:對于A,y=sin|x|為偶函數,圖象關于y軸對稱,其圖象如圖(1)所示,不是周期函數,所以A不正確.對于B,作出函數y=|sin x|的圖象如圖(2)所示,可得其最小正周期為π,所以B正確.
對于C,由周期的計算公式T=可得y=2cos x-1的最小正周期為
2π,所以C不正確.
對于D,y=sin(-2x)的最小正周期T==π,所以D正確.故選BD.
5.已知函數f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,||≤)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是　　　　　　　.
解析:觀察圖象知,A=2,令函數f(x)的周期為T,則=-(-)=,解得T=π,ω==2.由題圖知f()=2,則2×+=2kπ,k∈Z,故=2kπ-.又||≤,故=-,所以f(x)的解析式是f(x)=2cos(2x-).
答案:f(x)=2cos(2x-)
6.(2022·全國乙卷)記函數f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點,則ω的最小值為　 .
解析:因為T=,f()=,所以cos(2π+)=,即cos =.又0<<π,所以=.因為x=為f(x)的零點,所以ω+=+kπ(k∈Z),解得ω=9k+3(k∈Z).又ω>0,所以當 k=0時,ω取最小值,且最小值為3.
答案:3
7.某同學利用描點法畫函數y=Asin(ωx+)(其中0-<<)的圖象,列出的部分數據如下表:
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
經檢查,發現表格中恰有一組數據計算錯誤,請你根據上述信息推斷函數y=A·sin(ωx+)的解析式應是　　　　　　　　.
解析:由題意可知點(0,1),(2,1)關于對稱軸對稱,且對稱軸為直線x=1,由三角函數的對稱性可知,正弦函數在對稱軸處取得最值,且過點(1,A),從而可得第二組(1,0)錯誤.把點(1,A)代入函數解析式可得ω+=.
點(2,1),(3,-1)關于點(,0)對稱,所以(,0)是與函數的對稱軸x=1相鄰的一個對稱中心,
從而函數的最小正周期為T=4×(-1)=6,根據周期公式T==6,得ω=,=.所以函數f(x)=Asin(x+),把函數圖象上的點(0,1)代入函數解析式可得Asin=1,所以A=2.
答案:y=2sin(x+)
能力提升
8.將函數y=2sin(x+)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關于原點對稱,則m的最小值是(　D　)
A. B. C. D.
解析:將y=2sin(x+)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度得y=2sin(x+m+),
因為y=2sin(x+m+)的圖象關于原點對稱,
所以m+=kπ(k∈Z),
解得m=-+kπ(k∈Z),又m>0,
所以當k=1時,m取得最小值.故選D.
9.(多選題)(2020·新高考Ⅰ卷)如圖是函數y=sin(ωx+)的部分圖象,則sin(ωx+)等于(　BC　)
A.sin(x+) B.sin(-2x)
C.cos(2x+) D.cos(-2x)
解析:由題圖可知,函數的最小正周期T=2(-)=π,
所以=π,ω=±2.
當ω=2時,y=sin(2x+),
將點(,0)代入得,sin(2×+)=0,
所以2×+=2kπ+π,k∈Z,
即=2kπ+,k∈Z,故y=sin(2x+).
由于y=sin(2x+)=sin[π-(2x+)]=sin(-2x),故選項B正確;
又y=sin(-2x)=cos[-(-2x)]=cos(2x+),選項C正確;
對于選項A,當x=時,sin(+)=1≠0,錯誤;
對于選項D,當x==時,cos(-2×)=1≠-1,錯誤.
當ω=-2時,y=sin(-2x+),
將(,0)代入,得sin(-2×+)=0,
結合函數圖象,知-2×+=π+2kπ,k∈Z,
得=+2kπ,k∈Z,
所以y=sin(-2x+),
但當x=0時,y=sin(-2x+)=-<0,
與圖象不符合,舍去.故選BC.
10.將函數f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移 (0<<) 個單位長度得到函數g(x)的圖象,若存在x1,x2使得f(x1)·g(x2)=-1,且 |x1-x2| 的最小值為,則等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因為g(x)=sin[2(x+)-],f(x1)·g(x2)=-1,則f(x1)和g(x2)中一個取1,另一個取-1,所以可令2x1--(2x2+2-)=(2k+1)π,k∈Z,解得x1-x2=++kπ,k∈Z,
因為|x1-x2|的最小值為,所以=.故選D.
11.已知函數f(x)=cos(3x+),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和對稱軸;
(2)求f(x)的單調遞增區間和單調遞減區間;
(3)當x∈[0,]時,求f(x)的值域.
