資源簡介

§3　從速度的倍數到向量的數乘
3.1　向量的數乘運算
3.2　向量的數乘與向量共線的關系
學習目標
1.掌握向量數乘的定義并理解其幾何意義,發展直觀想象和邏輯推理的核心素養.
2.了解向量數乘運算的運算律,提升數學運算的核心素養.
3.理解共線(平行)向量基本定理,提升數學運算和邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　向量的數乘運算
　(1)數乘運算的定義.
實數λ與向量a的乘積是一個向量,記作λa,滿足以下條件:
①當λ>0時,向量λa與向量a的方向相同;
當λ<0時,向量λa與向量a的方向相反;
當λ=0時,0a=0.
②|λa|=|λ||a|.
這種運算稱為向量的數乘.
(2)數乘運算的運算律.
設λ,μ為實數,a,b為向量,那么根據向量的數乘定義,可以得到以下運算律:
①(λ+μ)a=λa+μa;
②λ(μa)=(λμ)a;
③λ(a+b)=λa+λb.
(3)向量的線性運算.
向量的加法、減法和數乘的綜合運算,通常稱為向量的線性運算(或線性組合).若一個向量c由向量a,b的線性運算得出,則稱向量c可以用向量a,b線性表示.
(4)單位向量:在非零向量a方向上的單位向量是.
(1)關于λa的理解
①數乘運算定義的實質.
(ⅰ)條件:一個實數與一個向量相乘.
(ⅱ)結論:結果為一個向量,其模等于這個實數的絕對值與這個向量模的乘積,其方向與實數的正負有關.
②從兩個角度看數乘運算.
(ⅰ)代數角度:
a.λ是實數,a是向量,它們的積仍然是向量;
b.λa=0的條件是λ=0或a=0.
(ⅱ)幾何角度:
a.當|λ|>1時,有|λa|>|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸長到|a|的|λ|倍;
b.當0<|λ|<1時,有|λa|<|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上縮短到|a|的|λ|倍.
(2)對數乘運算的運算律的兩點說明
①數乘運算的運算律滿足的條件:三種運算律中的λ與μ都是實數.
②實數與向量可以求積,但是不能進行加減運算.
知識點2　共線(平行)向量基本定理
給定一個非零向量b,則對于任意向量a,a∥b的充要條件是存在唯一一個實數λ,使a=λb.
[思考] 在共線(平行)向量基本定理中,為什么要求b≠0
提示:若b=0,當a≠0時不存在實數λ;若b=0,且a=0時實數λ可以有無數個值.
在共線(平行)向量基本定理中
(1)a=λb通常稱為a能用b表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果還有a=μb,則有λ=μ.
[做一做] 若|a|=1,|b|=2,且a與b方向相同,則下列關系式正確的是(　　)
A.b=2a B.b=-2a
C.a=2b D.a=-2b
探究點一　數乘運算在幾何中應用
[例1] 在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,則等于(　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
由平面圖形中的已知向量表示未知向量的方法
用圖形中的已知向量表示所求向量,應結合已知和所求,聯合三角形法則以及向量加法、減法和數乘以及幾何圖形的性質、定理,將所求向量反復分解,直到全部可以用已知向量表示,其實質是向量線性運算的反復應用.
[針對訓練] (多選題)在△ABC中,D在AB邊上,=2,E是CD的中點,則(　　)
A.=- B.=+
C.=+ D.=2-3
探究點二　向量的線性運算
[例2] (1)化簡下列各式.
①(-3)×4a;
②3(a+b)-2(a-b)-a;
③(2a+3b-c)-(3a-2b+c);
④(2λ-μ)a-λa-(λ-μ)(a-b)(λ,μ為實數).
(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,且向量a,b,x,y滿足關系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用a,b表示x,y.
向量數乘運算的方法
(1)向量的數乘運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數.
(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解代數方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.
易錯警示:由于向量的線性運算的結果是一個向量,因此涉及結果為零向量時,要將結果寫為0而不是實數0.
[針對訓練] (1)已知向量a,b,x,且(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),則x=　　　　　.
(2)計算下列各式.
①4(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
探究點三　共線(平行)向量基本定理的應用
角度1　利用共線(平行)向量基本定理求參數
[例3] 設e1與e2是不共線的向量,若ke1+4e2與e1+ke2共線且方向相反,則實數k的值是　　 　　.
