資源簡介

§2　從位移的合成到向量的加減法
2.1　向量的加法
2.2　向量的減法
學習目標
1.掌握向量加法運算,理解向量減法的定義,培養數學抽象的核心素養.
2.掌握向量加法的平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則,發展直觀想象的核心素養.
3.掌握向量加法的運算律及應用,提升數學運算與邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　向量加法的定義、運算法則與運算律
(1)向量加法的定義.
求兩個向量和的運算,稱為向量的加法.
(2)向量加法的運算法則.
①平行四邊形法則:已知兩個不共線的向量a,b,如圖,在平面內任取一點A,作有向線段=a,=b,以有向線段和為鄰邊作 ABCD,則有向線段表示的向量即為向量a與b的和,記作a+b.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的平行四邊形法則.
②三角形法則:如圖,作有向線段=a,以有向線段的終點為起點,作有向線段=b,連接A,C得到有向線段,也可以表示向量a與b的和.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的三角形法則.
(3)向量加法的運算律.
交換律 結合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
[思考1] 向量的平行四邊形法則與三角形法則是否適合于所有的兩個非零向量的和
提示:當兩向量共線時不能用平行四邊形法則,只能用三角形法則.
[思考2] 兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a|+|b|時的條件是什么
提示:向量a,b同向共線.
(1)向量加法的多邊形法則
如圖,已知n個向量,依次把這n個向量首尾相連,以第一個向量的起點為起點,第n個向量的終點為終點的向量叫作這n個向量的和向量.這個法則叫作向量求和的多邊形法則.
(2)向量加法的兩個法則的區別和聯系
法則 三角形法則 平行四邊形法則
區別 (1)強調“首尾相連”;(2)適用于所有的非零向量求和 (1)強調“共起點”;(2)僅適用于不共線的兩個向量求和
聯系 當兩個向量不共線時,兩個法則的實質一樣,三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半
知識點2　向量的減法
向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b).如果把向量a與b的起點放在點O,那么從向量b的終點B指向被減向量a的終點A,得到的向量就是a-b,如圖.
(1)向量減法的兩個重要結論
①如果把兩個向量的起點放在一起,則這兩個向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量.
②一個向量等于它的終點相對于點O的位置向量減去它的起點相對于點O的位置向量,或簡記“終點向量減起點向量”.
(2)向量加法與減法的幾何意義的聯系
如圖所示,以向量=a,=b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線的向量為=a+b,=a-b(=b-a),這一結論在以后應用非常廣泛,應該加強理解并牢記.
(3)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的理解
①當a,b有一個為零向量時,不等式顯然成立.
②當a,b不共線時,作=a,=b,則a+b=,如圖(a)所示,根據三角形的性質,“兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
③當a,b非零且共線時,a.當向量a與b同向時,作法同上,如圖(b)所示,此時|a+b|=|a|+|b|.b.當向量a,b反向時,不妨設|a|>|b|,作法同上,如圖(c)所示,此時|a+b|=|a|-|b|.
綜上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
注意每個等號取得的條件,|a+b|=|a|+|b|或||a|-|b||=|a-b|成立的條件是a與b同向共線;|a+b|=||a|-|b||以及|a-b|=|a|+|b|成立的條件是a與b反向共線.
探究點一　向量的加法
角度1　向量加法的運算法則
[例1] 如圖,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.
用三角形法則求和向量,關鍵是抓住“首尾相連”,和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點,平行四邊形法則注意“共起點”.且兩種方法中,第一個向量的起點可任意選取,可在某一個向量上,也可在其他位置.兩向量共線時,三角形法則仍適用,平行四邊形法則不適用.
[針對訓練] (1) 在 ABCD中,O是對角線的交點,下列結論正確的是(　　)
A.+=
B.+=
C.+=+
D.+=+
(2)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,則|+|=　　　　.
角度2　向量加法的運算律
[例2] 如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:
(1)++;
(2)+++.
向量加法運算律的應用方法
由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行計算.
[針對訓練] 化簡:
(1)++;
(2)++;
(3)+++.
探究點二　向量的減法
[例3] 如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,B是該平行四邊形外一點,且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量 ,,.
