資源簡(jiǎn)介

§1　從位移、速度、力到向量
1.1　位移、速度、力與向量的概念
1.2　向量的基本關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解向量的有關(guān)概念及向量的表示方法,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).
2.了解零向量、單位向量、相等向量、共線向量及相反向量的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)1　向量的概念與幾個(gè)特殊向量
(1)向量的概念和表示方法.
①概念:既有大小又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量.
②有向線段:在數(shù)學(xué)中,具有方向和長(zhǎng)度的線段稱(chēng)為有向線段,以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段,記作.線段AB的長(zhǎng)度稱(chēng)為有向線段的長(zhǎng)度,記作||.
③向量的表示:
表示法 幾何表示:用有向線段來(lái)表示向量,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向
字母表示:用黑斜體小寫(xiě)字母如a,b,c,…或,,,…(書(shū)寫(xiě))來(lái)表示,手寫(xiě)時(shí)必須加箭頭
(2)向量的模與特殊向量.
①向量的模的定義:向量的大小稱(chēng)作向量的模.
②向量模的表示:向量,a的大小分別記作||,|a|.
③特殊向量:
(ⅰ)長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為零向量,記作0,任何方向都可以作為零向量的方向.
(ⅱ)模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量稱(chēng)為單位向量.
[思考1] 向量可以比較大小嗎
提示:向量不可以比較大小,但向量的模可以比較大小.
[思考2] 有向線段就是向量嗎
提示:有向線段只是向量的一種表示方法,它不是向量.
知識(shí)點(diǎn)2　向量的基本關(guān)系
名稱(chēng) 定義 表示方法
相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 向量a與b相等,記作a=b
共線向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量. 規(guī)定:零向量與任一向量共線 向量a與b共線或平行,記作 a∥b
相反向量 長(zhǎng)度相等、方向相反的向量 向量a的相反向量記作-a
向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b,在平面內(nèi)選一點(diǎn)O,作=a,=b,則θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)稱(chēng)為向量a與b的夾角
說(shuō)明:(1)關(guān)于夾角的特殊說(shuō)明:①當(dāng)θ=0°時(shí),向量a與b同向;②當(dāng)θ=180°時(shí),向量a與b反向;③當(dāng)θ=90°時(shí),向量a與b垂直,記作a⊥b.
(2)規(guī)定:零向量與任一向量垂直.
[思考3] 對(duì)零向量與任意一個(gè)非零向量,如何理解其夾角問(wèn)題
提示:有兩條規(guī)定,零向量與任一向量共線(夾角為0°或180°),零向量與任一向量垂直(夾角為90°),由此可以認(rèn)為零向量與任意一個(gè)非零向量的夾角也是任意的.
[思考4] 兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合
提示:不一定.因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?只要大小相等、方向相同就是相等向量,與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).
探究點(diǎn)一　向量有關(guān)概念的理解
[例1] 判斷下列命題是否正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;
(2)若向量|a|=|b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;
(3)對(duì)于任意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同,則a=b;
(4)由于0方向不確定,故0不與任意向量共線;
(5)向量a與向量b平行,則向量a與b方向相同或相反.
向量有關(guān)概念的判斷策略
解決與向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度.如:共線向量的核心是方向相同或相反,長(zhǎng)度沒(méi)有限制;相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等;單位向量的核心是方向沒(méi)有限制,但長(zhǎng)度都是1個(gè)單位長(zhǎng)度;零向量的核心是方向沒(méi)有限制,長(zhǎng)度是0;規(guī)定零向量與任一向量共線,也與任一向量垂直.
[針對(duì)訓(xùn)練] 給出下列四個(gè)命題:①若|a|=0,則a=0;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a∥b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確的命題有(　　)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
探究點(diǎn)二　向量的基本關(guān)系
[例2] 如圖所示,O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形.
(1)的相反向量有哪些
(2)與共線的向量有哪些
(3)與相等的向量有哪些
在圖形中尋找共線向量、相等向量、相反向量的方法
(1)在平面圖形中尋找共線向量時(shí),應(yīng)逐個(gè)列舉,做到不重不漏,可先找在同一條直線上的共線向量,然后找平行直線上的共線向量,要注意一條線段對(duì)應(yīng)兩個(gè)共線向量,方向相同但長(zhǎng)度不等的有向線段表示不同的共線向量.
