資源簡(jiǎn)介

§8　三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解三角函數(shù)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,提高數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.將實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型,提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
探究點(diǎn)一　勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型
[例1] 如圖,某摩天輪輪盤(pán)直徑為124 m,游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145 m,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30 min.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).
(1)經(jīng)過(guò)t min后游客甲距離地面的高度為H m,已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿(mǎn)足H(t)=Asin(ωt+)+B(其中A>0,ω>0,||≤),求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52 m
解:(1)因?yàn)樵撃μ燧嗇啽P(pán)直徑為124 m,
且摩天輪最高點(diǎn)距離地面145 m,
所以摩天輪最低點(diǎn)距離地面145-124=21(m),
即H(t)max=145,H(t)min=21,
所以解得
又摩天輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30 min,
所以H(t)的最小正周期為T(mén)=30,
所以ω===,
所以H(t)=62sin(t+)+83.
又H(0)=62sin +83=21,
所以sin =-1.
因?yàn)閨|≤,
所以=-,
所以H(t)=62sin(t-)+83=-62cost+83,
所以摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式為
H(t)=-62cost+83(0≤t≤30).
(2)由(1)知,H(t)=-62cost+83(0≤t≤30),
令-62cost+83=52,
解得cost=.
要求摩天輪第一次距離地面的高度為52 m,
所以0≤t≤15,
所以0≤t≤π,
所以t=,
所以t=5.
即游客甲坐上摩天輪后5 min,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52 m.
建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
[針對(duì)訓(xùn)練] 筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.現(xiàn)有一個(gè)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng).每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng) 5圈,如圖,將該筒車(chē)抽象為圓O,筒車(chē)上的盛水桶抽象為圓O上的點(diǎn)P,已知圓O的半徑為4 m,圓心O距離水面2 m,且當(dāng)圓O上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.
(1)根據(jù)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)P到水面的距離h(單位:m,在水面下,h為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),并求當(dāng)t=13時(shí),點(diǎn)P到水面的距離.
(2)在點(diǎn)P從P0開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),點(diǎn)P到水面的距離不低于4 m的時(shí)間有多長(zhǎng)
解:(1)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng).每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)5圈,故筒車(chē)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為=(rad/s),故h(t)=4sin(t-)+2,t≥0.
當(dāng)t=13時(shí),h(13)=4sin(-)+2=2,故點(diǎn)P到水面的距離為2 m.
(2)點(diǎn)P從P0開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈,所用時(shí)間t0=12,
令h(t)=4sin(t-)+2≥4,其中t∈[0,12],解得2≤t≤6,
則6-2=4,故點(diǎn)P到水面的距離不低于4 m的時(shí)間為4 s.
探究點(diǎn)二　物理學(xué)中周期變化的數(shù)學(xué)模型
[例2] 如圖,彈簧掛著的小球做上下振動(dòng),它在t(單位:s)時(shí)相對(duì)于平衡位置(靜止時(shí)的位置)的高度h(單位:cm)由關(guān)系式h(t)=
Asin(ωt+)確定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振動(dòng)中,小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為1 s,且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為10 cm.
(1)求小球相對(duì)平衡位置的高度h(單位:cm)和時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)小球在t0 s內(nèi)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次,求t0的取值范圍.
解:(1)因?yàn)樾∏蛘駝?dòng)過(guò)程中最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為10 cm,
所以A==5.
因?yàn)樵谝淮握駝?dòng)中,小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為1 s,
所以周期為2,
即T=2=,所以ω=π.
所以h(t)=5sin(πt+),t≥0.
(2)由題意,當(dāng)t=時(shí),小球第一次到達(dá)最高點(diǎn),
以后每隔一個(gè)周期都出現(xiàn)一次最高點(diǎn).
因?yàn)樾∏蛟趖0 s內(nèi)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次,
所以+49T≤t0<+50T.
因?yàn)門(mén)=2,
所以98≤t0<100,
所以t0的取值范圍為[98,100).
解該類(lèi)題的關(guān)鍵是求出y=Asin(ωt+)中的參數(shù)A,ω,,其中A為振幅,ω=(T為周期,即重復(fù)變化一次所用時(shí)間),為當(dāng)t=0時(shí)的位置,解題時(shí)只需根據(jù)已知條件求出上述三個(gè)參數(shù)即得函數(shù)解析式,其他問(wèn)題均可依據(jù)解析式解決.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知電流I(單位:A)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系為I=Asin(ωt+)(A>0,ω>0,||<).