[變式探究] (1)本例條件不變,試用向量a,b,c表示與;
(2)本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內一點”,其他條件不變,結論又如何呢
用幾個已知向量表示其他向量的一般步驟
探究點三　向量的加、減法的混合運算
[例4] 化簡:
(1)-+;
(2)++--.
化簡向量式的方法和技巧
要先觀察向量的表達形式,利用向量加、減法的運算律及相反向量的性質化為首尾相連且為和的形式或起點相同且為差的形式,從而達到化簡的目的.具體來說,對于用有向線段表示的向量的加減運算有以下四點技巧.
(1)加法:首尾連,起點到終點(++=).
(2)減法:共起點,連終點,指被減(-=).
(3)化減為加(-=+).
(4)湊零法(相反向量的和為0).
[針對訓練] (多選題)下列各式能化簡為 的是(　　)
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
當堂檢測
1.在平面四邊形ABCD中,下列表達式化簡結果與相等的是(　　)
A.+ B.++
C.- D.+-
2. 在四邊形ABCD中,=+,則四邊形ABCD一定是(　　)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四邊形
3.|a|=|b|=1,則|a+b|的取值范圍為　　　　,當|a+b|取得最大值時,向量a,b的方向　 .
4.在△ABC中,D為BC的中點,設=c,=b,=a,=d,則d-a=　　　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量的加減法運算 1,2,3,4,5,13
向量加減運算的實際應用 12,15
向量的加減法運算的綜合應用 6,7,8,9,10,11,14
基礎鞏固
1.如圖,在正六邊形ABCDEF中,-等于(　　)
A. B. C. D.
2.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則+等于(　　)
A.　　　　　 B.
C. D.
3.(多選題)化簡以下各式,結果為零向量的是(　　)
A.-+ 　　B.+--
C.-+ 　　D.++-
4.(多選題)如圖,在平行四邊形ABCD中,下列計算錯誤的是(　　)
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
5.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若△ABC為等腰直角三角形,且A=90°,則一定有|+|=|-|
D.若a∥b,|a|=2|b|=8,則|a+b|可能為12
6.化簡(-)-(-)=　　　 　.
7.在△ABC中,||=||=||=1,則|-|=　　　　.
8.如圖,O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,試用正六邊形的六個頂點和點O為起點或終點,構造向量表示下列向量的和.
(1)+=　　　　;
(2)+=　　　　.
能力提升
9.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.若a,b同向,則有|a+b|=|a|+|b|
B.若a,b不共線,則有|a+b|>|a|+|b|
C.|a|<|a|+|b|恒成立
D.對任意兩個向量a,b,總有|a+b|≤|a|+|b|
10.若O是△ABC所在平面內一點,且滿足|-|=|-+-
|,則△ABC是(　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
11.已知菱形ABCD的邊長為2,則向量-+的模為　　　　,
||的取值范圍是　 .
12.在水流速度為4 km/h的河中,要使船以12 km/h 的實際航速與河岸成直角行駛,求船的航行速度的大小和方向.
13.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB和BC的中點,G為AC與BD的交點.
(1)若||=|++|,則四邊形ABCD是什么特殊的平行四邊形 說明理由.
(2)化簡--,并在圖中作出表示該化簡結果的向量.
應用創新
14.已知長度相等的三個非零向量,,滿足++=0,則由A,B,C三點構成的△ABC的形狀是　　　 　三角形.
15.一架直升機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km 到達B地,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800 km到達C地,求這架直升機飛行的路程及兩次位移的和.§2　從位移的合成到向量的加減法
2.1　向量的加法
2.2　向量的減法
學習目標
1.掌握向量加法運算,理解向量減法的定義,培養數學抽象的核心素養.
2.掌握向量加法的平行四邊形法則、三角形法則、多邊形法則,發展直觀想象的核心素養.
3.掌握向量加法的運算律及應用,提升數學運算與邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　向量加法的定義、運算法則與運算律
(1)向量加法的定義.
求兩個向量和的運算,稱為向量的加法.
(2)向量加法的運算法則.
①平行四邊形法則:已知兩個不共線的向量a,b,如圖,在平面內任取一點A,作有向線段=a,=b,以有向線段和為鄰邊作 ABCD,則有向線段表示的向量即為向量a與b的和,記作a+b.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的平行四邊形法則.
②三角形法則:如圖,作有向線段=a,以有向線段的終點為起點,作有向線段=b,連接A,C得到有向線段,也可以表示向量a與b的和.這種求兩個向量和的作圖方法稱為向量加法的三角形法則.