(2)相等向量、相反向量一定是共線向量,因此在找相等向量、相反向量時(shí),均可以從共線向量中篩選,長(zhǎng)度相等且方向相同的共線向量為相等向量,長(zhǎng)度相等且方向相反的共線向量為相反向量.
注意:判斷兩向量是否共線的關(guān)鍵是看向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否都在同一條直線上或觀察其所在的直線是否平行;判斷兩向量是否為相等(相反)向量不僅要看向量所在的直線是否平行或重合,而且要看其模是否相等、方向是否相同(相反).
[針對(duì)訓(xùn)練] 如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,
∠DAB=60°,分別以A,B,C,D,O中的不同兩點(diǎn)為始點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中:
(1)寫(xiě)出與共線的向量;
(2)寫(xiě)出與的模相等的向量.
探究點(diǎn)三　向量的夾角的理解
[例3] 如圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接而成的長(zhǎng)方形,則在以A,B,C,D,E,F為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與向量的夾角為45°的單位向量有　　 　　個(gè).
(1)若a∥b,c∥d,a與c的夾角為θ,則b與d的夾角為θ或180°-θ.
(2)在求兩個(gè)向量的夾角時(shí),一定要明確夾角的定義.當(dāng)表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)或終點(diǎn)重合時(shí),所形成的角才是向量的夾角;當(dāng)表示兩個(gè)向量的有向線段中一個(gè)的起點(diǎn)與另一個(gè)的終點(diǎn)重合時(shí),所形成的角是向量的夾角的補(bǔ)角.
[針對(duì)訓(xùn)練] 在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,則 與 的夾角是(　　)
A.30°　 B.60°　　 C.120°　　 D.150°
當(dāng)堂檢測(cè)
1.下列各量:①密度;②浮力;③電量;④加速度.其中向量有(　　)
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
2.(多選題)已知向量a如圖所示,下列說(shuō)法正確的是(　)
A.也可以用 表示
B.方向是由M指向N
C.起點(diǎn)是M
D.終點(diǎn)是M
3.下列結(jié)論正確的是(　)
A.向量必須用有向線段來(lái)表示
B.表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的
C.非零向量一定比0大
D.有向線段和表示的是相反向量
4.(多選題)下列關(guān)于向量的描述中,不正確的有(　　)
A.有向線段就是向量
B.若向量與向量共線,則A,B,C,D四點(diǎn)共線
C.零向量沒(méi)有方向
D.若a=b,則|a|=|b|
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
向量的概念與表示 1,7,8
向量的基本關(guān)系 2,3,4,9
向量的夾角 5,6,12
向量的綜合應(yīng)用 10,11,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.下列敘述正確的是(　　)
A.若a∥b,b∥c,則a∥c
B.若a=b,則3a>2b
C.已知非零向量a與b滿足a∥b,則a與b的方向相同或相反
D.若a,b都是單位向量,則a=b
2.如圖所示,梯形ABCD為等腰梯形,則向量與的關(guān)系是(　　)
A.= B.||=||
C.> D.<
3.如圖所示,在△ABC中,DE∥BC,則向量,,,,, 中的共線向量有(　)
A.1對(duì) B.2對(duì)
C.3對(duì) D.4對(duì)
4.下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.若|a|=|b|且a∥b,則a=b
B.若|a|=|b|,則a=b
C.若a=b,則a與b共線
D.若a≠b,則a一定不與b共線
5.(多選題)在銳角三角形ABC中,關(guān)于向量的夾角的說(shuō)法正確的是(　)
A. 與 的夾角是銳角
B. 與 的夾角是銳角
C. 與 的夾角是鈍角
D. 與 的夾角是鈍角
6.已知向量a與向量b的夾角為45°,則向量-a與向量b的夾角為　　　　,向量-a與向量-b的夾角為　　　　.
7.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,O為其中心,則||=　　　.
8.如圖,是某人行走的路線,那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿南偏西　　　　方向行走了　　　　km.
能力提升
9.(多選題)如圖所示,△ABC和△A′B′C′是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,圖中畫(huà)出了若干個(gè)向量,則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A.||=||
B.與的夾角為60°
C.與向量相等的向量有5個(gè)(除外)
D.與向量共線且模相等的向量有5個(gè)(除外)
10.在四邊形ABCD中,=且||=||,tan D=,則四邊形ABCD的形狀為　　　 　.