(1)函數(shù)I=Asin(ωt+)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,求I=
Asin(ωt+)的解析式.
(2)為了使在任意一個(gè)s的時(shí)間段內(nèi)的電流I能取得最大值與最小值,正整數(shù)ω的最小值應(yīng)是多少
解:(1)由題圖可知,A=300.
=-(-)=,
則T=,故ω==100 π.
由圖象知-ω+=0,可知=,
所以I=300sin(100πt+).
(2)問(wèn)題等價(jià)于T≤,即≤,ω≥200π,
故正整數(shù)ω的最小值為629.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.某人的血壓滿(mǎn)足函數(shù)解析式f(t)=24sin(160πt)+115,其中f(t)為血壓,t為時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(　C　)
A.60 B.70 C.80 D.90
解析:由題意,得函數(shù)的周期為T(mén)==,
所以頻率f==80,
所以此人每分鐘心跳的次數(shù)為80.故選C.
2.如圖,一個(gè)摩天輪的半徑為10 m,輪子的最低處距離地面2 m.如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每30 min轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),此人相對(duì)于地面的高度不小于 17 m 的時(shí)間大約是(　B　)
A.8 min B.10 min C.12 min D.14 min
解析:設(shè)時(shí)間為t時(shí),此人相對(duì)于地面的高度為h,
則由題可得當(dāng)t=0時(shí),h=12,
在時(shí)間t時(shí),此人轉(zhuǎn)過(guò)的角為t=t,
此時(shí)此人相對(duì)于地面的高度
h=10sint+12(0≤t≤30),
令10sint+12≥17,則sint≥,
所以≤t≤,解得≤t≤,故在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),此人相對(duì)于地面的高度不小于17 m的時(shí)間大約是-=10(min).故選B.
3.如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn),若該曲線(xiàn)近似地滿(mǎn)足函數(shù)y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π)(y表示溫度,x表示時(shí)間),則該市這一天中午12時(shí)的溫度大約是(　C　)
A.25 ℃ B.26 ℃ C.27 ℃ D.28 ℃
解析:由題意及函數(shù)的圖象可知,
A+B=30,-A+B=10,
所以A=10,B=20.
因?yàn)?14-6=8,所以T=16.
因?yàn)門(mén)=,所以ω=,
所以y=10sin(x+)+20.
因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(14,30),
所以30=10sin(×14+)+20.
所以×14+=+2kπ,k∈Z,
即=2kπ-,k∈Z,又||<π,
所以=,
所以y=10sin(x+)+20.
當(dāng)x=12時(shí),y=10sin(×12+)+20=5+20≈27.故選C.
4.音叉是呈“Y”形的鋼質(zhì)或鋁合金發(fā)聲器[如圖(1)],各種音叉可因其質(zhì)量和叉臂長(zhǎng)短、粗細(xì)不同而在振動(dòng)時(shí)發(fā)出不同頻率的純音.敲擊某個(gè)音叉時(shí),在一定時(shí)間內(nèi),音叉上點(diǎn)P離開(kāi)平衡位置的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y=sin ωt.圖(2)是該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定ω的值為　　　 　.
解析:由題圖可得,ω>0,T=4×=,即=,則ω=400π.
答案:400π
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
物理學(xué)中的周期變化模型 1,3,9
生活中的周期變化模型 2,4,5,6,7
三角函數(shù)模型的綜合應(yīng)用 8,10,11,12
基礎(chǔ)鞏固
1.如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖,經(jīng)過(guò)周期后,乙的位置將移至(　C　)
A.x軸上 B.最低點(diǎn)
C.最高點(diǎn) D.不確定
解析:相鄰的最大值與最小值之間間隔半個(gè)周期,故乙移至最高點(diǎn).故選C.
2.如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)y=
3sin(x+)+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為(　C　)
A.5 B.6 C.8 D.10
解析:根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2,
有-3+k=2,k=5,最大值為3+k=8.故選C.