解:(1)T=,令3x+=kπ,k∈Z,
則x=-+,k∈Z,
故f(x)的最小正周期為T=,對稱軸方程為x=-+(k∈Z).
(2)由-π+2kπ≤3x+≤2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z.
由2kπ≤3x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的單調遞增區間為[-+kπ,-+kπ](k∈Z),單調遞減區間為[-+kπ,+kπ](k∈Z).
(3)因為x∈[0,],所以≤3x+≤,
所以-≤f(x)≤1,
所以當x∈[0,]時,f(x)的值域為[-,1].
12.已知函數f(x)=sin(ωx+)(其中ω>0,0<<)的最小正周期為π,且　　　　　　.
①點(,1)在函數y=f(x)的圖象上;
②函數f(x)的一個零點為-;
③f(x)的一個增區間為(-,).
請你從以上三個條件中選擇一個(如果選擇多個,則按選擇的第一個給分),將題目補充完整,并求解下列問題:
(1)求f(x)的解析式;
(2)用“五點作圖法”畫出函數f(x)一個周期內的圖象.
解:(1)由題意,最小正周期為T==π,ω>0,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+).
若選①,則f()=sin(2×+)=1,
所以+=+2kπ,k∈Z,又0<<,
所以k=0,=,
所以函數f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
若選②,則f(-)=sin(-+)=0,
所以-+=kπ,k∈Z,又0<<,
所以k=0,=,
所以函數f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
若選③,即f(x)的一個增區間為(-,),
當x∈(-,)時,t=2x+∈(-+,+),
又0<<,由復合函數單調性可知,
只能(-+,+)=(-,),=,
所以函數f(x)的解析式為f(x)=sin(2x+).
綜上所述,無論選哪個條件,函數f(x)的解析式均為f(x)=sin(2x+).
(2)列表如下:
x -
t=2x+ 0 π 2π
f(x)=sin(2x+) 0 1 0 -1 0
描點、連線(光滑曲線)畫出函數f(x)一個周期內的圖象如圖所示:§6　函數y=Asin(ωx+)的性質與圖象
6.1　探究ω對y=sin ωx的圖象的影響
6.2　探究對y=sin(x+)的圖象的影響
6.3　探究A對y=Asin(ωx+)的圖象的影響
學習目標
1.理解并掌握ω,,A對函數y=Asin(ωx+)的圖象的影響,提高直觀想象的核心素養.
2.理解并掌握函數y=Asin(ωx+)圖象的平移與伸縮變換,提升數學抽象的核心素養.
3.掌握函數y=Asin(ωx+)的性質,提升邏輯推理、數學運算的核心素養.
知識探究
問題1:你能根據函數y=sin x圖象與性質的研究方法,研究函數y=sin x的圖象與性質嗎
提示:從周期、圖象(五點法)、單調性、值域和最值方面考慮,列表如下:
函數 y=sin x y=sin x
周期 2π 4π
圖象
單調性 在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上單調遞增; 在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上單調遞減 在[4kπ-π,4kπ+π](k∈Z)上單調遞增; 在[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z)上單調遞減
值域 [-1,1] [-1,1]
最值 當x=2kπ+(k∈Z)時取最大值1; 當x=2kπ-(k∈Z)時取最小值-1 當x=4kπ+π(k∈Z)時取最大值1; 當x=4kπ-π(k∈Z)時取最小值-1
知識點1　ω對y=sin ωx的圖象的影響
(1)一般地,對于ω>0,有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin[ω(x+)],根據周期函數的定義,T=是函數y=sin ωx的最小正周期.
(2)函數y=sin ωx的圖象是將函數y=sin x圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的倍(縱坐標不變)得到的.
(3)周期的倒數=為頻率.
[思考1] 函數y=sin ωx圖象的對稱中心的坐標是什么 對稱軸方程是什么 如果ω<0,則函數y=sin ωx的最小正周期是什么
提示:對稱中心坐標為(,0)(k∈Z),對稱軸方程x=(k∈Z),如果ω<0,則函數y=sin ωx的最小正周期為-.
問題2:(1)觀察如圖所示的函數圖象,比較函數y=sin(x+)與函數y=sin x的圖象的形狀和位置,你有什么發現
(2)同樣比較函數y=sin(x-)與函數y=sin x的圖象,你又有什么發現呢
提示:(1)兩圖象形狀完全相同,只是位置不同,函數y=sin(x+),x∈R的圖象可看作是把正弦曲線y=sin x上所有的點向左平移個單位長度而得到.
