資源簡介

§7　正切函數
7.1　正切函數的定義
7.2　正切函數的誘導公式
7.3　正切函數的圖象與性質
學習目標
1.掌握正切函數的定義,提升數學抽象的核心素養.
2.理解并掌握正切函數的誘導公式,發展數學運算的核心素養.
3.掌握正切函數的圖象、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質,提升數學運算的核心素養.
知識探究
問題:在平面直角坐標系中,角α的終邊與單位圓交于點P(a,b)(a≠0),那么比值與角α的正弦、余弦有什么關系
提示:由單位圓與正弦函數、余弦函數的定義可得sin α=b,cos α=a,因此=.
知識點1　正切函數的定義
比值是x的函數,稱為x的正切函數,記作y=tan x,其中定義域為{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
[思考1] 正弦函數、余弦函數的定義域是R,為什么正切函數的定義域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}
提示:由于當cos x=0時,x=+kπ(k∈Z),
而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以正切函數的定義域為{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
知識點2　正切函數的誘導公式
角x 函數y=tan x 記憶口訣
kπ+x(k∈Z) tan x 函數名不變, 符號看象限
-x -tan x
π-x -tan x
x+ -
-x
[思考2] 能否仿照研究正弦函數、余弦函數的誘導公式時,使用角的終邊的對稱、旋轉來研究正切函數的誘導公式 舉例說明.
提示:能.設角α的終邊與單位圓的交點為P(u,v),根據正切函數的定義tan α=.如tan(π+α),由于π+α的終邊與單位圓的交點與α的終邊與單位圓的交點關于坐標原點對稱,故π+α的終邊與單位圓的交點為P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α.
知識點3　正切函數的圖象與性質
函數 y=tan x
圖象
定義域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函數
單 調 性 遞增區間 (k∈Z)
遞減區間 無
對稱中心 (,0)(k∈Z)
[思考3] 能否說正切函數在整個定義域內是增函數
提示:不能.正切函數y=tan x在每段區間(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函數,但不能說正切函數在其整個定義域內是增函數.
探究點一　正切函數的定義
[例1] (1)若sin θcos θ>0,<0,則角θ的終邊在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)角α的終邊經過點P(-b,4)且cos α=-,則tan α=　　　　.
[變式探究] 本例(2)的條件不變,求的值.
(1)已知角α終邊上的一點M(a,b)(a≠0),求該角的正切函數值,或者已知角α的正切值,求角α終邊上一點的坐標,都應緊扣正切函數的定義求解,在解題過程中,應注意分子、分母的位置.
(2)正切函數在各個象限內的符號:在第一、第三象限為正數,在第二、第四象限為負數.
(3)形如(abcd≠0),與tan α有關的求值問題,可將分子、分母同時除以cos α后構造與 tan α 有關的式子求解.
探究點二　正切函數的誘導公式
[例2] 求下列各式的值.
(1)tan(-);
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°).
利用誘導公式求值的一般方法:
任意角的三角函數0～2π的角的三角函數銳角的三角函數
[針對訓練] (1)已知=2,則tan(α+)等于(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
(2)tan(-)=　　　　　.
探究點三　正切函數的圖象與性質
角度1　正切函數的圖象
[例3] 圖中的圖形分別是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-,)內的大致圖象,那么由a到d對應的函數關系式應是(　　)
　
a b
　
c d
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解決圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法:先作出相關函數的圖象,再對照選項確定正確答案.
(2)性質法:研究相關函數的性質(特別是定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數值變化規律等),排除相關選項,從而確定正確答案.
[針對訓練] 函數y=tan(x-)在一個周期內的圖象是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
角度2　正切函數單調性的簡單應用
[例4] 比較下列各組中正切函數值的大小.
(1)tan 與tan ;
(2)tan 2,tan 3,tan 4.
利用正切函數的單調性比較大小,角不在同一單調區間上的,利用誘導公式化為同一單調區間上的角的正切值.
[針對訓練] 比較下列各組數的大小.