若a,b不共線,且存在實數λ,μ,使μa+λb=0,則必有μ=λ=0.因為a,b不共線,則a,b必為非零向量,若λ≠0,則b=-a,若μ≠0,則a=-b,無論哪種情況都有a,b共線與已知矛盾,故必有λ=μ=0.
[針對訓練] 已知a與b為非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb
(λ,μ∈R),若A,B,C三點共線,則2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
角度2　證明三點共線
[例4] 已知兩個非零向量a與b不共線,=a-2b,=3a-2b,
=-a-2b,求證:A,B,D三點共線.
證明平面上三點共線的方法
證明平面上三點共線的理論依據是:若b=λa(a≠0),且b與a所在的直線有公共點,則這兩條直線共線.
具體方法是選擇三點中的一個點為起點,另外兩個點為終點構造向量求解.例如,若向量=λ,則, 共線,又 與 有公共點A,從而A,B,C三點共線.
[針對訓練] 已知任意兩向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
角度3　直線的向量表示
[例5] 在△ABC中,=,P是BN上一點,若=t+,則實數t的值為(　　)
A. B. C. D.
已知O,A,B是不共線的三點,且=m+n(m,n∈R),則m+n=1是A,P,B三點共線的充要條件.
[針對訓練] 在△ABC中,=-,則點P(　　)
A.在線段BC上,且=
B.在線段CB的延長線上,且=
C.在線段BC的延長線上,且=
D.在線段BC上,且=
學海拾貝
一個與三角形面積有關向量式的應用
已知點O為△ABC內任意一點,則S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
證明如下:
如圖,延長AO交BC于點M,則=+.
又=·,
則=+·=+·(-)=·+·,
則=·=··+··
=··+··,
即S△ABC·=S△AOC·+S△AOB·.
由于=-,=-,
則S△ABC·=S△AOC·(-)+S△AOB·(-),
所以S△AOC·+S△AOB·+(S△ABC-S△AOC-S△AOB)=0,
即S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
[典例探究] 已知O是△ABC內一點,若2++3=0,S△AOC,S△ABC分別表示△AOC,△ABC的面積,求S△AOC∶S△ABC.
[應用探究] 已知O為正三角形ABC內的一點,且滿足+λ+
(1+λ)=0,若△AOB的面積與△BOC的面積的比值為3,則λ的值為(　　)
A. B. C.2 D.3
當堂檢測
1.(2a-b)-(2a+b)等于(　　)
A.a-2b B.-2b C.0 D.b-a
2.(多選題)對于非零向量a,下列說法正確的是(　　)
A.|2a|是|a|的2倍,且2a與a方向相同
B.|-|是|a|的,且-與a方向相反
C.若λ=0,則λa=0
D.若λ=,則λa是與a同向的單位向量
3.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則等于(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
4.設e1與e2是兩個不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則 k=　　 　　.
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量的數乘及向量的線性運算 1,3,4,6
共線(平行)向量基本定理 5,7,8,9
數乘運算的綜合應用 2,10,11
基礎鞏固
1.在△ABC中,AD為BC邊上的中線,點E為AD的中點,則等于(　　)
A.- B.-
C.+ D.+
2.若5+3=0,且||=||,則四邊形ABCD是(　　)
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
3.(多選題)設a是非零向量,λ是非零實數,則下列說法正確的是(　　)
A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|=λa
C.a與λ2a方向相同 D.|-2λa|=2|λ||a|
4.(多選題)在△ABC中,AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線,O是它們的交點,則(　　)
A.=-2
B.-=
C.=(+)
D.+=2(+)
5.(多選題)已知e1,e2是不共線的向量,下列向量a,b共線的有(　　)
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
6.(a+2b)-(5a-2b)+a=　　 .
7.設a,b是兩個不共線的向量,向量b-ta,a-b共線,則實數t=
　 　　　.
能力提升
8.已知P是△ABC所在平面上一點,滿足++=2,若S△PAB=4,則△ABC的面積為(　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
9.已知a,b是不共線的向量,=λa+μb,=3a-2b,=2a+3b,若A,B,C三點共線,則實數λ,μ滿足　　　　.
10.設P是△ABC所在平面內的一點,且=2,則△PAB與△PBC的面積之比是　　　　.