3.一根長(zhǎng)l cm的線(xiàn),一端固定,另一端懸掛一個(gè)小球,小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式是s=
3cos(t+),其中g(shù)是重力加速度,當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1 s時(shí),線(xiàn)長(zhǎng)l等于(　D　)
A. B. C. D.
解析:因?yàn)橹芷赥=,
所以==2π,
則 l=.故選D.
4.如圖,記某時(shí)鐘的中心點(diǎn)為O,分針針尖對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)為A.已知分針長(zhǎng)OA=5 cm,且分針從12點(diǎn)位置開(kāi)始繞中心點(diǎn)O順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng).若以中心點(diǎn)O為原點(diǎn),3點(diǎn)和12點(diǎn)方向分別為x軸和y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A到x軸的距離y(單位:cm)與時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)解析式為(　D　)
A.y=5|sin t| B.y=5|cos t|
C.y=5|sin t| D.y=5|cos t|
解析:由題意得分針每分轉(zhuǎn)=(rad),
則t分鐘轉(zhuǎn)了t rad,
則點(diǎn)A到x軸的距離y與時(shí)間t的關(guān)系可設(shè)為 y=5|sin(-t+)|.
當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)A在鐘表的12點(diǎn)處,此時(shí)y=5,
所以5=5|sin(-×0+)| |sin |=1,
所以可以取=,故y=5|cos t|.
故選D.
5.如圖,為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”,畫(huà)法如下:在水平直線(xiàn)l上取長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段AB,作一個(gè)等邊三角形ABC,然后以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧,交線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,再以點(diǎn)C為圓心,CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧,交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,以此類(lèi)推,則如圖所示的“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度為(　B　)
A. B.14π C.24π D.10π
解析:第1次畫(huà)弧:以點(diǎn)B為圓心,1為半徑,旋轉(zhuǎn),
畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為1×=.
第2次畫(huà)弧:以點(diǎn)C為圓心,2為半徑,旋轉(zhuǎn),畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為2×=.
第3次畫(huà)弧:以點(diǎn)A為圓心,3為半徑,旋轉(zhuǎn),畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為3×=.
第4次畫(huà)弧:以點(diǎn)B為圓心,4為半徑,旋轉(zhuǎn),畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為4×=.
第5次畫(huà)弧:以點(diǎn)C為圓心,5為半徑,旋轉(zhuǎn),畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為5×=.
第6次畫(huà)弧:以點(diǎn)A為圓心,6為半徑,旋轉(zhuǎn),畫(huà)的圓弧長(zhǎng)為6×=.
累計(jì)畫(huà)的圓弧的總長(zhǎng)度為+++++=14π.故選B.
6.某旅游區(qū)每年各個(gè)月接待游客的人數(shù)近似地滿(mǎn)足周期性規(guī)律,因而一年中的第n個(gè)月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)f(n)可以近似用函數(shù)f(n)=3 000cos(+)+4 000來(lái)表示(其中n=1,2,…,12).當(dāng)該旅游區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)在5 500或5 500以上時(shí),該旅游區(qū)進(jìn)入了一年中的“旅游旺季”,那么該地區(qū)一年中進(jìn)入“旅游旺季”的月份有　　 個(gè).
解析:令3 000cos(+)+4 000≥5 500,
則cos(+)≥,
則-+2kπ≤+≤+2kπ,k∈Z,
解得-6+12k≤n≤-2+12k,k∈Z.
因?yàn)?≤n≤12,所以6≤n≤10.
因?yàn)閚是正整數(shù),所以n=6,7,8,9,10,共5個(gè)月.
答案:5
7.如圖所示為一個(gè)觀(guān)覽車(chē)示意圖,該觀(guān)覽車(chē)半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,若60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB,設(shè)點(diǎn)B與地面距離為h,則h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式是　　　　　　　　　　;設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過(guò)t秒到達(dá)OB,則h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式是　　　　　　　　　.(要求的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式均表示為正弦型函數(shù))
解析:如圖,過(guò)點(diǎn)O作地面的平行線(xiàn)ON,過(guò)點(diǎn)B作ON的垂線(xiàn)BM交ON于點(diǎn)M.
當(dāng)<θ≤π時(shí),∠BOM=θ-,
h=|OA|+0.8+|BM|=5.6+4.8sin(θ-);
當(dāng)0≤θ≤,π<θ≤2π時(shí),上述解析式也適合.