(1)tan 167°與tan 173°;
(2)tan 2與tan 9.
角度3　正切函數性質的綜合應用
[例5] (多選題)已知函數f(x)=tan(x+),則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)的定義域為{x|x≠2k+,k∈Z}
B.函數f(x)的最小正周期為T=4
C.函數f(x)的單調遞增區間為{-+2kπ,+2kπ},k∈Z
D.函數f(x)圖象的對稱中心為(k-,0),k∈Z
(1)求解與正切函數有關的定義域應明確y=tan x的定義域是{x|x≠
kπ+,k∈Z}.
(2)求解與正切函數有關的單調性問題,在保證正切函數中自變量的系數大于0時,可借助正切函數在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上單調遞增,列出關于自變量的不等式,要注意是開區間不能寫成閉區間.
(3)函數y=Atan(ωx+)的對稱中心是(x0,0),其中x0滿足ωx0+=
(k∈Z).
[針對訓練] 已知函數f(x)=tan(2x+),則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)在定義域內是增函數
B.f(x)圖象的對稱中心是(-,0)(k∈Z)
C.f(x)是奇函數
D.f(x)圖象的對稱軸是x=+(k∈Z)
當堂檢測
1.函數y=tan(-x)的定義域是(　　)
A.{x|x≠,x∈R}
B.{x|x≠-,x∈R}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
D.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
2.函數y=2tan(x-),x∈[-,]的值域是(　　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
3.(多選題)已知函數f(x)=tan(x+),則(　　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的定義域為{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.f(x)是增函數
D.f()4.求值:tan 600°=　　 　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正切函數的定義、誘導公式 2,3,6,11,12
正切函數的性質 1,7,14
正切函數性質的綜合應用 4,5,8,9,10,13
基礎鞏固
1.tan(-300°)等于(　　)
A. B.1 C. D.-
2.函數y=-3tan(2x-)的最小正周期為(　　)
A. B. C.π D.2π
3.已知角α的終邊在直線y=2x上,則tan α的值是(　　)
A.2 B.±2 C. D.±
4.函數f(x)=x·tan x(-1　　　
A B
　　　
C D
5.(多選題)已知函數f(x)=Atan(ωx+)(ω>0,||<)的部分圖象如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的定義域為{x|x≠+,k∈Z}
C.點(-,0)是函數f(x)圖象的一個對稱中心
D.f(x)在x∈[,π]上的值域為[-1,1]
6.已知角α的終邊上一點P(-2,1),則tan(π-α)=　　　　.
7.不等式tan(x+)≥1的解集為　　　　　　　　.
能力提升
8.(多選題)下列關于函數y=|tan(2x+)|的說法正確的是(　　)
A.定義域為{x|x≠+,k∈Z}
B.在區間(-,)上單調遞增
C.最小正周期是
D.圖象關于直線x=對稱
9.函數f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值為3,最小值為-1,則mn等于(　　)
A. B. C.- D.-
10.已知函數f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離是,則f()=　　　　.
11.下列各函數值:
①tan 2;②tan(-10);③;
④tan 2 013°.
其中符號為負的有　　 　　.(填序號)
12.已知角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(3,y),且tan α=-.
(1)求y的值;
(2)求的值.
13.已知f(x)=-atan x(a≠0).
(1)判斷f(x)在x∈[-,]上的奇偶性;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)的單調區間;
(4)若a>0,求f(x)在[,)上的值域.
應用創新
14.若函數y=tan ωx(ω∈N+)的圖象的一個對稱中心是點(,0),則ω的最小值為(　)
A.2 B.3 C.6 D.9§7　正切函數
7.1　正切函數的定義
7.2　正切函數的誘導公式
7.3　正切函數的圖象與性質
學習目標
1.掌握正切函數的定義,提升數學抽象的核心素養.
2.理解并掌握正切函數的誘導公式,發展數學運算的核心素養.
3.掌握正切函數的圖象、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等性質,提升數學運算的核心素養.