11.如圖,在長方形ABCD中,E為邊DC的中點,F為邊BC上一點,且=.設=a,=b.
(1)試用a,b表示,.
(2)若G為長方形ABCD內部一點,且=a+b,求證:E,G,F三點共線.§3　從速度的倍數到向量的數乘
3.1　向量的數乘運算
3.2　向量的數乘與向量共線的關系
學習目標
1.掌握向量數乘的定義并理解其幾何意義,發展直觀想象和邏輯推理的核心素養.
2.了解向量數乘運算的運算律,提升數學運算的核心素養.
3.理解共線(平行)向量基本定理,提升數學運算和邏輯推理的核心素養.
知識探究
知識點1　向量的數乘運算
　(1)數乘運算的定義.
實數λ與向量a的乘積是一個向量,記作λa,滿足以下條件:
①當λ>0時,向量λa與向量a的方向相同;
當λ<0時,向量λa與向量a的方向相反;
當λ=0時,0a=0.
②|λa|=|λ||a|.
這種運算稱為向量的數乘.
(2)數乘運算的運算律.
設λ,μ為實數,a,b為向量,那么根據向量的數乘定義,可以得到以下運算律:
①(λ+μ)a=λa+μa;
②λ(μa)=(λμ)a;
③λ(a+b)=λa+λb.
(3)向量的線性運算.
向量的加法、減法和數乘的綜合運算,通常稱為向量的線性運算(或線性組合).若一個向量c由向量a,b的線性運算得出,則稱向量c可以用向量a,b線性表示.
(4)單位向量:在非零向量a方向上的單位向量是.
(1)關于λa的理解
①數乘運算定義的實質.
(ⅰ)條件:一個實數與一個向量相乘.
(ⅱ)結論:結果為一個向量,其模等于這個實數的絕對值與這個向量模的乘積,其方向與實數的正負有關.
②從兩個角度看數乘運算.
(ⅰ)代數角度:
a.λ是實數,a是向量,它們的積仍然是向量;
b.λa=0的條件是λ=0或a=0.
(ⅱ)幾何角度:
a.當|λ|>1時,有|λa|>|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸長到|a|的|λ|倍;
b.當0<|λ|<1時,有|λa|<|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上縮短到|a|的|λ|倍.
(2)對數乘運算的運算律的兩點說明
①數乘運算的運算律滿足的條件:三種運算律中的λ與μ都是實數.
②實數與向量可以求積,但是不能進行加減運算.
知識點2　共線(平行)向量基本定理
給定一個非零向量b,則對于任意向量a,a∥b的充要條件是存在唯一一個實數λ,使a=λb.
[思考] 在共線(平行)向量基本定理中,為什么要求b≠0
提示:若b=0,當a≠0時不存在實數λ;若b=0,且a=0時實數λ可以有無數個值.
在共線(平行)向量基本定理中
(1)a=λb通常稱為a能用b表示.
(2)其中的“唯一”指的是,如果還有a=μb,則有λ=μ.
[做一做] 若|a|=1,|b|=2,且a與b方向相同,則下列關系式正確的是(　A　)
A.b=2a B.b=-2a
C.a=2b D.a=-2b
解析:因為|a|=1,|b|=2,且a,b同向,
所以b=2a.故選A.
探究點一　數乘運算在幾何中應用
[例1] 在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE的延長線與CD交于點F,則等于(　　)
A.+ B.+
C.+ D.+
解析:如圖所示,過點O作AF的平行線,交CD于點G,
在△CAF和△DOG中,
由中位線定理得G是CF的中點,F是DG的中點,從而=2.
法一　由=2,得-=2(-),即=+.則=+=+=+×+×=+.故選B.
法二　=+=+=+(-)
=+(-)=+.故選B.
由平面圖形中的已知向量表示未知向量的方法
用圖形中的已知向量表示所求向量,應結合已知和所求,聯合三角形法則以及向量加法、減法和數乘以及幾何圖形的性質、定理,將所求向量反復分解,直到全部可以用已知向量表示,其實質是向量線性運算的反復應用.
[針對訓練] (多選題)在△ABC中,D在AB邊上,=2,E是CD的中點,則(　　)
A.=- B.=+
C.=+ D.=2-3
解析:對于選項A,由向量的減法法則可知=-,故A錯誤;
對于選項B,=+=+=+(-)=+,
故B正確;
對于選項C,=+=+=+(+)=+
=+(-)=+,故C正確;
對于選項D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正確.故選BCD.