綜上所述,h=5.6+4.8sin(θ-).
點(diǎn)A在☉O上逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是 rad/s,
所以t s轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t,
所以h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞).
答案:h=5.6+4.8sin(θ-)　h=4.8sin(t-)+5.6,t∈[0,+∞)
能力提升
8.如圖的曲線(xiàn)就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線(xiàn),我們叫葫蘆曲線(xiàn),它每過(guò)相同的間隔振幅就變化一次,且過(guò)點(diǎn)P(,2),其對(duì)應(yīng)的方程為|y|=(2-[])|sin ωx|(x≥0,其中[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù),0<
ω<5).若該葫蘆曲線(xiàn)上一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為,則點(diǎn)M到x軸的距離為(　D　)
A. B. C. D.
解析:將P(,2)代入|y|=(2-[])|sin ωx|中得,
(2-[])|sin|=2,即|sin|=1.
因?yàn)?<ω<5,所以0<<,
所以=,解得ω=2,
故|y|=(2-[])|sin 2x|.
當(dāng)x=時(shí),|y|=(2-[])|sin|=|sin|=.故選D.
9.(多選題)筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”,是一種以水流作動(dòng)力,取水灌田的工具.筒車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的歷史.如圖,假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下,一個(gè)半徑為3 m的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蜃雒?br/>6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng),筒車(chē)的軸心O距離水面BC的高度為1.5 m,設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒P的初始位置為點(diǎn)D(水面與筒車(chē)右側(cè)的交點(diǎn)),從此處開(kāi)始計(jì)時(shí),下列結(jié)論正確的是(　ACD　)
A.t分鐘時(shí),以射線(xiàn)OA為始邊,OP為終邊的角為t-
B.t分鐘時(shí),該盛水筒距水面距離為[sin(t-)+] m
C.1分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離與3分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離相等
D.1小時(shí)內(nèi)有20分鐘該盛水筒距水面距離不小于3 m
解析:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
依題意,設(shè)函數(shù)解析式為y=Asin(ωt+)+b,
因?yàn)榘霃綖?,所以A=3,
O距水面的距離為1.5,所以b=1.5,
每6分鐘轉(zhuǎn)一圈,所以T=6,
所以ω==,所以y=3sin(t+)+1.5,
當(dāng)t=0時(shí),y=0,
所以3sin +1.5=0,即sin =-,
所以=-,
所以y=3sin(t-)+1.5(t≥0).
所以t分鐘時(shí),以射線(xiàn)OA為始邊,OP為終邊的角為t-,
故A正確,B錯(cuò)誤.
當(dāng)t=1時(shí),y=3sin(-)+1.5=3;當(dāng)t=3時(shí),y=3sin(×3-)+1.5=3,
故C正確.
令y=3sin(t-)+1.5≥3,即sin(t-)≥,
在一個(gè)周期內(nèi)≤t-≤,解得 1≤t≤3,有2分鐘,
1小時(shí)內(nèi)有10個(gè)周期,所以有 2×10=20(min),故D正確.故選ACD.
10.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠(chǎng)價(jià)在7 000元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的模型波動(dòng)(x為月份),已知3月份達(dá)到最高價(jià)9 000元,7月份價(jià)格最低為5 000元,根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為　 .
解析:由條件可知
所以B=7 000,A=2 000.
又T=2×(7-3)=8,所以ω=,
令3×+=+2kπ,k∈Z,
因?yàn)閨|<,所以=-,
所以f(x)=2 000sin(x-)+7 000,x∈[1,12]且x∈N*.
答案:f(x)=2 000sin(x-)+7 000,x∈[1,12]且x∈N*
11.某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng),在氣溫低于0℃時(shí),才開(kāi)放中央空調(diào),否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫(單位:℃)隨時(shí)間t
(0≤t≤24,單位:時(shí))的大致變化曲線(xiàn),若該曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足f(t)=Asin(ωt+)+b(A>0,ω>0,-π<<π)關(guān)系.
(1)求y=f(t)的表達(dá)式.
(2)請(qǐng)根據(jù)(1)的結(jié)論,求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng).
解:(1)由題意,得解得
又=15-3=12,所以T==24,
又ω>0,所以ω=.