(2)函數y=sin(x-),x∈R的圖象可看作是把正弦曲線y=sin x上所有的點向右平移個單位長度而得到.
知識點2　對y=sin(x+)的圖象的影響
(1)函數y=sin(x+)與函數y=sin x的周期相同.函數y=sin(x+)的圖象,可以看作將函數y=sin x圖象上的所有點向左(>0)或向右(<0)平移||個單位長度得到的.
[思考2] 函數y=sin(x+)圖象的對稱中心坐標是什么 對稱軸方程是什么
提示:對稱中心坐標為(kπ-,0)(k∈Z),對稱軸方程為x=kπ+-
(k∈Z).
(2)對函數y=sin(ωx+)的圖象的影響.
①函數y=sin(ωx+)與函數y=sin ωx有相同的周期.
函數y=sin(ωx+)的圖象,可以看作將函數y=sin ωx圖象上的所有點向左(>0)或向右(<0)平移||個單位長度得到的.
②在函數y=sin(ωx+)中,決定了x=0時的函數值,通常稱為初相,ωx+為相位.
[思考3] 如何求函數y=sin(ωx+)圖象的對稱中心的橫坐標 如何求函數y=sin(ωx+)圖象的對稱軸方程
提示:令ωx+=kπ(k∈Z),解得的x=(kπ-),k∈Z即為函數y=sin(ωx+)圖象的對稱中心的橫坐標;由ωx+=kπ+(k∈Z),解得的x=(kπ+-),k∈Z即為函數y=sin(ωx+)圖象的對稱軸方程.
知識點3　A對y=Asin(ωx+)的圖象的影響
(1)y=Asin(ωx+)(A>0)的圖象是將y=sin(ωx+)的圖象上的每個點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0[思考4] 函數y=Asin(ωx+)的圖象與函數y=Asin(ωx+)+B的圖象有什么關系
提示:函數y=Asin(ωx+)+B的圖象可以看作是函數y=Asin(ωx+)的圖象向上(B>0)或者向下(B<0)平移|B|個單位長度(橫坐標不變)得到的.
[思考5] 根據上面的學習,你能歸納出根據參數ω,,A研究函數y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的圖象與性質的步驟嗎
提示:一般步驟為
第一步:確定函數的周期T=.
第二步:令ωx+=0,,π,,2π,得出函數y=Asin(ωx+)圖象的五個關鍵點.
第三步:用光滑的曲線順次連接五個關鍵點,即可畫出函數y=Asin(ωx+)在一個周期上的圖象,再利用周期性把圖象延拓到R,即可以得到它在R上的圖象.
第四步:借助圖象討論性質.
(2)函數y=Asin(ωx+)的性質如下表:
定義域 R
值域 [-A,A]
周期性 最小正周期T=
奇偶性 =kπ(k∈Z)時是奇函數, =kπ+(k∈Z)時是偶函數, ≠(k∈Z)時是非奇非偶函數
單調 區間 單調遞增區間可由2kπ-≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到,單調遞減區間可由2kπ+≤ωx+≤2kπ+(k∈Z)得到
對稱性 對稱軸方程:x=+-(k∈Z). 對稱中心:(-,0)(k∈Z)
探究點一　三角函數圖象的變換
角度1　同名三角函數圖象之間的變換
[例1] (1)(2022·浙江卷)為了得到函數y=2sin 3x的圖象,只要把函數y=2sin(3x+)圖象上所有的點(　　)
A.向左平移 個單位長度
B.向右平移 個單位長度
C.向左平移 個單位長度
D.向右平移 個單位長度
(2)(多選題)函數y=cos(2x+)的圖象是由函數y=cos x的圖象經過變換得到,則這個變換可以是(　　)
A.先將圖象向左平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的
B.先將圖象向右平移個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標變為原來的
C.先將圖象上所有點的橫坐標變為原來的,再將圖象向左平移個單位長度
D.先將圖象上所有點的橫坐標變為原來的2倍,再將圖象向左平移個單位長度
由函數y=sin x(y=cos x)的圖象得到函數y=sin(ωx+)(y=
cos(ωx+))(ω>0)的圖象有以下兩種途徑.