(3)向量加法的運算律.
交換律 結合律
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
[思考1] 向量的平行四邊形法則與三角形法則是否適合于所有的兩個非零向量的和
提示:當兩向量共線時不能用平行四邊形法則,只能用三角形法則.
[思考2] 兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a|+|b|時的條件是什么
提示:向量a,b同向共線.
(1)向量加法的多邊形法則
如圖,已知n個向量,依次把這n個向量首尾相連,以第一個向量的起點為起點,第n個向量的終點為終點的向量叫作這n個向量的和向量.這個法則叫作向量求和的多邊形法則.
(2)向量加法的兩個法則的區別和聯系
法則 三角形法則 平行四邊形法則
區別 (1)強調“首尾相連”;(2)適用于所有的非零向量求和 (1)強調“共起點”;(2)僅適用于不共線的兩個向量求和
聯系 當兩個向量不共線時,兩個法則的實質一樣,三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半
知識點2　向量的減法
向量a減向量b等于向量a加上向量b的相反向量,即a-b=a+(-b).如果把向量a與b的起點放在點O,那么從向量b的終點B指向被減向量a的終點A,得到的向量就是a-b,如圖.
(1)向量減法的兩個重要結論
①如果把兩個向量的起點放在一起,則這兩個向量的差是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量.
②一個向量等于它的終點相對于點O的位置向量減去它的起點相對于點O的位置向量,或簡記“終點向量減起點向量”.
(2)向量加法與減法的幾何意義的聯系
如圖所示,以向量=a,=b為鄰邊作平行四邊形ABCD,則兩條對角線的向量為=a+b,=a-b(=b-a),這一結論在以后應用非常廣泛,應該加強理解并牢記.
(3)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|的理解
①當a,b有一個為零向量時,不等式顯然成立.
②當a,b不共線時,作=a,=b,則a+b=,如圖(a)所示,根據三角形的性質,“兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
③當a,b非零且共線時,a.當向量a與b同向時,作法同上,如圖(b)所示,此時|a+b|=|a|+|b|.b.當向量a,b反向時,不妨設|a|>|b|,作法同上,如圖(c)所示,此時|a+b|=|a|-|b|.
綜上所述,得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
注意每個等號取得的條件,|a+b|=|a|+|b|或||a|-|b||=|a-b|成立的條件是a與b同向共線;|a+b|=||a|-|b||以及|a-b|=|a|+|b|成立的條件是a與b反向共線.
探究點一　向量的加法
角度1　向量加法的運算法則
[例1] 如圖,已知向量a,b,c,求作和向量a+b+c.
解:法一(三角形法則)　如圖(1),首先在平面內任取一點O,作向量=a,接著作向量=b,則得向量=a+b,然后作向量=c,則向量=a+b+c為所求.
法二(平行四邊形法則)　如圖(2),則有:
(1)在平面內任取一點O,作=a,=b;
(2)作平行四邊形AOBC,則=a+b;
(3)再作向量=c;
(4)作 CODE,則=+c=a+b+c,
則即為所求.
用三角形法則求和向量,關鍵是抓住“首尾相連”,和向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點,平行四邊形法則注意“共起點”.且兩種方法中,第一個向量的起點可任意選取,可在某一個向量上,也可在其他位置.兩向量共線時,三角形法則仍適用,平行四邊形法則不適用.
[針對訓練] (1) 在 ABCD中,O是對角線的交點,下列結論正確的是(　　)
A.+=
B.+=
C.+=+
D.+=+
(2)在菱形ABCD中,∠BAD=60°,||=1,則|+|=　　　　.
解析:(1)根據向量加法的三角形法則,得+=,+=,所以+=+.故選C.
(2)如圖,因為在菱形ABCD 中,∠BAD=60°,
所以△ABD為等邊三角形,
所以|+|=||=||=1.
答案:(1)C　(2)1
角度2　向量加法的運算律
[例2] 如圖,E,F,G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式:
(1)++;
(2)+++.
解:(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
向量加法運算律的應用方法
由于向量的加法滿足交換律和結合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行計算.
[針對訓練] 化簡:
(1)++;
(2)++;
(3)+++.
解:(1)++=++=+=.
(2)++=++=0.