知識探究
問題:在平面直角坐標系中,角α的終邊與單位圓交于點P(a,b)(a≠0),那么比值與角α的正弦、余弦有什么關系
提示:由單位圓與正弦函數、余弦函數的定義可得sin α=b,cos α=a,因此=.
知識點1　正切函數的定義
比值是x的函數,稱為x的正切函數,記作y=tan x,其中定義域為{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
[思考1] 正弦函數、余弦函數的定義域是R,為什么正切函數的定義域是{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}
提示:由于當cos x=0時,x=+kπ(k∈Z),
而tan x=,因此y=tan x中要求cos x≠0,所以正切函數的定義域為{x∈R|x≠+kπ,k∈Z}.
知識點2　正切函數的誘導公式
角x 函數y=tan x 記憶口訣
kπ+x(k∈Z) tan x 函數名不變, 符號看象限
-x -tan x
π-x -tan x
x+ -
-x
[思考2] 能否仿照研究正弦函數、余弦函數的誘導公式時,使用角的終邊的對稱、旋轉來研究正切函數的誘導公式 舉例說明.
提示:能.設角α的終邊與單位圓的交點為P(u,v),根據正切函數的定義tan α=.如tan(π+α),由于π+α的終邊與單位圓的交點與α的終邊與單位圓的交點關于坐標原點對稱,故π+α的終邊與單位圓的交點為P′(-u,-v),所以tan(π+α)===tan α.
知識點3　正切函數的圖象與性質
函數 y=tan x
圖象
定義域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇函數
單 調 性 遞增區間 (k∈Z)
遞減區間 無
對稱中心 (,0)(k∈Z)
[思考3] 能否說正切函數在整個定義域內是增函數
提示:不能.正切函數y=tan x在每段區間(kπ-,kπ+)(k∈Z)上是增函數,但不能說正切函數在其整個定義域內是增函數.
探究點一　正切函數的定義
[例1] (1)若sin θcos θ>0,<0,則角θ的終邊在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)角α的終邊經過點P(-b,4)且cos α=-,則tan α=　　　　.
解析:(1)根據sin θcos θ>0,可知角θ的終邊可能在第一或第三象限,再根據<0,可知角θ的終邊可能在第三或第四象限,故角θ的終邊在第三象限.故選C.
(2)由題意知cos α==-,所以b=3,所以tan α=-.
答案:(1)C　(2)-
[變式探究] 本例(2)的條件不變,求的值.
解:由于tan α=,因此====16.
(1)已知角α終邊上的一點M(a,b)(a≠0),求該角的正切函數值,或者已知角α的正切值,求角α終邊上一點的坐標,都應緊扣正切函數的定義求解,在解題過程中,應注意分子、分母的位置.
(2)正切函數在各個象限內的符號:在第一、第三象限為正數,在第二、第四象限為負數.
(3)形如(abcd≠0),與tan α有關的求值問題,可將分子、分母同時除以cos α后構造與 tan α 有關的式子求解.
探究點二　正切函數的誘導公式
[例2] 求下列各式的值.
(1)tan(-);
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin (-606°).
解:(1)tan(-)=-tan=-tan(3π+)=-tan(π+)=-tan=-.
(2)原式=tan 10°+tan(180°-10°)+sin 1 866°-sin(-606°)
=tan 10°-tan 10°+sin(5×360°+66°)-sin [(-2)×360°+
114°]
=sin 66°-sin 66°=0.
利用誘導公式求值的一般方法:
任意角的三角函數0～2π的角的三角函數銳角的三角函數
[針對訓練] (1)已知=2,則tan(α+)等于(　　)
A.5 B.-5 C. D.-
(2)tan(-)=　　　　　.
解析:(1)因為=2,
所以==2,
解得tan α=-5,
所以tan(α+)=-=-=.故選C.
(2)tan(-)=-tan=-tan(2π+)=-tan =-tan(π+)=
-tan =-.