(1)先伸縮后平移:
(2)先平移后伸縮:
[針對訓練] (1)把函數y=sin 2x圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變),得到f(x)的圖象,則f(x)=(　　)
A.sin x B.-sin x
C.sin 4x D.-sin 4x
(2)(多選題)函數y=sin x的圖象經過怎樣的平移可以得到函數y=sin(x+)的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
(3)為了得到函數f(x)=cos(x+)的圖象,只需把曲線g(x)=cos x上所有的點(　　)
A.向左平移個單位長度,再把縱坐標伸長到原來的2倍
B.向右平移個單位長度,再把縱坐標伸長到原來的2倍
C.向左平移個單位長度,再把縱坐標縮短到原來的
D.向右平移個單位長度,再把縱坐標縮短到原來的
角度2　異名三角函數圖象之間的變換
[例2] 要得到函數f(x)=cos(2x-)的圖象,只需將函數g(x)=sin 2x的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
關于正弦函數、余弦函數間的圖象變換問題,首先要利用誘導公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+)將不同名函數轉換成同名函數,另外,在進行圖象變換時,要記住每一個變換總是對變量x而言.
[針對訓練] (1)為了得到函數y=cos(4x+1)的圖象,可以將函數y=sin(4x+1)的圖象(　　)
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
(2)為了得到函數y1=sin(2x-)的圖象,可以將函數y2=cos 2x的圖象(　　)
A.向右平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
探究點二　根據正弦函數、余弦函數的圖象
求函數解析式
[例3] 已知函數y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一個周期內的圖象如圖所示,求該函數的一個解析式.
由部分圖象確定函數解析式y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的“兩法”
方法一　
(1)A:一般可由圖象的最高點和最低點的縱坐標來確定A,A=.
(2)ω:因為T=,所以往往通過求周期T來確定ω,可通過已知曲線及其與x軸的交點來確定T,注意相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為,相鄰的兩個最高點(最低點)之間的水平距離為T.
(3):以“五點法”中的第二個點為突破口,即當ωx+=+2kπ,k∈Z時,y有最大值,或者以“五點法”中的第一個點(-,0)為突破口,從圖象的升降情況找準“第一點”的位置.
方法二(五點對應法)
如圖,①“第一點”:ωx+=0.
②“第二點”:ωx+=.
③“第三點”:ωx+=π.
④“第四點”:ωx+=.
⑤“第五點”:ωx+=2π.
在用以上方法確定的取值時,還要注意題目中給出的的范圍,不在要求范圍內的要通過周期性轉化到要求范圍內.
特別地,當三角函數圖象涉及上下變換時,如函數形為y=Asin(ωx+
)+k(A>0,ω>0)時,可根據k=確定k的值,參數A,T,ω,的確定同上.
[針對訓練] 若如圖所對應的是某個函數的一部分圖象,則此函數解析式為(　　)
A.y=cos(3x-π)+
B.y=cos(3x-)+
C.y=cos(3x+)+
D.y=cos(3x+)+
探究點三　函數y=Asin(ωx+)與y=Acos(ωx+)的性質
角度1　正弦型、余弦型函數的單調性
[例4] 函數y=2sin(2x-)的單調遞增區間為　　　　　　.
求單調區間的基本方法——基本函數法
用“基本函數法”求函數y=Asin(ωx+)或y=A·cos(ωx+)(A>0,ω>0)的單調區間的步驟:
(1)寫出基本函數y=sin x(或y=cos x)的相應單調區間.
(2)將“ωx+”視為整體替換“x”.
(3)解關于x的不等式(組).
釋疑　用“同增異減”的眼光看正弦型函數的單調性:
該母題取材于教材[習題16]A組第4題,求正弦型函數的單調區間可謂是各類考試的常客.解此類題的關鍵是對求復合函數單調性的口訣“同增異減”的靈活運用,函數y=2sin(2x-)可看成是外層函數y=2sin u,內層函數u=2x-的復合,內層函數u=2x-在定義域R上是單調遞增的,但是外層函數在定義域上顯然有增有減,根據“同增異減”口訣,函數y=2sin(2x-)與外層函數的單調性相同.這就是令
-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z)的由來.
[針對訓練] 函數y=2sin(-2x)+1的單調遞增區間為　　 　　.
角度2　正弦型、余弦型函數的周期性、奇偶性與對稱性
[例5] (1)(多選題)(2024·新課標Ⅱ卷)對于函數f(x)=sin 2x和 g(x)=sin(2x-),下列說法中正確的有(　　)
A.f(x)與g(x)有相同的零點
B.f(x)與g(x)有相同的最大值
C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸
(2)已知函數f(x)=sin(x++)是奇函數,則 的值可以是(　　)
A.0 B.-
C. D.π
(1)對于函數y=sin(ωx+),y=cos(ωx+)(ω≠0),其中最小正周期T=,圖象的對稱性問題,應將ωx+看成一個整體,利用整體代入思想,令ωx+等于kπ(k∈Z)或kπ+(k∈Z),解出的x的值即對稱中心的橫坐標(縱坐標為零)或對稱軸與x軸的交點的橫坐標.