因?yàn)閒(t)=8sin(t+)+4過(guò)(15,12),
則12=8sin(×15+)+4,
即sin(+)=1,所以+=+2kπ,k∈Z,
即=-+2kπ,k∈Z,又-π<<π,
所以=-,
所以f(t)=8sin(t-)+4(0≤t≤24).
(2)根據(jù)題設(shè),令8sin(t-)+4<0,
即sin(t-)<-,
由y=sin x的性質(zhì)得+2kπ解得23+24k又因?yàn)?≤t≤24,
當(dāng)k=-1時(shí),0≤t<7;
當(dāng)k=0時(shí),23所以0≤t<7或23所以該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng)為8小時(shí).
12.下表是某地一年中10天的白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表(時(shí)間精確到
0.1小時(shí)):
日期 日期位置序號(hào)x 白晝時(shí)間y/時(shí)
1月1日 1 5.6
2月28日 59 10.2
3月21日 80 12.4
4月27日 117 16.4
5月6日 126 17.3
6月21日 172 19.4
8月13日 225 16.4
9月20日 263 12.4
10月25日 298 8.5
12月21日 355 5.4
(1)以日期在365天中的位置序號(hào)x為橫坐標(biāo),白晝時(shí)間y為縱坐標(biāo),在如圖給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)試選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述一年中白晝時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)關(guān)系.(注:①求出所選用的函數(shù)關(guān)系式;②一年按365天計(jì)算)
(3)用(2)中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí).
解:(1)散點(diǎn)圖如圖所示.
(2)由圖知白晝時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)關(guān)系近似為y=Asin(ωx+)+t(A>0,ω>0,||<π).由題意知函數(shù)的最大值為19.4,最小值為5.4,
即ymax=19.4,ymin=5.4.
由19.4-5.4=14,得A=7,
所以t=19.4-7=12.4=.
又T=365,所以ω=.
當(dāng)x=172時(shí),+=+2kπ(k∈Z),
又||<π,所以=-.
所以y=7sin(x-)+(1≤x≤365,x∈N*).
(3)由y>15.9,
得sin(x-)>,
所以+2kπ即+365k又1≤x≤365,x∈N*,
所以111≤x≤232x∈N*.
所以該地大約有121天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí).§8　三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解三角函數(shù)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,提高數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
2.將實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)模型,提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
探究點(diǎn)一　勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型
[例1] 如圖,某摩天輪輪盤(pán)直徑為124 m,游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙,當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面145 m,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要30 min.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).
(1)經(jīng)過(guò)t min后游客甲距離地面的高度為H m,已知H關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式滿(mǎn)足H(t)=Asin(ωt+)+B(其中A>0,ω>0,||≤),求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天輪后多長(zhǎng)時(shí)間,距離地面的高度第一次恰好達(dá)到52 m
建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟
[針對(duì)訓(xùn)練] 筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用.現(xiàn)有一個(gè)筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng).每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng) 5圈,如圖,將該筒車(chē)抽象為圓O,筒車(chē)上的盛水桶抽象為圓O上的點(diǎn)P,已知圓O的半徑為4 m,圓心O距離水面2 m,且當(dāng)圓O上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.
(1)根據(jù)如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)P到水面的距離h(單位:m,在水面下,h為負(fù)數(shù))表示為時(shí)間t(單位:s)的函數(shù),并求當(dāng)t=13時(shí),點(diǎn)P到水面的距離.
(2)在點(diǎn)P從P0開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),點(diǎn)P到水面的距離不低于4 m的時(shí)間有多長(zhǎng)
探究點(diǎn)二　物理學(xué)中周期變化的數(shù)學(xué)模型
[例2] 如圖,彈簧掛著的小球做上下振動(dòng),它在t(單位:s)時(shí)相對(duì)于平衡位置(靜止時(shí)的位置)的高度h(單位:cm)由關(guān)系式h(t)=
Asin(ωt+)確定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振動(dòng)中,小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)所用時(shí)間為1 s,且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為10 cm.
(1)求小球相對(duì)平衡位置的高度h(單位:cm)和時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系式.
(2)小球在t0 s內(nèi)經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的次數(shù)恰為50次,求t0的取值范圍.