答案:(1)C　(2)-
探究點三　正切函數的圖象與性質
角度1　正切函數的圖象
[例3] 圖中的圖形分別是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-,)內的大致圖象,那么由a到d對應的函數關系式應是(　　)
　
a b
　
c d
A.①②③④ B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
解析:y=|tan x|≥0,其圖象在x軸及其上方,只有圖象a符合,即a對應①,易知y=tan x在(-,)內的圖象為b,即b對應②,故排除B,C選項.y=tan(-x)=-tan x在(-,)上單調遞減,只有圖象d符合,即d對應③,故排除A選項.故選D.
解決圖象識別問題的常用方法
(1)作圖法:先作出相關函數的圖象,再對照選項確定正確答案.
(2)性質法:研究相關函數的性質(特別是定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、特殊點、函數值變化規律等),排除相關選項,從而確定正確答案.
[針對訓練] 函數y=tan(x-)在一個周期內的圖象是(　　)
　　　
A B
　　　
C D
解析:當x=時, tan(×-)=0,排除C,D;
當x=時, tan(×-)=tan ,無意義,排除B.故選A.
角度2　正切函數單調性的簡單應用
[例4] 比較下列各組中正切函數值的大小.
(1)tan 與tan ;
(2)tan 2,tan 3,tan 4.
解:(1)tan =tan ,tan =tan ,
又0<<<,y=tan x在[0,)上單調遞增,
所以tan (2)因為tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),tan 4=tan(4-π),-<2-π<3-π<4-π<且y=tan x在(-,)上單調遞增,
所以tan(2-π)利用正切函數的單調性比較大小,角不在同一單調區間上的,利用誘導公式化為同一單調區間上的角的正切值.
[針對訓練] 比較下列各組數的大小.
(1)tan 167°與tan 173°;
(2)tan 2與tan 9.
解:(1)因為90°<167°<173°<180°,且y=tan x在(90°,180°)上單調遞增,
所以tan 167°(2)因為tan 9=tan(9-2π),而<2<9-2π<π,
且函數y=tan x在(,π)上單調遞增,所以tan 2即tan 2角度3　正切函數性質的綜合應用
[例5] (多選題)已知函數f(x)=tan(x+),則下列結論正確的是(　　)
A.函數f(x)的定義域為{x|x≠2k+,k∈Z}
B.函數f(x)的最小正周期為T=4
C.函數f(x)的單調遞增區間為{-+2kπ,+2kπ},k∈Z
D.函數f(x)圖象的對稱中心為(k-,0),k∈Z
解析:由x+≠kπ+(k∈Z),
得x≠2k+(k∈Z),
所以函數f(x)的定義域為{x|x≠2k+,k∈Z},故A正確;
函數f(x)的最小正周期為T==2,故B錯誤;
由-+kπ得-+2k所以函數f(x)的單調遞增區間為(-+2k,+2k),k∈Z,故C錯誤;
由x+=得x=k-(k∈Z),所以函數f(x)圖象的對稱中心為(k-,0),
k∈Z,故D正確.故選AD.
(1)求解與正切函數有關的定義域應明確y=tan x的定義域是{x|x≠
kπ+,k∈Z}.
(2)求解與正切函數有關的單調性問題,在保證正切函數中自變量的系數大于0時,可借助正切函數在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上單調遞增,列出關于自變量的不等式,要注意是開區間不能寫成閉區間.
(3)函數y=Atan(ωx+)的對稱中心是(x0,0),其中x0滿足ωx0+=
(k∈Z).
[針對訓練] 已知函數f(x)=tan(2x+),則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)在定義域內是增函數
B.f(x)圖象的對稱中心是(-,0)(k∈Z)
C.f(x)是奇函數
D.f(x)圖象的對稱軸是x=+(k∈Z)
解析:由2x+≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以函數f(x)的定義域為{x|x≠+,k∈Z},在定義域內不是增函數,選項A錯誤;令2x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以 f(x) 圖象的對稱中心為(-,0)(k∈Z),選項B正確;由于函數f(x)的定義域不關于原點對稱,所以函數f(x)是非奇非偶函數,選項C錯誤;函數f(x)的圖象無對稱軸,選項D錯誤.故選B.