探究點二　向量的線性運算
[例2] (1)化簡下列各式.
①(-3)×4a;
②3(a+b)-2(a-b)-a;
③(2a+3b-c)-(3a-2b+c);
④(2λ-μ)a-λa-(λ-μ)(a-b)(λ,μ為實數).
(2)已知向量為a,b,未知向量為x,y,且向量a,b,x,y滿足關系式3x-2y=a,-4x+3y=b,試用a,b表示x,y.
解:(1)①原式=(-3×4)a=-12a.
②原式=3a+3b-2a+2b-a=5b.
③原式=2a+3b-c-3a+2b-c=-a+5b-2c.
④原式=2λa-μa-λa-λ(a-b)+μ(a-b)
=2λa-μa-λa-λa+λb+μa-μb
=(λ-μ)b.
(2)
由①×3+②×2得,x=3a+2b,
代入①得3×(3a+2b)-2y=a,
所以y=4a+3b.
所以x=3a+2b,y=4a+3b.
向量數乘運算的方法
(1)向量的數乘運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是在這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數.
(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解代數方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.
易錯警示:由于向量的線性運算的結果是一個向量,因此涉及結果為零向量時,要將結果寫為0而不是實數0.
[針對訓練] (1)已知向量a,b,x,且(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),則x=　　　　　.
(2)計算下列各式.
①4(a+b)-3(a-b);
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c);
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).
(1)解析:由(x-2a)-(3b-x)=x-(2a+3b),得2x-2a-3b=x-2a-3b,即x=0.
答案:0
(2)解:①4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.
②3(a-2b+c)-(2a+b-3c)
=3a-6b+3c-2a-b+3c
=a-7b+6c.
③(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)
=a-b-a-b+a+b
=(-+)a+(--+)b
=0a+0b
=0+0
=0.
探究點三　共線(平行)向量基本定理的應用
角度1　利用共線(平行)向量基本定理求參數
[例3] 設e1與e2是不共線的向量,若ke1+4e2與e1+ke2共線且方向相反,則實數k的值是　　 　　.
解析:若ke1+4e2與e1+ke2共線,
則存在實數x,使得ke1+4e2=x(e1+ke2),
因為e1與e2是不共線的向量,
所以所以k=±2,
又ke1+4e2與e1+ke2方向相反,所以k=-2.
答案:-2
若a,b不共線,且存在實數λ,μ,使μa+λb=0,則必有μ=λ=0.因為a,b不共線,則a,b必為非零向量,若λ≠0,則b=-a,若μ≠0,則a=-b,無論哪種情況都有a,b共線與已知矛盾,故必有λ=μ=0.
[針對訓練] 已知a與b為非零向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb
(λ,μ∈R),若A,B,C三點共線,則2λ+μ等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:由題意知,=a-2b,=(λ-2)a+(μ+1)b,A,B,C三點共線,故,共線,故不妨設存在實數k(k≠0),使得=k(k≠0),則所以λ-2=,解得2λ+μ=3.故選D.
角度2　證明三點共線
[例4] 已知兩個非零向量a與b不共線,=a-2b,=3a-2b,
=-a-2b,求證:A,B,D三點共線.
證明:因為=a-2b,=3a-2b,=-a-2b,
所以=+=3a-2b+(-a-2b)=3a-2b-a-2b=2a-4b=2.
所以,共線.
因為它們有公共點B,
所以A,B,D三點共線.
證明平面上三點共線的方法
證明平面上三點共線的理論依據是:若b=λa(a≠0),且b與a所在的直線有公共點,則這兩條直線共線.
具體方法是選擇三點中的一個點為起點,另外兩個點為終點構造向量求解.例如,若向量=λ,則, 共線,又 與 有公共點A,從而A,B,C三點共線.
[針對訓練] 已知任意兩向量a,b且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:A選項,=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,所以A,B,D三點一定共線,A正確;B選項,設=μ(μ∈R),則a+2b=μ(-5a+6b),即無解,B錯誤;C選項,設=m(m∈R),則-5a+6b=m(7a-2b),即無解,C錯誤;D選項,=+=a+2b-5a+6b=-4a+8b,設=n(n∈R),即-4a+8b=n(7a-2b),即無解,D錯誤.故選A.