11.在△OAB中,=a,=b,=c,且a,b的夾角為120°,|b|=2|a|,求向量a與c的夾角.
12.在如圖所示的方格紙上,已知向量a,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)試以B為起點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b,使b=a;
(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使|c|=,并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么.
應(yīng)用創(chuàng)新
13.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,設(shè)點(diǎn)集S={A,B,C,D,O},集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},則集合T中元素的個(gè)數(shù)為　　 　　.
14.已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2 000 km到達(dá)B地,再?gòu)腂地按南偏東30°方向飛行2 000 km 到達(dá)C地,再?gòu)腃地按西南方向飛行1 000 km 到達(dá)D地.畫(huà)圖表示向量,,,并指出向量的模和方向.§1　從位移、速度、力到向量
1.1　位移、速度、力與向量的概念
1.2　向量的基本關(guān)系
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解向量的有關(guān)概念及向量的表示方法,提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).
2.了解零向量、單位向量、相等向量、共線向量及相反向量的概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
知識(shí)探究
知識(shí)點(diǎn)1　向量的概念與幾個(gè)特殊向量
(1)向量的概念和表示方法.
①概念:既有大小又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量.
②有向線段:在數(shù)學(xué)中,具有方向和長(zhǎng)度的線段稱(chēng)為有向線段,以A為起點(diǎn),B為終點(diǎn)的有向線段,記作.線段AB的長(zhǎng)度稱(chēng)為有向線段的長(zhǎng)度,記作||.
③向量的表示:
表示法 幾何表示:用有向線段來(lái)表示向量,有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向
字母表示:用黑斜體小寫(xiě)字母如a,b,c,…或,,,…(書(shū)寫(xiě))來(lái)表示,手寫(xiě)時(shí)必須加箭頭
(2)向量的模與特殊向量.
①向量的模的定義:向量的大小稱(chēng)作向量的模.
②向量模的表示:向量,a的大小分別記作||,|a|.
③特殊向量:
(ⅰ)長(zhǎng)度為0的向量稱(chēng)為零向量,記作0,任何方向都可以作為零向量的方向.
(ⅱ)模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量稱(chēng)為單位向量.
[思考1] 向量可以比較大小嗎
提示:向量不可以比較大小,但向量的模可以比較大小.
[思考2] 有向線段就是向量嗎
提示:有向線段只是向量的一種表示方法,它不是向量.
知識(shí)點(diǎn)2　向量的基本關(guān)系
名稱(chēng) 定義 表示方法
相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 向量a與b相等,記作a=b
共線向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量. 規(guī)定:零向量與任一向量共線 向量a與b共線或平行,記作 a∥b
相反向量 長(zhǎng)度相等、方向相反的向量 向量a的相反向量記作-a
向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b,在平面內(nèi)選一點(diǎn)O,作=a,=b,則θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)稱(chēng)為向量a與b的夾角
說(shuō)明:(1)關(guān)于夾角的特殊說(shuō)明:①當(dāng)θ=0°時(shí),向量a與b同向;②當(dāng)θ=180°時(shí),向量a與b反向;③當(dāng)θ=90°時(shí),向量a與b垂直,記作a⊥b.
(2)規(guī)定:零向量與任一向量垂直.
[思考3] 對(duì)零向量與任意一個(gè)非零向量,如何理解其夾角問(wèn)題
提示:有兩條規(guī)定,零向量與任一向量共線(夾角為0°或180°),零向量與任一向量垂直(夾角為90°),由此可以認(rèn)為零向量與任意一個(gè)非零向量的夾角也是任意的.
[思考4] 兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是否都分別重合
提示:不一定.因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?只要大小相等、方向相同就是相等向量,與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).
探究點(diǎn)一　向量有關(guān)概念的理解
[例1] 判斷下列命題是否正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)若向量a與b同向,且|a|>|b|,則a>b;
(2)若向量|a|=|b|,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反;
(3)對(duì)于任意向量|a|=|b|,若a與b的方向相同,則a=b;
(4)由于0方向不確定,故0不與任意向量共線;
(5)向量a與向量b平行,則向量a與b方向相同或相反.