當堂檢測
1.函數y=tan(-x)的定義域是(　D　)
A.{x|x≠,x∈R}
B.{x|x≠-,x∈R}
C.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
D.{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}
解析:要使函數有意義,則x-≠kπ+(k∈Z).
解得x≠kπ+(k∈Z),據此可得函數y=tan(-x)的定義域是
{x|x≠kπ+,k∈Z,x∈R}.故選D.
2.函數y=2tan(x-),x∈[-,]的值域是(　C　)
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[-2,2] D.[-,1]
解析:因為x∈[-,],所以x-∈[-,],所以tan(x-)∈[-,1],
所以y=2tan(x-)∈[-2,2].故選C.
3.(多選題)已知函數f(x)=tan(x+),則(　ABD　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的定義域為{x|x≠+kπ,k∈Z}
C.f(x)是增函數
D.f()解析:對于A,函數f(x)的最小正周期為T==π,故A正確;
對于B,由x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z,所以f(x)的定義域為{x|x≠+kπ,k∈Z},故B正確;
對于C,-+kπ對于D,由C知當k=1時,f(x)在(,)上單調遞增,所以f()4.求值:tan 600°=　　 　　.
解析:由誘導公式可得tan 600°=tan(360°+240°)=tan 240°=
tan(180°+60°)=tan 60°=.
答案:
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
正切函數的定義、誘導公式 2,3,6,11,12
正切函數的性質 1,7,14
正切函數性質的綜合應用 4,5,8,9,10,13
基礎鞏固
1.tan(-300°)等于(　A　)
A. B.1 C. D.-
解析:tan(-300°)=tan(-300°+360°)=tan 60°=.故選A.
2.函數y=-3tan(2x-)的最小正周期為(　B　)
A. B. C.π D.2π
解析:函數y=-3tan(2x-)的最小正周期T=.故選B.
3.已知角α的終邊在直線y=2x上,則tan α的值是(　A　)
A.2 B.±2 C. D.±
解析:在角α的終邊上取一點(k,2k)(k≠0),則tan α==2.故選A.
4.函數f(x)=x·tan x(-1　　　
A B
　　　
C D
解析:由f(x)=x·tan x(-1得f(-x)=(-x)tan(-x)=xtan x,
所以f(x)=f(-x),即函數f(x)是偶函數,
故排除A,C.
當00,排除D.故選D.故選B.
5.(多選題)已知函數f(x)=Atan(ωx+)(ω>0,||<)的部分圖象如圖所示,則下列說法正確的是(　BCD　)
A.f(x)的最小正周期為π
B.f(x)的定義域為{x|x≠+,k∈Z}
C.點(-,0)是函數f(x)圖象的一個對稱中心
D.f(x)在x∈[,π]上的值域為[-1,1]
解析:由圖象知=-=,
所以函數f(x)的最小正周期為,所以A不正確.
因為函數的最小正周期T==,可得ω=2,
所以f()=Atan(2×+)=0,
則+=kπ,k∈Z,
即=kπ-,k∈Z.
因為||<,所以當k=1時,=π-=,
則f(x)=Atan(2x+).
又因為f(0)=1,
所以f(0)=Atan=1,則A=1,
所以f(x)=tan(2x+).
由2x+≠kπ+,k∈Z,
可得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定義域為{x|x≠+,k∈Z},
所以B正確.
因為2×(-)+=-,
可得點(-,0)是函數f(x)圖象的一個對稱中心,所以C正確.
當x∈[,π]時,2x+∈[,],
可得tan(2x+)∈[-1,1],所以D正確.
故選BCD.
6.已知角α的終邊上一點P(-2,1),則tan(π-α)=　　　　.
解析:由正切函數的定義知tan α=-,
則tan(π-α)=-tan α=.
答案:
7.不等式tan(x+)≥1的解集為　　　　　　　　.