角度3　直線的向量表示
[例5] 在△ABC中,=,P是BN上一點,若=t+,則實數t的值為(　　)
A. B. C. D.
解析:=-,
又因為=,
所以=,
所以=t+=t+.
因為點P,B,N三點共線,
所以t+=1,
解得t=.故選D.
已知O,A,B是不共線的三點,且=m+n(m,n∈R),則m+n=1是A,P,B三點共線的充要條件.
[針對訓練] 在△ABC中,=-,則點P(　　)
A.在線段BC上,且=
B.在線段CB的延長線上,且=
C.在線段BC的延長線上,且=
D.在線段BC上,且=
解析:由題意,得-=(-),則=,所以C,P,B三點共線,且點P在線段CB的延長線上,=.故選B.
學海拾貝
一個與三角形面積有關向量式的應用
已知點O為△ABC內任意一點,則S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
證明如下:
如圖,延長AO交BC于點M,則=+.
又=·,
則=+·=+·(-)=·+·,
則=·=··+··
=··+··,
即S△ABC·=S△AOC·+S△AOB·.
由于=-,=-,
則S△ABC·=S△AOC·(-)+S△AOB·(-),
所以S△AOC·+S△AOB·+(S△ABC-S△AOC-S△AOB)=0,
即S△AOC·+S△AOB·+S△BOC·=0.
[典例探究] 已知O是△ABC內一點,若2++3=0,S△AOC,S△ABC分別表示△AOC,△ABC的面積,求S△AOC∶S△ABC.
解:法一　由2++3=0可知S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=2∶1∶3,
因此S△AOC∶S△ABC=1∶6.
法二　如圖,設D,E分別是AC,BC的中點,
由題意有2(+)+(+)=0,
即 4+2=0,=-2,所以O,D,E三點共線且OE=2OD,
過E,O,B分別作AC上的高h1,h2,h3,易知=,=,則=,
所以S△AOC∶S△ABC=1∶6.
[應用探究] 已知O為正三角形ABC內的一點,且滿足+λ+
(1+λ)=0,若△AOB的面積與△BOC的面積的比值為3,則λ的值為(　　)
A. B. C.2 D.3
解析:法一　由于+λ+(1+λ)=0,
變為++λ(+)=0.
如圖,D,E分別是BC,AC的中點,
由平行四邊形法則知+=2,
λ(+)=2λ,故=-λ.
在正三角形ABC中,
因為S△COB=S△AOB=×S△ABC=S△ABC,
S△COA=S△ABC-S△ABC-S△ABC=S△ABC.
且△AOC與△COB的底邊相等,面積之比為2,
得λ=2.故選C.
法二　由已知條件+λ+(1+λ)=0可知S△AOB∶S△BOC=1+λ=3,因此λ=2.故選C.
當堂檢測
1.(2a-b)-(2a+b)等于(　B　)
A.a-2b B.-2b C.0 D.b-a
解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故選B.
2.(多選題)對于非零向量a,下列說法正確的是(　ABD　)
A.|2a|是|a|的2倍,且2a與a方向相同
B.|-|是|a|的,且-與a方向相反
C.若λ=0,則λa=0
D.若λ=,則λa是與a同向的單位向量
解析:由數乘運算的定義知A,B,D中說法正確.對于C,若λ=0,則λa=0(實數與向量的乘積仍是一個向量),故C錯誤.故選ABD.
3.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,點D在邊AB上,BD=2DA.記=m,=n,則等于(　B　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
解析:因為BD=2DA,所以=3,
所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故選B.
4.設e1與e2是兩個不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點共線,則 k=　　 　　.
解析:因為A,B,D三點共線,
故存在一個實數λ,使得=λ.
又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,
所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,
所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,
所以
解得k=-.
答案:-
課時作業
選題明細表
知識點、方法 題號
向量的數乘及向量的線性運算 1,3,4,6
共線(平行)向量基本定理 5,7,8,9
數乘運算的綜合應用 2,10,11
基礎鞏固
1.在△ABC中,AD為BC邊上的中線,點E為AD的中點,則等于(　B　)
A.- B.-
C.+ D.+
解析:因為AD為BC邊上的中線,所以=(+).