解該類(lèi)題的關(guān)鍵是求出y=Asin(ωt+)中的參數(shù)A,ω,,其中A為振幅,ω=(T為周期,即重復(fù)變化一次所用時(shí)間),為當(dāng)t=0時(shí)的位置,解題時(shí)只需根據(jù)已知條件求出上述三個(gè)參數(shù)即得函數(shù)解析式,其他問(wèn)題均可依據(jù)解析式解決.
[針對(duì)訓(xùn)練] 已知電流I(單位:A)與時(shí)間t(單位:s)的關(guān)系為I=Asin(ωt+)(A>0,ω>0,||<).
(1)函數(shù)I=Asin(ωt+)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,求I=
Asin(ωt+)的解析式.
(2)為了使在任意一個(gè)s的時(shí)間段內(nèi)的電流I能取得最大值與最小值,正整數(shù)ω的最小值應(yīng)是多少
當(dāng)堂檢測(cè)
1.某人的血壓滿(mǎn)足函數(shù)解析式f(t)=24sin(160πt)+115,其中f(t)為血壓,t為時(shí)間,則此人每分鐘心跳的次數(shù)為(　　)
A.60 B.70 C.80 D.90
2.如圖,一個(gè)摩天輪的半徑為10 m,輪子的最低處距離地面2 m.如果此摩天輪按逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每30 min轉(zhuǎn)一圈,且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(點(diǎn)P與摩天輪中心O的高度相同)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí),在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),此人相對(duì)于地面的高度不小于 17 m 的時(shí)間大約是(　　)
A.8 min B.10 min C.12 min D.14 min
3.如圖是某市夏季某一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn),若該曲線(xiàn)近似地滿(mǎn)足函數(shù)y=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<π)(y表示溫度,x表示時(shí)間),則該市這一天中午12時(shí)的溫度大約是(　　)
A.25 ℃ B.26 ℃ C.27 ℃ D.28 ℃
4.音叉是呈“Y”形的鋼質(zhì)或鋁合金發(fā)聲器[如圖(1)],各種音叉可因其質(zhì)量和叉臂長(zhǎng)短、粗細(xì)不同而在振動(dòng)時(shí)發(fā)出不同頻率的純音.敲擊某個(gè)音叉時(shí),在一定時(shí)間內(nèi),音叉上點(diǎn)P離開(kāi)平衡位置的位移y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為y=sin ωt.圖(2)是該函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可確定ω的值為　　　 　.
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
物理學(xué)中的周期變化模型 1,3,9
生活中的周期變化模型 2,4,5,6,7
三角函數(shù)模型的綜合應(yīng)用 8,10,11,12
基礎(chǔ)鞏固
1.如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖,經(jīng)過(guò)周期后,乙的位置將移至(　　)
A.x軸上 B.最低點(diǎn)
C.最高點(diǎn) D.不確定
2.如圖,某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)y=
3sin(x+)+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時(shí)間水深(單位:m)的最大值為(　　)
A.5 B.6 C.8 D.10
3.一根長(zhǎng)l cm的線(xiàn),一端固定,另一端懸掛一個(gè)小球,小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移s(單位:cm)與時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系式是s=
3cos(t+),其中g(shù)是重力加速度,當(dāng)小球擺動(dòng)的周期是1 s時(shí),線(xiàn)長(zhǎng)l等于(　　)
A. B. C. D.
4.如圖,記某時(shí)鐘的中心點(diǎn)為O,分針針尖對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)為A.已知分針長(zhǎng)OA=5 cm,且分針從12點(diǎn)位置開(kāi)始繞中心點(diǎn)O順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng).若以中心點(diǎn)O為原點(diǎn),3點(diǎn)和12點(diǎn)方向分別為x軸和y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)A到x軸的距離y(單位:cm)與時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)解析式為(　　)
A.y=5|sin t| B.y=5|cos t|
C.y=5|sin t| D.y=5|cos t|
5.如圖,為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”,畫(huà)法如下:在水平直線(xiàn)l上取長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段AB,作一個(gè)等邊三角形ABC,然后以點(diǎn)B為圓心,AB為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧,交線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,再以點(diǎn)C為圓心,CD為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧,交線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,以此類(lèi)推,則如圖所示的“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度為(　　)
A. B.14π C.24π D.10π
6.某旅游區(qū)每年各個(gè)月接待游客的人數(shù)近似地滿(mǎn)足周期性規(guī)律,因而一年中的第n個(gè)月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)f(n)可以近似用函數(shù)f(n)=3 000cos(+)+4 000來(lái)表示(其中n=1,2,…,12).當(dāng)該旅游區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)在5 500或5 500以上時(shí),該旅游區(qū)進(jìn)入了一年中的“旅游旺季”,那么該地區(qū)一年中進(jìn)入“旅游旺季”的月份有　　 個(gè).