(3)+++=+++=.
探究點二　向量的減法
[例3] 如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,B是該平行四邊形外一點,且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量 ,,.
解:因為四邊形ACDE是平行四邊形,
所以==c,=-=b-a,
=+=b-a+c.
[變式探究] (1)本例條件不變,試用向量a,b,c表示與;
(2)本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內一點”,其他條件不變,結論又如何呢
解:(1)=-=c-a,
=-=c-b.
(2)因為四邊形ACDE是平行四邊形,所以==c,=-=b-a,=+=b-a+c.
用幾個已知向量表示其他向量的一般步驟
探究點三　向量的加、減法的混合運算
[例4] 化簡:
(1)-+;
(2)++--.
解:(1)-+=+=-=.
(2)++--=+++-=++=.
化簡向量式的方法和技巧
要先觀察向量的表達形式,利用向量加、減法的運算律及相反向量的性質化為首尾相連且為和的形式或起點相同且為差的形式,從而達到化簡的目的.具體來說,對于用有向線段表示的向量的加減運算有以下四點技巧.
(1)加法:首尾連,起點到終點(++=).
(2)減法:共起點,連終點,指被減(-=).
(3)化減為加(-=+).
(4)湊零法(相反向量的和為0).
[針對訓練] (多選題)下列各式能化簡為 的是(　　)
A.(-)-
B.-(+)
C.-(+)-(+)
D.--+
解析:選項A中,(-)-=++=++=;選項B中,-(+)=-0=;選項C中,-(+)-(+)=----=+++=(++)+=.故選ABC.
當堂檢測
1.在平面四邊形ABCD中,下列表達式化簡結果與相等的是(　B　)
A.+ B.++
C.- D.+-
解析:+=,不符合題意;++=+=,符合題意;-=,不符合題意;+-=+≠,不符合題意.故選B.
2. 在四邊形ABCD中,=+,則四邊形ABCD一定是(　D　)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.平行四邊形
解析:在四邊形ABCD中,=+,又=+.所以=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.故選D.
3.|a|=|b|=1,則|a+b|的取值范圍為　　　　,當|a+b|取得最大值時,向量a,b的方向　 .
解析:當兩向量反向時|a+b|最小,此時|a+b|=0;當兩向量同向時,|a+b|最大,此時|a+b|=2,
所以|a+b|的取值范圍為[0,2].
答案:[0,2]　相同
4.在△ABC中,D為BC的中點,設=c,=b,=a,=d,則d-a=　　　　.
解析:d-a=d+(-a)=+==c.
答案:c
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量的加減法運算 1,2,3,4,5,13
向量加減運算的實際應用 12,15
向量的加減法運算的綜合應用 6,7,8,9,10,11,14
基礎鞏固
1.如圖,在正六邊形ABCDEF中,-等于(　C　)
A. B. C. D.
解析:-=-=+==.故選C.
2.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則+等于(　C　)
A.　　　　　 B.
C. D.
解析:設a=+,以OP,OQ為鄰邊作平行四邊形(圖略),則OP與OQ之間的對角線對應的向量,即為向量a=+,由a和長度相等,方向相同,得a=,即+=.故選C.
3.(多選題)化簡以下各式,結果為零向量的是(　ACD　)
A.-+ 　　B.+--
C.-+ 　　D.++-
解析:-+=++=+=-=0;
+--=(-)+(-)=+=;
-+=(+)-=-=0;
++-=++=+=0.故選ACD.
4.(多選題)如圖,在平行四邊形ABCD中,下列計算錯誤的是(　BC　)
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
解析:根據向量加法的平行四邊形法則和向量加法的幾何意義,可知+=,所以A正確;++=+=,所以B錯誤;
++=+=,所以C錯誤;++=+=0,
所以D正確.故選BC.
5.(多選題)下列說法正確的是(　ABCD　)
A.如果非零向量a與b的方向相同或相反,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若△ABC為等腰直角三角形,且A=90°,則一定有|+|=|-|
D.若a∥b,|a|=2|b|=8,則|a+b|可能為12
解析:A顯然正確;根據三角形法則將向量“首尾相連”,易得出++=0,所以B正確;在等腰直角三角形ABC中,||=||,以,為鄰邊的四邊形是正方形,對角線相等,
故|+|=|-|,C正確;
由a∥b可知,a,b共線,當a,b方向相同,|a+b|=|a|+|b|=12,D正確.故選ABCD.