(2)由于函數y=Asin ωx (Aω≠0)是奇函數,y=Acos ωx (Aω≠0)是偶函數,因此有如下結論.
①要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)為奇函數,則=kπ(k∈Z).
②要使y=Asin(ωx+)(A,ω≠0)為偶函數,則=kπ+(k∈Z).
③要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)為奇函數,則=kπ+(k∈Z).
④要使y=Acos(ωx+)(A,ω≠0)為偶函數,則=kπ(k∈Z).
[針對訓練] (1)已知函數f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的圖象關于直線x=對稱,且f()=0,則ω的最小值為(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)將函數f(x)=2sin(x-)的圖象向右平移(0≤≤)個單位長度得到函數g(x)的圖象,若函數g(x)為偶函數,則等于(　　)
A. B. C. D.
當堂檢測
1.將函數f(x)=sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函數y=g(x)的圖象,則g(x)等于(　　)
A.cos 2x B.-cos 2x
C.sin(2x+) D.sin(2x-)
2.函數y=sin(ωx+)(ω>0,-π<≤π)的部分圖象如圖所示,則(　　)
A.y=sin(πx-)
B.y=sin(πx-)
C.y=sin(πx+)
D.y=sin(πx+)
3.函數y=cos(-x)的單調遞增區間為　　　　　　　　　　　　.
4.若將函數f(x)=4cos(x+)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的
(縱坐標不變),得到函數g(x) 的圖象,則g(x)=　　　　　　,函數g(x)的對稱軸方程是　　　　　　　　　　 .
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
根據正弦、余弦型函數圖象 求解析式 5,7,9
正弦、余弦型函數圖象的變換 1,2,3
函數y=Asin(ωx+)與y= Acos(ωx+)的性質及應用 4,6,8,10,11,12
基礎鞏固
1.將函數y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度,得到函數f(x)的圖象,則(　　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)
C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)
2.將函數y=f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到一個奇函數的圖象,則該函數的解析式可能為(　　)
A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(x-)
C.f(x)=cos(2x-) D.f(x)=cos(2x+)
3.將函數f(x)=cos(x-)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的,縱坐標不變,得到函數g(x)的圖象,則下列說法正確的是(　　)
A.g(x)在[-,-]上單調遞增
B.g(x)在[,]上單調遞增
C.g(x)在[-,-]上單調遞減
D.g(x)在[,]上單調遞減
4.(多選題)下列函數,最小正周期為π的有(　　)
A.y=sin|x| B.y=|sin x|
C.y=2cos x-1 D.y=sin(-2x)
5.已知函數f(x)=Acos(ωx+)(A>0,ω>0,||≤)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是　　　　　　　.
6.(2022·全國乙卷)記函數f(x)=cos(ωx+)(ω>0,0<<π)的最小正周期為T.若f(T)=,x=為f(x)的零點,則ω的最小值為　 .
7.某同學利用描點法畫函數y=Asin(ωx+)(其中0-<<)的圖象,列出的部分數據如下表:
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 -1 -2
經檢查,發現表格中恰有一組數據計算錯誤,請你根據上述信息推斷函數y=A·sin(ωx+)的解析式應是　　　　　　　　.
能力提升
8.將函數y=2sin(x+)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關于原點對稱,則m的最小值是(　)
A. B. C. D.
9.(多選題)(2020·新高考Ⅰ卷)如圖是函數y=sin(ωx+)的部分圖象,則sin(ωx+)等于(　　)
A.sin(x+) B.sin(-2x)
C.cos(2x+) D.cos(-2x)
10.將函數f(x)=sin(2x-)的圖象向左平移 (0<<) 個單位長度得到函數g(x)的圖象,若存在x1,x2使得f(x1)·g(x2)=-1,且 |x1-x2| 的最小值為,則等于(　　)
A. B. C. D.
11.已知函數f(x)=cos(3x+),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和對稱軸;
(2)求f(x)的單調遞增區間和單調遞減區間;
(3)當x∈[0,]時,求f(x)的值域.
12.已知函數f(x)=sin(ωx+)(其中ω>0,0<<)的最小正周期為π,且　　　　　　.
①點(,1)在函數y=f(x)的圖象上;
②函數f(x)的一個零點為-;
③f(x)的一個增區間為(-,).
請你從以上三個條件中選擇一個(如果選擇多個,則按選擇的第一個給分),將題目補充完整,并求解下列問題:
(1)求f(x)的解析式;
(2)用“五點作圖法”畫出函數f(x)一個周期內的圖象.

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