7.如圖所示為一個(gè)觀(guān)覽車(chē)示意圖,該觀(guān)覽車(chē)半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,若60 s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB,設(shè)點(diǎn)B與地面距離為h,則h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式是　　　　　　　　　　;設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過(guò)t秒到達(dá)OB,則h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式是　　　　　　　　　.(要求的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式均表示為正弦型函數(shù))
能力提升
8.如圖的曲線(xiàn)就像橫放的葫蘆的軸截面的邊緣線(xiàn),我們叫葫蘆曲線(xiàn),它每過(guò)相同的間隔振幅就變化一次,且過(guò)點(diǎn)P(,2),其對(duì)應(yīng)的方程為|y|=(2-[])|sin ωx|(x≥0,其中[x]為不超過(guò)x的最大整數(shù),0<
ω<5).若該葫蘆曲線(xiàn)上一點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為,則點(diǎn)M到x軸的距離為(　　)
A. B. C. D.
9.(多選題)筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”,是一種以水流作動(dòng)力,取水灌田的工具.筒車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐,距今已有1 000多年的歷史.如圖,假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下,一個(gè)半徑為3 m的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蜃雒?br/>6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運(yùn)動(dòng),筒車(chē)的軸心O距離水面BC的高度為1.5 m,設(shè)筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒P的初始位置為點(diǎn)D(水面與筒車(chē)右側(cè)的交點(diǎn)),從此處開(kāi)始計(jì)時(shí),下列結(jié)論正確的是(　　)
A.t分鐘時(shí),以射線(xiàn)OA為始邊,OP為終邊的角為t-
B.t分鐘時(shí),該盛水筒距水面距離為[sin(t-)+] m
C.1分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離與3分鐘時(shí)該盛水筒距水面距離相等
D.1小時(shí)內(nèi)有20分鐘該盛水筒距水面距離不小于3 m
10.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠(chǎng)價(jià)在7 000元的基礎(chǔ)上,按月呈f(x)=Asin(ωx+)+B(A>0,ω>0,||<)的模型波動(dòng)(x為月份),已知3月份達(dá)到最高價(jià)9 000元,7月份價(jià)格最低為5 000元,根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為　 .
11.某市通宵營(yíng)業(yè)的大型商場(chǎng),在氣溫低于0℃時(shí),才開(kāi)放中央空調(diào),否則關(guān)閉中央空調(diào).如圖是該市冬季某一天的氣溫(單位:℃)隨時(shí)間t
(0≤t≤24,單位:時(shí))的大致變化曲線(xiàn),若該曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足f(t)=Asin(ωt+)+b(A>0,ω>0,-π<<π)關(guān)系.
(1)求y=f(t)的表達(dá)式.
(2)請(qǐng)根據(jù)(1)的結(jié)論,求該商場(chǎng)的中央空調(diào)在一天內(nèi)開(kāi)啟的時(shí)長(zhǎng).
12.下表是某地一年中10天的白晝時(shí)間統(tǒng)計(jì)表(時(shí)間精確到
0.1小時(shí)):
日期 日期位置序號(hào)x 白晝時(shí)間y/時(shí)
1月1日 1 5.6
2月28日 59 10.2
3月21日 80 12.4
4月27日 117 16.4
5月6日 126 17.3
6月21日 172 19.4
8月13日 225 16.4
9月20日 263 12.4
10月25日 298 8.5
12月21日 355 5.4
(1)以日期在365天中的位置序號(hào)x為橫坐標(biāo),白晝時(shí)間y為縱坐標(biāo),在如圖給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)試選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述一年中白晝時(shí)間y與日期位置序號(hào)x之間的函數(shù)關(guān)系.(注:①求出所選用的函數(shù)關(guān)系式;②一年按365天計(jì)算)
(3)用(2)中的函數(shù)模型估計(jì)該地一年中大約有多少天白晝時(shí)間大于15.9小時(shí).

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