解析:由正切函數的性質及tan(x+)≥1得kπ+≤x+所以kπ≤x答案:{x|kπ≤x能力提升
8.(多選題)下列關于函數y=|tan(2x+)|的說法正確的是(　ACD　)
A.定義域為{x|x≠+,k∈Z}
B.在區間(-,)上單調遞增
C.最小正周期是
D.圖象關于直線x=對稱
解析:函數y=|tan(2x+)|滿足2x+≠+kπ,k∈Z,
解得x≠+,k∈Z,所以函數定義域為{x|x≠+,k∈Z},故A正確;
當x∈(-,)時,2x+∈(-,),
所以函數y=tan(2x+)在區間(-,)上單調遞增,
則函數y=|tan(2x+)|在區間(-,)上先減后增,故B不正確;
函數y=tan(2x+)的最小正周期是,
所以函數y=|tan(2x+)|的最小正周期是,故C正確;
函數y=|tan(2x+)|圖象的對稱軸滿足2x+=,k∈Z,
所以x=-+,k∈Z,則函數y=|tan(2x+)|的圖象關于直線x=對稱,故D正確.故選ACD.
9.函數f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值為3,最小值為-1,則mn等于(　D　)
A. B. C.- D.-
解析:因為x∈[-,n],所以n>-,
所以2x-∈[-,2n-].
因為函數f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上的最大值為3,
最小值為-1,
所以2n-<,
即n<,所以-函數f(x)=tan(2x-)-m在[-,n]上單調遞增,
所以f(-)=tan(-)-m=-1,
解得m=-2,f(n)=tan(2n-)-m=tan(2n-)+2=3,
解得tan(2n-)=.
所以2n-=+kπ,k∈Z,
得n=+,k∈Z,
又因為-所以n=.故mn=-2×=-.故選D.
10.已知函數f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離是,則f()=　　　　.
解析:函數f(x)=tan(ωx+)(ω>0)的相鄰兩個零點之間的距離是,則f(x)的周期T==,解得ω=3,
于是得f(x)=tan(3x+),
所以f()=tan(π+)=tan=1.
答案:1
11.下列各函數值:
①tan 2;②tan(-10);③;
④tan 2 013°.
其中符號為負的有　　 　　.(填序號)
解析:因為<2<π,所以tan 2<0,所以①為負;
又tan(-10)=-tan(10-3π)<0,所以②為負;
因為sin >0,cos π=-1<0,
tan =tan(2π-)<0,所以>0,所以③為正;
又tan 2 013°=tan(11×180°+33°)=tan 33°>0,
所以④為正.
所以符號為負的有①②.
答案:①②
12.已知角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經過點P(3,y),且tan α=-.
(1)求y的值;
(2)求的值.
解:(1)因為tan α==-,所以y=-4.
(2)原式=====-10.
13.已知f(x)=-atan x(a≠0).
(1)判斷f(x)在x∈[-,]上的奇偶性;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)的單調區間;
(4)若a>0,求f(x)在[,)上的值域.
解:(1)因為f(x)=-atan x(a≠0),x∈[-,],
定義域[-,]關于原點對稱,
f(-x)=-atan(-x)=atan x=-f(x),
所以f(x)在x∈[-,]上為奇函數.
(2)f(x)的最小正周期為π.
(3)因為y=tan x在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上單調遞增,
所以當a>0時,f(x)在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上單調遞減;
當a<0時,f(x)在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上單調遞增.
(4)當a>0時,f(x)在[,)上單調遞減,
故當x=時,f(x)max=-a,無最小值.
所以f(x)在[,)上的值域為(-∞,-a].
應用創新
14.若函數y=tan ωx(ω∈N+)的圖象的一個對稱中心是點(,0),則ω的最小值為(　B　)
A.2 B.3 C.6 D.9
解析:令ωx=(k∈Z),則x=,k∈Z,
所以函數y=tan ωx(ω∈N+)的圖象的對稱中心為點(,0)(k∈Z).又y=tan ωx(ω∈N+)的圖象的一個對稱中心是點(,0),
所以令=(k∈Z),
解得ω=3k(k∈Z).因為ω∈N+,
所以當k=1時,ω取得最小值3.故選B.

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