解:(1)不正確.因?yàn)閮蓚€(gè)向量不能比較大小.
(2)不正確.由|a|=|b|只能判定兩向量長(zhǎng)度相等,不能確定它們的方向關(guān)系.
(3)正確.因?yàn)閨a|=|b|,且a與b同向,可得a=b.
(4)不正確.0與任意向量共線.
(5)不正確.因?yàn)橄蛄縜與向量b若有一個(gè)是零向量,則其方向不定.
向量有關(guān)概念的判斷策略
解決與向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度.如:共線向量的核心是方向相同或相反,長(zhǎng)度沒(méi)有限制;相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等;單位向量的核心是方向沒(méi)有限制,但長(zhǎng)度都是1個(gè)單位長(zhǎng)度;零向量的核心是方向沒(méi)有限制,長(zhǎng)度是0;規(guī)定零向量與任一向量共線,也與任一向量垂直.
[針對(duì)訓(xùn)練] 給出下列四個(gè)命題:①若|a|=0,則a=0;②若|a|=|b|,則a=b或a=-b;③若a∥b,則|a|=|b|;④若a=0,則-a=0.其中正確的命題有(　　)
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:對(duì)于①,前一個(gè)零是實(shí)數(shù),后一個(gè)應(yīng)是零向量,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,兩個(gè)向量的模相等,只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相等,它們的方向并不確定,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,兩個(gè)向量平行,它們的方向相同或相反,模未必相等,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,若a=0,則-a=0,④正確.故選A.
探究點(diǎn)二　向量的基本關(guān)系
[例2] 如圖所示,O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),四邊形OAED,OCFB都是正方形.
(1)的相反向量有哪些
(2)與共線的向量有哪些
(3)與相等的向量有哪些
解:(1)的相反向量有,,,.
(2)與共線的向量有,,,,,,,,.
(3)與相等的向量有,,.
在圖形中尋找共線向量、相等向量、相反向量的方法
(1)在平面圖形中尋找共線向量時(shí),應(yīng)逐個(gè)列舉,做到不重不漏,可先找在同一條直線上的共線向量,然后找平行直線上的共線向量,要注意一條線段對(duì)應(yīng)兩個(gè)共線向量,方向相同但長(zhǎng)度不等的有向線段表示不同的共線向量.
(2)相等向量、相反向量一定是共線向量,因此在找相等向量、相反向量時(shí),均可以從共線向量中篩選,長(zhǎng)度相等且方向相同的共線向量為相等向量,長(zhǎng)度相等且方向相反的共線向量為相反向量.
注意:判斷兩向量是否共線的關(guān)鍵是看向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)是否都在同一條直線上或觀察其所在的直線是否平行;判斷兩向量是否為相等(相反)向量不僅要看向量所在的直線是否平行或重合,而且要看其模是否相等、方向是否相同(相反).
[針對(duì)訓(xùn)練] 如圖所示,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,
∠DAB=60°,分別以A,B,C,D,O中的不同兩點(diǎn)為始點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中:
(1)寫(xiě)出與共線的向量;
(2)寫(xiě)出與的模相等的向量.
解:(1)由題圖可知,與共線的向量有,,.
(2)與的模相等的向量有,,,,,,,,.
探究點(diǎn)三　向量的夾角的理解
[例3] 如圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接而成的長(zhǎng)方形,則在以A,B,C,D,E,F為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中,與向量的夾角為45°的單位向量有　　 　　個(gè).
解析:與向量有相同起點(diǎn)且?jiàn)A角為45°的單位向量有,.與向量共線且同向的單位向量有,,,與向量共線且同向的單位向量有,,這幾個(gè)向量與的夾角也為45°.所以與向量的夾角為45°的單位向量有7個(gè).
答案:7
(1)若a∥b,c∥d,a與c的夾角為θ,則b與d的夾角為θ或180°-θ.
(2)在求兩個(gè)向量的夾角時(shí),一定要明確夾角的定義.當(dāng)表示兩個(gè)向量的有向線段的起點(diǎn)或終點(diǎn)重合時(shí),所形成的角才是向量的夾角;當(dāng)表示兩個(gè)向量的有向線段中一個(gè)的起點(diǎn)與另一個(gè)的終點(diǎn)重合時(shí),所形成的角是向量的夾角的補(bǔ)角.