又因為E為AD的中點,
所以=+=+=(+)+(-)=-.
故選B.
2.若5+3=0,且||=||,則四邊形ABCD是(　D　)
A.平行四邊形 B.菱形
C.矩形 D.等腰梯形
解析:由5+3=0知,∥且||≠||,所以此四邊形為梯形.又||=||,所以梯形ABCD為等腰梯形.故選D.
3.(多選題)設a是非零向量,λ是非零實數,則下列說法正確的是(　CD　)
A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|=λa
C.a與λ2a方向相同 D.|-2λa|=2|λ||a|
解析:由已知可得若λ<0,則a與-λa的方向相同,故A錯誤;
由于實數與向量不能比較大小,故B錯誤;
a與λ2a方向相同,故C正確;
|-2λa|=2|λ||a|,故D正確.故選CD.
4.(多選題)在△ABC中,AD,BE,CF分別是BC,CA,AB的中線,O是它們的交點,則(　AC　)
A.=-2
B.-=
C.=(+)
D.+=2(+)
解析:根據三角形重心的性質,知O為線段FC靠近點F的三等分點,所以=-2,故A正確;-=-==-,
故B錯誤;
==×(+)=(+),故C正確;
+=2,+=2=2×=,
所以+=3(+),故D錯誤.故選AC.
5.(多選題)已知e1,e2是不共線的向量,下列向量a,b共線的有(　BC　)
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
解析:因為e1,e2是不共線的向量,
所以e1,e2都不是零向量.
對于A,若a與b共線,則e1,e2共線,這與已知矛盾,所以a與b不共線.
對于B,因為b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a,所以a與b共線.
對于C,因為b=2e1-e2=(3e1-e2)=a,
所以a與b共線.
對于D,若a與b共線,則存在實數λ∈R,使a=λb,
即e1+e2=λ(e1-3e2),
所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0.
因為e1,e2是不共線的向量,
所以所以λ不存在,
所以a與b不共線.故選BC.
6.(a+2b)-(5a-2b)+a=　　 .
解析:原式=a+b-a+b+a=-a+b.
答案:-a+b
7.設a,b是兩個不共線的向量,向量b-ta,a-b共線,則實數t=
　 　　　.
解析:因為b-ta與a-b共線,
所以b-ta=λ(a-b)=a-b.
又a,b是兩個不共線的向量,
所以
解得t=.
答案:
能力提升
8.已知P是△ABC所在平面上一點,滿足++=2,若S△PAB=4,則△ABC的面積為(　B　)
A.8 B.12 C.16 D.20
解析:因為++=2,
所以++=2(+),
所以3=,
所以與共線,且方向相同,
所以3||=||.
又S△PAB=4,
所以S△ABC=3S△PAB=3×4=12.
故選B.
9.已知a,b是不共線的向量,=λa+μb,=3a-2b,=2a+3b,若A,B,C三點共線,則實數λ,μ滿足　　　　.
解析:法一　因為A,B,C三點共線,
所以設=m+(1-m),
即λa+μb=m(3a-2b)+(1-m)(2a+3b)=(m+2)a+(-5m+3)b,
所以消去m得5λ+μ=13.
法二　=-=(λa+μb)-(3a-2b)=(λ-3)a+(μ+2)b,=-=2a+3b-(3a-2b)=-a+5b.
因為A,B,C三點共線,
所以∥,=n,
故
①×5+②得5λ+μ=13.
答案:5λ+μ=13
10.設P是△ABC所在平面內的一點,且=2,則△PAB與△PBC的面積之比是　　　　.
解析:作出圖形如圖所示.
因為=2,所以P為邊AC上靠近點A的三等分點.
又△PAB與△PBC的底邊長之比為||∶||=1∶2,且高相等,
所以△PAB與△PBC的面積之比為1∶2.
答案:1∶2
11.如圖,在長方形ABCD中,E為邊DC的中點,F為邊BC上一點,且=.設=a,=b.
(1)試用a,b表示,.
(2)若G為長方形ABCD內部一點,且=a+b,求證:E,G,F三點共線.
(1)解:由題意可知=+=+=+=b+a,
=+=+=-=a-b.
(2)證明:連接AF(圖略),=+=+=a+b,
=a+b=(b+a)+(a+b)=+,
因為+=1,
所以E,G,F三點共線.

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