6.化簡(-)-(-)=　　　 　.
解析:(-)-(-)=--+=+-=-=0.
答案:0
7.在△ABC中,||=||=||=1,則|-|=　　　　.
解析:如圖,在△ACD中,B為CD的中點.
AB=BD=1,∠ABD=120°,
-=+=+=.
易求得AD=,即||=,
所以|-|=.
答案:
8.如圖,O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,試用正六邊形的六個頂點和點O為起點或終點,構造向量表示下列向量的和.
(1)+=　　　　;
(2)+=　　　　.
解析:連接OA2,OA4,OA5,OA6(圖略),則四邊形OA1A6A5和四邊形OA1A2A3為菱形,所以+==;==.
又因為=,所以+=+=+=.
答案:(1)(或)　(2)
能力提升
9.(多選題)下列說法正確的是(　AD　)
A.若a,b同向,則有|a+b|=|a|+|b|
B.若a,b不共線,則有|a+b|>|a|+|b|
C.|a|<|a|+|b|恒成立
D.對任意兩個向量a,b,總有|a+b|≤|a|+|b|
解析:由向量形式的絕對值三角不等式可知,當a,b同向時,
有|a+b|=|a|+|b|;當a,b不共線時,有|a+b|<|a|+|b|;
當a,b是任意向量時,有|a+b|≤|a|+|b|,故A,D正確,B錯誤.
當b=0時,|a|=|a|+|b|,故C錯誤.故選AD.
10.若O是△ABC所在平面內一點,且滿足|-|=|-+-
|,則△ABC是(　B　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.無法確定
解析:因為-+-=+,-=,
所以|+|=||,所以以AB,AC為鄰邊的平行四邊形ABDC的兩條對角線的長度相等,所以此平行四邊形為矩形,所以AB⊥AC,
所以△ABC是直角三角形.故選B.
11.已知菱形ABCD的邊長為2,則向量-+的模為　　　　,
||的取值范圍是　 .
解析:因為-+=++=,
又||=2,所以|-+|=||=2.
又因為=+,且在菱形ABCD中,
||=2,所以|||-|||<||=|+|<||+||,
即0<||<4.
答案:2　(0,4)
12.在水流速度為4 km/h的河中,要使船以12 km/h 的實際航速與河岸成直角行駛,求船的航行速度的大小和方向.
解:設表示水流的速度,表示船的航行速度,表示船的實際航行速度,如圖所示,
+=.因為||=4,||=12,所以tan∠ACB==,
所以∠ACB=30°=∠CAD,||=||==8,
∠BAD=120°.
所以船的航行速度的大小為8 km/h,方向與水流速度成120°角.
13.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB和BC的中點,G為AC與BD的交點.
(1)若||=|++|,則四邊形ABCD是什么特殊的平行四邊形 說明理由.
(2)化簡--,并在圖中作出表示該化簡結果的向量.
解:(1)由條件知||=|++|=||,即AB=AD,又四邊形ABCD是平行四邊形,故四邊形ABCD是菱形.
(2)由平行四邊形及三角形中位線的性質可知=.
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量如圖所示.
應用創新
14.已知長度相等的三個非零向量,,滿足++=0,則由A,B,C三點構成的△ABC的形狀是　　　 　三角形.
解析:如圖,以OA,OB為鄰邊作菱形OAFB,
則+=,
所以+=0,
所以=-.
所以O,F,C三點共線.
因為四邊形OAFB是菱形,
所以CE垂直平分AB.所以CA=CB.
同理,AB=AC,所以△ABC為等邊三角形.
答案:等邊
15.一架直升機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km 到達B地,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800 km到達C地,求這架直升機飛行的路程及兩次位移的和.
解:如圖,設,分別表示直升機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km,
從B地按南偏東55°的方向飛行800 km,
則直升機飛行的路程指的是||+||.
兩次飛行的位移的和指的是+=.
依題意,
得||+||=800+800=1 600(km),
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°,
所以||===800(km).
其中∠BAC=45°,
所以方向為北偏東35°+45°=80°.
所以這架直升機飛行的路程是1 600 km,
兩次飛行的位移的和為800 km,
方向為北偏東80°.

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