[針對(duì)訓(xùn)練] 在△ABC中,∠C=90°,BC=AB,則 與 的夾角是(　　)
A.30°　 B.60°　　 C.120°　　 D.150°
解析:如圖,作向量=,則∠BAD是 與的夾角,在△ABC中,因?yàn)椤螩=90°,BC=AB,所以∠BAC=30°,所以∠BAD=120°.故選C.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.下列各量:①密度;②浮力;③電量;④加速度.其中向量有(　C　)
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
解析:由向量的概念可知,浮力與加速度是向量,密度與電量是數(shù)量.故選C.
2.(多選題)已知向量a如圖所示,下列說(shuō)法正確的是(　ABC　)
A.也可以用 表示
B.方向是由M指向N
C.起點(diǎn)是M
D.終點(diǎn)是M
解析:向量 的終點(diǎn)為N,故D錯(cuò)誤.故選ABC.
3.下列結(jié)論正確的是(　D　)
A.向量必須用有向線段來(lái)表示
B.表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的
C.非零向量一定比0大
D.有向線段和表示的是相反向量
解析:向量除了可以用有向線段表示以外,還可用黑斜體小寫(xiě)字母表示,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;向量為自由向量,只要大小相等、方向相同就為同一個(gè)向量,而與它的具體位置無(wú)關(guān),所以表示一個(gè)向量的有向線段不是唯一的,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;向量不可以比較大小,可以比較模長(zhǎng),非零向量的模長(zhǎng)一定比零向量的模長(zhǎng)大,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;有向線段和的方向相反、大小相等,表示的是相反向量,所以選項(xiàng)D正確.故選D.
4.(多選題)下列關(guān)于向量的描述中,不正確的有(　ABC　)
A.有向線段就是向量
B.若向量與向量共線,則A,B,C,D四點(diǎn)共線
C.零向量沒(méi)有方向
D.若a=b,則|a|=|b|
解析:有向線段是固定的,向量是可以平行移動(dòng)的,有向線段是表示向量的工具,二者不是相等關(guān)系,A錯(cuò)誤;若和是平行四邊形的一組對(duì)邊,此時(shí)向量與向量共線,但A,B,C,D四點(diǎn)不共線,B錯(cuò)誤;零向量方向任意,C錯(cuò)誤;若a=b,則a,b大小相等,方向相同,D正確.故選ABC.
課時(shí)作業(yè)
選題明細(xì)表
知識(shí)點(diǎn)、方法 題號(hào)
向量的概念與表示 1,7,8
向量的基本關(guān)系 2,3,4,9
向量的夾角 5,6,12
向量的綜合應(yīng)用 10,11,13,14
基礎(chǔ)鞏固
1.下列敘述正確的是(　C　)
A.若a∥b,b∥c,則a∥c
B.若a=b,則3a>2b
C.已知非零向量a與b滿足a∥b,則a與b的方向相同或相反
D.若a,b都是單位向量,則a=b
解析:當(dāng)b=0時(shí),a∥b,b∥c不一定有a∥c,A錯(cuò)誤;向量不能比較大小,B錯(cuò)誤;非零向量a與b滿足a∥b,則a與b的方向相同或相反,C正確;單位向量?jī)H要求模為1,并不限制方向,所以a與b不一定相等,D錯(cuò)誤.故選C.
2.如圖所示,梯形ABCD為等腰梯形,則向量與的關(guān)系是(　B　)
A.= B.||=||
C.> D.<
解析:||與||表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度,故相等.故選B.
3.如圖所示,在△ABC中,DE∥BC,則向量,,,,, 中的共線向量有(　C　)
A.1對(duì) B.2對(duì)
C.3對(duì) D.4對(duì)
解析: 與, 與, 與都是共線向量.故選C.
4.下列說(shuō)法正確的是(　C　)
A.若|a|=|b|且a∥b,則a=b
B.若|a|=|b|,則a=b
C.若a=b,則a與b共線
D.若a≠b,則a一定不與b共線
解析:A中,當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,不正確;B中,向量的模相等,但a與b的方向不確定,不正確;D中,a≠b,a可與b共線,不正確.故選C.
5.(多選題)在銳角三角形ABC中,關(guān)于向量的夾角的說(shuō)法正確的是(　BD　)
A. 與 的夾角是銳角
B. 與 的夾角是銳角
C. 與 的夾角是鈍角
D. 與 的夾角是鈍角
解析:△ABC為銳角三角形, 與的夾角是鈍角,A錯(cuò)誤; 與的夾角是銳角,B正確; 與的夾角是銳角,C錯(cuò)誤; 與的夾角是鈍角,D正確.故選BD.
6.已知向量a與向量b的夾角為45°,則向量-a與向量b的夾角為　　　　,向量-a與向量-b的夾角為　　　　.
解析:結(jié)合題意作出滿足條件的向量a與向量b(圖略),可知向量-a與向量b的夾角為135°,向量-a與向量-b的夾角為45°.
答案:135°　45°
7.如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,O為其中心,則||=　　　.
解析:因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角線長(zhǎng)為 2,所以||=.
答案:
8.如圖,是某人行走的路線,那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿南偏西　　　　方向行走了　　　　km.
答案:30°　2
能力提升
9.(多選題)如圖所示,△ABC和△A′B′C′是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,圖中畫(huà)出了若干個(gè)向量,則下列說(shuō)法中正確的是(　AD　)
A.||=||
B.與的夾角為60°
C.與向量相等的向量有5個(gè)(除外)
D.與向量共線且模相等的向量有5個(gè)(除外)
解析:由題意可知||=||,故A正確;與的夾角為120°,故B錯(cuò)誤;與向量相等的向量有,,共2個(gè),故C錯(cuò)誤;與向量共線且模相等的向量有,,,,,共5個(gè),故D正確.故選AD.
10.在四邊形ABCD中,=且||=||,tan D=,則四邊形ABCD的形狀為　　　 　.
解析:因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,=,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
因?yàn)閠an D=,所以B=D=60°.
又||=||,所以△ABC是等邊三角形,
所以AB=BC,所以四邊形ABCD是菱形.
答案:菱形
11.在△OAB中,=a,=b,=c,且a,b的夾角為120°,|b|=2|a|,求向量a與c的夾角.
解:如圖,在△OAB中,因?yàn)閍與b的夾角為120°,所以∠OAB=60°.
取AB的中點(diǎn)C,連接OC.
因?yàn)閨b|=2|a|,所以AC=OA,
因?yàn)椤螼AB=60°,
所以△OAC為等邊三角形.
所以∠AOC=∠ACO=60°,∠OCB=120°.
因?yàn)锽C=CO,所以∠BOC=30°,
所以∠AOB=90°,
所以向量a與c的夾角為90°.
12.在如圖所示的方格紙上,已知向量a,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.
(1)試以B為起點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b,使b=a;
(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使|c|=,并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么.
解:(1)由題意,以B為起點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b,使b=a,如圖所示.
(2)因?yàn)閨c|=,則向量c的終點(diǎn)表示以A為圓心,為半徑的圓,如圖所示.
應(yīng)用創(chuàng)新
13.如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,設(shè)點(diǎn)集S={A,B,C,D,O},集合T={|M,N∈S,且M,N不重合},則集合T中元素的個(gè)數(shù)為　　 　　.
解析:由題意可知,從點(diǎn)A,B,C,D,O中任取2個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的向量共有20個(gè),分別為,,,,,,,,,,,,
,,,,,,,.由平行四邊形的性質(zhì)可知,共有8對(duì)向量相等:=,=,=,=,=,=,
=,=.因?yàn)榧现械脑鼐哂谢ギ愋?所以集合T中的元素共有12個(gè).
答案:12
14.已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2 000 km到達(dá)B地,再?gòu)腂地按南偏東30°方向飛行2 000 km 到達(dá)C地,再?gòu)腃地按西南方向飛行1 000 km 到達(dá)D地.畫(huà)圖表示向量,,,并指出向量的模和方向.
解:如圖,以A為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正方向,正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.
由題意知點(diǎn)B在第一象限,
點(diǎn)C在x軸正半軸上,
點(diǎn)D在第四象限,
向量,,如圖所示.由已知可得,
△ABC為正三角形,
所以AC=2 000 km.
又∠ACD=45°,CD=1 000 km,
所以△ADC為等腰直角三角形,
所以AD=1 000 km,∠CAD=45°.
故向量的模為1 000 km,方向?yàn)闁|南方向.

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